专题02整式乘法（期中复习讲义，全章5知识点+16大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题02 整式乘法 （期中复习讲义，全章5知识点+16大题型+过关检测） 题型1 单项式乘法 3 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 4 题型3 单项式乘多项式的应用 6 题型4 多项式乘法计算 9 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法 11 题型6 多项式乘法的化简求值 15 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 16 题型8 多项式乘法与图形面积 19 题型9 多项式乘法中的规律性问题 24 题型10 乘法公式 30 题型11 平方差公式与几何图形 32 题型12 完全平方公式与几何图形 37 题型13 通过对完全平方公式变形求值 41 题型14 求完全平方式中的字母系数 45 题型15 乘法公式的新定义运算 50 题型16 乘法公式中的配方法求值 54 · 掌握单项式乘法、单项式乘多项式、多项式乘法的法则，能熟练、准确进行基础运算； · 牢记平方差公式、完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算和变形； · 能运用整式乘法解决求值、化简、图形面积、规律性问题等常见题型，突破易错点； · 掌握“不含某项求字母值”“配方法求值”“新定义运算”等重点题型的解题思路，提升解题能力； · 理解整式乘法的几何意义，能结合图形理解法则和公式，建立数形结合的数学思想； 03 期中知识•梳理 知识点1：整式的基本概念 整式分为单项式和多项式：① 单项式：由数与字母的积组成的代数式（单独的一个数或一个字母也叫单项式），其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；② 多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 知识点2：整式乘法的三大法则（重点） 1. 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 法则要点：系数相乘（注意符号）、同底数幂相乘（底数不变，指数相加）、单独字母保留不变。 2. 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 法则要点：分配律的应用，不遗漏多项式的任何一项，注意符号运算。 3. 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 法则要点：不重不漏、有序相乘，相乘后合并同类项，简化结果。 知识点3：特殊多项式乘法（乘法公式，重点+易错点） 1. 平方差公式： 结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数；结果是相同项的平方减去相反项的平方。 2. 完全平方公式：， 结构特征：两个相同的二项式相乘，结果是三项式，即首项平方、尾项平方、首尾积的2倍（同号加、异号减）；可总结为口诀“首平方，尾平方，首尾相乘放中间”。 知识点4：乘法公式的常见变形（重点） 1. 完全平方公式变形：；；；； 2. 平方差公式变形：（逆用，用于因式分解）；（注意符号变化）。 知识点5：易错点总结 · 单项式相乘：漏乘单独字母；系数相乘符号错误；同底数幂相乘指数计算错误； · 单项式乘多项式：遗漏多项式的项；符号运算失误（尤其是负单项式乘多项式）； · 多项式乘多项式：重乘或漏乘项；合并同类项不彻底；符号判断错误； · 乘法公式：混淆平方差公式与完全平方公式；完全平方公式漏写“首尾积的2倍”；符号错误（如）； · 配方法：配方时，漏加（或多加）一次项系数一半的平方； · 图形面积与整式乘法：无法将图形面积转化为整式乘法算式，混淆图形的边长与面积关系。 04 期中题型•汇总 题型1 单项式乘法 解题技巧： 1. 先算系数：将两个单项式的系数相乘，注意符号（同号得正，异号得负）； 2. 再算同底数幂：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 3. 最后处理单独字母：只在一个单项式中出现的字母，连同其指数直接作为积的因式； 4. 结果化为最简单项式，系数化为整数（若有分数）。 【典例1】．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘法； 【详解】解：． 【变式1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用单项式乘法法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积即可得到结果. 【详解】解：． 【变式2】．______． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，系数相乘，同底数幂相乘，只在一个因式中出现的字母作为积的一个因式，计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 解题技巧： 1. 先根据单项式乘法法则，化简已知等式（合并同类项，整理成最简形式）； 2. 根据“相同字母的指数相同”，列出关于字母的方程（组）； 3. 解方程（组），求出字母的值； 4. 将字母的值代入所求代数式，计算出最终结果。 【典例2】．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 【变式1】．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 【变式2】．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式3】．若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 题型3 单项式乘多项式的应用 解题技巧： 1. 明确单项式和多项式，运用分配律，用单项式乘多项式的每一项； 2. 计算每一项的乘积（遵循单项式乘法法则），注意符号运算； 3. 将所得的积相加，合并同类项，得到最简结果； 4. 若有实际场景（如长度、面积），需结合题意检验结果的合理性。 【典例3】．“垃圾分类，从你我做起”．我校积极倡导垃圾分类，响应国家政策．计划制作一块长方形的宣传展板，宣传、倡导学生们化身“环保小卫士”．如图，这块宣传展板的长为，宽为，则此宣传展板的总面积为__________． 【答案】 【详解】解：． ∴此宣传展板的总面积为． 【变式1】．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 【变式2】．如图，大小两个正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用两个正方形的面积和减去两个三角形的面积，再整理得出答案； （2）先将代数式整理，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时， ． 【变式3】．按要求解题 (1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，如果某种地砖的价格为每平方米元，那么购买地砖至少需要多少元？ (2)如果房屋的高度是米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，如果某种墙纸的价格为每平方米元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度） 【答案】(1)购买地砖所需的费用为元； (2)购买墙纸所需的费用为元． 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h米，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】（1）解：平方米， 元， 答：购买地砖所需的费用为元； （2）解：（平方米）， 元， 答：购买墙纸所需的费用为元． 题型4 多项式乘法计算 解题技巧： 1. 用第一个多项式的每一项，依次乘第二个多项式的每一项（有序相乘，避免重漏）； 2. 计算每一项的乘积，遵循单项式乘法法则，注意符号； 3. 将所有乘积项相加，找出同类项并合并，化为最简多项式。 【典例4】．已知，，均为非常数，且的计算结果是一个三次二项式．有如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先展开原式，再合并同类项，根据三次二项式定义，结合为非零常数的条件，得到二次项和一次项系数均为，再逐一验证结论即可． 【详解】解：∵ ∵计算结果是三次二项式，且均为非常数， ∴常数项，则二次项和一次项系数必须都为， 即， 故结论①，②都正确； 由得，代入得， 即， ∴， 故结论③正确； 综上三个结论都正确，正确结论的个数是． 【变式1】．小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则这个算式结果为______． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，根据结果中的一次项系数为求出的值，然后代入即可得到答案． 【详解】解： ， ∵一次项系数为， ∴，解得：， ∴这个算式结果为． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则展开式子，再合并同类项得到结果；　 （2）分步计算，先计算前两个因式的乘积，再与第三个多项式相乘，整理得到最终结果. ． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法 解题技巧： 1. 牢记公式：（直接套用，简化运算）； 2. 确定p、q的值（注意符号，正数直接写，负数带符号代入）； 3. 直接计算二次项、一次项、常数项，无需逐项相乘； 4. 整理结果，若有同类项，合并后化为最简形式。 【典例5】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】．观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 【变式2】．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 【变式3】．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【答案】(1)；；； (2)， (3)； 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）①根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；②根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；③根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （3）①利用规律求解；②利用规律求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：；；； （2）解：若，则，； 故答案为：，； （3）解：①； ②． 故答案为：；． 题型6 多项式乘法的化简求值 解题技巧： 1. 先根据多项式乘法法则，化简原式（逐项相乘、合并同类项，化为最简多项式）； 2. 观察化简后的式子，代入已知字母的值（注意代入时的符号）； 3. 按照运算顺序计算，得出最终结果；若已知条件为代数式，可先化简已知条件再代入。 【典例6】．先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【分析】利用多项式与多项式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则进行化简，将代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【变式1】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则将原式展开，合并后得到最简结果，再代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式3】．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解题技巧： 1. 先将两个多项式相乘，逐项计算乘积，合并同类项，化为最简多项式； 2. 找出“不含某项”的对应项，令其系数为0（不含哪一项，哪一项的系数就为0）； 3. 列出关于字母的方程，解方程求出字母的值； 4. 检验：将求出的字母值代入原式，确认该项目确实不存在。 【典例7】．若将代数式化简后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据不含x一次项，得到一次项系数为0，列方程求解即可得到m的值． 【详解】解：∵ ，且化简后不含x的一次项， ∴， 解得：． 【变式1】．已知的乘积中不含的一次项，则与满足的关系是__________． 【答案】 【详解】解：， ∵的乘积项中不含的一次项， ∴. 【变式2】．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【变式3】．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 题型8 多项式乘法与图形面积 解题技巧： 1. 观察图形，确定图形的组成（长方形、正方形等），用含字母的式子表示各边的长度； 2. 方法一：用“整体法”表示图形总面积（如长方形面积=长×宽）； 3. 方法二：用“分割法”将图形分成几个简单图形，分别计算面积再相加； 4. 根据“总面积相等”，建立整式乘法关系式，化简后得出结果；若有求值需求，代入计算即可。 【典例8】．如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【答案】(1)这块长方形土地的总面积是平方米 (2)平方米，厨房的用地面积为35平方米 【分析】（1）根据长方形的面积公式并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）先用、表示出厨房的用地面积，再代入，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 平方米， 答：这块长方形土地的总面积是平方米； （2）解： 平方米， 当，时， 原式 ， 答：厨房的用地面积为35平方米． 【变式1】．【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合来理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． (1)【类比应用】任务一：观察图2，完成填空： ． (2)【综合应用】任务二： ①由图3，可以得到等式： ． ②若实数满足：，，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）数形结合求解即可； （2）①数形结合求解即可；②由①中得到的等式，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： 表示长方形面积，等于四部分面积和为， 则或； （2）解：①如图所示： ； ②∵，，， ∴， ∴． 【变式2】．已知长方形，，，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，求的值． 【答案】 【分析】设，根据图形，易得，，再根据，列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：设， 由图可知，，， 当时，， ， 等式两边同除以（），得， ， 则的值为． 【变式3】．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)拼图见解析， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）画一个边长分别为和的长方形，然后根据图形求解即可； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得则可求出，根据S的值与无关得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 根据图形可知：； （2）解：选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为的正方形， 剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：， 由图可得D型卡片是一个边长为的正方形， 由正方形的面积为边长的平方可知：； （3）解：设， 根据题意，得， ， ∴ ， ∵随着的长度变化，S的值始终保持不变 ∴， ∴， ∴当时，随着的长度变化，S的值始终保持不变． 题型9 多项式乘法中的规律性问题 解题技巧： 1. 根据题目给出的前几个算式，计算出结果，观察结果的规律（系数、次数、符号等）； 2. 结合多项式乘法法则，分析算式与结果之间的联系，总结出通用规律（可用含n的式子表示，n为正整数）； 3. 验证规律：将n取不同的值（如n=1、n=2），代入规律式，检验是否与已知算式结果一致； 4. 根据规律，解决后续的求值、写算式等问题。 【典例9】．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数……当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（   ）个 ①第六行数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②的展开式中各项系数和为1024； ③的展开式中的系数是7； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据求出的展开式可判断①；令，则的展开式中各项系数和，据此可判断②；求出的展开结果，令，则，找到含的项的系数即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， ∴第六行数字依次是：1，5，10，10，5，1，故①正确； 令，则的展开式中各项系数和，故②正确； ， ∴ ， 令，则， ∴的展开式中的系数为7，故③正确； ∴正确的有①②③，共3个． 【变式1】．【文化欣赏】 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式 【应用体验】 请问展开式中，共有___________项，含项的系数是___________． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式的项数及的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵展开式共有3项，且x的系数为； 展开式共有4项，且的系数为； 展开式共有5项，且的系数为； …， ∴展开式共有项，且的系数为， 当时， 展开式中共有2027项，且的系数为． 故答案为：①2027，②． 【变式2】．【阅读观察】 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般，如下所示： ①； ②； ③； …… 【归纳猜想】 (1)由此可得__________； 【问题解决】请运用上面的结论，解决下列问题： (2)计算的值． (3)若，求的值． (4)【迁移拓展】比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干信息，可得规律，得出结果； （2）将原式转换为，即可根据（1）中规律得解； （3）由得，即可解出的值，经检验后得出，即可得出的值； （4）将与利用上述规律可变形为，，根据幂的乘方运算，得，，即可比较出式子大小． 【详解】（1）解：由上述计算可得规律， 即； （2）解：原式 ； （3）∵， ∴， ∴， 当时，，排除； 当时，， 故， ∴； （4）解：， ， ∵，， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第6个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可； （3）将每个括号内式子通分，利用规律改写每个分子后，约分即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： ． （2）解：猜想第个等式为： ． 证明： ． （3）解： ． 题型10 乘法公式 解题技巧： 1. 先判断算式是否符合乘法公式的结构特征（平方差公式：两项和×两项差；完全平方公式：两项和/差的平方）； 2. 若符合，直接套用对应公式，注意符号（完全平方公式中，首尾异号时，中间项为负）； 3. 若不符合，可通过变形（凑项、拆项），转化为符合公式的形式，再套用公式； 4. 计算后，合并同类项（若有），化为最简形式。 【典例10】．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9999 (2) 【分析】（1）将原式变形为平方差公式的形式，利用平方差公式计算即可； （2）直接利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11 平方差公式与几何图形 解题技巧： 1. 观察图形，用含字母的式子表示图形的边长（如大正方形边长为a，小正方形边长为b）； 2. 方法一：用大图形面积减去小图形面积，得到阴影部分面积（如）； 3. 方法二：将阴影部分拼接成一个新的简单图形（如长方形），表示出其面积（如）； 4. 根据“阴影部分面积不变”，得出平方差公式，或利用公式解决图形面积问题。 【典例11】．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系即可． 【详解】解：第一个图阴影部分的面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， 根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等， ∴． 【变式1】．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 【答案】 【分析】运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积的计算方法为：边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于； 第二个图形中阴影部分的面积的计算方法为：一个长是，宽是的长方形，面积是； 这两个图形的阴影部分的面积相等，即． 【变式2】．【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设， 则, ∴ 【解决问题】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)如图，正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，求出，利用完全平方公式进行变形求值即可； （2）设，求出，，，利用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意可得设则，得到根据阴影部分的面积为并利用完全公式进行解答即可． 【详解】（1）解：设， 则，， ∴； （2）设， 则， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则，， ， ， ． 【变式3】．如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： (1)如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式________． A．    B． C．    D． (2)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为10，面积之和为52，求阴影部分面积． (3)如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1)C (2)12 (3)64 【分析】（1）结合图2表示出拼接前后阴影部分面积，即可得出答案； （2）由题意得，，结合，即可得到阴影部分面积； （3）连接，由阴影部分面积，结合完全平方公式的变形，得到的值，再利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：由图2可得，拼接前阴影部分面积，拼接后阴影部分面积， ∵拼接前后，阴影部分面积相等， ∴， 故选：C； （2）解：， ，即， ， ， ； （3）解：如图，连接， ∵两个正方形、的边长分别是、，阴影部分面积为60， ∴， ， ，， ， ， ， ． 题型12 完全平方公式与几何图形 解题技巧： 1. 观察图形（通常为大正方形，由两个小正方形和两个长方形组成），用含字母的式子表示各部分边长（如大正方形边长为）； 2. 方法一：用大正方形的边长表示总面积，即； 3. 方法二：将大正方形分割为两个小正方形（面积、）和两个长方形（面积均为），总面积为； 4. 根据“总面积相等”，得出完全平方公式；同理可推导，或利用公式解决图形面积问题。 【典例12】．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用两种方法表示出图2中阴影部分面积即可求解． 【详解】解：图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为 ∴验证的恒等式是． 【变式1】．如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的变形，先由已知的和求出，再将阴影部分拆分为两个三角形，用、表示出面积并整体代入求值． 【详解】解：，， 可得， 根据题图可知，阴影部分的大三角形面积为，小三角形面积为，则阴影部分的面积为． 【变式2】．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，可得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形和正方形的顶点A，D，E在一条直线上，两正方形的面积和是61，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)67 (2)12 (3)30 【分析】（1）根据完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意得：，结合，然后利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，再由完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：根据题意得：， ∴ ． ∵， ∴， ∴． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． 由题意得， ． 【变式3】．如图1是长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． 一、知识探究 (1)请你观察图1和图2，直接写出、、三者之间的数量关系． 二、知识应用 (2)设，，求：． (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别利用图1和图2表示出四个小长方形的面积，即可得出结果； （2）由（1）可得，代入计算即可得出结果； （3）由（1）可得，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由图1可得，四个小长方形的面积可表示为：， 由图2可得，四个小长方形的面积可表示为：， ∴； （2）解：由（1）可得： ； （3）解：由（1）可得：， 故 ， ，， 原式． 题型13 通过对完全平方公式变形求值 解题技巧： 1. 观察已知条件和所求代数式，确定需要用到的完全平方公式变形形式（如）； 2. 从已知条件中，找出、、的值（或通过化简得出）； 3. 将已知值代入变形公式，计算出所求代数式的值； 4. 计算过程中注意符号和运算顺序，避免粗心失误。 【典例13】．若，求的最小值（   ） A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】C 【分析】先从已知等式中用x表示出y，代入所求代数式得到关于x的二次三项式，再通过完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项整理得， 将代入得： ， ∵对任意实数，都有， ∴， 即的最小值为． 【变式1】．已知，，则的值为______． 【答案】17 【分析】将两个已知等式利用完全平方公式展开，再将两个展开式相加，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴根据完全平方公式得： ①， ②， 得：， 两边同除以得：． 【变式2】．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（，都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求出，再把所求式子变形为，据此可得答案； （2）设，则可得到，利用完全平方公式的变形求出的值即可得到答案； （3）把变形为，进一步变形为，根据（，都是整数）能被6整除，也能被6整除，即可得到能被6整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）解： ， ∵（，都是整数）能被6整除，也能被6整除， ∴能被6整除， ∴能被6整除． 【变式3】．阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式，可对进行适当的变形，如：或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，，分别求 ． (2)若，求的值． (3)若n满足，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据求解即可； （2）把的两边平方，整理可得的值； （3）先求出，然后把的两边平方，整理可得的值． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：把，两边平方得：， ∴， ∴． （3）解：， ， ， ， ， 则． 题型14 求完全平方式中的字母系数 解题技巧： 1. 牢记完全平方式的结构：，确定平方式的首尾两项； 2. 找出首尾两项对应的“a”和“b”（首尾两项必须是平方形式，且符号为正）； 3. 根据中间项=±2×√首项×√尾项，列出关于字母系数的方程； 4. 解方程，求出字母系数的值（注意中间项符号，可能有两个解）。 【典例14】．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的定义，对应各项系数关系求解m即可． 【详解】解：完全平方公式为． ∵ 是完全平方式，其中首项为，末项 ∴中间项满足 ．即． 解得． 【变式1】．若代数式是完全平方式，则的值为______． 【答案】 9或 【分析】先根据平方项确定出完全平方式中的两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项确定的值． 【详解】解：是完全平方式， ∴， 根据完全平方公式可得， 即， 当时，解得， 当时，解得． 【变式2】．【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 【答案】(1) (2)猜想：a，b，c之间的关系为，验证见解析 (3)单项式为或或 【分析】（1）根据示例可得到结果； （2）猜想规律为，利用完全平方公式展开后，可得到结果； （3）根据题意，分类讨论，可得到结果． 【详解】（1）解：根据示例可发现：； （2）解：猜想：a，b，c之间的关系为， 验证：， ，，， ， ； （3）解：①这个单项式为乘积2倍时，设单项式为， ， ， 这个单项式为或， ②这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为， ， 这个单项式为， 综上所述，单项式为或或． 【变式3】．阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)52 【分析】本题考查了完全平方式、完全平方公式、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得□，再结合完全平方式的定义计算即可得出结果； （2）由题意可得□，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （3）由（2）可知，，，由正方形的性质可得，，，，从而得出，，再结合阴影部分的面积为计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得： □ ， ∵□是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：根据题意可得： □ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 题型15 乘法公式的新定义运算 解题技巧： 1. 认真阅读题干，理解新定义运算的规则（明确运算符号、运算顺序，以及与乘法公式的联系）； 2. 将新定义运算转化为熟悉的乘法公式（平方差、完全平方公式），替换对应的字母； 3. 按照乘法公式的法则，化简或计算，注意符号和运算顺序； 4. 若有求值需求，代入已知条件，计算出最终结果，确保符合新定义规则。 【典例15】．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是定义新运算，解题的关键是准确理解并运用题目中给出的新运算规则．根据定义可知，只需将代数式中的替换为、替换为，再结合完全平方公式展开并合并同类项，即可完成化简． 【详解】解：新运算定义为， ， 展开并合并同类项得． 故选：． 【变式1】．（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是______________． 【答案】65 【分析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， m，n为正整数， ∴， ， 当时，由产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当时，由产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当时，由产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当时，由产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当时，由产生的智慧优数为：80，96，…… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… ∴第27个智慧优数是65， 故答案为：65． 【变式2】．【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 【变式3】．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：44 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)不是 (2)“和谐数”能被8整除．见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，不是整数， ∴44不是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：阴影部分的面积           ， 答：阴影面积为20000． 题型16 乘法公式中的配方法求值 解题技巧： 1. 观察代数式的结构，将其整理为“二次项+一次项+常数项”的形式； 2. 配方：在二次项和一次项后，加上（一次项系数一半的平方），再减去这个数（保证代数式值不变）； 3. 将配方后的式子转化为完全平方式与常数的和（或差），即的形式； 4. 利用完全平方式的非负性（），求出代数式的最值或具体值。 【典例16】．阅读材料：我们把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即．例如：，，是的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（    ） ①和都是不同形式的配方 ②是完全平方式，则k的值为3 ③有最小值，最小值为2 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断； ②利用完全平方公式的结构特征判断即可； ③原式配方后，求出最小值，即可作出判断． 【详解】解：①∵(x+2)2-2x= x2+2x+4，(x+1)2+3= x2+2x+4，∴(x+2)2-2x和(x+1)2+3都是x2+2x+4不同形式的配方，符合题意； ②x2-2(k-1)x+4是完全平方式，则k-1=2或k-1=-2，即k=3或-1，不符合题意； ③原式=(b2-4b+4)+2=(b-2)2+2，当b=2时，取得最小值，最小值为2，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式1】．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 (3) 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 【变式2】．配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 【变式3】．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值是6 (2)代数式的最大值是29 (3)当时，花圃的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）仿照题干，利用完全平方式的非负性解答即可； （2）将代数式配方为，可得出答案； （3）设，则，花圃的面积，再利用完全平方式的非负性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值是29； （3）解：设，则， ∴花圃的面积， ∵， ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是． 05 期中过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．与不是同类项，不能合并，错误； D．，正确． 2．在下列多项式乘法中，不能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，结构特征是两个二项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项，选出不符合特征的选项即可． 【详解】解：A选项、，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； B选项、 ，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项、，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项、 ，所有项都相同，不存在互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 3．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式相乘的结果展开即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据选项得：或， 解得或， 则或． 只有选项A符合题意． 4．从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，利用面积法验证公式是解题的关键．通过观察图到图的图形变化，分别计算出两个图形的面积，再根据图形剪拼前后面积不变的原理，即可推导出平方差公式． 【详解】解：图一的面积可表示为， 图二的面积可表示为， ， 故选：． 5．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原式中相同的项整理为一个整体，凑出平方差公式的结构，即可得到正确变形． 【详解】解： ． 6．一个正方形的边长增加，面积相应增加，则这个正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式找出本题中的等量关系，列出方程求解． 【详解】设正方形的边长为， 正方形的边长增加，则边长变为， 根据题意可得：， 解得， 正方形的边长为． 7．若，，则等于（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 8．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式运算，解题思路为展开左边多项式，根据对应系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又化简后结果为 对应系数相等，可得，，即 将代入计算： 9．运用乘法公式简便计算：______． 【答案】 【分析】将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 10．已知长方形的长为，宽为，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中间空白部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为58，则的值为______． 【答案】7 【分析】用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以， 即， ， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ． 11．已知，则与的大小关系是_____N．（填“>、<或＝”） 【答案】> 【分析】将N表示为，利用平方差公式化简，再利用作差法比较即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 12．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据题意展开，再把，代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， 令，代入得， ∴含项为， ∴的展开式中含项的系数是． 13．已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 【答案】5或 【详解】解：根据完全平方式特征可得， 解得或． 14．若，，则的值是________． 【答案】6 【分析】利用进行求解即可． 【详解】解： ， ，， ， ， ． 15．定义新运算：，那么______． 【答案】 【详解】解：， ． 16．如图将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，点在边上，连接，，，若线段，且．则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】11 【分析】根据完全平方公式，正方形的性质，分割法表示图形的面积求解即可； 【详解】解：根据题意，得，， 故， ， 故， 图中阴影部分的面积为 ． 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】运用多项式乘以多项式以及完全平方公式计算括号内的运算，然后再进行除法运算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18．定义，如．已知，（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的二次项，求的值，并求当时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先根据定义化简，令其代数式中含的二次项的系数为，再代入的值可求得的值；再根据定义化简，代入的值可求得的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）解： ， 的代数式中不含的二次项， ， ， ， ， ， ． 19．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请参照图1表示的关系式写出图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：； 图2表示：________________________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，则________；若，则________． 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴ ∴； ∵，， ∴． 20．将两数和（差）的完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例：若，求的值． 解： 根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)已知，则________； (2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中在一条直线上，连接．若，求一块三角板的面积； (3)若满足，求的值． 【答案】(1)100 (2)17 (3)10 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则可得，，经过变形可得，故可得结论； （3）设，，可求出，，根据可得，从而可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：根据题意得：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即一块三角板的面积为17； （3）解：设，，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即． 21．两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其未重叠部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为． (1)用含、的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、； （2）根据，将，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，，； （2）， ∵，， ∴； （3）由图可得，， ∵， ∴． 22．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据题意可得的结果是常数，据此求出、，再求出对消值即可． 【详解】（1）解：①，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； ②，是常数，所以多项式互为“对消多项式”； ③，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； （2）解： 因为多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”， ∴，， ∴，， ∴对消值为． 23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是（   ）；（请选择正确的一个） A. B. C. (2)若，则的值是_________； (3)计算：． 【答案】(1)A (2)2 (3)5050 【分析】（1）用代数式表示出图1中剩余部分的面积及图2中长方形的面积，根据这两部分面积相等即可得出答案； （2）利用（1）中的结论代入进行计算即可； （3）利用（1）中的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，剩余部分的面积为两个正方形的面积差，即， 将剩余的部分拼成一个长方形，则长方形的长为，宽为，因此面积为， ； （2）解：，， ， ； （3）解： ． 24．阅读下列材料，完成相应的任务： 神奇的“算两次” 数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式，我们称这一方法为“算两次”． 初步感知： 运用“算两次”的方法验证完全平方公式： 将图1中的图形看作一个整体，它的面积可以表示为_____，把它看作由四部分组成的图形，它的面积可以表示为，可以得到乘法公式_____，以上求解过程中，主要运用的数学思想是_____（从下面选项中选出一个即可）： A．统计思想        B．数形结合        C．方程思想 方法应用： 请你类比上述得到完全平方公式的过程，画出图形，并用“算两次”的方法求解． 求解过程：…… 任务： (1)补全初步感知中的内容； (2)写出方法应用的求解过程： (3)请你用所学过的整式乘法公式或者是整式乘法法则求解，感受结果的一致性； (4)根据（2），（3）得到的公式，直接写出_____． 【答案】(1)，，B (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据题意，得到正方形的边长为，利用面积的性质，数形结合思想求解即可． （2）根据题意，构造正方形计算即可． （3）根据多项式乘以多项式，计算即可． （4）根据公式直接计算即可． 【详解】（1）根据题意，得大正方形的边长为，其面积为， 根据题意，得，用到数形结合思想， 故选：B． （2）解：构造正方形如下，大正方形的边长为，其面积为， 图形的面积为 ， 根据题意，得； ． （3）解：根据题意，得 ． （4）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法 （期中复习讲义，全章5知识点+16大题型+过关检测） 题型1 单项式乘法 3 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 3 题型3 单项式乘多项式的应用 4 题型4 多项式乘法计算 5 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法 6 题型6 多项式乘法的化简求值 7 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 题型8 多项式乘法与图形面积 9 题型9 多项式乘法中的规律性问题 10 题型10 乘法公式 13 题型11 平方差公式与几何图形 13 题型12 完全平方公式与几何图形 15 题型13 通过对完全平方公式变形求值 17 题型14 求完全平方式中的字母系数 18 题型15 乘法公式的新定义运算 20 题型16 乘法公式中的配方法求值 21 · 掌握单项式乘法、单项式乘多项式、多项式乘法的法则，能熟练、准确进行基础运算； · 牢记平方差公式、完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算和变形； · 能运用整式乘法解决求值、化简、图形面积、规律性问题等常见题型，突破易错点； · 掌握“不含某项求字母值”“配方法求值”“新定义运算”等重点题型的解题思路，提升解题能力； · 理解整式乘法的几何意义，能结合图形理解法则和公式，建立数形结合的数学思想； 03 期中知识•梳理 知识点1：整式的基本概念 整式分为单项式和多项式：① 单项式：由数与字母的积组成的代数式（单独的一个数或一个字母也叫单项式），其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；② 多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 知识点2：整式乘法的三大法则（重点） 1. 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 法则要点：系数相乘（注意符号）、同底数幂相乘（底数不变，指数相加）、单独字母保留不变。 2. 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 法则要点：分配律的应用，不遗漏多项式的任何一项，注意符号运算。 3. 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 法则要点：不重不漏、有序相乘，相乘后合并同类项，简化结果。 知识点3：特殊多项式乘法（乘法公式，重点+易错点） 1. 平方差公式： 结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数；结果是相同项的平方减去相反项的平方。 2. 完全平方公式：， 结构特征：两个相同的二项式相乘，结果是三项式，即首项平方、尾项平方、首尾积的2倍（同号加、异号减）；可总结为口诀“首平方，尾平方，首尾相乘放中间”。 知识点4：乘法公式的常见变形（重点） 1. 完全平方公式变形：；；；； 2. 平方差公式变形：（逆用，用于因式分解）；（注意符号变化）。 知识点5：易错点总结 · 单项式相乘：漏乘单独字母；系数相乘符号错误；同底数幂相乘指数计算错误； · 单项式乘多项式：遗漏多项式的项；符号运算失误（尤其是负单项式乘多项式）； · 多项式乘多项式：重乘或漏乘项；合并同类项不彻底；符号判断错误； · 乘法公式：混淆平方差公式与完全平方公式；完全平方公式漏写“首尾积的2倍”；符号错误（如）； · 配方法：配方时，漏加（或多加）一次项系数一半的平方； · 图形面积与整式乘法：无法将图形面积转化为整式乘法算式，混淆图形的边长与面积关系。 04 期中题型•汇总 题型1 单项式乘法 解题技巧： 1. 先算系数：将两个单项式的系数相乘，注意符号（同号得正，异号得负）； 2. 再算同底数幂：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 3. 最后处理单独字母：只在一个单项式中出现的字母，连同其指数直接作为积的因式； 4. 结果化为最简单项式，系数化为整数（若有分数）。 【典例1】．计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．______． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)． 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 解题技巧： 1. 先根据单项式乘法法则，化简已知等式（合并同类项，整理成最简形式）； 2. 根据“相同字母的指数相同”，列出关于字母的方程（组）； 3. 解方程（组），求出字母的值； 4. 将字母的值代入所求代数式，计算出最终结果。 【典例2】．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．，求的值_______． 【变式3】．若，，则____________． 题型3 单项式乘多项式的应用 解题技巧： 1. 明确单项式和多项式，运用分配律，用单项式乘多项式的每一项； 2. 计算每一项的乘积（遵循单项式乘法法则），注意符号运算； 3. 将所得的积相加，合并同类项，得到最简结果； 4. 若有实际场景（如长度、面积），需结合题意检验结果的合理性。 【典例3】．“垃圾分类，从你我做起”．我校积极倡导垃圾分类，响应国家政策．计划制作一块长方形的宣传展板，宣传、倡导学生们化身“环保小卫士”．如图，这块宣传展板的长为，宽为，则此宣传展板的总面积为__________． 【变式1】．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【变式2】．如图，大小两个正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，求阴影部分的面积． 【变式3】．按要求解题 (1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，如果某种地砖的价格为每平方米元，那么购买地砖至少需要多少元？ (2)如果房屋的高度是米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，如果某种墙纸的价格为每平方米元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度） 题型4 多项式乘法计算 解题技巧： 1. 用第一个多项式的每一项，依次乘第二个多项式的每一项（有序相乘，避免重漏）； 2. 计算每一项的乘积，遵循单项式乘法法则，注意符号； 3. 将所有乘积项相加，找出同类项并合并，化为最简多项式。 【典例4】．已知，，均为非常数，且的计算结果是一个三次二项式．有如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则这个算式结果为______． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算：． 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法 解题技巧： 1. 牢记公式：（直接套用，简化运算）； 2. 确定p、q的值（注意符号，正数直接写，负数带符号代入）； 3. 直接计算二次项、一次项、常数项，无需逐项相乘； 4. 整理结果，若有同类项，合并后化为最简形式。 【典例5】．计算：． 【变式1】．观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【变式2】．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【变式3】．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 题型6 多项式乘法的化简求值 解题技巧： 1. 先根据多项式乘法法则，化简原式（逐项相乘、合并同类项，化为最简多项式）； 2. 观察化简后的式子，代入已知字母的值（注意代入时的符号）； 3. 按照运算顺序计算，得出最终结果；若已知条件为代数式，可先化简已知条件再代入。 【典例6】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．先化简，再求值：，其中，． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【变式3】．先化简，再求值：，其中． 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解题技巧： 1. 先将两个多项式相乘，逐项计算乘积，合并同类项，化为最简多项式； 2. 找出“不含某项”的对应项，令其系数为0（不含哪一项，哪一项的系数就为0）； 3. 列出关于字母的方程，解方程求出字母的值； 4. 检验：将求出的字母值代入原式，确认该项目确实不存在。 【典例7】．若将代数式化简后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】．已知的乘积中不含的一次项，则与满足的关系是__________． 【变式2】．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 【变式3】．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 题型8 多项式乘法与图形面积 解题技巧： 1. 观察图形，确定图形的组成（长方形、正方形等），用含字母的式子表示各边的长度； 2. 方法一：用“整体法”表示图形总面积（如长方形面积=长×宽）； 3. 方法二：用“分割法”将图形分成几个简单图形，分别计算面积再相加； 4. 根据“总面积相等”，建立整式乘法关系式，化简后得出结果；若有求值需求，代入计算即可。 【典例8】．如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【变式1】．【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合来理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． (1)【类比应用】任务一：观察图2，完成填空： ． (2)【综合应用】任务二： ①由图3，可以得到等式： ． ②若实数满足：，，求的值． 【变式2】．已知长方形，，，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，求的值． 【变式3】．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 题型9 多项式乘法中的规律性问题 解题技巧： 1. 根据题目给出的前几个算式，计算出结果，观察结果的规律（系数、次数、符号等）； 2. 结合多项式乘法法则，分析算式与结果之间的联系，总结出通用规律（可用含n的式子表示，n为正整数）； 3. 验证规律：将n取不同的值（如n=1、n=2），代入规律式，检验是否与已知算式结果一致； 4. 根据规律，解决后续的求值、写算式等问题。 【典例9】．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数……当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（   ）个 ①第六行数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②的展开式中各项系数和为1024； ③的展开式中的系数是7； A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．【文化欣赏】 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式 【应用体验】 请问展开式中，共有___________项，含项的系数是___________． 【变式2】．【阅读观察】 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般，如下所示： ①； ②； ③； …… 【归纳猜想】 (1)由此可得__________； 【问题解决】请运用上面的结论，解决下列问题： (2)计算的值． (3)若，求的值． (4)【迁移拓展】比较与的大小． 【变式3】．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 题型10 乘法公式 解题技巧： 1. 先判断算式是否符合乘法公式的结构特征（平方差公式：两项和×两项差；完全平方公式：两项和/差的平方）； 2. 若符合，直接套用对应公式，注意符号（完全平方公式中，首尾异号时，中间项为负）； 3. 若不符合，可通过变形（凑项、拆项），转化为符合公式的形式，再套用公式； 4. 计算后，合并同类项（若有），化为最简形式。 【典例10】．计算： （1）； （2）． 【变式1】．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1) (2) 题型11 平方差公式与几何图形 解题技巧： 1. 观察图形，用含字母的式子表示图形的边长（如大正方形边长为a，小正方形边长为b）； 2. 方法一：用大图形面积减去小图形面积，得到阴影部分面积（如）； 3. 方法二：将阴影部分拼接成一个新的简单图形（如长方形），表示出其面积（如）； 4. 根据“阴影部分面积不变”，得出平方差公式，或利用公式解决图形面积问题。 【典例11】．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 【变式2】．【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设， 则, ∴ 【解决问题】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)如图，正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以作正方形，求阴影部分的面积． 【变式3】．如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： (1)如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式________． A．    B． C．    D． (2)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为10，面积之和为52，求阴影部分面积． (3)如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 题型12 完全平方公式与几何图形 解题技巧： 1. 观察图形（通常为大正方形，由两个小正方形和两个长方形组成），用含字母的式子表示各部分边长（如大正方形边长为）； 2. 方法一：用大正方形的边长表示总面积，即； 3. 方法二：将大正方形分割为两个小正方形（面积、）和两个长方形（面积均为），总面积为； 4. 根据“总面积相等”，得出完全平方公式；同理可推导，或利用公式解决图形面积问题。 【典例12】．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是______． 【变式2】．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，可得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形和正方形的顶点A，D，E在一条直线上，两正方形的面积和是61，若，求图中阴影部分的面积． 【变式3】．如图1是长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． 一、知识探究 (1)请你观察图1和图2，直接写出、、三者之间的数量关系． 二、知识应用 (2)设，，求：． (3)若，，求的值． 题型13 通过对完全平方公式变形求值 解题技巧： 1. 观察已知条件和所求代数式，确定需要用到的完全平方公式变形形式（如）； 2. 从已知条件中，找出、、的值（或通过化简得出）； 3. 将已知值代入变形公式，计算出所求代数式的值； 4. 计算过程中注意符号和运算顺序，避免粗心失误。 【典例13】．若，求的最小值（   ） A．4 B．8 C．6 D．10 【变式1】．已知，，则的值为______． 【变式2】．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（，都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【变式3】．阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式，可对进行适当的变形，如：或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，，分别求 ． (2)若，求的值． (3)若n满足，求的值． 题型14 求完全平方式中的字母系数 解题技巧： 1. 牢记完全平方式的结构：，确定平方式的首尾两项； 2. 找出首尾两项对应的“a”和“b”（首尾两项必须是平方形式，且符号为正）； 3. 根据中间项=±2×√首项×√尾项，列出关于字母系数的方程； 4. 解方程，求出字母系数的值（注意中间项符号，可能有两个解）。 【典例14】．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【变式1】．若代数式是完全平方式，则的值为______． 【变式2】．【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 【变式3】．阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 题型15 乘法公式的新定义运算 解题技巧： 1. 认真阅读题干，理解新定义运算的规则（明确运算符号、运算顺序，以及与乘法公式的联系）； 2. 将新定义运算转化为熟悉的乘法公式（平方差、完全平方公式），替换对应的字母； 3. 按照乘法公式的法则，化简或计算，注意符号和运算顺序； 4. 若有求值需求，代入已知条件，计算出最终结果，确保符合新定义规则。 【典例15】．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是______________． 【变式2】．【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【变式3】．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：44 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 题型16 乘法公式中的配方法求值 解题技巧： 1. 观察代数式的结构，将其整理为“二次项+一次项+常数项”的形式； 2. 配方：在二次项和一次项后，加上（一次项系数一半的平方），再减去这个数（保证代数式值不变）； 3. 将配方后的式子转化为完全平方式与常数的和（或差），即的形式； 4. 利用完全平方式的非负性（），求出代数式的最值或具体值。 【典例16】．阅读材料：我们把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即．例如：，，是的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（    ） ①和都是不同形式的配方 ②是完全平方式，则k的值为3 ③有最小值，最小值为2 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 【变式2】．配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【变式3】．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 05 期中过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列多项式乘法中，不能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 4．从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 5．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．一个正方形的边长增加，面积相应增加，则这个正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 7．若，，则等于（    ） A． B．4 C．2 D． 8．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．运用乘法公式简便计算：______． 10．已知长方形的长为，宽为，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中间空白部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为58，则的值为______． 11．已知，则与的大小关系是_____N．（填“>、<或＝”） 12．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 13．已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 14．若，，则的值是________． 15．定义新运算：，那么______． 16．如图将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，点在边上，连接，，，若线段，且．则图中阴影部分的面积为_____． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．定义，如．已知，（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的二次项，求的值，并求当时，求的值． 19．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请参照图1表示的关系式写出图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：； 图2表示：________________________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，则________；若，则________． 20．将两数和（差）的完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例：若，求的值． 解： 根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)已知，则________； (2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中在一条直线上，连接．若，求一块三角板的面积； (3)若满足，求的值． 21．两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其未重叠部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为． (1)用含、的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 22．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是（   ）；（请选择正确的一个） A. B. C. (2)若，则的值是_________； (3)计算：． 24．阅读下列材料，完成相应的任务： 神奇的“算两次” 数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式，我们称这一方法为“算两次”． 初步感知： 运用“算两次”的方法验证完全平方公式： 将图1中的图形看作一个整体，它的面积可以表示为_____，把它看作由四部分组成的图形，它的面积可以表示为，可以得到乘法公式_____，以上求解过程中，主要运用的数学思想是_____（从下面选项中选出一个即可）： A．统计思想        B．数形结合        C．方程思想 方法应用： 请你类比上述得到完全平方公式的过程，画出图形，并用“算两次”的方法求解． 求解过程：…… 任务： (1)补全初步感知中的内容； (2)写出方法应用的求解过程： (3)请你用所学过的整式乘法公式或者是整式乘法法则求解，感受结果的一致性； (4)根据（2），（3）得到的公式，直接写出_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $