精品解析：安徽省亳州市涡阳县2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

2023~2024春学期高二年级第二次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第四章~第五章，选择性必修第三册第六章第1节~第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在处导数（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 已知集合，，从集合A中选一个元素作为点P横坐标，从集合B中选一个元素作为点P的纵坐标，若点P落在第三或第四象限，则满足条件的点P有（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 16个 3. 已知数列满足，，则数列前9项和为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33800棵，则植树节（3月12日）这一天植树（ ） A. 3000棵 B. 3100棵 C. 3200棵 D. 3300棵 5. 当时，函数取得最小值，则（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 6. 若数列满足（且），，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若7个正数成等差数列，且这7个数的和为5，则此等差数列的公差可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 有极小值 C. 有2个极值点 D. 在处取得最大值 11. 已知数列的前项和满足，记，数列的前项和为，且对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程（且）的解为___________． 13. 在公比为的等比数列中，为其前项和，（），且，则______． 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 设函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 17. 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. （1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场； （2）2个舞蹈节目不相邻； （3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目 18. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若，且函数的极大值与极小值的差为，求实数的值. 19. 定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系． （1）判断函数和是否具有关系； （2）若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024春学期高二年级第二次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第四章~第五章，选择性必修第三册第六章第1节~第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在处的导数（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得出，即可得出的值. 【详解】，． 故选：C 2. 已知集合，，从集合A中选一个元素作为点P的横坐标，从集合B中选一个元素作为点P的纵坐标，若点P落在第三或第四象限，则满足条件的点P有（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 16个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】因为点P在第三或第四象限，所以纵坐标只能选集合B中的负数， 根据分步乘法计数原理，横坐标有4种选法，纵坐标有3种选法， 则满足条件的点P共有个． 故选：C． 3. 已知数列满足，，则数列的前9项和为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列递推公式对进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得. 【详解】因，由可推得，， 则，，， 故数列是周期为3的数列， 从而数列的前9项和为. 故选:. 4. 某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33800棵，则植树节（3月12日）这一天植树（ ） A. 3000棵 B. 3100棵 C. 3200棵 D. 3300棵 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知这13天中每天植树数量为等差数列，设公差为，由前项和公式求解出，然后求即可. 【详解】由题意知，这13天中每天植树数量为等差数列，则， 设数列的公差为，则， 解得，所以. 故选：B. 5. 当时，函数取得最小值，则（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质转化题意得到，在时取最小值0.进而利用导数进行分析求解. 【详解】由题意得对于任意的, 当, ，上述不等式不可能恒成立， 故，从而等价于恒成立，且在时取等号. 令，在时取最小值0. ,令，得， 当时，, 单调递减；当时，, 单调递增； 在时取得最小值0，故，所以. 所以，因为，所以， 所以，故A正确. 故选：A. 6. 若数列满足（且），，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得. 【详解】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 7. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 【答案】C 【解析】 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得. 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若7个正数成等差数列，且这7个数的和为5，则此等差数列的公差可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据求出，然后由列不等式组求解可得. 【详解】设这7个数依次为，其和，所以， 要使这7个数均为正数，则，所以，解得． 故选：AB． 10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 上单调递减 B. 有极小值 C. 有2个极值点 D. 在处取得最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】结合图象，利用导数与函数的关系逐一分析判断即可. 【详解】由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确； 又或时，，则单调递增， 所以当时，有极小值，故B正确； 由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误； 当时，，则单调递增， 所以，在处不能取得最大值，故D错误． 故选：AB． 11. 已知数列的前项和满足，记，数列的前项和为，且对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用求出可判断AB；根据错位相减法求和可判断C；参变分离，根据数列单调性求最值可判断D. 【详解】对于A，当时，， 当时，，满足上式，所以，故A正确； 对于B，由上知，，故B正确； 对于C，，则， 两式相减的， 即，故C错误； 对于D，对任意的恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，，即；当时，，即， 所以的最大值为， 所以，故的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】思路点睛：关于恒成立求参数范围问题，通常采用参变分离法，将问题转化为求最值问题，求最值时可以使用基本不等式、导数、函数单调性求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程（且）的解为___________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】结合排列数与组合数运算即可得. 【详解】由题意，可知，则，所以或. 故答案为：2或4. 13. 在公比为的等比数列中，为其前项和，（），且，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由等比中项的性质解出，再由求和公式得到结果. 【详解】由，得， 又，联立可解得， 因为， 所以， 解得． 故答案为： 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为方程有两个根，令，可得函数的图象 与直线有两个交点，利用导数研究函数的性质及图象可得结论. 【详解】令， 所以. 令，，求导可得， 所以函数在上单调递增，且，所以， 令，则有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点. 因为， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列公差，依题列出方程组，求得，代入通项公式即得； （2）由（1）结论求得，再求，判断是等差数列，利用等差数列的前项和公式求解即得. 【小问1详解】 设的公差为，由，，得, 解得.故的通项公式为. 【小问2详解】 由，，得， 所以， 由可得数列是等差数列， 因首项为1，公差为1 ，故. 16. 设函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若关于x不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即可； （2）分离参数后，转化为在上有解，利用导数求出函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，其定义域为 当时，当时， 所以的单调递减区间为单调递增区间为 【小问2详解】 不等式在上有解等价于在上有解， 令则 令易知在上单调递减，且 所以当时，即当时，即 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以所以即实数的取值范围为 17. 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. （1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场； （2）2个舞蹈节目不相邻； （3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 【答案】（1）1200 （2）3600 （3）3456 【解析】 【分析】（1）采用分步计数原理，特殊元素先排计算出结果即可； （2）采用分步计数原理，特殊元素先排，再用插空法即可； （3）先分三类，一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目；另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目；最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个；再分步计算，最后求和即可. 小问1详解】 按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步： 先排第1个节目，有种安排方法， 再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法， 最后余下的节目随便排，有种排法， 由分步计数原理得共有种排法. 【小问2详解】 先排非舞蹈节目，有种排法， 将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法， 故种排法. 【小问3详解】 前3个节目共三种情况： 一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法， 另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法， 最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个，有种排法， 故共有种排法. 18. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若，且函数极大值与极小值的差为，求实数的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出切点处的导数，结合导数几何意义以及切线与直线垂直即可求解. （2）先研究函数单调性求得函数的极大值和极小值，从而得到极大值与极小值的差值为，进而发现是差值为的解，再构造函数研究其单调性证明是差值为的唯一解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， ， 所以曲线在点处切线的斜率为， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 令，得或，令，得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以有极大值，有极小值， 的极大值与极小值的差为， 所以当时，， 下面证明是的唯一解， 令， 则，故恒成立， 所以即在上单调递增， 所以，故在上单调递减， 所以有且只有时，. 综上所述，. 19. 定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系． （1）判断函数和是否具有关系； （2）若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围． 【答案】（1）与具有关系； （2）． 【解析】 【分析】（1）依据给定的新定义结合导数判断即可. （2）令，得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，后结合给定定义求解参数范围即可. 【小问1详解】 与具有关系． 理由如下：根据定义，若在与的定义域的交集上存在， 使得，则与具有关系．令，， 则，所以单调递增，又，， 所以，使得，即，即与具有关系． 【小问2详解】 令，则，因为与在上具有关系， 所以在上存在零点．，若， 当时，因为，，所以， 即在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意．若， 当时，，， 当时，设，则， 所以在上单调递增， 又，，故在上存在唯一零点， 设零点为，则，所以当时，； 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上存在唯一极小值，因为，所以， 又，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有关系． 综上所述，，即实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，然后利用给定定义得到所要求的参数范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$