3.6　一次函数的应用 教学设计 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

3.6　一次函数的应用 　　【教学目标】 1.使学生了解根据两个条件可确定一次函数;根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式;并能利用所学知识解决简单的实际问题. 2.通过函数图象获取信息,进一步培养学生的数形结合意识. 3.通过函数图象解决实际问题,进一步发展学生的数学应用能力. 【重点难点】 重点:一次函数图象的应用 难点:利用一次函数的知识解决实际问题 【教学过程】 一、创设情景 我们前面学习了有关函数的知识,相继我们又学习了一次函数的知识,那么你能举出生活中一次函数的例子吗? 例1　请每位同学伸出一只手掌,把大拇指与小拇指尽量张开,两指间的距离称为指距,已知指距与身高具有如下关系: 指距x(cm) 19 20 21 身高y(cm) 151 160 169 (1)求身高y与指距x之间的函数表达式; (2)当李华的指距为22 cm时,你能预测他的身高吗? 师引导,学生自主解答 解:(1)上表3组数据反映了身高y与指距x之间的对应关系,观察这两个变量之间的变化规律,当指距增加1 cm,身高就增加9 cm,可以尝试建立一次函数模型. 设身高y与指距x之间函数表达式为y=kx+b.将x=19,y=151与x=20,y=160代入上式,得 解得k=9,b=-20. 于是y=9x-20.　　① 将x=21,y=169代入①式也符合. 公式①就是身高y与指距x之间的函数表达式. (2)当x= 22时,y=9×22-20=178. 因此,李华的身高大约是178 cm. 二、探究归纳 问题1:某地为保护环境,鼓励节约用电,实行阶梯电价收费,规定每户居民每月用电量不超过160 kW·h,则按0.6元/(kW·h)收费;若超过160 kW·h,则超出部分按每1 kW·h加收0.1元. (1)写出某户居民某月应交电费y(元)是用电量x(kW·h)之间的函数表达式; (2)画出这个函数的图象; (3)小王家3月份,4月份分别用电150 kW·h和200 kW·h,应缴纳电费各多少元? 分析:(1)师:自变量的取值范围是什么? 生:由题意得:自变量的取值范围是0≤x≤160和x>160两种情况 师:不同情况下,函数表达式一样吗? 生:电费与用电量有关,当0≤x≤160时,y=0.6x; 当x>160时,y=160×0.6+(x-160)×(0.6+0.1)=0.7x-16; 此函数为分段函数,应该合起来表示; (2)图象由一个正比例函数和一个一次函数拼接在一起; (3)已知自变量的值求函数值,直接把自变量的取值代入相应函数解析式即可. 解:(1)电费与用电量相关. 当0≤x≤160时,y=0.6x; 当x>160时, y=160×0.6+ (x-160)×(0.6+0.1)=0.7x-16. y与x的函数表达式也可以合起来表示为 y= (2)该函数的图象如图. (3)当x=150时,y=0.6×150=90, 即3月份的电费为90元. 当x=200时,y=0.7×200-16=124, 即4月份的电费为124元. 例2　甲乙两地相距40 km,小明8:00骑自行车由甲地去乙地,平均车速为 8 km/h,小红10:00坐公共汽车也由甲地去乙地,平均车速为 40 km/h.设小明所用时间为x(h),小明与甲地的距离为y1(km),小红离甲地的距离为y2(km). (1)分别求出y1,y2与x之间的函数表达式; (2)在同一直角坐标系中,画出(1)中两个函数的图象.并指出谁先到达乙地. 分析:对于上题中甲乙行驶的情况,回答: ①乙出发后多少小时追上甲?②乙出发后多少小时超过甲?你能用几种方法来解答和说明呢?哪种方法更简单些呢?③自变量x的取值有什么限制? 解:(1)小明所用时间为x h,由“路程=速度×时间”可知y1=8x,自变量x的取值范围是0≤x≤5. 由于小红比小明晚出发2 h,因此小红所用时间为(x-2) h,从而y2=40(x-2),自变量x的取值范围是2≤x≤3. (2)将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中,如图所示. 过点M(0,40)作射线l与x轴平行,它先与射线y2=40(x- 2)相交,这表明小红先到达乙地. 问题2:奥运会早期,撑竿跳的记录近似地由下表给出: 年份 1900 1904 1908 高度(米) 3.33 3.53 3.73 观察这个表格中第二行的数据,你可以为奥运会的撑杆跳高记录与时间的关系建立函数模型吗? 师:根据表格信息可以发现“每一届比上一届的记录提高0.2米”,高度与时间有什么关系? 生:高度与时间建立一次函数的关系 师:求出函数表达式 用t表示从1900年起增加的年份,则在奥运会早期,撑杆跳高的记录y(米)与t的函数关系式为y=kt+b (b≠0) 由t=0时,记录为3.33米,t=4时,记录为3. 53米,得 解得 b=3.33,k=0.05. y=0.05t+3.33. 由t=8,y=0.05×8+3.33=3.73,即1908年的撑杆跳高记录也符合所求公式. 总结: 通过建立函数模型,对变量的变化情况进行预测.问题的解题步骤: 1.分析数据,找出自变量和因变量,发现对应关系; 2.抽象出函数表达式; 3.验证并化简函数表达式,得出问题的变化规律. 三、交流反思 通过本节课的学习,我们要学会在解决实际问题的情景中运用所学数学知识解决问题. 关键是将实际问题转化为数学问题,合理地建立一次函数的模型. 四、板书设计 3.6一次函数的应用 问题1 问题2 例 …… …… …… …… …… …… 　　五、教学反思 本节课首先复习一次函数的有关知识,然后通过对实际问题的探究引出新课,紧接着通过几个实际问题,找出合理的数量关系,列出一次函数关系式,让学生理解如何利用一次函数来解决实际问题,最后通过对例题的练习,进一步巩固列一次函数关系式解决实际问题,同时也让学生进一步掌握方法,体会一次函数在现实生活中的运用. 缺点:本课在教学过程中应该仔细的分析,让学生经历数学知识的应用过程,掌握利用一次函数解决实际问题的方法,毕竟学生对应用题还是比较担心,所以教师应该多让学生去思考,从旁多协助,多引导,让学生明白如何从题目中得出一次函数关系式,教师还应该多给学生一些练习,要注意难度要有梯度,应该由易到难,慢慢提升学生的信心,让学生能够独立完成应用题的解答. 学科网（北京）股份有限公司 $