精品解析：2026年四川南充市嘉陵区九年级第一次模拟测试数学试题

2023级九年级第一次模拟测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，点是数轴上一点，则点表示的数可能为（ ） A. -2.5 B. -1.5 C. -0.5 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用有理数与数轴的关系可得答案． 【详解】解：根据图示可得点表示的数在-2和-1之间，四个选项中只能是-1.5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查用数轴上的点表示有理数，根据数轴得到点的范围是解题关键． 2. 如图，在正六边形中，点M、N分别为边上的点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可得，利用平行线的性质可得，求得，然后利用三角形的内角和定理计算可得答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 3. 中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载体．某校民乐团培养了一批“二胡”“中阮”“竹笛”“琵琶”小演奏家，民乐团叶老师准备在四种民族乐器中随机选择一种进行表演，则叶老师刚好选中“二胡”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单概率计算，掌握知识点是解题的关键． 总共有4种等可能的选择，选中“二胡”的概率即为，即可解答． 【详解】解：∵总共有4种乐器，且随机选择， ∴每种乐器被选中的概率相等． ∵“二胡”是其中一种， ∴选中“二胡”的概率为． 故选C． 4. 计算的结果等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用分式基本性质统一分母，再合并分子后约分即可得到结果． 【详解】解:原式 ． 5. 如图，在矩形中，以A为圆心，为半径画弧，交于E，连接、交于F，若，，则（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图得到，证明，列出比例式求出的长，即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴. 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买醇酒x斗，行酒y斗，据题意可得方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗， 根据题意得：． 7. 日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上可得，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，可得 ，进而即可判断求解． 【详解】解：根据题意可知，氯化钠的质量为， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即 ， 如图，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，则 ， ∴大小关系为． 8. 已知m、n满足，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对已知等式通分化简，得到与的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴原等式变形为，， 移项得，， 交叉相乘得，，即， 整理得，， ， 两边平方得：， 将代入得：， ∴． 9. 如图，在正方形中，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，，，，和交于点，根据正方形的性质和圆的性质证明，得到对应角相等，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到的长度，通过证明，得到对应角相等，继而证明，，根据平行线分线段成比例得到，继而得到的长度． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，，和交于点， 由题意可知：，，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴在中，根据，得：， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知点、分别在抛物线、（且）上．若，是一个与无关的定值k时，则k的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，易得，，代入整理可得，从而，再根据定值k与无关，可得，即可求出和． 【详解】解：∵点在抛物线上，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴，则， ，则， ∴， ∴， ∵k与无关的定值， ∴， ∴， ∴． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则m的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘的法则得到，则可得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 12. 某校为全面落实《深化新时代教育评价改革总体方案》，大力提升学生核心素养，对学生实施综合评价，评价分学习成绩、体育成绩和艺术成绩三部分，分别按计入综合评价．若小张同学的学习成绩为94分，体育成绩为90分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为_____． 【答案】91分 【解析】 【详解】解：根据题意，小张同学的综合评价得分为分． 13. 如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等以及等腰三角形两底角相等是解题的关键．先根据作图确定直线是的垂直平分线，得出，进而得到，再利用等腰三角形两底角相等求出的度数，最后通过角的差求出的度数． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 关于x的一元一次方程的解为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义求出参数的值，再代入原方程求解未知数即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，得，且， 解得， 将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 系数化为得． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一束光线经过点照射在x轴上的平面镜上的点处，反射光线经过点，则的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】由入射角等于反射角得出，作点关于x轴对称点，连接，进一步得出点，点P和点B在一条直线上，通过待定系数法求出直线的解析式为，把点代入解析式，得出，然后将代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵入射角等于反射角， ∴， 作点关于x轴对称点，连接 ∴， ∴， ∴点，点P和点B在一条直线上， 设直线的解析式为， 把，代入， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴ ∴． 16. 如图，在正方形中，点在的延长线上，，与交于点，点是对角线上一动点（不与端点，重合），过点作，与交于点，点为的中点．下列结论： ①； ②当平分时，； ③； ④的最小值为． 其中正确的结论是_____．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证；根据角平分线的性质和平行线的性质可证是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证；作于点，可得，根据相似三角形的性质可以求出，，根据正切的定义可以求出；延长交于，连接，可证为的中位线，根据中位线定理可知，根据垂线段最短可知当时，有最小值，求出的最小值即可得到的最小值． 【详解】解：①在正方形中，，，， 又， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； ②平分时， ， ， ， ， ， 又点为的中点， ， 故②正确； ③由①可知， 又， ∴， 作于点， ， 又， ， ， ， ，， ， ， 故③错误； ④如下图所示，延长交于，连接， ， ，， ，， ∴， 又， ， 为的中点， 为的中位线， ， 当时，有最小值， 由③可知， ， 故④正确； 综上可知，正确结论有①②④． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知：，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的约分化简，再根据非负数的性质求出a与b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 18. 如图，在中，将沿对角线BD翻折得到，与交于点E． （1）求证：； （2）点为中点，连接，．求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和折叠的性质得，，利用证明； （2）由（1）得，得，结合点O为中点，根据等腰三角形三线合一得，进而计算即可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， ∴． 19. 为筑牢食品安全防线，某初中校组织全校学生参加了“食安小卫士”的食品安全知识科普竞赛活动，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中______，_____，七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是______年级； （2）若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ （3）现从七年级学生竞赛成绩为满分同学中已经选出了甲、乙、丙、丁四名同学，再从这四名同学中随机选取两名作为食品安全宣传员，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲同学、而没选中乙同学的概率． 【答案】（1），，七 （2）528人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位数的特点求m，利用众数的特点求n，根据方差进行解答即可； （2）利用总数乘以所占比例进行解答即可； （3）用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：七年级成绩的中位数为从小到大排列第25个人和第26个人的成绩的平均数，这两个人都成绩都为B等级， ， 由扇形图可知：， 八年级成绩人数最多的为A等级， ， 七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级方差， 七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是七年级； 【小问2详解】 （人）， 估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人； 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由上表可知，可能出现等可能的结果共有12种，其中选中甲没选中乙同学的结果有4种， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． （1）当时，求证：方程总有实数根； （2）若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵ ∴方程总有实数根． （2）解：以a、b、c为边长的三角形是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，方程总有实数根， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ，． ∴①；②． ②①得：，即，所以，即． ∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用条件得到，代入判别式，通过完全平方公式证明； （2）利用根与系数的关系写出根的和与积的表达式，对两式平方后相减，推导出，再用勾股定理逆定理判断三角形形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴正半轴交于点A，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点C是AB延长线上一点，过点C作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当时，求值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）过点B、C分别作轴于N，轴于M，易得，从而可求点、和的坐标，进而，，再根据三角形面积之间的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； ∵，∴， 将点，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 过点B、C分别作轴于N，轴于M， 则， ∴，∴， ∴，∴， ∵轴，∴，， ∴，， ∴． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点E，过A点作交延长线于点D，过点C作的切线，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴． ∴． ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等证明，即可得到； （2）连接．利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得到，在和中，解直角三角形求得，，设，利用勾股定理列式计算求得，再在中，利用正弦函数的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，． 在中，． 23. 某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． （1）求n与x的函数关系式； （2）①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； （3）当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）①315（元）；②400（元） （3）原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解； （3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． 【小问3详解】 解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． 24. 如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一点（不与，重合），交于点，，． （1）若，求证：； （2）当点在边上运动时，求的最大值； （3）如图2，连接，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：点是的中点，，． ∴． ， ， ． 四边形是矩形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． （2） （3）的长为2或4 【解析】 【分析】（1）利用一线三垂直模型，证明，从而得出； （2）根据勾股定理和一元二次函数模型求的最大值； （3）利用三角函数定义以及相似三角形的性质构建分式方程求解线段的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）知：， ， ， ， ， 当时，． 【小问3详解】 解：如图，设的中点为点，过点作交于点，在上截取，连接，以点为圆心为半径作，交于点，连接，． 是的中点，, 是的垂直平分线， ， 在上． ． ，， ， ． 在中，， ． 即当时，点为交的交点． ， 四边形是矩形， ，． ， ， 又， ， ， ． 设，则． 由（2）知：． ， ． 整理得：， 解得或． 经检验：或都是原方程的根． 或． 或，即的长为或． 25. 如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． （3）如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为： （2）点D的坐标为或 （3） 解：与的数量关系为：． 理由如下：设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴ 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∵与抛物线有唯一交点F， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴． 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∴，即， ∴， ∴． 过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K， 则， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点D作于H，根据抛物线的对称性求出，设，根据，得出，则，解方程得，，即可求解； （3）结合可求直线的解析式，联立直线与抛物线可得，结合与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线的解析式为，联立直线与抛物线可得，进而，得出，过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K，证明，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点D作于H， 抛物线交y轴于点， ∵、B关于直线对称， ∴． 设． ∵， ∴，即 ∴ ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点D的坐标为或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级九年级第一次模拟测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，点是数轴上一点，则点表示的数可能为（ ） A. -2.5 B. -1.5 C. -0.5 D. 1.5 2. 如图，在正六边形中，点M、N分别为边上的点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载体．某校民乐团培养了一批“二胡”“中阮”“竹笛”“琵琶”小演奏家，民乐团叶老师准备在四种民族乐器中随机选择一种进行表演，则叶老师刚好选中“二胡”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果等于（ ） A. B. 2 C. D. 5. 如图，在矩形中，以A为圆心，为半径画弧，交于E，连接、交于F，若，，则（ ） A. 5 B. C. 4 D. 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买醇酒x斗，行酒y斗，据题意可得方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（ ） A. B. C. D. 8. 已知m、n满足，则的值为（） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知点、分别在抛物线、（且）上．若，是一个与无关的定值k时，则k的值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则m的值为____． 12. 某校为全面落实《深化新时代教育评价改革总体方案》，大力提升学生核心素养，对学生实施综合评价，评价分学习成绩、体育成绩和艺术成绩三部分，分别按计入综合评价．若小张同学的学习成绩为94分，体育成绩为90分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为_____． 13. 如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ______． 14. 关于x的一元一次方程的解为____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一束光线经过点照射在x轴上的平面镜上的点处，反射光线经过点，则的值为____． 16. 如图，在正方形中，点在的延长线上，，与交于点，点是对角线上一动点（不与端点，重合），过点作，与交于点，点为的中点．下列结论： ①； ②当平分时，； ③； ④的最小值为． 其中正确的结论是_____．（填写序号） 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知：，求的值． 18. 如图，在中，将沿对角线BD翻折得到，与交于点E． （1）求证：； （2）点为中点，连接，．求的度数． 19. 为筑牢食品安全防线，某初中校组织全校学生参加了“食安小卫士”的食品安全知识科普竞赛活动，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中______，_____，七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是______年级； （2）若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ （3）现从七年级学生竞赛成绩为满分同学中已经选出了甲、乙、丙、丁四名同学，再从这四名同学中随机选取两名作为食品安全宣传员，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲同学、而没选中乙同学的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． （1）当时，求证：方程总有实数根； （2）若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴正半轴交于点A，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点C是AB延长线上一点，过点C作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当时，求值． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点E，过A点作交延长线于点D，过点C作的切线，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的值． 23. 某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． （1）求n与x的函数关系式； （2）①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； （3）当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 24. 如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一点（不与，重合），交于点，，． （1）若，求证：； （2）当点在边上运动时，求的最大值； （3）如图2，连接，当时，求的值． 25. 如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． （3）如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $