2026年九年级中考数学二轮专题复习：二次函数综合压轴题（与线段周长有关的问题）

2026年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（与线段周长有关的问题） 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 4．（25-26九年级上·青海海东·期末）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值． 5．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 6．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求，，的值； (2)点是直线上一动点（不与点重合），过点作轴，交抛物线于点，若点是点关于直线的对称点，且点落在轴上，求点的横坐标； (3)直线（为不等于0的常数）与抛物线交于点，求面积的最小值． 7．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 8．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，的值为______； (3)当时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 9．（2024·重庆·模拟预测）如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． (1)求的面积； (2)如图2所示，点P是直线下方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点Q，过点P作直线交于点G，请求出的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面内任意一点，请直接写出所有使得以P、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标． 10．（2024山东济宁·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值； (3)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 11．（25-26九年级下·重庆江津·月考）抛物线交轴于点、，交轴于点 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，点是直线上的一个动点，当取得最大值时，求点的坐标与的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线交于点、，点为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 12．（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 13．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式； (2)连接、，在直线的下方抛物线上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 14．（2026·甘肃白银·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设的面积为，的面积为，求的值； (3)如图2，是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，过抛物线的顶点作直线轴，是直线上一动点．求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， ∵， 当时，有最大值，最大值为． 2．(1)； (2)矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质． （1）把代入求解即可； （2）求出，进而求出直线解析式，设，则，则，根据矩形的性质得到，求出矩形的周长的解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵矩形， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 3．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）设点，可得，，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵直线过点，点在轴上， ，   又， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设点， ∵轴，轴， ∴，， ，， ， ∵点在直线上方的抛物线上运动， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 5．(1) (2)； (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数解析式，线段和差最值与二次函数综合，二次函数与角度综合； （1）先求出，，再代入中计算即可； （2）设，则，，则，当时，取得最大值，此时．再利用对称求的最小值即可； （3）先求出平移后的解析式为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：对于： 令，则，则； 令，则，则． 把点，代入中， 得， 解得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：设，则，， 此时，， ， 且， 当时，取得最大值，此时． 对于：令，则，，则， 点，为轴上的动点，， 将向上平移1个单位长度得到， ， ； （3）解：，．过程如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ，即， ，， 轴， ， ， ． 分两种情况讨论： ①当时，， ，即， 解得：，， ，， ②当时，， ，即，无解． 综上，，． 6．(1)，， (2) (3)8 【分析】（1）根据二次函数的对称性得到，，求出，，得到，，然后将代入解析式求出； （2）首先得到抛物线解析式为，求出，得到，然后求出，得到，设，则，然后表示出，代入求解即可； （3）由知，直线过点，则得轴，且；联立直线与抛物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由，可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线， ∴，， ∴，； ∴，， 将代入得，， ∴； （2）解：∵，， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是点关于直线的对称点，且点落在轴上， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设直线的表达式为， 得， 解得, ∴直线的表达式为， 设，则 ∴， ∴ 解得（舍去）或． ∴点的横坐标为； （3）解：∵直线（为不等于0的常数）与抛物线交于点， 当时，， 直线过点， ， 轴，且， 联立直线与抛物线的解析式得：， 整理得，， ， ，， ， ， ∴当时，有最小值16， ∴的面积有最小值． 【点睛】本题是二次函数与一次函数、三角形的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，三角形面积等知识，综合性强，灵活运用这些知识是关键． 7．(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵，， ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，， ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 8．(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）先求得抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质即可得出点的坐标； （2）根据轴对称图形的性质可得在对称轴上，即可求解； （3）先求得的中点的坐标，求得临界值，即重合时的值，根据得出点在点的下方，进而求得的范围； （4）先求得分别与重合时的的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线：，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为； （2）解：∵点和点关于对称轴对称，抛物线关于对称 若点也在对称轴上，则整个图形关于对称，交点和也关于对称，从而 ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴， 当重合时，， 解得： ∵ ∴点在点的下方，靠近的位置，即 ∴ （4）解：∵点关于点的对称点，点关于点的对称点， 当与点重合时，则是的中点， ∴ 代入 ∴ 解得： 当与点重合时，则是的中点， 由（3）可得 解得： ∵线段与线段有公共点 ∴的取值范围为：或 9．(1)12 (2)最大值为，此时点P的坐标 (3)或或或 【分析】（1）分别求解抛物线与坐标轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出直线的解析式为，设点，可得点，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求解； （3）根据平移的性质可得新抛物线的解析式，可得到新抛物线的对称轴为y轴，设点，，再求出直线的解析式，然后分三种情况，结合菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∴的面积为； （2）解：根据题意得：， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标； （3）解：∵， ∴将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为， 即新抛物线的对称轴为y轴， 设点，， ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：或0， 当时，，此时点在直线上，不符合题意，舍去； 此时点M的坐标为， ∴，解得：， 此时点N的坐标为； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为或， 同理点N的坐标为或； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为， 同理点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线与坐标轴的交点坐标，建立线段长度和的二次函数关系式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，本题难度大，属于压轴题，准确的运算，清晰的分类讨论都是解本题的关键． 10．(1) (2) (3)存在，M点的坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，当最大时，则最大，求得点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点，此时最小，即可求解； （3）当为菱形对角线时，，列出等式即可求解；当、为菱形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：将点，点代入， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 令，则， ， ， ， 轴 ， ， ∴当最大时，则最大， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 当时，最大，即最大， ， ∴点； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，取到最小值， 即的最小值； （3）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形， , ∴抛物线对称轴为直线， 设，， ①当为菱形对角线时，此时， ， 解得， ； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， 或， ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（与点重合，故舍去）， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 11．(1) (2)， (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出点坐标，进而得到的坐标，作轴于点，得到，进而将转化为二次函数求最值，进而得到点的坐标，作点关于的对称点，连接，得到，得到当点在上时，的值最小为的长，进行求解即可； （3）抛物线沿射线方向平移等同于先向右再向上平移相同的距离得到新的抛物线，设抛物线先向右再向上平移个单位长度，进而得到新的抛物线的解析式，把点代入函数解析式求出的值，联立抛物线和直线的解析式，求出点的坐标，作轴，根据对顶角和三角形的外角得到，进而得到，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入，得： ，解得， ∴； （2）解：由（1）知：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 设，则， ∴， 作轴，则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时， ∴直线的解析式为， 作点关于直线的对称点为，连接，则，， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵，， ∴，即的最小值为； （3）解：由（2）可知，，直线的解析式为， 故抛物线沿射线方向平移等同于先向右再向上平移相同的距离得到新的抛物线， 设抛物线先向右再向上平移个单位长度， ∵， ∴， 把代入，得， 解得或（舍去）， ∴， 联立，解得或， ∴， 作轴，则， ∵， ∴， ∵， ∴； ①作，则，此时点关于抛物线的对称轴对称， ∵的对称轴为， 故； ②作的中垂线交轴于点，则， ∴， ∴点为直线与抛物线的交点， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 12．(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 13．(1) (2)存在，点P的坐标为 (3) 【分析】（1）根据二次函数的图像过点，对称轴为直线，列出关于的方程组，即可求解； （2）根据点的坐标可得，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设点关于直线的对称点为，则，结合可得点与点重合，得出，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得轴，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴，， ∴， 当时，，则 ∴，， ∴， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设点关于直线的对称点为，则， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴点与点重合， ∴； 综上所述，存在点，使，点的坐标为； （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在上取一点，使得轴，垂足为， ∴， ∴，则； 如图，作关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出的值即可． （2）设，用待定系数法求出直线，直线的函数解析式，然后与抛物线的解析式联立成方程组，求出的坐标，最后用的代数表示出，的面积即可． （3）设直线为，把点的坐标代入该解析式，可求出，的等量关系，然后把直线与抛物线联立成方程组，根据韦达定理，可得出，的横坐标的和与积关于的代数式，然后作点关于直线的对称点，连接，，根据将军饮马模型，可知，再用的代数式表示，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：由，可知点，， 设，直线为， 则，解得， ， 联立得 解得或， ， 设直线为， 则，解得， ， 联立得， 解得或， ， ， ． （3）解：由，可知抛物线的对称轴为直线，顶点，点， 设直线为，由， 得， ， ， 设，， 联立直线与抛物线得， 得， ∴ 根据根与系数的关系，可得，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，， 由题意得直线，则， ， 过点作于点，则， ，， 在中， ， 即当时，，此时， 故的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $