安徽合肥一六八中学2025-2026学年度高三下学期四月教学质量检查数学试题

**基本信息** 2025-2026高三四月质检数学卷，以核心素养为导向，通过集合、函数、几何等知识模块，结合文化传承（竹竿舞）、实际应用情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，题型梯度合理，适配高三复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、三角函数等|注重概念辨析，如椭圆离心率范围结合锐角三角形条件| |多项选择|3/18|函数性质、抛物线、抽象函数|考查逻辑推理，如抽象函数性质判断需结合定义推导| |填空|3/15|导数切线、向量、立体几何外接球|强调空间想象，如三棱锥外接球与动点轨迹结合| |解答题|5/77|数列、双曲线、立体几何翻折、概率应用、函数导数综合|突出综合应用，如竹竿舞概率模型（数学建模）、函数导数“ A 函数”创新定义（数学抽象）|

2025-2026学年度高三下学期四月教学质量检查数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合A＝{x|x2+5x﹣6≤0}，集合B＝{x|x2＞x}，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣6≤x≤0} B．{x|﹣6≤x＜0} C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3} 2．设z＝i2+i，则z的虚部是（　　） A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i 3．已知函数的最小正周期为，其中ω＞0，则ω＝（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝4，b+c＝8，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 5．展开式（x2+2x﹣1）5中x5的系数为（　　） A．﹣68 B．﹣80 C．160 D．80 6．函数在上的值域为（　　） A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C．[1，2] D．[﹣2，2] 7．东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（　　） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使∠PF2F1＝2∠PF1F2，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数f（x）＝sin（cosx），则（　　） A．f（x）为偶函数 B．f（x）的最小正周期为2π C．f（x）在（，）上单调递增 D．f（x）在（0，π）内仅有1个解 10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A．直线AB的斜率为 B． C．△AMF的周长为12 D．B，O，M三点共线 11．定义在（0，+∞）上的函数f（x），对∀x，y∈（0，+∞）都有f（x+y）＝2f（x）f（y），且f（1）＝1，则下列说法正确的是（　　） A．f（2）＝2 B．数列{f（n）}单调递减 C． D．数列{f（n）}的前n项和为Tn，则 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．曲线在x＝1处的切线方程是　 　 ． 13．已知向量（﹣1，2），（3，4），若∥，⊥（），则||＝　 　 ． 14．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB＝6，AC＝3，，三棱锥D﹣ABC的体积为，其外接球的体积为，则动点D的轨迹长度为　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝90，a3＝14． （1）求{an}的通项公式； （2）设函数f（x）＝2x+2﹣2﹣x﹣2+1，记bn＝f（an），求数列{bn}的前21项和T21． 16．已知双曲线的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若双曲线C的右焦点为F，点P（0，﹣4），过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且|PA|＝|PB|，求直线l的方程． 17．在平面四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝2，∠ADC＝30°，∠DAB＝120°，将△ACD沿AC翻折至△ACK，满足KC⊥AB． （1）证明：平面KAC⊥平面ABC； （2）求平面ABK与平面CBK的夹角的余弦值． 18．竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动．2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲、乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一、二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞．已知甲、乙闯过第一关的概率分别为0.8，0.7，闯过第二关的概率分别为0.5，0.6，这支队伍闯过第三关的概率为0.5．活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关． （1）请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲、乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； （2）以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为X，求X的分布列与期望． 19．已知函数f（x）＝eax﹣x﹣1． （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）若对任意的实数k，b，曲线y＝f（x）+kx+b与直线y＝kx+b总相切，则称函数f（x）是“A函数”，当a＝1时，若函数g（x）＝ex[f（x）﹣x+1]+m是“A函数”，求m． 参考答案 一．选择题 1．B． 2．A． 3．B． 4．B． 5．A． 6．A． 7．D． 8．C． 二．多选题 9．ABD． 10．BCD． 11．ACD． 三．填空题 12．x﹣y＝0． 13．． 14．6π． 四．解答题 15．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则， 解得 所以an＝a1+d（n﹣1）＝18﹣2（n﹣1）＝﹣2n+20． （2）因为f（x）＝2x+2﹣2﹣x﹣2+1， 所以， 所以T21＝b1+b2+...+b21 ＝（220﹣2﹣20+1）+（218﹣2﹣18+1）+...+（2﹣18﹣218+1）+（2﹣20﹣220+1） ＝（220+218+...+2﹣18+2﹣20）﹣（2﹣20+2﹣18+...+218+220）+21＝21． 16．（1）解：由题意可得，1， 解得b2＝1，a2＝3， 所以，双曲线C的标准方程为； （2）解：由（1）知双曲线C的右焦点为F（2，0）， 当直线l的斜率不存在时，方程为l：x＝2，此时，， 所以，直线l的斜率存在，设方程为y＝k（x﹣2）， 将上式与双曲线方程联立，化简得（1﹣3k2）x2+12k2x﹣12k2﹣3＝0， 所以Δ＝144k4﹣4（1﹣3k2）（﹣3﹣12k2）＝12k2+12＞0，且1﹣3k2≠0， 所以，， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 所以， 所以，线段AB中点为， 因为|PA|＝|PB|， 所以，点P（0，﹣4）在线段AB的中垂线上， 所以PE⊥AB， 所以，当k＝0时，线段AB中点为E（0，0），此时直线l的方程为y＝0，满足题意； 当k≠0时，， 所以，，整理得3k2+2k﹣1＝0，解得或k＝﹣1，满足． 综上，直线l的方程为y＝0，或或y＝﹣x+2． 17．解：（1）证明：在平面四边形ABCD中， ∵AC＝CD＝2， ∴∠CAD＝∠ADC＝30°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝120°﹣30°＝90°， ∴AC⊥AB， 在空间中，由KC⊥AB，AC⊥AB，KC∩AC＝C，得AB⊥平面KAC 又∵AB⊂平面ABC， ∴平面KAC⊥平面ABC； （2）以A为原点，AB，AC分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz， 因为平面KAC⊥平面ABC，所以z轴⊂平面KAC， 则． 所以． 设平面KAB一个法向量为， 即， 令y1＝﹣1，则． 设平面KCB一个法向量为， 即，令， 则． 设平面ABK与平面CBK的夹角θ， 则． 18．解：（1）若乙闯第一关，甲闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为0.7×0.5＝0.35， 若甲闯第一关，乙闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为0.8×0.6＝0.48， 因为0.48＞0.35， 所以应该安排甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为0.48． （2）由（1）知，安排甲闯第一关，乙闯第二关， 所以X的可能取值为0，1，2，3， 则P（X＝1）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32，P（X＝3）＝0.8×0.6×0.5＝0.24， P（X＝2）＝0.8×0.6×（1﹣0.5）＝0.24，P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.32 0.24 0.24 则E（X）＝0×0.2+1×0.32+2×0.24+3×0.24＝1.52． 19．解：（1）函数f（x）＝eax﹣x﹣1的定义域为R，f′（x）＝aeax﹣1， 当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，∴f′（0）＝0， 当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0， 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 故f（x）的极小值为f（0）＝0，无极大值． （2）由（1）可知：当a≤0时，f′（x）＝aeax﹣1≤﹣1，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，令aeax﹣1＝0，得，， 所以，且f′（x）＝aeax﹣1为增函数， 当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0， 所以f（x）在上单调递减，在上单调递增； 综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），无递增区间； 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）当a＝1时，函数g（x）＝ex[f（x）﹣x+1]+m＝ex（ex﹣2x）+m是“A函数”， 求导得g′（x）＝2ex（ex﹣x﹣1）， 设曲线y＝g（x）+kx+b与直线y＝kx+b切点（x0，y0）， 则，故，即， 所以且， 设h（x）＝ex﹣x﹣1，h′（x）＝ex﹣1，易知h′（0）＝0，且h′（x）＝ex﹣1是增函数， 当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 所以h（x）min＝h（0）＝0，所以x0＝0是方程的根，且唯一， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $