精品解析：安徽省涡阳县第三中学2025——2026学年度第二学期第一次质量检测高二数学试题

涡阳三中2025—2026学年度第二学期第一次质量检测 高二数学试题 （分值：150分 时间：120分钟 命题人：孙梦慧 审题人：赵娜） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列4，x，9，…，则实数x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的定义列方程求即可. 【详解】因为数列4，x，9，…为等比数列，所以数列4，x，9为等比数列，所以，所以，C正确，故选：C. 2. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以． 故选：C. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 5. 已知随机变量服从两点分布，若，则（ ） A. 1.6 B. 0.36 C. 0.2 D. 0.16 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布，设，利用方差的计算公式即可求解. 【详解】设，则， 所以. 故选：D. 6. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ） A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项. 【详解】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D 7. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 8. 定义为n个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，.则等于（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据“均倒数”求得数列的前项和，利用求得，进而求得，从而求得. 【详解】设是数列的前项和， 由， 得，则， ，当时，也满足. 故，，所以. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 C. 奇数项的系数和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 10. 下列选项正确的是（ ） A. 数据的第45百分位数是3 B. 已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C. 回归直线方程为，则样本点的残差为 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A:利用百分位数定义即可得到结果；对于B：越接近1，则两个变量的线性相关性越强，对于C：利用残差定义即可得到结果；对于D：利用二项分布的方差公式即可求得结果. 【详解】对于A，数据从小到大排列为，因为，所以数据的第45百分位数为2，故A错误； 对于B，若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故B正确； 对于C，令，得，则所求残差为，故C正确； 对于D，可得，解得或， 当时，可得， 当时，可得， 综上可得，总有，故D正确， 故选：BCD. 11. 某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ） A. 所有不同分派方案共种 B. 若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C. 若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种 D. 若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D 【详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误； 选项B：若每家企业至少分派1名医生， 先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配. 则所有不同分派方案共（种）.判断正确； 选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业， 则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生， 则所有不同分派方案共（种）.判断正确； 选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况, 则不同分派方案共（种）.判断正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等比数列的前项和为，，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，即可解出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，① ，② ②①得，整理可得，解得， 故. 故答案为：. 13. 有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为、、，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】记事件、、分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件为“所抽的产品为次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件、、分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件为“所抽的产品为次品”， 则，，，，， 由全概率公式可得. 故答案为：. 14. 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差______. 【答案】2 【解析】 【分析】求出每次取到红球的概率，随机变量X服从二项分布，利用二项分布的方差公式直接计算即可. 【详解】每次取球时，取到红球、黑球的概率都是，8次取球可以看出8次独立重复试验， 所以红球出现的次数，所以. 故答案为：2 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，其中将18～40岁的人群称为“青年人”，其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为，“非青年人”使用智能手机占比为；日均使用时长情况如下表： 时长 2小时以内 2～3小时 3小时以上 频率 0.4 0.3 0.3 将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使用人群”，已知“频繁使用人群”中有是“青年人”． 现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本． （1）请你根据上面提供的数据，补全下列2×2列联表； 青年人 非青年人 总计 频繁使用人群 非频繁使用人群 总计 （2）根据（1）中的列联表，参照附表判断：有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 青年人 非青年人 总计 频繁使用人群 90 30 120 非频繁使用人群 30 50 80 总计 120 80 200 （2）有的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”【解析】 【分析】（1）通过计算可得列联表； （2）计算卡方，对照临界值表可得答案. 【小问1详解】 200人中，青年人有（人），非青年人有（人）； 频繁使用人群有（人），频繁使用人群中青年人有（人）． 补全2×2列联表如下： 青年人 非青年人 总计 频繁使用人群 90 30 120 非频繁使用人群 30 50 80 总计 120 80 200 【小问2详解】经计算，得到， 所以有的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”． 16. 近年来，“双11网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11当天的交易额，统计结果如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 交易额亿元 7 16 20 27 30 （1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱．(已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性般；，则认为与线性相关性较弱．) （2）求出关于的线性回归方程，并预测2021年该网站“双11"当天的交易额． 参考数据：，参考公式：， 【答案】（1）；变量与的线性相关性很强；（2）；可预测2021年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元． 【解析】 【分析】（1）首先根据表中数据求出，再求出相关系数即可判断线性相关性的强弱. （2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再将代入回归方程即可求解. 【详解】（1）由题意，根据表格中的数据， 可得，， 因为，所以变量与的线性相关性很强． （2）． 可得关于的线性回归方程为 令，可得y=37.1， 即可预测2021年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元． 17. 某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且. （1）求该文娱队的队员人数； （2）求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）7 （2）分布列为 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人，利用，可得，从而可求出结果， （2）由题意可知可能的取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列和数学期望. 【小问1详解】 设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人. ， 即，化简得，又，解得：， 该文娱队的队员人数为7； 【小问2详解】 可能的取值为0，1，2， 由（1）可知，该文娱队共有7人，既会唱歌又会跳舞的有2人，只会一项的是5人. ，， ， 的分布列为 0 1 2 P . 18. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求的通项公式： （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出，当时，判断出数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结果； （2）将（1）中的通项公式代入，根据错位相减法可求得结果. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，， 则， 化简得， 所以是以首项为，公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，则， ①， ②， ①②得 ， 所以. 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 涡阳三中2025—2026学年度第二学期第一次质量检测 高二数学试题 （分值：150分 时间：120分钟 命题人：孙梦慧 审题人：赵娜） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列4，x，9，…，则实数x的值为（ ） A. B. C. D. 2. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 5. 已知随机变量服从两点分布，若，则（ ） A. 1.6 B. 0.36 C. 0.2 D. 0.16 6. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ） A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 7. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 8. 定义为n个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，.则等于（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 C. 奇数项的系数和为 D. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 数据的第45百分位数是3 B. 已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C. 回归直线方程为，则样本点的残差为 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 11. 某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ） A. 所有不同分派方案共种 B. 若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C. 若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种 D. 若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等比数列的前项和为，，，则_______ 13. 有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为、、，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为__________. 14. 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，其中将18～40岁的人群称为“青年人”，其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为，“非青年人”使用智能手机占比为；日均使用时长情况如下表： 时长 2小时以内 2～3小时 3小时以上 频率 0.4 0.3 0.3 将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使用人群”，已知“频繁使用人群”中有是“青年人”． 现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本． （1）请你根据上面提供的数据，补全下列2×2列联表； 青年人 非青年人 总计 频繁使用人群 非频繁使用人群 总计 （2）根据（1）中的列联表，参照附表判断：有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 近年来，“双11网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11当天的交易额，统计结果如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 交易额亿元 7 16 20 27 30 （1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱．(已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性般；，则认为与线性相关性较弱．) （2）求出关于的线性回归方程，并预测2021年该网站“双11"当天的交易额． 参考数据：，参考公式：， 17. 某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且. （1）求该文娱队的队员人数； （2）求随机变量的分布列和数学期望. 18. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求的通项公式： （2）若，求数列的前n项和． 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $