山东菏泽市单县第一中学2026届高三下学期二模适应性考试（一）数学试题

高三二模适应性考试（一) 数学试题 2026.4.26 一、选择题 1.已知集合M={10gx<2,N={xx-2<3},则M∩N=() A.(-0,9) B.(-0,11) C.(0,11) D.[2,9) 2.若复数z满足i=-1+2i,则z在复平面内对应的点位于() A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知条件p:x2-ax+1<0的解集为☑，条件q:y=(a-1)是减函数，则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在R1△4BC中，已知∠A=90,AB=3,AC=4,BD=2BC,则D.BC=() 3 4 C.1 03 5.为了得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sim4r+ 6 的图象上所有的点() A先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移刀个单位长度 12 B先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移云个单位长度 12 C先将横坐标缩短到原来的，倍，纵坐标不变，再向左平移”个单位长度 12 D,先将横坐标缩短到原来的)倍，纵坐标不变，再向右平移号个单位长度 12 6.在三棱锥P-ABC中，若PA⊥平面ABC,AB⊥BC,则平面ABC、平面PAB、平面PBC、平面 PAC中相互垂直的共有() A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 7.若f四x a=fer206), 则4+42++4051=() 4051 A. B.2026 C.4050 D.4051 8.已知过点P(2,0)的直线1与抛物线C:y2=4x交于M,N两点若Q为直线x=-2上的动点，则 QM·QN的最小值为() 1 A.10 B.8 C.6 D.4 二、多项选择题 频率组距 0.030 9.为评估某款端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发Q24 0.02 团队在固定输入长度(128 tokens)的条件下，对200个公开的深度学 0.014 习模型进行了单次推理延迟测试（单位：s)测试结果经异常值剔除0.10 后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为0,10)，10,20)，01020304050延迟的时间(ms) [20,30),[30,40),[40,50],则下列结论正确的是() A.样本中延迟在10,20)s内的模型个数为60 B.估计样本的中位数落在区间[20,30)内 C.估计样本的平均数约为22.5ms D.该分布呈现出右边拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低 e,x≤0， 10.已知f(x)= a+血(x+1),x>0'则() A.当a≥1时，f(x)为增函数 B.当0<a≤1时，f(x)的值域为(0，+o) C.当a=-1时，图象上存在关于原点对称的两点 D.若a>0,m∈R,使得f(f(f(m))恒为常数 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，己知E,F分别为线段B,C,DC的中点，点P在四边 形BB,DD内运动，则() A.EF⊥AC R当点P在肌上运动时，三校排刀PFF的体积为写 C.V2≤EPs6 D.△PEF周长的最小值为√5+√5 三、填空题 12.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S,=2,S6=18,则数列{a}的公比为 13.(2-x 的展开式中常数项为 14.在平面直角坐标系xO中，已知锐角“的终边与单位圆交于A(x,y),角。+ 4 的终边与单位 2 圆交于B飞，若+y三，则字的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，AC是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，B为圆周上不同于A,C的点，AC= PA=2,AB=1. (I)若M为PA的中点，证明：OMI∥平面PBC; (2)求平面APC与平面PCB的夹角的余弦值， 16.(15分) △ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosAsinB=(2c-a)sinAcosB (1)求B: (2)若c=2,D为AC中点，BD=号，求sim∠AB 17.(15分) 已知双曲线c兰-兰=1(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为y=士x,点P2,) 在直线x=a上 (1)求c的方程； (2)过点P的直线与C相切于点B(异于点A),证明：∠AFP=∠PFB, 18.(本小题17分) 已知函数f(x)=n(x+I)-ax(aeR) (1)求曲线y=f(x)在点(0，∫(0)处的切线方程： (2)当a>0时，x,是f(x)的一个极值点，x,x2是∫(x)两个不同的零点，记A(x,0),B(x2,O), C(xo,f(xo)(x<x). (1)证明：)<x,<十乏； 2 (iⅱ)判断△ABC是否可能为等腰三角形，并说明理由， 19.17分)某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输 入的提示、主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对 己生成的文本进行校对、润色、改写或结构优化.己知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持， 每进行一次状态切换或保持称为 一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为一， 2 且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关， P,,j∈{1,2》表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态i到状态j的概率，若 2 p1=P1=3’且p1+P12=1,P:+Pm=1. (1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为X, (1)求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； (i)求随机变量X的期望E(X); (2)记事件Q:前2k(k∈N)次自动操作后的状态中状态1和状态2均为k次，当k≥3时，证明： pO)上Pg+7Pg.,) 高三二模适应性考试（一）参考答案 1.答案：D2.答案：A3.答案：B4.答案：C5.答案：A6.答案：C7.答案：A 8.答案：B解析：由题可知直线1的斜率不为0设直线1的方程为x=y+2,设M(x,y),N(x2,y2), x=my+2 O-2,0,1eR联立=4x，消去x得少-480由韦达定理得y+为=，=-8 x+=mg+男)+4=m+4,5=兰.空==4O7=(G+2,y-0,ON=(压+2，y-0. 4416 Q7·⑨N=(x+2(x,+2)+(0y-0(y,-)=xx2+2(x+x,)+4+%-t(y+y2)+tP =4+2(4m2+4)+4-8-4mt+t=8m2-4mt+t2+8.所Q7.QN=t2-4mt+8m2+8=(t-2m)}2+4m2+8 因平方项(t-2m)≥0,4m2≥0，当且仅当t=2,m=0时，QM·QN取最小值8. 综上，OM·ON的最小值为8. 9.答案：AD解析：由频率分布直方图可知每组的频率依次为：0.22,0.3,0.24,0.14,01. 对于选项A:样本中延迟在[10,20)s内的模型个数为200×0.3=60，故A正确： 对于选项B:因为0.22<0.5,0.22+0.3=0.52>0.5，所以估计样本的中位数落在区间10,20)内，故 B错误；对于选项C:估计样本的平均数约为5×0.22+15×0.3+25×0.24+35×0.14+45×0.1=21(ms), 故C错误；对于选项D:该分布峰值在左侧低延迟区间，频率随延迟增大逐渐降低， 所以呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，故D正确 l0.答案：ABD解析：对于A,当a≥1时，当x>0时，f(9=a+h(x+)是增函数， x≤0时，f(x)=e是增函数，且f(0)=1≤a+hn(0+l),故f()为增函数，故A正确： 对于B,当0<a≤1时，若x≤0，f(x)=e,此时函数的值域为(0，] 若x>0,f(x)=a+n(x+l)>a,此时值域为(a,+o),由于0<a≤1，f(x)的值域为(0，+o),故B正 e,x≤0， 确：对于C,当a-1时，-a(在，x>0若x≤0，f八)e关于原点对称得到的曲线为 y-。,接立io￥g4n+=0,-r4e-1g.度 5 g6w=L-nx+je,则g)=f+1-x+1e, 设)-x+)-1c≥0以，那么（司<0所以，0在@网上单 1 1-x x+1 同选减，大a0-0,即g-[hx1<0,所以双在@，四)上单调运减， 故g(x)=e+ln(x+1)<g(0)=1,这与（矛盾，即不存在关于原点对称的两点，故C错误： 对于D,当a>0时，若f(f(f(m)》恒为常数，设t=f(f(f(m)》,那么t=f(),则： 当t≤0时，t=f(t)=e,方程无解，故不存在；当t>0时，t=f(t)=a+n(t+l),则a=t-n(t+l), 设h0=t-n(t+1),则h(0=千>0，则h0=t-ln(t+1)在(0，+)上单调增，h0)>h0)=0, t+1 而a>0,故D正确. 11.答案：ABD12.答案：213.答案：2914.答案：2W2 15.(1)证明：因为AC是⊙0的直径，所以0为AC的中点. 又M为PA的中点，所以OMI/PC. 又PCC平面PBC,OM4平面PBC,所以OMWW平面PBC.，.6分 (2)解：因为B在圆周上，AC=2AB,所以LABC=90°，LACB=30°· 在平面ABC内，过点A作AC的垂线AD.因为PA1平面ABC,所以PA1 AD,PA1AC.所以AD,AC,AP两两垂直. 以A为原点，AD,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系A@0.0,B(停，0），co2,0),P(o0,2). 设m=(1,00),则m是平面APC的一个法向量.8分 因为8C=(9号，0)，P元=O2,-2),设n=化，y习是平面PcB的法向量，则 血C=0卿{-号x+y=0,可取n=(51,）.11分 2 n·PC=0,2y-2z=0, m·n cosm,）=ml·m (1,00)·(5,1,1_V 1×V5 5 设平面APC与平面PcB的夹角为日，则cos8=leos(m,m=匹 即平面APC与平面PCB的夹角的余弦值为雪…13分 5 6 16.解：(1).'acosAsinB=(2c-a)sin AcosB, .'.a(cosAsinB+sin Acos B)=2csin AcosB,.'asinC=2csinAcosB, 根据正弦定理可得：ac=2 accosB,所以cosB=,由于B∈(0，x), 故B=营，6分 (2)由于D为AC中点，所以2BD=BC+BA, 7=a2+2a+4,.1或-3（舍）， b2=a2+c2-2 accosB=1-2+4=3,b=V3,,,,11分 a2+b2=c2,∠c=sinCDB-8=号=29， 71 2 sin/ADB=sin(n-∠CDB)=sin∠CDB=2W 7 .0000000000000.15分 17.(1)解：因为点P(1,1)在直线x=a上，所以a=1. 因为C的渐近线方程为y=土V3x,所以=5，故b=V 所以C的方程为X2-号=1…6分 2 (2)证明：设F(-c,0)(c>0)，由c2=2+b2,得c=12+(V)=2，则F(-2,0)·易知直线PB的斜 率存在（另一条过点P的切线为x=1), (y=kx-k+1, 设其方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1.由 2-号-2 消去y,得(3-)x2+2kk-1)x- k2+2k-4=0.因为直线PB与C相切，所以3-k2≠0，且△=[2k(k-1)]2-4(3-k2)(-k2+2k-4)=0. 解得k=2.11分 所以直线PB的方程为y=2x-1.联立 化警解代代：子以8阳司所以直线B即的方程为 3 3x-4y+6=0.又因为点p到直线BF的距离d=Bx1x1d=1,易知PA=1,所以d=PA1. N32+(-4)2 又点P在∠AFB内部，所以LAFP=∠PFB..15分 18.答案】解：(1)函数f(x)=ln(x+1)-ar2(a∈R)的定义域为(-l,+oo). f(x12a,所以f0)=1f0=-03分 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x，即x-y=05分 (2)函数/)=lh(+)-ac(aeR)的定义域为(-1+o）).fr(=12m=2-2r+1 x+1 x+1 令f(x)=0,则-2m2-2+1=0,即2ar2+2a-1=0.解得x=2a±y4a+8a-1±a+2a 7 Aa 2 2a 分 鸟a>0时，at2aNaa>0,所以y>2,所以+Va+2a01Va+20 2a 22a 22a 1 所以当-1<x<2+2a 妆+20时，E>0,1单调递缩：当x口+20时，)0，心单调通诚 2a 所以了)在x-)+口+2a处取得极大值所以5=+2a 22a 22a 又f0)=0,所以x=0,x2>x= 1,Va2+2a 22a 8分 (i)证明： 令8创=闭=h）--e0,则g)12a11-2m-12a x+1 x+1 因为x+1>0,a>0,所以2a(x+1)+1≥0恒成立，所以g'(x)≤0恒成立， 所以g(X)是减函数.10分 因为，>0，所以g()<g(0)=0,即n(k,+1--x,<0,即f()<x,得证要证x,<十名，只证2x,<x, 2 因为当-)口+2a时，了d)单调递减，所以只需证/2x)>)0. 22a 电/八3)0，得+2c,即42x2应 x+1 所以f(2x)=h(2x+1）-4a=ln(2+1）-2x. x,+1 令到+》1h+0-0,则=124g*2引-2x。14 +1 2 r1+2yx+1(+2(x+1x+2y≥0 恒成立，所以h(x)是增函数.因为2x,>0,所以f(2x)=h(2x)>h(0)=0.所以x。<十得证 2 综上，j(化)<<名，2得证l3分 2 (m》由得/)<<之，A@0,所以m∠C4B-f八eo), Xo 又∠CAB∈(0，)，所以0<∠CAB<T 4 tan∠CB1=f( ,因务0<儿f/）,所以c到 X2-X0 2Xo-Xo Xo 所以∠ACB∈ 15分 8 所以若△ABC为等腰三角形，则AC=BC,即(，0)是AB的中点，即x= 2 与。<，-多矛盾，所以△1BC不可能是等腰三角形…17分 2 2 19.解析：记事件A,:前i次操作后处于状态1，则事件A,:前i次操作后处于状态2， E将A)=p国)P(A)=P(可)PA）=PA)} )i)同球(4石=P4)P叫4-写 :-4分 @×的可能取植有0,1,2，有=0)=P(④)=P国)P1司号} P(X=2)=P(A4)=P(4)P(44)=233'p(X=)=1p(X=0)-p(X=2)= --7分 计算得E(X)=1;- 9分 (2)事件M表示Q发生且第2k次操作后处于状态1，事件N表示Q:发生且第2k次操作后处于状态2， 显然a=MUM,且M,)=P(N,)PQ, 当k≥3时，由Q=Q1QUQ-Qe=Q1QUQ,QQ.U a,QQ, P(Q&)P(Qk:Qs)P(Qk-2Qg-Qg)P(Qk-2 Q-Qg)P(Qg-:Qk)P(Qk2Q-Qg)--11 又P(Q,Q）=p(M,QUNe,Q）=2P(M,Q）=2P(Mk-P(QIMk-) P(Qk-1)P(Qk I Mk-1), P(O20)=P(M20-0UN2-)=2P(M2) =2P(Mk-2P(Qk.1Qk1Mk-2)=P(Qk2)P(Q-1Qk1Mk-2),-----------13分 而P(Q|M4-1）=P(Ax-1AkUA4-A2k|M-）=P(A-1AMk-)+P(AAk1Mk-) 21111 三一×一十一X一三一 --------- ----15分得P(Q-Q1MA-2)=P 33333 (A5342414U4-34k-24-14kM-2)=P(A2-3A22A2k-1A2 IMk-2)+P(A2k-3A2k-2A2k-1A2k IMk-2) 2212.12124 ×号×3行+3×号×g×27所以p(@,)2P(Q)+P0). -17分