第七章 相交线与平行线 单元测试 2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年数学人教版（新教材）七年级下册 第7章 相交线与平行线（单元测试） 姓名： 班级： 一、单选题 1．如图，埇桥区某驻村干部打算要修建一条“惠民”公路，从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村.若要保持公路与的方向一致，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 3．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 4．将一把直尺和一块含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则为（　　） A． B． C． D． 5．如图，下列推理中正确的有（　　）个 ①，；②，；③，；④，。 A．1 B．2 C．3 D．4 6． 下列六个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④带根号的数一定是无理数；⑤每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；⑥数轴上每一个点都表示唯一一个实数；其中真命题的的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，，点在上，，的延长线交的延长线于点H，则图中与相等的角（不含）共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE=α，∠DOF：∠AOD=2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数是（　　） A． B． C． D． 9． 如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC= ∠BAC．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE.则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为　 　. 12． 如图，，，垂足为A，交于点，点在射线上． ①若平分，则　 　． ②若，在直线上取一点，连接，过点作，交直线于点，若，则　 　． 13．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，　 　时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 14．已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作交直线AC于点E，若，，则的度数为　 　． 15．如图，在直角三角形ABC中，，，，。点A到点B的距离是　 　cm，点B到AC的距离是　 　cm，点A到BC的距离是　 　cm； 16．如图，已知，，，则的度数为　 　． 三、解答题 17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点C与点F重合，点D、E分别是A、B的对应点． （1）请画出平移后的△DEF； （2）若连接AD、BE，则这两条线段之间的关系是　 　； （3）△DEF的面积是　 　； 18．在三角形中，是上一点，交于点，点是线段延长线上一点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点是线段延长线上一点，若，平分，求的度数． 19．如图，某工程队从点A出发，沿北偏西67°方向铺设管道AD，由于某些原因，BD段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续铺设BC段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设CE段，∠ECB应为多少度，可使所铺管道CE∥AB？试说明理由．此时CE与BC有怎样的位置关系？ 20．如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点 （1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP； （2）如图（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论； （3）在（1）的条件下，当∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围． 21．【问题情境】已知，，平分交于点． 【问题探究】（1）如图1，已知． ①若，则的度数为________． ②若，，求的度数：________． 【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系． 四、复合题 22．利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧！ （1）【模块探究】 如图1，求证： （2）【直观应用】 ①应用上述结论，若图2中，，则、、、、、的度数之和等于 ▲ ．（直接给出结论，不必说明理由） ②应用上述结论，求图3所示的五角星中，、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． （3）【类比联系】 如图4，求、、、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． 23． 如图，直线，点是，之间的一个动点． （1）如图1，求证； （2）小明把一块三角板如图2放置，点，是三角板的边与平行线的交点． ①若，求的度数； ②如图3，点在线段上，连接，当，求的值． 24．[探究]如图，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB，CD交于点E、G. （1）若∠AFH=60°，∠CHF=50°，则∠EOF=　 　°，∠ FOH=　 　° （2）若∠AFH+∠CHF= 100°，求∠FOH的度数. （3）当∠FOH=　 　 °时 ，AB//CD． 25．如图 ，已知直线l1，l2，点P在直线l3上且不与点A、B重合．记∠AEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠3． （1）如图 ，若直线l1//l2，点P在线段AB（A、B两点除外）上运动时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由． （2）如图 ，若（1）中∠1、∠2、∠3之间的关系成立，你能不能反向推出直线l1//l2？若成立请说明理由． （3）如图 ，若直线l1//l2，若点P在A、B两点外侧运动时（不包括线段AB），请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系． 26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1.将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直. （1）△BDF是什么三角形?请说明理由； （2）设AD=x，CF=y，试求y与x之间的函数关系式；(不用写出自变量x的取值范围) （3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长。 参考答案 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】45°，60°，105°，135° 12．【答案】；或 13．【答案】30°或45°或75° 14．【答案】104° 15．【答案】5；4；3 16．【答案】 17．【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求． （2）AD∥BE，AD=BE （3） 18．【答案】（1）证明：，， ，，． （2）解：如图，过点作，， ，，， ． （3）解：平分， 设，则， ， ，， 解得，， ． 19．【答案】解：∵分别过A，B两点的指北方向是平行的， ∴∠1=∠A=67°（两直线平行，同位角相等） ∴∠CBD=23°+67°=90°， 当∠ECB+∠CBD=180°时， 可得CE∥AB．（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠ECB=90°， ∴CE⊥BC．（垂直定义） 20．【答案】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°， 又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD， ∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD， ∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°， ∴∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP； （2）（2）∠E＋∠F＝108°． 证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD， ∵AB∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°， ∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH， ∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF， ∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP， ∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA， ∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA， ∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA ∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°； （3）不变，是定值，值为15°，如图，过Q作QE∥AB， ∵AB∥CD， ∴ QE∥CD， ∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE， ∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ， 由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP， ∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°， ∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK， ∴∠K∠AQH， ∵QM是∠CQH的平分线， ∴∠MQH∠CQH， ∵∠MQH是△MQK的外角， ∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°， 即∠QMK的大小不变，是定值15°． 21．【答案】解：（1）①；②； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 22．【答案】（1）证明：如图所示，过点O作射线， ∵， ∴， ∴； （2）解：① ②，证明如下： 如图所示， 由（1）的结论可知， ∵， ∴， 又∵， ∴ （3）解：，证明如下： 如图所示， 由（1）得结论可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．【答案】（1）证明：如图1，过点作， ， ， ，， ． （2）①解：， ， 由（1）可得，， ， ； ②解：设，则， 由（1）可得， ， ， ． 24．【答案】（1）30；125 （2）解：因为FO平分∠AFH，HO平分∠CHF. 所以∠OFH= ∠AFH，∠OHF= ∠CHF. 因为∠AFH+∠CHF=100°，所以∠OFH+∠OHF= (∠AFH+∠CHF)=50° ∵EG∥FH， ∴∠EOF=∠OFH，∠GOH=∠OHF． ∴∠EOF+∠GOH=∠OFH+∠OHF=50°． ∵∠EOF+∠GOH+∠FOH=180°， 所以∠FOH= 180°-(∠OFH+∠OHF)=180°-50° =130°. （3）90° [拓展]如图，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB，CD交于点E、G.若∠AFH+∠CHF=a，求∠FOH的度数. (用含a的代数式表示) 解：因为∠AFH和∠CHI的平分线交干点O. 所以∠OFH= ∠AFH，∠OHI= ∠CHI. 因为EG//FH，所以∠EOH=∠OHI，∠EOF=∠OFH. 因为∠FOH=∠EOH-∠EOF，∠FOH=∠OHI-∠EOH= （∠CHI-∠AFH）=90°- a. 25．【答案】（1）解：过P作PQ∥l1∥l2， 由两直线平行，内错角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF； ∵∠3＝∠QPE＋∠QPF， ∴∠3＝∠1＋∠2． （2）解：可以反推直线l1//l2.理由具体如下： 过点P作PQ1平行l1，如下图（2）所示： 因为PQ1平行l1，所以∠1＝∠Q1PE；又因为∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，所以可得∠2＝∠QPF，则根据平行线的判定法则：内错角相等，两直线平行可知PQ1平行l2；又由于PQ1平行l1，PQ1平行l2，所以l1//l2.故反推成立. （3）解：当点P在A点上方时，过点P作PQ2∥l1∥l2，如下图所示： 则：∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF； ∵∠3＝∠Q2PF−∠Q2PE， ∴∠3＝∠2−∠1． 当点P在B点下方时，过点P作PQ3∥l1∥l2，如下图所示： 根据题意我们设∠1＝∠PEA、∠2＝∠PFB、∠3＝∠EPF；则由图可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF； ∵∠3＝∠Q3PE −∠Q3PF， ∴∠3＝∠1−∠2． 26．【答案】（1）解：△BDF是等边三角形，证明如下： ∵ED⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°， ∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°， ∴∠DFB=60°， ∴△BDF是等边三角形。 （2）解：∵∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AB=2BC=2， ∵CF=y， ∴BF=1−y，又△BDF是等边三角形， ∴BD=BF=1−y， ∴x=2−(1−y)=1+y， ∴y=x−1 （3）解：当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°， ∴CF= EF，EF= DF， ∵DF=BF=1−y， ∴y= (1−y)， ∴y= ， ∴x=y+1= ，即AD= . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $