3.6 一次函数的应用（2） 教学设计 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第二课时《3.6 一次函数的应用》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《利用一次函数解决实际问题、分段函数问题》是湘教版八年级下册第3章《一次函数》的第六节第二课时的内容。本节课是通过奥运纪录建模和阶梯电价两个实例，引导学生从实际数据中抽象出一次函数模型，并认识到模型的适用范围，同时引入分段一次函数解决阶梯收费问题，深化学生对函数建模和分段函数的理解，为后续复杂实际问题的解决提供方法支撑。 学习者分析 学生已掌握基本一次函数建模方法，能从简单情境中建立函数表达式，但对“模型局限性”和“分段函数”的认知较浅。八年级学生能处理单一变量关系，但在分析分段函数的自变量取值范围、拼接函数图象时容易混淆，需要教师引导明确分段逻辑。 教学目标 1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。 2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。 3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。 4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。 教学重点 建立一次函数模型解决实际问题，掌握分段一次函数的表达式书写与应用。 教学难点 理解一次函数模型的局限性，准确划分分段函数的自变量取值范围。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 教师提问：同学们，大家知道奥运会里‘空中飞人’项目是哪个吗？ 教师讲授： 没错，就是撑竿跳高！这项运动从1896年第一届现代奥运会就成为正式项目，纪录一直在被不断刷新。 学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲 活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：建立一次函数模型进行预测 【做一做】在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑杆跳高的纪录如下表所示： 观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑杆跳高纪录与奥运年份的关系建立一个函数模型. 教师提问： 问题1：奥运会每4年一届，观察每一届记录，它们比上一届增加了多少？这说明了什么？ 问题2：应该怎样设自变量和因变量？怎么求函数表达式？ 解：∵每一届的纪录比上一届都大约提高了0.2m， ∴可以尝试建立一次函数模型来刻画. 设一次函数表达式为y=kt+b(k，b为常数，k≠0). 则 解得k=0.05，b=3.3. 于是y=0.05t+3.3. 当t=8时，y=3.7，这说明1908年奥运会的男子撑杆跳高纪录基本符合. 故y=0.05t+3.3可以大致反映它们之间函数关系. 【议一议】(1)你能利用公式y=0.05t+3.3估计1912年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？ (2)你能利用公式y=0.05t+3.3估计1988年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？ (3)查阅相关记录，与(1)(2)中结果比较，你能发现什么？ 解：当t=12时，y=0.05×12+3.3=3.9 经查询可知，1912年奥运会的男子撑杆跳高纪录为3.95 m，这一纪录也接近符合公式y=0.05t+3.3. 当t=88时，y=0.05×88+3.3=7.7 经查询可知，1988年奥运会的男子撑杆跳高纪录为5.9m，远低于7.7 m. 【归纳】预测只能在邻近数据区域，所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的. 利用一次函数对邻近数据进行预测的一般步骤： 1.根据条件求出一次函数表当印达式； 2.将所给的数据代入求得的表达式中计算； 3.将计算的结果进行分析与比较； 4.得出答案. 学生活动2： 认真读题 认真思考，举手回答问题 独立思考，求函数表达式 认真听讲 学生认真思考，进行计算 查阅相关记录，比较 认真听讲，了解利用一次函数对邻近数据进行预测的一般步骤 活动意图说明：本环节以奥运会撑杆跳高纪录为素材，引导学生观察数据规律，建立一次函数模型并进行预测，体会模型适用性，感受数学在实际中的应用，培养数据分析与建模素养。 环节三：例题精讲 教师活动3： 探究二：分段函数的应用 例2某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过200kW·h时，按0.6元/(kW·h)收费；若超过200kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.3元. (1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式； (2)画出这个函数的图象； (3)小玲家3月份、4月份分别用电150 kW·h和220 kW·h，各应缴纳电费多少元？ 教师提问： 问题1：若用电量不超过200kW·h，题目中的等量关系是什么？ 问题2：若用电量超过200kW·h，等量关系是什么？ 解：(1)由生活常识可知，电费与用电量相关. 当0≤x≤200时，y=0.6x； 当x>200时，y=200×0.6+(x200)×(0.6+0.3)=0.9x60. y与x的函数表达式也可以合起来表示为y= (2)使用自由描绘多个一次函数图像-初中数学 AI赋能教学素材（html交互动画）绘制分段函数图像；该函数的图象如图： (3)当x=150时，y=0.6×150=90， 故小玲家3月份应缴纳电费90元. 当x=200时，y=0.9×22060=138， 故小玲家4月份应缴纳电费138元. 【归纳】在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 . 2.分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同. 3.表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 . 学生活动3： 认真读题 认真思考，举手回答问题 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 作图 认真听讲 认真听讲，了解什么是分段函数 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 预测只能在邻近数据区域，所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的. 利用一次函数对邻近数据进行预测的一般步骤： 1.根据条件求出一次函数表当印达式； 2.将所给的数据代入求得的表达式中计算； 3.将计算的结果进行分析与比较； 4.得出答案. 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 . 2.分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同. 3.表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 . 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处。乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米。若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（　　） A．1800米　　　　B．2000米　　　　C．2400米　　　　D．2500米 2.“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时后，离目的地还有（　　）千米． A．48　　　　B．32　　　　C．28　　　　D．22 3.甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分），下列说法错误的是（　　） A．小红跑步的速度为米/分 B．小刚步行的速度为米/分 C． D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有米 选做题： 4.某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为　 　． 5.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费(元)与用水量(吨)之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水吨，则应交水费　 　元． 6.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图．则小明打了6分钟需付费　 　元． 【综合拓展类作业】 7.转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中段y与x之间的函数关系式． （2）求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地.慢车先出发1小时，快车再出发.设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示.下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米／小时；③线段AB所在直线的函数表达式为，正确的有（　　） A．①②　　　　B．②③　　　　C．①②③　　　　D．①③ 2.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超出部分的价格为5元．有下列结论： ①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多． 其中正确的结论是（　　） A．①②　　　　B．①③　　　　C．②③　　　　D．①②③ 3.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是　 　． 【综合拓展类作业】 4.智能手机的出现，让生活变得更加便捷，同时也使大家对手机流量有了新的需求。某移动公司现推出两种流量套餐，流量费均为30元每月，其中A套餐的优惠方案是：先缴纳54元的办卡费，而后每月的流量收费享七折优惠；B套餐的优惠方案是：不需要缴纳办卡费，流量套餐使用超过10个月后，从第十一个月开始每月流量收费享五折优惠.设套餐使用x（月)，A套餐的总流量费为（元)，B套餐的总流量费为（元). （1）B套餐一年的总流量费为　 　元； （2）求与x的关系式； （3）如何根据使用时间长短确定选择哪种套餐更实惠? 教学反思 本节课通过奥运纪录和阶梯电价实例，让学生体会函数建模的实用性与局限性，但部分学生对分段函数的区间划分和表达式书写仍不熟练，对模型预测偏差的理解不够深刻。后续需增加分层练习，强化分段函数的规范书写，同时设计更多对比案例，帮助学生认识数学模型的适用边界。 学科网（北京）股份有限公司 $