第7章 相交线与平行线 单元测试-2025-2026学年人教版七年级下册数学

第7章 相交线与平行线 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）在下列各图形中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在如图所示图形中，∠1与∠2是内错角的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）北京时间2024年3月31日，在世乒联冠军赛韩国站男单决赛中，梁靖崑战胜巴西选手雨果•卡尔德拉诺，夺得冠军赛后，梁靖崑跑到赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路AB走才能使所走的路程最少，这是因为（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 4．（3分）如图，由以下条件可以得到AB∥CD的是（　　） A．∠BAD+∠B＝180° B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．垂直于同一条直线的两直线平行 C．如果a2＝b2，那么 D．垂线段最短 6．（3分）下列说法中正确的是（　　） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题必真 D．假命题的逆命题必假 7．（3分）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，点B，AC⊥AB交直线b于点C．若∠ACB＝50°，则∠1的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 8．（3分）如图，直线AB和CD交于点O，∠1﹣∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．60° B．55° C．45° D．40° 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）（1）如图①，E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为：　 　 ，（任意添加一个符合题意的条件即可） （2）如图②，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判定AB∥CD的是　 　 ．（填序号） 2．（4分）如图，一辆汽车沿“A→B→C→D→E→F”前进过程中，经过四次转弯后与原来方向相同，四次转弯的角度分别为∠1、∠2、∠3、∠4，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为 　 　 °． 3．（4分）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE的对顶角是 　 　 ，∠COF的邻补角是 　 　 ． 4．（4分）已知点O在直线AB上，OC⊥OD，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝20°，则∠DOE的度数是 　 　 ． （2）如图2，若∠DOE＝α，则∠AOC的度数是 　 　 （用含α的代数式表示）． 5．（4分）含30°的直角三角板ABC沿着射线CA方向平移，得到三角形A′B′C′，连接C′B，在平移过程中，若∠BC′B′与∠C′BA之间存在两倍关系，则∠BC′B′＝　 　 ． 6．（4分）小亮将一副三角板ABC和DEF按如图所示方式摆放，其中BC边和DE边重合，由此判定AC∥DF，他的判定依据是　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分52分） 1．（8分）如图，∠1＝∠2，AB∥EF，求证：∠3＝∠4． 2．（8分）如图，已知∠BAC＝90°，DE⊥AC于点H，∠ABD+∠CED＝180° 求证：BD∥EC． 3．（8分）完成下面的证明过程． 已知：如图，点D在BC上，DE与AB交于点F，AE∥BC，∠E＝∠C． 求证：∠BFD＝∠BAC． 证明：∵AE∥BC（已知）， ∴∠E＝∠BDE（ 　 　 ） ∵∠E＝∠C（已知）， ∴∠C＝　 　 （ 　 　 ）， ∴AC∥　 　 （ 　 　 ）， ∴∠BFD＝∠BAC（ 　 　 ）． 4．（8分）如图①，AB∥CD，点P为直线AB上方一点． （1）若∠APC＝50°，∠C＝100°，则∠PAB的度数为 　 　 ； （2）猜想∠APC，∠C，∠PAB所满足的数量关系，并说明理由； （3）如图②，AB∥CD，若点P为直线CD下方一点，此时∠APC，∠C，∠PAB满足怎样的数量关系？如图③，AB∥CD，若点P在直线和直线之间，此时∠APC，∠C，∠PAB又满足怎样的数量关系？请你在图②和图③中任选一个直接写出你的结论． 5．（10分）如图1，已知直线AM∥BG，点C为射线BG上一动点，过点C作CD∥AB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°． （1）写出一个与∠ADC相等的角 　 　 （写一个即可）； （2）如图2，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，∠ECF＝60°．求∠BCD的度数； （3）点F是直线AM上的一点，∠FCG＝90°，∠ECF＝α，（0°＜α＜90°），在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求∠BAF的度数（结果用α表示）． 6．（10分）已知，如图，点P在AB、CD两线之间，且在BC所在直线的左侧． （1）如图1，当AB∥CD，∠BPC＝α时， ①若BO平分∠ABP，CO平分∠DCP，则∠BOC＝　 　 ； ②若∠ABO∠ABP，∠DCO∠DCP，则∠BOC＝　 　 ； ③若∠ABO∠ABP，∠DCO∠DCP，则∠BOC＝　 　 ； （2）如图2，当AB与CD相交，点A、点D重合时，猜想∠BPC、∠B、∠C与∠A之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若BO平分∠ABP，CO平分∠ACP，当∠BPC＝120°，∠BOC＝95°时，求∠A的度数； ②若∠ABO∠ABP，∠ACO∠ACP，当∠BPC＝α，∠BOC＝β时，求∠A的度数． 第7章 相交线与平行线 一．选择题 1．【答案】C 【解答】解：A、∠1 和∠2 不是对顶角，故此选项不符合题意； B、∠1 和∠2 不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1 和∠2 是对顶角，故此选项符合题意； D、∠1 和∠2 不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．【答案】C 【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故此选项不符合题意； B、∠1与∠2不是内错角，故此选项不符合题意； C、∠1与∠2是内错角，故此选项符合题意； D、∠1与∠2是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．【答案】C 【解答】解：沿垂直于围挡的路AB走才能使所走的路程最少，这是因为垂线段最短， 故选：C． 4．【答案】B 【解答】解：A、由∠BAD+∠B＝180°，可推出AD∥BC，不能得到AB∥CD，本选项不符合题意； B、由∠1＝∠4，可推出AB∥CD，本选项符合题意； C、由∠2＝∠3，可推出AD∥BC，不能得到AB∥CD，本选项不符合题意； D、由∠B＝∠4，不能推出AB∥CD，本选项不符合题意． 故选：B． 5．【答案】D 【解答】解：A、如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角不一定互补，故选项错误； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故选项错误； C、如果a2＝b2，那么a＝±b，所以，故选项错误； D、垂线段最短，故选项正确； 故选：D． 6．【答案】A 【解答】解：A、每个命题都有逆命题是正确的； B、每个定理不一定有逆定理，如对顶角相等没有逆定理，故选项错误； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如对顶角相等的逆命题不是真命题，故选项错误； D、假命题的逆命题不一定是假命题，如相等的角是对顶角的逆命题是真命题，故选项错误． 故选：A． 7．【答案】A 【解答】解：∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝50°， ∴∠CBA＝40°， ∵直线a∥b， ∴∠1＝∠CBA＝40°， 故选：A． 8．【答案】B 【解答】解：直线AB和CD交于点O， ∴∠1和∠2是邻补角，满足：∠1+∠2＝180°已知∠1﹣∠2＝70°， 联立方程组：， 将两个方程相加：2∠1＝250°，∠1＝125°， 代入∠1+∠2＝180° 125°+∠2＝180° ∠2＝55°， 根据对顶角相等，可得：∠3＝∠2＝55°， ∴∠3＝55°， 故选：B． 二．填空题 1．【答案】（1）∠CBD＝∠ADB（答案不唯一）； （2）②③④． 【解答】解：（1）可添加的条件为∠CBD＝∠ADB， ∵∠CBD＝∠ADB， ∴BC∥AD， 故答案为：∠CBD＝∠ADB（答案不唯一）； （2）∵∠3＝∠4， ∴AC∥BD， 故①不符合题意； ∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 故②符合题意； ∵∠A＝∠DCE， ∴AB∥CD， 故③符合题意； ∵∠D+∠ABD＝180°， ∴AB∥CD， 故④符合题意； 故答案为：②③④． 2．【答案】360． 【解答】解：∵汽车沿“A→B→C→D→E→F”前进过程中，经过四次转弯后与原来方向相同， ∴EF∥AB， ∴∠1＝∠CFG， ∵四边形的外角和为360°， ∴∠CFG+∠2+∠3+∠4＝360°， 即∠1+∠2+∠3+∠4＝360°． 故答案为：360． 3．【答案】∠BOF；∠COE，∠DOF． 【解答】解：直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE的对顶角是∠BOF，∠COF的邻补角是∠COE，∠DOF． 故答案为：∠BOF；∠COE，∠DOF． 4．【答案】（1）10°； （2）2α． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝20°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣∠AOC＝160°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC＝80°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝10°； 故答案为：10°； （2）设∠COE＝x， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE＝x， 又∵CO⊥DO， ∴∠DOC＝90°， ∴x+α＝90°， ∴x＝90°﹣α， ∴∠BOC＝2∠COE＝2x＝180°﹣2α， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣180°+2α＝2α． 故答案为：2α． 5．【答案】10°或20°或60°． 【解答】解：设∠BC′B′＝x，则∠C′BC＝90°﹣∠BC′B′＝90°﹣2x， ∵BC∥C′B′， ∴∠BC′B′＝∠C′BC＝x， I．如图1，当点C′在线段AC上时， ①当∠BC′B′＝2∠C′BA时，即， ∵∠CBA＝∠C′BC+∠C′BA＝30°， ∴， 解得：x＝20°， ②当∠C′BA＝2∠BC′B′＝2x时， ∴∠CBA＝x+2x＝30°，解得：x＝10°， II．如图2，点C′在线段CA延长线上时， ③当∠BC′B′＝2∠C′BA时，即， ∵∠CBA＝∠C′BC﹣∠C′BA＝30°， ∴， 解得：x＝60°， ④当∠C′BA＝2∠BC′B′＝2x时， ∴x﹣2x＝30°，x＝﹣30°，不合题意舍去， 综上所述：∠BC′B′等于10°、20°、60°． 故答案为：10°或20°或60°． 6．【答案】内错角相等，两直线平行． 【解答】解：∵∠ACB＝∠FDC＝90°， ∴由内错角等，两直线平行判定AC∥DF， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 三．解答题 1．【答案】见解析． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∵AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠3＝∠4． 2．【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°， ∴BA⊥AC， ∵DE⊥AC， ∴AB∥DE， ∴∠ABD+∠D＝180°， ∵∠ABD+∠CED＝180°， ∴∠D＝∠CED， ∴BD∥EC． 3．【答案】两直线平行，内错角相等；∠BDE；等量代换；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解答】证明：∵AE∥BC（已知）， ∴∠E＝∠BDE（两直线平行，内错角相等）， ∵∠E＝∠C（已知）， ∴∠C＝∠BDE（等量代换）， ∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠BFD＝∠BAC（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；∠BDE；等量代换；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 4．【答案】（1）150°； （2）∠PAB＝∠C+∠APC； （3）选择图2，∠PAB＝∠C+∠APC，选择图3，∠PAB+∠APC+∠C＝360°． 【解答】解：（1）过点P作PQ平行AB，如图， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD，∠QPA+∠PAB＝180°， ∴∠QPC+∠C＝180°， ∵∠C＝100°， ∴∠QPC＝80°， ∵∠APC＝50°， ∴∠QPA＝∠QPC﹣∠APC＝30°， ∴∠PAB＝180°﹣∠QPA＝150°， 故答案为：150°； （2）猜想：∠PAB＝∠APC+∠C， 理由如下：如图：过点P作PQ平行AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD∥AB， ∴∠PAB+∠APQ＝180°，∠C+∠CPQ＝180°， 即∠C+∠APC+∠APQ＝180°， ∴∠PAB＝∠C+∠APC； （3）选择图2，过点 P作PQ∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD∥AB， 则∠PAB+∠APQ＝180°，∠C+∠APC+∠APQ＝180°， 即：∠PAB＝∠C+∠APC， 选择图3， 过点P作PF∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴PF∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠APF＝180°，∠FPC+∠C＝180°， ∴∠PAB+∠APF+∠FPC+∠C＝360°， 即∠PAB+∠APC+∠C＝360°． 5．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）与∠ADC相等的角为∠DCG，∠ABC， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCG， ∵AB∥DC， ∴∠DCG＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ADC， ∴与∠ADC相等的角为∠DCG，∠ABC， 故答案为：∠DCG（或∠ABC）； （2）∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°， ∴∠FCD＝90°﹣60°＝30°， 又∵∠FCG＝90°， ∴∠FCB＝90°， ∴∠BCD＝∠FCD+∠FCB＝30°+90°＝120°； （3）有两种情况： 如图，点F在线段AD上， ∵∠DCE＝∠FCG＝90°， ∴∠ECF+∠FCD＝90°，∠DCG+∠FCD＝90°， ∴∠DCG＝∠ECF＝α， 又∵CD∥AB， ∴∠ABC＝∠DCG＝α， ∵AD∥BC， ∴∠BAF+∠ABC＝180°， ∴∠BAF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣α． 如图，点F在DA延长线上， ∵∠DCE＝∠FCG＝90°， ∴∠ECF+∠FCD＝90°，∠DCG+∠FCD＝90°， ∴∠DCG＝∠ECF＝α， 又∵CD∥AB， ∴∠ABC＝∠DCG＝α， ∵AD∥BC， ∴∠BAF＝∠ABC＝α， 综上所述，∠BAF的度数为180°﹣α或α． 6．【答案】（1）①； ②； ③； （2）∠A+∠B+∠C＝∠BPC； （3）①70°；②． 【解答】解：（1）①分别过点O，P作OE∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴OE∥PQ∥AB∥CD， ∴∠ABP＝∠BPQ，∠DCP＝∠CPQ，∠ABO＝∠BOE，∠DCO＝∠COE， ∴∠ABP+∠DCP＝∠BPC，∠ABO+∠DCO＝∠BOC， ∵∠BPC＝α， ∴BO平分∠ABP，CO平分∠DCP， ∴∠ABO＝∠PBO∠ABP，， ∴∠BOC∠ABP∠DCP（∠ABP+∠DCP）∠BPC； ②同理①得：∠ABP+∠DCP＝∠BPC，∠ABO+∠DCO＝∠BOC， ∵∠ABO∠ABP，∠DCO∠DCP， ∴； ③同理①得：∠ABP+∠DCP＝∠BPC，∠ABO+∠DCO＝∠BOC， ∵，∠DCO∠DCP， ∴∠BOC∠ABP∠DCP（∠ABP+∠DCP）∠BPC； （2）∠A+∠B+∠C＝∠BPC， 理由如下：如图，作射线BF，分别过点P，A，C作PQ∥BF，AG∥|BF，CE∥BF， 则PQ∥BF∥AG∥CE， ∴∠ABF＝∠BAG，∠ACE＝∠CAG，∠PBF＝∠BPQ，∠PCE＝∠CPQ， ∴∠BPC＝∠PBF+∠PCE， ∵∠PBF＝∠ABF+∠ABP，∠PCE＝∠ACE+∠ACP， ∴∠BCP＝∠ABF+∠ABP+∠ACE+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP， 即原图中：∠A+∠B+∠C＝∠BPC； （3）由（2）可得：∠A+∠ABP+∠ACP＝∠BPC＝120°，∠A+∠ABO+∠ACO＝∠BOC＝95°， ∵BO平分∠ABP，CO平分∠ACP， ∴∠ABO＝∠OBP∠ABP，， ∴ （∠ABP+∠ACP）＝∠BOC＝95°， ∵∠A+∠ABP+∠ACP﹣（∠A+∠ABO+∠ACO）＝∠BPC﹣∠BOC＝25°，即 ， ∴∠ABP+∠ACP＝50°， ∴∠A＝∠BPC﹣（∠ABP+∠ACP）＝70°； ②∵∠ABO∠ABP，∠ACO∠ACP， ∴∠A+∠ABP+∠ACP＝∠BPC＝α，∠A+∠ABO+∠ACO＝∠BOC＝β， ∴∠A（∠ABP+∠ACP）＝∠BOC＝β， 同理①的：∠BPC﹣∠BOC＝α﹣β， ∴（∠ABP+∠ACP）＝α﹣β，即∠ABP+∠ACP（α﹣β）， ∴∠A＝∠BPC﹣（∠ABP+∠ACP）＝α（α﹣β）βα． 学科网（北京）股份有限公司 $