宁夏六盘山高级中学2025-2026学年第二学期高一期中测试数学试卷

**基本信息** 高一期中数学试卷A、B卷结合，覆盖向量运算、统计分析、解三角形等核心知识，通过射击训练频率分布、渔船追及等情境，考查数学思维与实际应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量夹角、复数象限、分层抽样|基础概念辨析，如第3题分层抽样计算| |多选|4/20|互斥事件、方差性质、向量几何|第9题互斥事件逻辑推理，体现数学思维| |填空|4/20|向量坐标、随机数表抽样|第15题随机数表应用，培养数据意识| |解答（A卷）|2/20|评委打分统计、渔船追及|第18题追及问题构建模型，落实模型意识| |解答（B卷）|4/50|解三角形、频率分布直方图、仿射坐标系|22题仿射坐标系创新设计，提升空间观念|

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高一期中测试卷 试卷类型：A、B卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师： A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（   ） A．40 B．38 C．37 D．35 6．在中，角的对边分别为．若，，，则角（   ） A． B． C．或 D．或 7．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中 环数的频率分布条形图如右图.设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得， ，，，，则（   ） A．4 B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列事件是互斥事件的是（  ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生” B．“至少有1名男生”与“全是男生” C．“至少有1名男生”与“全是女生” D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 10．已知互不相等数据,,,,,的平均数为,方差为,则下列正确的是（   ） A. 数据，，…，的平均数为 B. 数据，，…，的标准差为 C. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 11．如图，在等边中，，点O在边上，且． 过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 12. 已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（   ） A. 若，则为的垂心 B. 若，则为的外心 C. 若为的重心，是边上的中线，则 D. 若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知，，则______. 14．已知点，，向量，若，则实数______. 15．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第5个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为__________. 16．正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：86 86 87 90 91 93 93 94 小组B：69 84 90 91 92 93 94 99 （1）分别求两组评委打分的平均分； （2）判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 18．（10分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与 岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北 方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追起渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处． （1）求渔船甲的速度； （2）求的值. B卷 五、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（12分）已知在中，为中点，，，. （1）设和的夹角为，若，求证：； （2）若，求. 20．（12分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 21．（13分）已知分别为三个角所对的边，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的范围. 22．（13分）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，求； （2）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； （3）在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围. 高一数学 第 2 页 共 2 页 高一数学 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B A D A C AC AD 题号 11 12 13 14 15 16 答案 ACD ABD 5 2 35 1．【答案】C 【难度】0.95 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【详解】因为，，所以．故选C 2．【答案】D 【难度】0.95 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【详解】复数对应复平面内点，位于第四象限.故选：D 3．【答案】B 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】样本按比例分配，男女比例为，所以应抽取的男生人数为.故选：B. 4．【答案】B 【难度】0.94 【知识点】向量夹角的计算 【详解】由可得，且，则向量的夹角为.故选：B. 5．【答案】A 【难度】0.94 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】由于,这组数据的80%分位数为第6个数40，故选：A 6．【答案】D 【难度】0.82 【知识点】正弦定理解三角形 【详解】因为，，， 所以，解得， 又因为，，所以或.故选：D 7．【答案】A 【难度】0.82 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、用众数的代表意义解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则．故选：A 8．【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 故选：C 9．【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【详解】对于A，在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”， 它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确； 对于B，“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 对于C，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确； 对于D，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误. 故选：AC 10.【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】各数据同时加减同一数对方差的影响、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故D正确，C错误. 故选：AD 11．【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】对于A，由，得，则，A正确,B不正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C正确； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 12．【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、用向量证明线段垂直、用向量解决线段的长度问题、向量在几何中的其他应用 【详解】对于A，，则，所以，， 同理可得，，由此可知，O是垂线的交点，即垂心. 对于B，，所以，为的外心，故选项B正确； 对于C，为的重心，是边上的中线，则，所以，.故选项C错误； 对于D，，则，所以，是CD靠近D的三等分点，则，故选项D正确. 故选：ACD. 13．【答案】5 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【详解】由题意，则，故答案为：5 14．【答案】2 【难度】0.85 【知识点】平行向量（共线向量）、用坐标表示平面向量、由向量共线（平行）求参数 【详解】根据点，，得：，因为，且，所以 ，解得 ，故答案为：2. 15．【答案】35 【难度】0.65 【知识点】随机数表法 【详解】先从随机数表第5个数字开始读取： 随机数表：39832776  39918535  32591131  40469235  04982212  20671263 第5个数字是2（来自第一组 39832776），从左向右依次读取两位数字，并筛选出在 01~50 范围内且不重复的编号： 第 1 个：27 → 有效，对应编号 27 第 2 个：76 → 无效（>50），跳过 第 3 个：39 → 有效，对应编号 39 第 4 个：91 → 无效（>50），跳过 第 5 个：85 → 无效（>50），跳过 第 6 个：35 → 有效，对应编号 35 所以，抽取的第 3 支水笔的编号为 35. 故答案为：35. 16．【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值 【详解】以，为，轴建立直角坐标系则，，，，， 设，则，，，， ， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 的取值范围是．故答案为：． 17．【答案】(1)90，89；(2)A组更像，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度 【详解】（1）记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）A组更像是由专业人士组成， 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的． 18．【答案】(1)14海里/小时；(2)； 【难度】0.85 【知识点】反三角函数、距离测量问题、角度测量问题 【详解】（1）由题意，，，，， 由余弦定理得，∴. ∴渔船甲的速度为海里/小时. （2）由正弦定理得，，即 19.【答案】(1)证明见解析；(2) 【难度】0.75 【知识点】已知数量积求模、用向量证明线段垂直、利用平面向量基本定理求参数 【详解】（1）证明：因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （2）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 20.【答案】(1)，85；(2)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【难度】0.75 【知识点】计算频率分布直方图中的方差、标准差、补全频率分布直方图、总体百分位数的估计、计算古典概型问题的概率 【详解】（1）由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 21．【答案】(1)；(2) 6 ；(3) 【难度】0.54 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、由向量线性运算解决最值和范围问题 【详解】（1）由，结合正弦定理得，， 因为，，所以，，. （2）由面积公式得，.由余弦定理得，，从而可得，. 所以，三角形的周长为6. （3）由正弦定理可知， 因为为锐角三角形，所以，∴ ∴ 22．【答案】(1)；(2)正确，证明见解析；(3)，的最大值为． 【难度】0.33 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、向量夹角的计算、用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【详解】（1）因为， 两边平方得，所以. （2）不正确，理由如下： 由向量， 若，则， 由于，则不成立。 所以“”的充要条件是“”，故结论是不正确的． （3）因为，则， 可得， 且， 由，得， 所以， 即对任意恒成立， 又因为，所以， 解得，因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $