安徽六安第二中学河西校区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

六安二中河西校区2026年春学期高二期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：郑强 申题人：蒋宏 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.A居+C=() A.24 B.27 C.36 D.42 2.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同的选 取方法有() A.30种 B.11种 C.6种 D.5种 3.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个 年龄层次进行分层抽样、已知在中年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为() A.27 B.36 C.54 D.81 4.已知随机变量X的分布列如下： X 0 2 3 则E(3X+1)=( A司 B.1 C.2 D.3 5,为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表)，若已求得一元线性回归方程少=6x+0.34, 则下列选项中不正确的是（) 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1.1 1.5 A.由题中数据可知，变量y与x正相关 B.6=0.22 C.当x=8时，y的预估值为2.1 D.去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数r必会改变 6.设A,B为两个事件，已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,则PB|A)等于() A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.7 7.一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字1所对应的位置出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，设每次 试卷第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 向右移动的概率为子，则2025秒后质点最有可能落在数轴上()所对应的位显。 A.675 B.676 C.1035 D.1036 8、江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所 需时间（单位：分钟）服从正态分布N(38,7),从停车场步行到单位要6分钟：江先生从家到地铁站需要步行5分 钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布W(44,2),下地铁后从地铁站步行到 单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有() 参考数据：若P(Z)-N(4,o2),则P(μ-σ<Z<μ+o)=0.6826,P(μ-2o<Z<μ+2o)=0.9544, P(μ-3o<Z<H+3o)=0.9974 A.若8：00出门，则开私家车不会迟到 B.若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C.若8：06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D.若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部· 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“没有出现3点”，事件B为“至少出现 一次5点”，事件C为“两个点数之和为，则下列说法正确的有() A.A与B不互斥 B.P(B)=月 CPC)=最 D.P(BC)= 10.若(2-x)0=a+ax+a2x2+…+a202sx205，则（) A.4=2 B.a0+a1+a2+…+a2024=2 C.laol+1a+a1+…+1az5l=32aD.a1+a2+a3++2盟c22s=-2025(月2024 11.对于一个方格图，定义“连续完美分割"：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割， 且每个区域恰含有1个M和1个N.给出下列方格图，可“连续完美分割"的是() M M M M M N M A. B. N M N NM N N N 试卷第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP M NN M NN N N D M MNMM MNM 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12、(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x+5)的展开式中，含有x4的项的系数是 13、己知随机变量X取所有的值1,2，，n是等可能的，且E(X)=3,则D(3X+1)= 14.3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船 但小孩不能单独乘一只船，这5人共有 种乘船方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骡。 15.为了解高一(5)班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下2×2的列联表 打篮球 性别 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 女生 10 合计 48 知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为子 (1)请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）： (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由： n(ad-bc)2 附X=a+bjc+a)(a+ob+d个' n=a+b+c+d. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16.将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数， (1)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本： (2)甲得1本，乙得2本，丙得3本： (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果） 试卷第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 17.袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球现从中不放回地取球，每次收 一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量X, (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率： (2)求X的分布列和期望、 18、小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐，学校食堂有A、B两家餐厅，已知他第一天迭择A食堂的概率为 子，而前一天选择了A食堂后一天维续选择A食堂的概率为分，前一天选择B食黛后继续选择B食盆的服率为分， 如此往复、 (1)求该同学第二天中午选择A食堂就餐的概率： (2)记该同学第n天选择A食堂就餐的概率为P: @证明：{化}为等比数列： ②当n之2时，P≤m恒成立，求m取值范围. 19、我校数学MATH社团计划在周六和周日各举行一次主题不同的数学作图活动，分别由乐舒老师和艳菲老师负 责，己知该社团共有n位学生，每次活动均需该社团k位学生参加（和k都是固定的正整数).假设乐舒老师和艳 非老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位学生，且所发信息都能收到记该系收到乐舒老师或 艳菲老师所发活动通知信息的学生人数为x (1)若该社团有n=5位学生，每次活动选择k=2位学生参加，求学生甲没有收到所发活动通知的概率： (2)求该系学生甲收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的概率： (3)求使P(X=m)取得最大值的整数m, 试卷第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C 0 C 0 D AD BCD 题号 11 答案 ACD 7.B 【详解】设质点向右移动k次，则向左移动2025-k次，最终落在k+1-（2025-k)=2k-2024, 质点向右移动跟从二项分布k-B2025)】 即。 20251 20251 整理得2≥ 1 m2026- m'解得ms40 3,所以当m≤1350时，P(k=m)>P(k=m-1), 当m≥1351时，P(k=m)<P(k=m-1),则P(k=1350)最大， 即质点最有可能向右移动1350次，最终落在676， 所以2025秒后质点最有可能落在数轴上676所对应的位置.故选：B. 8.D【详解】对于A,当满足PZ≥59)=1-P7≤2≤59_1-09974=0.013时， 2 2 江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误： 对于B,若8：02出门， ①江先生开私家车，当满足P2≤52)=1-P(24<Z<52+P24<Z<52)=0.9772时， 2 此时江先生开私家车不会迟到： ②江先生乘坐地铁，当满P(2≤48)=1-P40<乙<48)+P(40<2<48)=0.972 2 时，此时江先生乘坐地铁不会迟到：此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B 错误： 对于C,若8：06出门， ①江先生开私家车，当满PZ548)>PZ≤45)=1-P312<45)+P31<Z<45)=0.8413 2 时，此时江先生开私家车不会迟到： 答案第1页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP ②江先生乘坐地铁，当满足P(2S44)=号=0.5时，此时江先生乘坐地铁不会迟到： 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误： 对于D,若8：12出门，江先生乘坐地铁上班， 当满足P(2≤389)=1-P38Z<50=0.0013时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确. 故选：D 9.AD【详解】根据题意，抛掷两次，则样本空间 2=(11),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1), (3,2),(3,3,(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4.3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6》,共有36个样本点.事件A的样本空 11),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6), (4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1,(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6》: 事件B的样本空间(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5，，(5,2)，(5,3，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5}： 事件C的样本空间1,6)，(2,5)，(3,4)，（4,3)，(5,2)，(6，}： 因为事件AB的样本空间1,5)，(2,5)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5》， 事件A与事件B能同时发生，所以A与B不互斥，故A正确： 事件B有11个样本点，所以P(©)=，故B错误： 36 61 事件c有6个样本点，所以P(C)=6后故C错误： 因为事件8nC的样本空同2(2》.有2个样本点，所以P(日nC)品-故D正 确：故选：AD 10.BCD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式展开式的通项，令k=0,可求得a,判断A:令k=2025,求得a2os· 利用赋值法令x=1,得+a1+a2+…+a024+02s,从而求得a+a1+a2+..+a024,判断B: 答案第2页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 利用赋值法，令x=-1,a,-a+a,-a,可判断C:对展开式两边求导，再令x=号 可判断D. 【详解】(2-)5的展开式的通项为T1=C02s2025-(-x. 令k=0,得展开式中的常数项a,=22025，所以A错误： 令k=2025,得展开式中2025的系数a2o5=C2822(-1)25=-1, 令x=1,得(2-1)205=a,+a,+a2++a4+a2s 所以a。+41+a2+…+a024=2,所以B正确： 当k为奇数时，x的系数a:为负数：当k为偶数时，x的系数a:为正数， 令x=-1,得[2-(-1)]2025=a。-a,+a2-+a204-a2s, 即a0-01+42-+a2024-a2025=32025, 所以al+a+a+…+la0=a。-a+a2--as=3225,所以C正确： 对(2-xy)2025=a+ax+a2x2+…+a2025x2025两边求导， 得-2025(2-x)02=a,+2a,x+3a,x2++2025a202sk2024， 2024 令x= 得-2025 3 =a1+a2+ 90+…+2025 3 220240z025, 所以D正确. 11.ACD 【难度】0.4 【知识点】涂色问题 【分析】根据已知新定义判断A,C,D,再根据连续完美分脚得出图形判断B. 【详解】A,C,D可“连续完美分割如图： N M M N N N M M MN MM N 对于B,对于4x4的方格，其可行的“连续完美分割'，仅有以下5种情形或其旋转图形， 答案第3页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 经验证，符合条件的分割方式不存在。 12、-5 13.18 14【答案】27 【解析】由题意分四类：第1类，1号船乘2个大人和1个小孩，2号船乘1个大人和1个 小孩，有3×2=6种方法； 第2类，1号船乘1个大人和2个小孩，2号船乘2个大人，有3种方法； 第3类，1号船乘1个大人和2个小孩，2号船乘1个大人，3号船乘1个大人，有A=6 种方法， 第4类，1号船乘1个大人和1个小孩，2号船乘1个大人和1个小孩，3号船乘1个大人， 有A号A好=12种方法， 故这5人共有6+3+6+12=27种乘船方法. 15.(1) 打篮球 性别 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 (2)能，理由：经计算x2≈4.286>3.841 【详解】(1)在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为子。 则喜爱打篮球的有48×名=32人，则不喜爱打篮球的有48-32=16人， 所以列联表补充如下： 答案第4页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 打篮球 性别 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 (2)零假设为H。:喜爱打篮球与性别无关， 计算得z_48(22x10-6x10:4286>3.841. 28×20×32×16 根据小概率值的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 16.(1)60 (2)60 (3)360 【详解】(1)CCC=60 共有60种不同的分法. (2)CCC=60 所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法. (3)由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以A. 故有CCCA=360 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. 17.(4)月 回分布列见解折，号 【详解】（1)记事件A=“第二次取出的是黑球”，事件B=“第三次取出的是红球”， 事件A可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球“两种情况， p=子号号号 事件AB=“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为“第一次取出的是黑球“和“第一次取出的是白球"两种情况， 答案第5页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 故P(AB)=2xx+2x2x-, 写*4*3写**行0，故所求P(alA) P(AB）-10=1 P(A) 5 (2)易知随机变量X可能的取值为3,4,5， 当X=3时，前三次分别取出1个红球，1个黑球和1个白球，P(K=3)-CCCA_ A 5 当X=5时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，P(x=5)=CCA=。 A-51 当X=4时，PK=4=1-R(=-P(X=列-号 故随机变量X的分布列为： 3 5 2 2 1 U 5 5 期望为E(x)=3x2+4×2+5x2-9 5 5=5 18.1)(四5 (2)①证明见解析：②m∈ 【分析】(1)设A为“第1天选择A食堂”，A为“第2天选择A食堂”，根据条件求出 P(A),P(A),P(AA),PAA),再利用全概率公式，即可求解： (2)①设A,为“第n天选择A食堂”，根据条件得到P(A)=1-P., PAA)-子PA风)-方不用全概案公武得到R子2引 即可证明结果： 0到-号-)” 再对n分类讨论，利用单调性，即可求解， 【详解】(1)设A为“第1天选择A食堂”，八为“第2天选择A食堂"，则A为“第1天不选 择A食堂”， 根锯思意P(A)=子P风)-P(%A)-=PA闪=1-号 由全率公式得：P()=P)PA)+P风)P闪)-子号片 答案第6页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (2)①设An为"第n天选择A食堂，则P=P(A),P个n=1-P, 根据愿意P人%)=P6闪]=1-分克 由全概率公式得：2=P)=P(A)+P风)PA闪)-+-P)=-+分 因此几子巴-引因为-号音40， 所以但号引是以言为首，号为公比的等比数列。 当为大于1的*时，-号音号+品 因此，当n22时，Pn m,所以me[品树 12 19.(1)P=号 ②P=1--=2 n2 (3)m≤2k-k+1 n+2 (1)学生甲没有收到张老师的消息P(A)=子，没有收到李老师的信息P(B)=号则没有收到 消息的概率为×=是 (2)设事件A:“学生甲收到李老师所发信息”，事件B:“学生甲收到张老师所发信息”，由 题意A和B是相互独立的事件，则A与B相互独立， 而P4=Pa)=兴-冬 Ch n 所以P(A=P(a)=1-《 因此，学生甲收到活动通知信息的概率为P=1-1-=2m: (3)当k=n时，m只能取n,有P(X=m)=P(X=n)=1 当k<n,整数m满足k≤m≤1，其中1是2k和n中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随 机地发活动通知信息给k位同学"所包含的基本事件总数为(C), 当X=m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m,仅收到李老师或仅 答案第7页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 收到张老师转发信息的学生人数为m-k,则由乘法计数原理知：事件(X=m所含基本事 件数为CC-mC=CCC 此时P(X=m)= CE CM CCCR (C) 当ksm<,P(X=m)sP(X=m+1)台C*Ca≤C+C 化简解得m≤2k-&+ n+2 假如k52k-飞+少<1成立， n+2 则当(k+1)?能被n+2整除时， k≤2水-+1<2k+1-3故PX=m在m=2k-和m=2张+1-+少处 n+2 n+2 n+2 达到最大值： 则当（化+1）2不能被n+2整除时，P(X=m)在m=2k- (k+1)2 n+2 处达最大值.（注：[表示 不超过x的最大整数)， 下证：k52k-化+少<1 n+2 因为1sk<n,所以2k-k+-k=-2-1≥kk+0-2-1--20, n+2 h+2 n+2n+2 2k-k+1 n2-n=-n-<0,故2k-k+1)好 n+2 n+2<n,显然2k-+<2k. n+2 因此k52k-化+少<1. n+2 答案第8页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP