2026年中考数学模拟猜题卷（福建专用）

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，绝对值最小的是（   ） A． B．3 C．0.5 D． 2．下列大学校徽中，是中心对称图形也是轴对称图形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 4．如图是我国古代一种瓷枕，其主视图为（    ） A． B． C． D． 5．“无偿献血，让你我血脉相连”，我县某中学7名教师自愿献血，其中4人血型为O型，3人为A型，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人均为O型血的概率为（    ） A． B． C． D． 6．如图,已知AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上,∠EPF=90°，∠BEP=∠GEP，则∠1与∠2的数量关系为(   ) A．∠1=∠2 B．∠1=2∠2 C．∠1=3∠2 D．∠1=4∠2 7．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A． B． C．或 D．或 8．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，线段的端点为，抛物线与线段有交点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．分解因式：______． 12．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 13．已知点在反比例函数的图像上，且，写出满足条件的反比例函数表达式______________________． 14．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 15．某公司招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩满分均为100分．按笔试成绩占40%，面试成绩占60%计算综合成绩，编号为①，②，③的三名应聘者的成绩如表，则这三名应聘者中综合成绩第一名的是________ 分． 项目 ① ② ③ 笔试成绩 85 90 84 面试成绩 90 85 90 16．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP，正确的是___（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算 ． 18．（8分）如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”： 将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀． (1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ． (2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．(请用树状图或列表的方法求解) 21．（8分）如图，在矩形中，． (1)在的延长线上求作点，使；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求矩形的面积． 22．（10分）已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 23．（10分）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）中，点C到地面的距离是______米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分的长度．（参考数据：，，） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并直接写出头部不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出的最小值为______． 24．（12分）已知抛物线（，，为常数，且）经过点． (1)若该抛物线经过另一点，求其对称轴； (2)若，设该抛物线顶点的纵坐标为，求的最小值； (3)若，该抛物线与轴的一个交点的横坐标为，当时，求的取值范围． 25．（14分）如图，锐角三角形内接于圆O，， D是弧上一点，连接，与交于点E． (1)若恰好过圆心O，且平分． ①若圆的半径为2，求的长； ②求证：； (2)若，且圆O的半径为r，，求的长（用r的代数式表示）． 2 / 6 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学摸拟猜题卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 3 4 5 6 8 10 B B A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11.x(x-2023). 12.12 13.y=±6 14.4. 15.88. 16.①②③. 三、解答题（本大题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 【详解】原式=1+3√2+2+1-√2…(6分) =4+2√2…(8分) 18.(8分) 【详解】△CBE是等腰直角三角形.…(1分) 理由如下： :∠D-90°：.∠DEB+∠DBE-90°， :∠ABC=∠DEB,.∠ABC+∠DBE-90°.∠CBE=180°-（∠ABC+∠DBE)=90°.·(3分） 在△ABC和△DEB中， [∠ABC=∠DEB ∠A=∠D AC=BD .△ABC≌△DEB(AAS).·(6分 ∴.BC=EB 1/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △BCE是等腰直角三角形.…(8分) 19.(8分) 【详解】解：原式=m+1-2m-少=m-1m-L。1 m+1m-1m+1(m-1)2m+1 …(6分) 当m=√3-1时，原式= 113 .…(8分) V3-1+1V33 20.(8分) 【详解】解：(1)有3张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”， .从中随机抽取1张，抽得的卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为二；…(4分) 3 (2)把“宸宸”、“琮琮、“莲莲”分别用字母A、B、C表示，画树状图如下： 开始 第一次 A 第二次 或列表为： A B A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由图（或表）可知：共有9种等可能的结果，其中抽到相同图案的有3种， 31 则两次抽取的卡片图案相同的概率是二= 3…(8分) 21.(8分) 【详解】(1)解：如图，点E为所求； 2/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D :MN是BD的垂直平分线， .DE=BE.…(4分) (2)解：连接AC,DE, N B :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, :DE∥AC, .四边形ACED是平行四边形， :AC=DE, :在矩形ABCD中，AC=BD, :BD=BE=DE, BDE是等边三角形，…(6分) :在矩形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°， BC=BE=BD=AC, 2 设BC=a,则AC=2a, 在Rt△ABC中，AB=VAC2-BC2=V3a, :AB+BC=√3+1， 3/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :V3a+a=V3+1, .a=1, :BC=1,AB=√5， ÷S矩形ABCD=BC·AB=V5.…(8分) 22.(10分) 【详解】(1)解：p是奇数，理由如下：…（1分) :n是正整数，m=n+1, .m,n是一个奇数、一个偶数， t=mn是偶数， ·奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， s=m2+n2是奇数，t2是偶数， p=S+t是奇数加偶数，结果为奇数；…(5分) (2)证明：：s=m2+n2,t=mn,m=n+1, :s=(n+12+n2=2n2+2n+1,t=nn+1=n2+n,…(7分) .p=s+12 =2n2+2n+1+(n2+n月 =(n2+n+12, 即卫是完全平方数.…(10分) 23.(10分) 【详解】解：(1)1.8；…(2分) ②.：AC=1米，点O为AC中点， 1 1 ∴.OC=二AC=二米， 2 2 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AB∥CD, ∴.∠ABD=∠KDP=72°， .AC∥BD, ∴.∠OCK=∠KDP=72°， 在Rt△0CK中，0K=0Ctan72°=x3.08=1,54米， 2 ∴PK=OP-0K=1.8-1.54=0.26米；…(4分) (2)如图，延长PN交AC于点F, 则OF=EG=x, ∴.CF=OF+OC 3 米 AB∥CD, ∴.∠ABD=∠KDP=60°， .AC∥BD, .∴.∠FCK=∠KDP=60°， e1-m-小595r 即y=V3x+1.8-5. 2 延长NM交AB于点H,过A作AI⊥MN交MN于I, 则41=18-16=02米，Hm=02=5,A你=M=05- tan60°15 为使头部不被淋湿， 5/10 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 HIN=HI+IN=3 +0.5-x≥MN=0.2, 15 解得x≤ 9+2W3 又x≥0， 30 9+2V3 .0≤x≤ 30 y=-5x+1.8-50 2 ；…(7分) 30 H 雨线 雨线 (60° 7T含6帘 B (2) (3)设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，如图，延长WM交AB于点R,过R作 RT⊥BD交BD于T,延长EG交CD于W,过W作WY⊥OG交OG于Y, G 雨线 雨线 60° 77777777777 b径T 备用图 m0C=05ZGD=∠4Gw=60,RT=9=6,D=72 sin60°3 在RaGw中，G==点<OG.GW=G+m=5 tan60°6 3 在RtaDEW中，Em=DE=1.359V5 tan60°320 EG=EW-GW =933 73 20360 ∠05 6/10 品学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 在R△BRT中，BT= RT1.683 tan60°√315 又BD-B7=2V38V3_2V5 >MN=0.2, 31515 此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，￡G的最小值为V5 60 …(10分） 24.(12分) 【详解】(1)解：抛物线经过点A1,7）和点B2,7）, 1+23 ∴.抛物线的对称轴是x= ;…(3分) 22 (2)解：a=-1, .抛物线的解析式为y=-x2+bx+c, 又抛物线经过点A(1,7), .-1+b+c=7, .c=8-b, .抛物线的解析式为y=-x2+bx+8-b, ∴抛物线的顶点纵坐标为y= 4ac-b2-48-b)-b2 Aa -4 整得：y=6-2列2+7， .该抛物线顶点纵坐标的最小值t为7；·(7分) (3)解：b=1, ∴.抛物线的解析式为y=ax2+x+C, 又抛物线经过点A1,7), ∴.a+1+c=7, 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.c=6-a, ∴.抛物线的解析式为y=ax2+x+6-a,…(9分) .抛物线与x轴的一个交点的横坐标为p,且2<p<3, 4a+2+6-a<04a+2+6-a>0 .可得： 或 9a+3+6-a>09a+3+6-a<0 8 a<- 4a+2+6-a<0 3 当 时，解得： 9a+3+6-a>0 9 a>- 8 ∴.不等式组无解， a>- 4a+2+6-a>0 3 时，解得： 9a+3+6-a<0 9 Q<- 8 二a的取值范围为-氵<a< 8 9 .…(12分) 3 8 25.(14分) 【详解】(1)解：①如图， .·CD恰好过圆心O, ∴.CD是⊙O的直径， ∴.∠DAC=∠DBC=90°， .AB平分∠DAC, ∴.∠DAB=∠CAB, ∴.DB=CB, ∴.DB=CB, ∴.△BCD是等腰直角三角形，…(2分) 8/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 圆的半径为2， ∴.CD=4, .BC=- CD=4× 2 5=25…(4分) 2 ②证明：.∠DAB=∠CAB,∠DAB=∠DCB, ∴.∠CAB=∠DCB,即∠CAB=∠ECB,…(6分) 又.·∠CBA=∠EBC, .△CBA∽AEBC, BC BA BE BC ∴.BC2=BE·AB:…(8分) (2)解：如图，作AH⊥CD于点H,则点O在AH上， B 设OH=x,则AH=x+r, 在RtAOHC中，由勾股定理得CH2=OC2-OH2=r2-x2 金RtAFC=4C-r-侵-+f-至-r-2r 52-x2-2r=r2-2. 4 解得x= ,…(11分) 8 .cu-voe-on ·AH⊥CD,AD=AC, 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·DC=2CH= 6 8.…(14分) 10/10 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，绝对值最小的是（   ） A． B．3 C．0.5 D． 【难度】0.94 【知识点】实数的大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，先分别求出各个数的绝对值，然后在比较实数的大小即可． 【详解】解∶，，，， ∵， ∴绝对值最小的是， 故选：C 2．下列大学校徽中，是中心对称图形也是轴对称图形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【难度】0.85 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：图1是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意； 图2是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意； 图3是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意； 图4既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意； 符合题意的只有图1， 故选：D． 3．若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且． 故选：A． 4．如图是我国古代一种瓷枕，其主视图为（    ） A． B． C． D． 【难度】0.85 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：其主视图是： 故选：D． 5．“无偿献血，让你我血脉相连”，我县某中学7名教师自愿献血，其中4人血型为O型，3人为A型，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人均为O型血的概率为（    ） A． B． C． D． 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】由题意画出表格，得出所有结果数以及两人均为型血的结果数，由概率公式计算即可． 【详解】由题意可得表格如下： O O O O A A A O O O O A A A 由表格可得：共有42种结果，其中两人均为型血的有12种， 所以，抽到的两人均为型血的概率为． 故选：B． 6．如图,已知AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上,∠EPF=90°，∠BEP=∠GEP，则∠1与∠2的数量关系为(   ) A．∠1=∠2 B．∠1=2∠2 C．∠1=3∠2 D．∠1=4∠2 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】延长EP交CD于点M，由三角形外角的性质可得∠FMP=90°-∠2，再根据平行线的性质可得∠BEP=∠FMP，继而根据平角定义以及∠BEP=∠GEP即可求得答案. 【详解】延长EP交CD于点M， ∵∠EPF是△FPM的外角， ∴∠2+∠FMP=∠EPF=90°， ∴∠FMP=90°-∠2， ∵AB//CD， ∴∠BEP=∠FMP， ∴∠BEP=90°-∠2， ∵∠1+∠BEP+∠GEP=180°，∠BEP=∠GEP， ∴∠1+90°-∠2+90°-∠2=180°， ∴∠1=2∠2， 故选B. 7．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A． B． C．或 D．或 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长为，则的长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设长为，则的长为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴长为， 故选：A． 8．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 9．如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【难度】0.65 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理 【分析】本题考查了圆的切线性质、同弧所对圆心角和圆周角的关系，熟记切线的性质是解题的关键． 先根据切线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，然后由圆周角定理即可解答． 【详解】解：切于点， ， ， ， ， 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，线段的端点为，抛物线与线段有交点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据得，线段平行于轴，得出对称轴，然后根据临界点代入求参数即可． 【详解】解：由得，线段平行于轴， ， 对称轴为直线； 将线段的端点代入得， ， 解得； 将线段的端点代入得， ， 解得； ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．分解因式：______． 【难度】0.94 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】直接利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 12．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 13．已知点在反比例函数的图像上，且，写出满足条件的反比例函数表达式______________________． 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，首先得到或，然后设反比例函数表达式为，将代入求解即可． 【详解】∵ ∴或 ∵点在反比例函数的图像上 ∴设反比例函数表达式为 ∴ ∴或 ∴满足条件的反比例函数表达式为． 故答案为：． 14．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题重点考查菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，证明是的中位线是解题的关键．由菱形的性质得，而点M为的中点，则是的中位线，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ． 点O为的中点． 点M为的中点， 是的中位线． ， ． 故答案为：4． 15．某公司招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩满分均为100分．按笔试成绩占40%，面试成绩占60%计算综合成绩，编号为①，②，③的三名应聘者的成绩如表，则这三名应聘者中综合成绩第一名的是________ 分． 项目 ① ② ③ 笔试成绩 85 90 84 面试成绩 90 85 90 【难度】0.85 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数，根据题意计算三名应聘者的平均成绩，比较大小，即可求解． 【详解】解：编号为①，②，③的三名应聘者的平均成绩分别为： ， ∴这三名应聘者中综合成绩第一名的是分 故答案为：． 16．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP，正确的是___（填写所有正确结论的序号） 【难度】0.4 【知识点】四边形其他综合问题 【分析】①解法一：如图1，作辅助线，构建三角形全等和平行四边形，证明，得BG=PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论； 解法二：如图2，连接AE，利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论； ②如图3，作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论； ③证明四边形OCGF是矩形，可作判断； ④证明，则，可作判断． 【详解】①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG， ∵EF⊥BP， ∴∠BFE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FBC＝∠ABD＝45°， ∴BF＝EF， 在△BFG和△EFP中， ∵ ， ∴△BFG≌△EFP（SAS）， ∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF， ∵∠ABD＝∠FPG＝45°， ∴AB∥PG， ∵AP⊥PE， ∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°， ∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF， ∴AP∥BG， ∴四边形ABGP是平行四边形， ∴AP＝BG， ∴AP＝PE； 解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°， ∴A、B、E、P四点共圆， ∴∠EAP＝∠PBC＝45°， ∵AP⊥PE， ∴∠APE＝90°， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴AP＝PE， 故①正确； ②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB， ∵AB＝CD，AB∥CD， ∴PG∥CD，PG＝CD， ∴四边形DCGP是平行四边形， ∴CG＝PD，CG∥PD， ∵PD⊥EF， ∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°， ∵∠CEG＝45°， ∴； 故②正确； ③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠COF＝90°， ∴四边形OCGF是矩形， ∴CG＝OF＝PD， ∴， 故③正确； ④如图4中，在△AOP和△PFE中， ∵ ， ∴△AOP≌△PFE（AAS）， ∴， ∴， 故④不正确； 本题结论正确的有：①②③， 故答案为①②③． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算 ． 【难度】0.9 【知识点】利用二次根式的性质化简、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】先计算零指数幂、化简二次根式、负整数指数幂和化简绝对值，再合并即可． 【详解】原式 18．（8分）如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由． 【难度】0.85 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】证明△ABC≌△DEB即可． 【详解】△CBE是等腰直角三角形． 理由如下： ∵∠D=90° ∴∠DEB+∠DBE=90°， ∵∠ABC=∠DEB， ∴∠ABC+∠DBE=90°． ∴∠CBE=180°－(∠ABC+∠DBE)=90°． 在△ABC和△DEB中， ． ∴△ABC≌△DEB(AAS)． ∴BC=EB． ∴△BCE是等腰直角三角形． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 【难度】0.85 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后把m的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 20．（8分）2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”： 将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀． (1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ． (2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．(请用树状图或列表的方法求解) 【难度】0.75 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两次抽取的卡片图案相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）∵有3张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”， ∴从中随机抽取1张，抽得的卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为； 故答案为：； （2）把“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别用字母A、B、C表示，画树状图如下： 或列表为： A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由图(或表)可知：共有9种等可能的结果，其中抽到相同图案的有3种， 则两次抽取的卡片图案相同的概率是． 21．（8分）如图，在矩形中，． (1)在的延长线上求作点，使；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求矩形的面积． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）作出的垂直平分线，与的延长线交于点即可； （2）连接，，证明四边形是平行四边形，得到，因此，得到是等边三角形，从而，设，则，，根据得，求得，因此，，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E为所求； ∵是的垂直平分线， ∴． （2）解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵在矩形中，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 22．（10分）已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 【难度】0.6 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出、的奇偶，进而可得结论； （2）将代入中得、，再代入，得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证． 【详解】（1）解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∴是偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数，是偶数， ∴是奇数加偶数，结果为奇数； （2）证明：∵， ∴，， ∴ ， 即是完全平方数． 23．（10分）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）中，点C到地面的距离是______米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分的长度．（参考数据：，，） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并直接写出头部不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出的最小值为______． 【难度】0.42 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再解直角三角形即可求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， ∴， 解得，又， ∴； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图，延长交于点，过作交于，延长交于，过作交于， 则，，， ， ∴在中，，， 在中，， ∴， 在中，， 又， ∴此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为 24．（12分）已知抛物线（，，为常数，且）经过点． (1)若该抛物线经过另一点，求其对称轴； (2)若，设该抛物线顶点的纵坐标为，求的最小值； (3)若，该抛物线与轴的一个交点的横坐标为，当时，求的取值范围． 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是利用二次函数的性质确定参数的取值范围． 因为点和点的纵坐标相等，所以点和点关于对称轴对称，从而可得对称轴为； 当且抛物线经过点，可得，所以抛物线的解析式为，所以可得抛物线的顶点坐标为，所以该抛物线顶点纵坐标的最小值为； 当且抛物线经过点，可得抛物线的解析式为，根据该抛物线与轴的一个交点的横坐标为，且，可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， 抛物线的对称轴是； （2）解：， 抛物线的解析式为， 又抛物线经过点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点纵坐标为， 整理得：， 该抛物线顶点纵坐标的最小值为； （3）解：， 抛物线的解析式为， 又抛物线经过点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴的一个交点的横坐标为，且， 可得：或， 当时，解得：， 不等式组无解， 当时，解得：， 的取值范围为． 25．（14分）如图，锐角三角形内接于圆O，， D是弧上一点，连接，与交于点E． (1)若恰好过圆心O，且平分． ①若圆的半径为2，求的长； ②求证：； (2) 若，且圆O的半径为r，，求的长（用r的代数式表示）． 【难度】0.4 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、三线合一、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由直径所对的圆周角等于90度可得，由圆周角、弧、弦的关系可得，，推出是等腰直角三角形，即可求解；②由同弧所对的圆周角相等可得，等量代换得出，进而证明，即可得出； （2）作于点H，由垂径定理的推论可得点O在上，设，则，利用勾股定理解和可求出，进而求出，根据等腰三角形“三线合一”可得． 【详解】（1）解：①如图， 恰好过圆心O， 是的直径， ， 平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， 圆的半径为2， ， ； ②证明：，， ，即， 又， ， ， ； （2）解：如图，作于点H，则点O在上， 设，则， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ，， ． 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $