3.5 一次函数与二元一次方程的关系 教案 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第一课时《3.5 一次函数与二元一次方程的关系》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《3.5 一次函数与二元一次方程的关系》是湘教版八年级下册第3章《一次函数》的第五节的内容。本节课承接一次函数表达式与图象的学习，通过具体方程与函数的转化，揭示二元一次方程的解和一次函数图象上点的坐标一一对应关系，为后续学习用图象法解二元一次方程组奠定数形结合的基础。 学习者分析 学生已掌握二元一次方程的解、一次函数的图象与表达式等知识，能进行简单的方程变形，但对“方程的解”与“函数图象上的点”之间的对应关系理解较抽象，需要通过实例和直观图象帮助建立联结，在将直线转化为二元一次方程时易出现符号错误。 教学目标 1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。 4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。 教学重点 二元一次方程与一次函数的相互转化，以及两者的对应关系。 教学难点 理解“方程的解”与“函数图象上的点”的一一对应关系。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 回顾：1.什么是二元一次方程？ 2.什么是二元一次方程的解？ 3.一个二元一次方程有多少个解？ 教师讲授： 1.含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程。 2.一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 3.一般地，一个二元一次方程有无数组解。 学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：新知探究 教师活动2： 探究：一次函数与二元一次方程 【议一议】 （1） （4，1）与（1，7）是二元一次方程的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个。 （2） 给定一个二元一次方程，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？ 教师讲授： (1)∵当时，， ∴ （4，1）是二元一次方程的解； ∵当时，， ∴（1，7）是二元一次方程的解； 该方程有无数个解，如（1，11），（0，9），等等。 （2）对于二元一次方程，整理可得. 若把看作自变量，看作因变量，则得到一次函数. 反过来，一次函数也可以写成二元一次方程的形式。 【思考】 （1）一次函数的图象上任一点的坐标都是二元一次方程的解吗？ （2）以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一次函数的图象吗？ 教师讲授： （1）如图 ，一次函数的图象上任一点的坐标可以表示为（c，2c + 9），其中c为任意实数。 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程的解。 （2）二元一次方程的所有解都可以表示为（c，2c + 9），其中 c 为任意实数 . 而任意点（c，2c + 9）都在一次函数的图象（一条直线）上，如图所示。 于是以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数的图象。 教师讲授：一般地，一次函数的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程； 反过来，以二元一次方程的解为坐标的点，都在一次函数的图象上，所有点构成一条直线。 教师讲授： 对于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0) ，其任意一个解都满足一次函数y=x， 因而，在平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y=x的图象上 . 反之，一次函数y=x的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解。 【抽象】 在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0（a≠0，b≠0）表示一条直线，这条直线是一次函数y=x的图象。 教师讲授： 二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系。 学生活动2： 合作交流，举手回答问题 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真听讲 学生认真听讲，了解二元一次方程与一次函数的关系 认真听讲 认真听讲 认真听讲，了解二元一次方程与一次函数的区别 活动意图说明：学生通过合作探究不仅提高了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，促进学生的全面发展。 环节三：例题精讲 教师活动3： 例1在平面直角坐标系中，画出二元一次方程表示的直线。 解：由可得一次函数=+2， 从而当x=0时，y=2， 当x=3时，y=4. 在平面直角坐标系中，描出A（0，2），B（3，4）两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数=+2的图象，从而它是二元一次方程表示的直线。 例2如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P（0，2），Q（4，5）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ 解：设直线PQ是一次函数（k，b为常数，k≠0）的图象。 因为点P（0，2）和点Q（4，5）都在该函数的图象上，所以 解得 因此，直线PQ是一次函数y= x2的图象， 从而它是二元一次方程x+y+2=0表示的直线。 【议一议】 关于x，y的二元一次方程kxy+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？ 教师讲授：∵函数的图象与x轴的交点的纵坐标为 0， 又∵当=0时， kx+b=0， 解得x=. 归纳：二元一次方程kxy+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标是（,0）。 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 合作交流 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 一次函数与二元一次方程的联系： 一般地，一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的一个解，以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上。 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一次函数和一次函数的图象的交点坐标是（，据此可知方程组的解为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2.如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是（　　） A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 3.如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 选做题： 4.如图，一次函数与图象的交点为，则方程组的解为　 　。 5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为　 　 ． 6.如图，点A的坐标可以看成方程组　 　的解。 【综合拓展类作业】 7.利用一次函数的图象求二元一次方程组的解。 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（　　） A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2 2.已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在（　　） A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　C．第三象限　　　　D．第四象限 3.正比例函数（为整数）的图象与直线的交点恰好是整点（横、纵坐标都是整数的点称为整点），那么满足条件的正比例函数有（　　） A．5个　　　　B．6个　　　　C．7个　　　　D．无数个 【综合拓展类作业】 4.已知直线与的交点坐标为（1，），试确定方程组的解和的值。 教学反思 本节课通过具体实例引导学生探究方程与函数的关系，直观性较强，但部分学生在转化方程时易混淆符号，对“一一对应”的本质理解不够深入。后续需增加对比练习，强化变形步骤，同时设计更多直观操作活动，帮助学生建立数形结合的直观感知。 学科网（北京）股份有限公司 $