精品解析：江西景德镇一中2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

景德镇一中2025－2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 与以下哪个值相同（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为线段上一点满足，则等于 A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形的周长为，圆心角的弧度数是，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别是，已知，，，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 10. 如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，点距离水面的高度（米）与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 点再次接触水面需要秒 D. 点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 11. 点为所在平面内一点，且，其中，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，直线必过边的中点 B. 当时，与的面积之比为3：2 C. 若，且，则 D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为第二象限角，则的值为___________． 13. 平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量在这个基下的斜坐标，表示为.设，，则_____． 14. 已知函数，若方程在上恰有5个实数解，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 已知的面积记为、内角、、的对边分别为、、，. （1）求角； （2）若，且，求的周长． 17. 如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点，，，已知点的横坐标分别为． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若 在恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，且的最小值是． （1）求的解析式 （2）已知函数的最小值为； ①求的值； ②若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19. 已知为三个内角的对边，且，线段边对应的高为的内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H． （1）求的高的长度； （2）若的角平分线交于，求，的值 （3）欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且.请合理运用欧拉线定理，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2025－2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量，则. 因为，所以，解得. 2. 与以下哪个值相同（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 已知，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】在方向上的投影向量为. 4. 在中，为线段上一点满足，则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用向量加法的三角形法则、向量减法的几何意义即可求解. 【详解】 . 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、减法的几何意义，属于基础题. 5. 已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正切函数的周期公式求出参数，再根据正切函数对称中心的性质列方程求解横坐标，得到的对称中心. 【详解】对于正切型函数，最小正周期公式为， 已知最小正周期，代入得，解得， 因此函数为.  正切函数的对称中心为， 令整体，解得，即，​ 因此的对称中心为. 6. 已知扇形的周长为，圆心角的弧度数是，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出该扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】设该扇形的半径为，则该扇形的弧长为，由题意可得，解得， 故该扇形的面积为. 7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可求出的取值范围，根据函数的单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以，解得， 由可得， 又因为，所以可得，即， 又因为，所以，故，所以的取值范围是. 8. 记的内角的对边分别是，已知，，，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，得，即， 又由余弦定理，得. 由两边取平方， . 因，则 则由基本不等式可知当且仅当时取等号，即得. 代入得， 即线段长度的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化和三角形边角大小关系可判断A；利用正弦定理和余弦定理可判断B；利用正弦函数的图象及三角形内角的范围可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D. 【详解】选项A.在中，由正弦定理； 由三角形"大边对大角"得，因此是的充要条件，A正确. 选项B.由正弦定理，转化为， 则，B正确. 选项C.因为，所以，即，为直角三角形； 或者，此时为钝角，不是直角三角形，C错误. 选项D.若锐角三角形，则，即，且； 在单调递增，因此，D正确. 10. 如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，点距离水面的高度（米）与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 点再次接触水面需要秒 D. 点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题意求出点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式，逐项判断即可. 【详解】对于D选项，由题意可知，，所以， 函数的最小正周期为， 故，所以， 当时，，可得， 又因为，所以，所以，D对； 对于A选项，当时，， 所以当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米，A对； 对于B选项，当时，， 所以当水轮转动秒时，点恰好在水面上，B错； 对于C选项，由可得，其中， 则，所以，解得， 故点再次接触水面需要秒，C对. 11. 点为所在平面内一点，且，其中，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，直线必过边的中点 B. 当时，与的面积之比为3：2 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量共线定理分析求解选项A，根据向量平行以及三角形的性质求解选项B，根据向量的模以及向量的数量积的运算求解选项C，根据向量的线性运算以及向量的模的公式判断选项D. 【详解】选项A.当时，. 设为中点，则， 因此，所以与共线、共起点，故三点共线，直线必过中点，A正确. 选项B.当时，，则. 延长到，使得. 令，则，. 则四边形为平行四边形，则. . 面积比，B正确. 选项C.因为，所以. 因为，，所以，C正确. 选项D.当时，，进而， 则，解得. 又，因此，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为第二象限角，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据α所在的象限，判断出的正负，进而根据同角三角函数的基本关系，利用cosα的值求得sinα，进而求得的值． 【详解】∵为第二象限角，∴sinα＞0 ∴sinα＝＝ ∴tanα＝＝ 故答案为： 13. 平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量在这个基下的斜坐标，表示为.设，，则_____． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】已知，，则. 则. 14. 已知函数，若方程在上恰有5个实数解，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，根据题意确定的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】由得，即，进而. 已知，，因此. 因为函数在区间上恰有5个实数解，所以满足不等式的整数恰好有5个. 因此，解不等式得. 即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算列方程求解参数； （2）先根据数量积大于0列出不等式，再排除向量同向共线的情况，得到参数的取值范围 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角，则且与不同向共线， 且，解得且， 或. 16. 已知的面积记为、内角、、的对边分别为、、，. （1）求角； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式以及平面向量数量积的定义可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式可得出的值，结合余弦定理可得出的值，由此可得出的周长. 【小问1详解】 因为，即， 即，即，所以， 因为，故. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，由余弦定理可得， 解得，故的周长为. 17. 如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点，，，已知点的横坐标分别为． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若 在恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量中点性质求出周期，进而得；再代入已知点求和，最后解不等式求单调递增区间； （2）先通过伸缩、平移变换得到，再将恒成立问题转化为求的最小值，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得为的中点，则点横坐标为， 从而. 将代入得， 即，结合，可知. 另外，从而. 由， 因此的单调递增区间为. 【小问2详解】 由已知得. 又在恒成立，即恒成立，因此. 由于，得，即， 由，可得. 18. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，且的最小值是． （1）求的解析式 （2）已知函数的最小值为； ①求的值； ②若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①4；②或 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的对称性、周期以及最值求解可得. （2）①利用换元法，结合二次函数的性质求解即可；②结合三角函数值域应用二次函数值域分类讨论求解. 【小问1详解】 . . 【小问2详解】 ①. 设抛物线开口向下， 对称轴为， 结合二次函数性质知，. ②问题等价于的值域是值域的子集. 由①可得的值域为. 设. 当时，. 当时，. 综上，或. 19. 已知为三个内角的对边，且，线段边对应的高为的内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H． （1）求的高的长度； （2）若的角平分线交于，求，的值 （3）欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且.请合理运用欧拉线定理，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 首先利用余弦定理求出，进一步求出，再利用正弦定理和三角形面积相等求出长； （2）根据角平分线定理，得到，再根据向量的几何运算求解即可. （3）由（2）同理可得，利用重心的性质和欧拉线定理求得，再利用外心的性质和数量积的定义求得的值. 【小问1详解】 ， 由三角形的面积相等得， ，则. 【小问2详解】 因为内心是三角形三条角平分线的交点，故连接延长交于点，如图所示： 由角平分线定理， . 【小问3详解】 平分，由角平分线定理， ， 由重心的性质可知 由欧拉线定理，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $