专题11一次函数的解析式.方程关系与应用同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学讲义以一次函数为核心，通过知识梳理构建“概念-关系-应用”体系，用表格对比方程组解与直线位置关系，思维导图呈现待定系数法四步流程，清晰呈现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于15类分层题型设计，如“分配方案问题”“最大利润问题”等应用题型，结合典例与跟踪专练，培养数学思维中的推理能力和数学语言中的模型意识。基础题巩固方法，综合题提升应用，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题11一次函数的解析式.方程关系与应用同步讲义 【题型01 求一次函数解析式】.............................................2 【题型02 由直线与坐标轴交点求方程的解】.................................4 【题型03 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】.......................6 【题型04 图象法解一元一次方程】........................................10 【题型05 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】..........................12 【题型06 两直线的交点与二元一次方程组的解】............................14 【题型07 由两条直线的交点求不等式的解集】..............................17 【题型08 图象法解二元一次方程组】......................................19 【题型09 求直线围成的图形面积】........................................22 【题型10 一次函数应用:分配方案问题】....................................25 【题型11 一次函数应用:最大利润问题】....................................28 【题型12 一次函数应用:行程问题】........................................33 【题型13 一次函数应用:梯度计价问题】....................................37 【题型14 一次函数应用:其他实际问题】....................................39 【题型15 一次函数与几何综合】...........................................43 ★知识梳理 知识点01:用待定系数法确定一次函数解析式 1. 一次函数基本形式 一般式：y=kx+b（k0，k,b为常数） 正比例函数：y=kx（b=0，过原点） 左图一次函数 右图正比例函数 2. 待定系数法步骤（必考 4 步） 设：设解析式为 y=kx+b 代：把已知点坐标代入，得到关于 k,b 的方程 / 方程组 解：解方程组，求出 k,b 写：回代，写出函数解析式 知识点02:一次函数与二元一次方程的对应 一次函数 y=kx+b(k0) 的表达式，等价于二元一次方程 kx−y+b=0。 函数图象上任意一点 (x,y) 的坐标，都是该二元一次方程的解；反之，以方程的所有解为坐标的点，构成该一次函数的图象（一条直线）。 知识点03:二元一次方程组与一次函数图象的关系 知识点04:方程组解的情况与直线位置关系（必记）. 方程组解的情况 两直线位置关系 斜率 k 与截距 b 关系 唯一解 相交 k1k2​ 无解 平行 k1=k2且 b1b2​ 无数组解 重合 k1=k2且 b1=b2​ 知识点05:实际应用（核心建模） 1. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 2. 解题步骤 (1)审题：明确变量（自变量 x、因变量 y），找出等量关系，确定实际意义。 (2)建模：设函数解析式为 y=kx+b(k0)，用待定系数法求 k、b（代入已知点坐标，解方程组）。 (3)求解：代入自变量求函数值，或已知函数值求自变量；注意自变量取值范围。 (4)检验：结果是否符合实际意义（如时间、路程非负）。 【题型1.求一次函数解析式】 【典例】已知一次函数，当时，，求k的值． 【答案】 【分析】把，代入，解关于k的方程即可． 【详解】解：∵一次函数，当时，， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【答案】 【分析】两个一次函数没有交点，说明两条直线平行，平行一次函数的一次项系数相等，由此得到k的值，再利用待定系数法代入已知点坐标求出b的值，即可得到所求函数解析式． 【详解】解：∵一次函数与没有交点， ∴两条直线平行，即， 又∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为． 【跟踪专练2】如果与成正比例关系，且当时，，那么关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“与成正比例”设出函数关系式，再代入已知条件求出比例系数，进而得到关于的函数解析式． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设． 当时，，代入得：，解得． 因此，整理得． 逐一分析选项： A、，整理得，与推导结果不符，不符合题意； B、，与推导结果不符，不符合题意； C、，与推导结果一致，符合题意； D、，整理得，与推导结果不符，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义及待定系数法求函数解析式，解题关键是根据“与成正比例”正确设出函数关系式，再代入已知条件求解． 【跟踪专练3】已知当一次函数的自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是，则该一次函数的表达式为_____________． 【答案】或 【分析】根据一次函数的增减性分两种情况讨论：一次函数的增减性由的符号决定，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．结合和的取值范围，将对应端点值代入函数解析式，通过解方程组求出和的值，即可得到函数表达式． 【详解】解：当时，一次函数，随的增大而增大； ∵自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是， ∴当时，；当时，， 得， 解得， ∴此时一次函数的表达式为． 当时，一次函数，随的增大而减小， ∴当时，；当时，， 得，解得， ∴此时一次函数的表达式为． 综上，该一次函数的表达式为或． 【题型2.由直线与坐标轴交点求方程的解】 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象求方程的解． 根据函数图象作答即可． 【详解】解：根据函数图象可知，一次函数经过， 即， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 【跟踪专练1】若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握方程的解就是直线与x轴交点的横坐标是解题的关键． 由直线与x轴交点坐标为，再根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴当时， ∴方程的解为． 故选D． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为_________． 【答案】.. 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 故关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【跟踪专练3】若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的平移，根据一次函数图象的平移即可得到答案，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵是由的图象向右平移个单位得到的， ∴将一次函数的图象上的点向右平移个单位得到的点的坐标为， ∴当时，方程的解为， 故选：C． 【题型3.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【典例】已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解得出函数与x轴的交点坐标，然后判断即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴函数与x轴的交点坐标是， 满足条件的只有D． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键． 【跟踪专练1】已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，且．第二象限内有一点，使得，则_____________． 【答案】 【分析】作轴于点D，先求出A、B的坐标，根据证明求出，再利用得，从而直线的解析式为，然后把代入即可求解． 【详解】如图，作轴于点D， 当时，，则，． 当时，，解得，则，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． ∵且两三角形等底， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数图象的性质，以及坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 【跟踪专练3】下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、函数图象的平移规律以及方程的解与函数图象的关系，关键是根据一次函数的性质和相关规律逐一分析每个选项． 【详解】解：对于一次函数，其中． 选项A：当时，函数图象经过第二、三、四象限，而非一、三、四象限，故A错误； 选项B：∵方程的解是， ∴，即． 将代入，得， ∴函数图象恒过点，故B正确； 选项C：函数图象向右平移2个单位后解析式为，∵图象过原点，代入得，解得，而非，故C错误； 选项D：随的增大而减小．若，则，但与的符号由决定，不一定满足，故D错误； 故选：B． 【题型4.图象法解一元一次方程】 【典例】如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意可求出点，将点代入一次函数得，则关于的方程的解是． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， ， 解得， 点， 将点代入一次函数得， 关于的方程的解是， 故选：C． 【跟踪专练2】一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为___________． 【答案】/ 【分析】根据图像可知，一次函数的图像过点，即当时，，由此得出关于的方程的解． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像经过点， 关于x的方程的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用一次函数图像解一元一次方程，利用数形结合是解题的关键． 【跟踪专练3】根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 【题型5.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【典例】一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集为． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故选：A． 【跟踪专练2】如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等式的关系，结合函数图象求不等式的解集． 【详解】解：∵直线过第二、三、四象限， ∴， 又直线与x轴的交点为， ∴草图如下： 不等式表示一次函数图象在x轴下方的部分， 根据图象，当，函数图象在x轴下方， 故不等式的解集是． 故答案是：． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．， B．y随x的增大而减小 C．当时， D．关于x的方程的解为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系等知识点，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 根据函数图象和一次函数的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、B错误； 当时，图象在x轴下方，，故C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，故D正确． 故选：D． 【题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解】 【典例】如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数的交点的横纵坐标是这两个一次函数的解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【跟踪专练1】直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条直线的交点坐标就是这两条直线方程组成的二元一次方程组的解，直接对应选项即可得到答案. 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴同时满足两个直线的方程， ∴解为的方程组就是由这两个直线方程组成的方程组． 【跟踪专练2】一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组的两个二元一次方程的图象如图所示，则二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解，就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．由题意和图象得，二元一次方程组的解为，进一步可得，即可求出答案． 【详解】解：由题意和图象得，二元一次方程组的解为， 根据二元一次方程组可得，， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知a为实数，则一次函数与的图象的交点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了求函数交点坐标，判断点所在的象限． 通过联立两个一次函数解析式求交点坐标，再根据交点横纵坐标的符号判断所在象限． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴交点坐标为 ． 若交点在第一象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第二象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第三象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第四象限，则且，解得且，无解，不成立； 故选：D． 【题型7.由两条直线的交点求不等式的解集】 【典例】如图，一次函数（，为常数，且）与（，为常数，且）相交于点，则关于x的不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】本题考查了图象法解一元一次不等式，由图象得当时，，即可求解． 【详解】解：由图象得 当时，， ， ， 不等式的解集是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数求得的坐标，然后根据图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 当时，， 所以不等式的解集为． 【跟踪专练2】如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点B，根据图象可得关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，先求出点，再结合函数图象即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将代入直线可得：， 解得：， ∴， 故由图象可得，关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练3】一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【详解】解：A．由一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得，即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数，y随x增大而增大，即；由一次函数，y随x增大而减小，即；则，故C选项错误，符合题意； D．由函数图像可得：当时，一次函数的图像在上方，即，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 【题型8.图象法解二元一次方程组】 【典例】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________． 【答案】或 【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可． 【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A， ∴点A坐标（－1，2）， ∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点， ∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）． ∴， 解得 故答案为或． 【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键． 【跟踪专练3】如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 【题型9.求直线围成的图形面积】 【典例】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线y=x+3分别与x轴，直线y=-2x交于点A，B，则△AOB的面积为 _____． 【答案】3 【分析】先求得A（-3，0），B（-1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在y=x+3中，令y=0，得x=-3， 解得，， ∴A（-3，0），B（-1，2）， ∴△AOB的面积=×3×2=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得A、B的坐标是解题的关键． 【跟踪专练1】一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积．先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算． 【详解】解：根据函数作出图像为： 对于一次函数， ∵当时，， ∴一次函数图像与y轴交点B为； ∵当时，，解得， ∴一次函数图像与x轴交点A为， ∴，， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、（如图所示），的面积为，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点、三角形面积计算以及裂项相消求和的综合应用．求出直线与轴、轴的交点坐标，得到、的坐标；然后根据三角形面积公式求出的表达式；最后利用裂项相消的方法对进行求和． 【详解】解：对于直线， 令，则，解得，故； 令，则，故． 为直角三角形， ， 则 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 【题型10.一次函数应用:分配方案问题】 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【跟踪专练1】某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元． 【答案】330 【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果． 【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 依题意，得：， 解得： ∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元． 设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式： m≥(20-m)，解得：m≥， ∴≤m≤20， 设总费用为W，根据题意得： W=20m+15(20-m)=5m+300， ∵k=5>0， ∴W随m的减小而减小， ∴当m=6时，W有最小值， ∴W=5×6+300=330元 则在购买方案中最少费用是330元． 故答案为：330． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数． 【跟踪专练2】新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． (1)请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． (2)小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 【答案】(1) (2)若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的应用——方案问题，结合临界点分析，明确了不同充电量下的最优选择．关键在于正确理解方案的费用结构，并通过方程求解临界值． （1）根据方案一为直接折扣，方案二含固定费用加折扣直接写出答案即可； （2）分情况讨论：通过建立一次函数关系式，并求解临界点，确定不同充电量时的最优方案即可． 【详解】（1）解： 方案一白天时段每度电享受九折优惠， . 方案二先花元，然后白天时段每度电享受七五折优惠， . （2）分情况讨论： ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上所述，若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算． 【跟踪专练3】暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？ 【答案】(1)，； (2)当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社． 【分析】（1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出函数表达式，即可解答； （2）分三种情况进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵设李老师带领名“三好学生”去旅游， ∴由题意得：， ， 即，； （2）解：当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 当时，即，解得：， ∴当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社． 【题型11.一次函数应用:最大利润问题】 【典例】某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 【答案】6600 【分析】根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 【详解】解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 【跟踪专练1】如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【答案】C 【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 【跟踪专练2.】年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 【跟踪专练3】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【答案】(1) 每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2) 购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少 【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号 “文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元， 则， 解得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． （2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元． 则， ， 解得， 又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套， ∴且为整数． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，w最小， 此时， 故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少． 【题型12.一次函数应用:行程问题】 【典例】一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数解析式为，则轿车从地到达地所用时间是___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，根据题意将代入解析式，直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，时， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得，解得， ， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 当乙车没出发前，，解得； 当乙车出发后且没有追上甲，则，解得； 当乙追上甲后，令， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，甲乙两车相距50千米时，或或或．故④错误； 综上可知正确的有①②③． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地行驶到B地，两地之间的路程是，请根据图像解决下列问题： (1)求出甲行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式； (2)已知乙行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式为，若甲、乙都在行驶中且甲与乙相距的路程为，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）观察图象可知，有两种情况下甲与乙相距的路程为12km，一种是甲与乙相遇前，一种是甲与乙相遇后，分情况列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设甲行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式为， 因为该函数图象经过点，所以， 解得：， 所以甲行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式为． （2）解：甲、乙都在行驶中且甲与乙相遇前的路程为时， ， 解得； 甲、乙都在行驶中且甲与乙相遇后的路程为时， ， 解得； 所以甲、乙都在行驶中且甲与乙相距的路程为时，x的值为或． 【跟踪专练3】如图，和分别表示从深圳北开往潮阳站的动车和从潮阳站开往深圳北的高铁到深圳北的距离与行驶时间的图象，两车同时出发，设动车离深圳北的距离为，高铁离深圳北的距离为，行驶时间为，和与的函数关系如图所示： (1)高铁的速度为__________，动车的速度为__________； (2)动车出发多长时间与高铁相遇？ (3)求两车出发多长时间相距？ 【答案】(1)200；150 (2) (3)或 【分析】（1）由图象可知深圳北到潮阳的距离为，动车行驶，高铁行驶，根据速度公式计算求解即可； （2）设动车出发与高铁相遇 ，由题意知，计算求解即可； （3）设两车出发经过相距，由题意知两车相距50千米有两种情况：①动车与高铁相遇前相距，则，②动车与高铁相遇后相距，则，分别计算求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知深圳北到潮阳的距离为，动车行驶，高铁行驶， ∴动车的速度 高铁的速度． （2）解：设动车出发与高铁相遇， 由题意知：， 解得： ∴动车出发与高铁相遇． （3）解：设两车出发经过相距， ①动车与高铁相遇前相距， 则， 解得：； ②动车与高铁相遇后相距， 则， 解得， ∴两车出发经过或相距． 【题型13.一次函数应用:梯度计价问题】 【典例】某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 【跟踪专练1】某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 由于月用电量，电费计算分为两部分：前按元计费，超过部分按元计费即可． 【详解】解：根据题意可得，前的电费为元； 超过部分的电费为元， ∴总电费 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像的识别，根据题意列出函数式子是解题的关键． 列出函数解析式再作图即可判断． 【详解】解：由题意可得： 当时，， 当时，， ∴与的函数关系为：， 作出图像可得：， 故选：C． 【跟踪专练3】某出租车公司的收费标准如下：起步价（3千米以内，含3千米）10元；超过3千米，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）． (1)若行驶路程为x千米（，且x为整数），收费y元，求y与x的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车行驶了8千米，应付多少元？ (3)若某人付了26元车费，最多行驶了多少千米？ 【答案】(1)（，x为整数） (2)应付20元 (3)最多行驶11千米 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了已知自变量求函数，已知函数值求自变量的方法． （1）起步价超过3千米的部分每千米收费，列式计算即可求解； （2）把代入函数关系式进行计算即可得解； （3）把代入函数关系式解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得（，x为整数）； （2）解：当时，（元）； 答：应付20元； （3）解：设最多行驶了x千米，由题意得，，所以. 令，则，解得：． 答：最多行驶11千米． 【题型14.一次函数应用:其他实际问题】 【典例】某弹簧总长与所挂物体质量的函数图象如图所示．经查，此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍，则该弹簧能称量的最大质量为______克． 【答案】100 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．利用待定系数法求出弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式，可求出弹簧的原长，从而得到此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长，即可求解． 【详解】解：设弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式为， 当时，， ∴弹簧的原长为5厘米， ∵此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍， ∴此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为15厘米， 当时，， 解得：， 即该弹簧能称量的最大质量为100克． 故答案为：100 【跟踪专练1】如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的是该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（   ） A．小于4件 B．等于4件 C．大于4件 D．大于5件 【答案】C 【分析】先根据图象分三段讨论，再根据销售收入和销售成本之间的关系得出答案． 【详解】解：由函数图象可知随着销售量的增加，当时，销售收入和销售成本都在增加，且销售收入小于销售成本，此时该公司亏损；当时，销售收入和销售成本相等，此时该公司不亏损，也不盈利；当时，销售收入和销售成本都在增加，且销售收入大于销售成本，此时该公司盈利，即该公司盈利时销售量大于4件，C符合题意． 【跟踪专练2】年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； (2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量． 【答案】(1)5千米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了一次函数的应用解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据图象信息蓄电池剩余电量为千瓦时，汽车已行驶了千米，据此计算即可； （2）根据待定系数法求出一次函数解析式，将代入解析式计算出y值即可． 【详解】（1）解：由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时，汽车已行驶了千米， 1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米）． 答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米． （2）解：当时，设，把点，代入得： ， 解得， ∴， 当时，． 答：当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时． 【跟踪专练3】2026年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，DeepSeek的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用DeepSeek智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（元）与产品数量x（件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如表所示： 产品数量x（件） … 10 12 16 20 … 生产成本y（元） … 450 460 480 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若这种产品每件的售价为15元，请计算当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为多少元？ 【答案】(1)（为正整数） (2)当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为1200元 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数值求自变量的值，即可作答． 【详解】（1）解：设， 代入，得， ∴， ∴（为正整数）； （2）解：将，代入，得， 解得， 那么总售价为（元）， 答：所生产的产品总售价为1200元． 【题型15.一次函数与几何综合】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点 在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，若直线与线段有公共点，则 的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线可得，当时，，直线与轴交点为，从而可求出的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由直线可得，当时，， ∴直线与轴交点为， ∵点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，直线与线段有公共点， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线求出点B坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，，设点，则，，得出，代入，求出a的值即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设点，则，， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴ ∴点D的坐标为． 【跟踪专练2】正比例函数的图象如图所示，点A的坐标为，的函数图象上是否存在一点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】或． 【分析】此题考查了一次函数的性质．设点P的坐标为，根据的面积为4得到，解得或，即可求出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴， ∵的面积为4， ∴，即 解得或， ∴点P的坐标为或． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【答案】(1) (2)的取值范围是且 (3)，整数k的值为， 【分析】（1）将函数解析式变形为，可得当时，，不管取任何不为0的值，均成立，即可得到定点的坐标； （2）将，分别代入直线，解得，，即可得到的取值范围是且； （3）先利用待定系数法求出线段所在直线的函数解析式为，再由点是直线和直线的交点，得到，整理得到，进而推出当是正整数时，的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值． 【详解】（1）解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为； （2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得， 当直线经过点时，将代入，得，解得， ∴的取值范围是且； （3）解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为， ∵点是直线和直线的交点， ∴， ∴， 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数的解析式.方程关系与应用同步讲义 【题型01 求一次函数解析式】.............................................2 【题型02 由直线与坐标轴交点求方程的解】.................................3 【题型03 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】.......................3 【题型04 图象法解一元一次方程】.........................................4 【题型05 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】...........................5 【题型06 两直线的交点与二元一次方程组的解】.............................6 【题型07 由两条直线的交点求不等式的解集】...............................7 【题型08 图象法解二元一次方程组】.......................................8 【题型09 求直线围成的图形面积】........................................10 【题型10 一次函数应用:分配方案问题】....................................11 【题型11 一次函数应用:最大利润问题】....................................12 【题型12 一次函数应用:行程问题】........................................13 【题型13 一次函数应用:梯度计价问题】....................................14 【题型14 一次函数应用:其他实际问题】....................................15 【题型15 一次函数与几何综合】...........................................16 ★知识梳理 知识点01:用待定系数法确定一次函数解析式 1. 一次函数基本形式 一般式：y=kx+b（k0，k,b为常数） 正比例函数：y=kx（b=0，过原点） 左图一次函数 右图正比例函数 2. 待定系数法步骤（必考 4 步） 设：设解析式为 y=kx+b 代：把已知点坐标代入，得到关于 k,b 的方程 / 方程组 解：解方程组，求出 k,b 写：回代，写出函数解析式 知识点02:一次函数与二元一次方程的对应 一次函数 y=kx+b(k0) 的表达式，等价于二元一次方程 kx−y+b=0。 函数图象上任意一点 (x,y) 的坐标，都是该二元一次方程的解；反之，以方程的所有解为坐标的点，构成该一次函数的图象（一条直线）。 知识点03:二元一次方程组与一次函数图象的关系 知识点04:方程组解的情况与直线位置关系（必记）. 方程组解的情况 两直线位置关系 斜率 k 与截距 b 关系 唯一解 相交 k1k2​ 无解 平行 k1=k2且 b1b2​ 无数组解 重合 k1=k2且 b1=b2​ 知识点05:实际应用（核心建模） 1. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 2. 解题步骤 (1)审题：明确变量（自变量 x、因变量 y），找出等量关系，确定实际意义。 (2)建模：设函数解析式为 y=kx+b(k0)，用待定系数法求 k、b（代入已知点坐标，解方程组）。 (3)求解：代入自变量求函数值，或已知函数值求自变量；注意自变量取值范围。 (4)检验：结果是否符合实际意义（如时间、路程非负）。 【题型1.求一次函数解析式】 【典例】已知一次函数，当时，，求k的值． 【跟踪专练1】一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【跟踪专练2】如果与成正比例关系，且当时，，那么关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知当一次函数的自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是，则该一次函数的表达式为_____________． 【题型2.由直线与坐标轴交点求方程的解】 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 【跟踪专练1】若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为_________． 【跟踪专练3】若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【题型3.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【典例】已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______． 【跟踪专练2】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，且．第二象限内有一点，使得，则_____________． 【跟踪专练3】下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【题型4.图象法解一元一次方程】 【典例】如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是____________． 【跟踪专练1】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为___________． 【跟踪专练3】根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【典例】一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是_________． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．， B．y随x的增大而减小 C．当时， D．关于x的方程的解为 【题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解】 【典例】如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 【跟踪专练1】直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组的两个二元一次方程的图象如图所示，则二元一次方程组的解为_____________． 【跟踪专练3】已知a为实数，则一次函数与的图象的交点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型7.由两条直线的交点求不等式的解集】 【典例】如图，一次函数（，为常数，且）与（，为常数，且）相交于点，则关于x的不等式的解集是____________． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点B，根据图象可得关于x的不等式的解集为________． 【跟踪专练3】一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【题型8.图象法解二元一次方程组】 【典例】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________． 【跟踪专练3】如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【题型9.求直线围成的图形面积】 【典例】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线y=x+3分别与x轴，直线y=-2x交于点A，B，则△AOB的面积为 _____． 【跟踪专练1】一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 【跟踪专练2】已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、（如图所示），的面积为，则______． 【跟踪专练3】在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【题型10.一次函数应用:分配方案问题】 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【跟踪专练1】某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元． 【跟踪专练2】新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． (1)请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． (2)小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 【跟踪专练3】暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？ 【题型11.一次函数应用:最大利润问题】 【典例】某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 【跟踪专练1】如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【跟踪专练2.】年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【跟踪专练3】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【题型12.一次函数应用:行程问题】 【典例】一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数解析式为，则轿车从地到达地所用时间是___________． 【跟踪专练1】如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【跟踪专练2】如图，甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地行驶到B地，两地之间的路程是，请根据图像解决下列问题： (1)求出甲行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式； (2)已知乙行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式为，若甲、乙都在行驶中且甲与乙相距的路程为，求x的值． 【跟踪专练3】如图，和分别表示从深圳北开往潮阳站的动车和从潮阳站开往深圳北的高铁到深圳北的距离与行驶时间的图象，两车同时出发，设动车离深圳北的距离为，高铁离深圳北的距离为，行驶时间为，和与的函数关系如图所示： (1)高铁的速度为__________，动车的速度为__________； (2)动车出发多长时间与高铁相遇？ (3)求两车出发多长时间相距？ 【题型13.一次函数应用:梯度计价问题】 【典例】某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 【跟踪专练2】为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A．B． C．D． 【跟踪专练3】某出租车公司的收费标准如下：起步价（3千米以内，含3千米）10元；超过3千米，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）． (1)若行驶路程为x千米（，且x为整数），收费y元，求y与x的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车行驶了8千米，应付多少元？ (3)若某人付了26元车费，最多行驶了多少千米？ 【题型14.一次函数应用:其他实际问题】 【典例】某弹簧总长与所挂物体质量的函数图象如图所示．经查，此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍，则该弹簧能称量的最大质量为______克． 【跟踪专练1】如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的是该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（   ） A．小于4件 B．等于4件 C．大于4件 D．大于5件 【跟踪专练2】年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； (2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量． 【跟踪专练3】2026年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，DeepSeek的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用DeepSeek智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（元）与产品数量x（件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如表所示： 产品数量x（件） … 10 12 16 20 … 生产成本y（元） … 450 460 480 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若这种产品每件的售价为15元，请计算当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为多少元？ 【题型15.一次函数与几何综合】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点 在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，若直线与线段有公共点，则 的取值范围是______． 【跟踪专练1】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】正比例函数的图象如图所示，点A的坐标为，的函数图象上是否存在一点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $