9.1平移同步培优讲义(3大知识点+6大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

9.1平移同步培优讲义 (3大知识点+6大题型+过关检测） 目录 【知识点1 平移的定义】 1 【知识点2 平移的性质】 2 【知识点3 平移作图的步骤】 2 【题型1 生活中的平移现象】 2 【题型2 图形的平移】 3 【题型3 利用平移的性质求解】 4 【题型4 利用平移解决实际问题】 5 【题型5 平移（作图）】 6 【题型6 平移的性质与平行线的性质综合】 7 1. 理解平移的定义，能准确识别生活中的平移现象，明确平移的两个核心要素（方向、距离）。 2. 掌握平移的基本性质，能运用性质判断平移前后图形的对应点、对应线段、对应角的关系，明确平移不改变图形的形状和大小。 3. 能根据平移的性质，解决线段长度、角度大小等相关计算问题，体会平移的几何特征。 4. 掌握平移作图的基本方法和步骤，能根据已知条件（原图形、平移方向、平移距离）作出平移后的图形。 5. 能运用平移的知识解决生活中的实际问题，培养几何直观能力、动手操作能力和应用意识，感受数学与生活的联系。 03 知识•梳理 【知识点1 平移的定义】 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 关键提醒： · 平移的两个核心要素：平移方向（如水平向右、竖直向上、斜向等）和平移距离（图形上各点移动的距离都相等）； · 平移的范围：仅限“平面内”，空间中的移动不属于本节课所学的平移； · 平移的本质：图形的位置发生改变，但图形的形状、大小和方向都不改变（区别于旋转、翻折）。 【知识点2 平移的性质】 1. 对应点：平移后，图形上每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等，且这些线段的方向与平移方向一致。 2. 对应线段：平移前后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段的方向与平移方向一致。 3. 对应角：平移前后，对应角相等。 4. 图形特征：平移前后，图形的形状、大小不变，图形的方向不变（对应线段、对应角的方向一致）。 补充说明：“平行（或在同一条直线上）”——当平移方向与对应线段的方向一致时，对应线段在同一条直线上；当平移方向与对应线段的方向不平行时，对应线段互相平行。 【知识点3 平移作图的步骤】 1. 确定原图形的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点、线段的端点等，关键点越多，作图越准确）； 2. 根据平移方向和平移距离，画出每个关键点的对应点（画对应点时，确保对应点与原关键点的连线平行于平移方向，且长度等于平移距离）； 3. 按原图形的形状，依次连接各对应点，得到平移后的图形。 关键提醒：平移作图时，要标注平移方向和平移距离，确保对应点的位置准确，连线平行且相等。 易错点提醒 · 混淆平移与其他图形运动：平移不改变图形的方向，而旋转、翻折会改变图形的方向； · 忽略平移的两个要素：只说“移动”，不说方向和距离，不算完整的平移； · 平移作图时，关键点找不全，或对应点的连线不平行于平移方向、长度不等于平移距离； · 误认为平移会改变图形的形状或大小，或对应角不相等、对应线段不相等。 04 题型•汇总 【题型1 生活中的平移现象】 解题关键：紧扣平移的定义，判断现象是否满足“沿某个方向移动一定距离”“形状、大小、方向不变”，排除旋转、翻折、缩放等其他运动。 【典例1】．濮阳杂技是一种非常古老的传统民间杂技艺术．历史悠久，起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．“耍宝”是濮阳杂技艺术节设计出的卡通图案．通过平移，如图中的“耍宝”移动得到的图是（　　） A． B． C． D． 跟随训练1-1．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 跟随训练1-2．下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【题型2 图形的平移】 解题关键：识别图形平移前后的对应点、对应线段、对应角，判断平移的方向和距离，明确平移前后图形的特征（形状、大小、方向不变）。 【典例2】．下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．京剧是中国的“国粹”，京剧脸谱是一种具有汉族文化特色的特殊化妆方法．下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【题型3 利用平移的性质求解】 解题关键：运用平移的性质（对应线段相等、对应角相等、对应点连线平行且相等），结合已知条件，求线段长度、角度大小等。 【典例3】．如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为 ． 跟随训练3-1．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积 ．（结果化成最简形式） 【题型4 利用平移解决实际问题】 解题关键：将实际问题转化为平移问题，利用平移的性质（对应线段相等、对应点连线平行且相等），简化计算或解决图形拼接、路径最短等问题。 【典例4】．如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 跟随训练4-1．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为 ， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为 ． 跟随训练4-2．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【题型5 平移（作图）】 解题关键：按照平移作图的三步法（找关键点→画对应点→连对应点），确保对应点连线平行于平移方向、长度等于平移距离，作图规范、标注清晰。 【典例5】．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 跟随训练5-1．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 跟随训练5-2．将下列方格纸中的向右平移8格，再向上平移2格，得到． (1)画出平移后的三角形； (2)若，，则_______． (3)如果，则_______． 【题型6 平移的性质与平行线的性质综合】 解题关键：核心是联动平移的性质（对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等）与平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），先通过平移性质得到线段平行关系，再利用平行线性质求角度、证线段关系；或反之，由平行线性质推导平移的对应关系，注意两者的关联转化，避免混淆两个知识点的适用条件。 【典例6】．在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 跟随训练6-1．如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． 如图，当时，求的度数； 在整个运动中，当时，则的度数______． 在整个运动中，直接写出之间的等量关系． 跟随训练6-2．直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 05 过关•检测 1．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 2．一个图形经过平移能得到另一个图形，其对应点所连成的线段的关系是（   ） A．平行 B．相等 C．平行且相等或在同一条直线上且相等 D．平行且相等 3．如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 4．中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则 cm． 10．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为 ． 11．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是 的（填“正确”或“不正确”）． 12．某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，如图，有甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），甲方案中小路总面积为，乙方案中小路总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空） 13．如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 14．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为 ． 15．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 16．如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位至，与的位置关系是______； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点E； (4)线段、、这三条线段大小关系是______．（用“”号连接） 17．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 18．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 19．小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 20．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1平移同步培优讲义 (3大知识点+6大题型+过关检测） 目录 【知识点1 平移的定义】 1 【知识点2 平移的性质】 1 【知识点3 平移作图的步骤】 2 【题型1 生活中的平移现象】 2 【题型2 图形的平移】 4 【题型3 利用平移的性质求解】 5 【题型4 利用平移解决实际问题】 7 【题型5 平移（作图）】 10 【题型6 平移的性质与平行线的性质综合】 14 1. 理解平移的定义，能准确识别生活中的平移现象，明确平移的两个核心要素（方向、距离）。 2. 掌握平移的基本性质，能运用性质判断平移前后图形的对应点、对应线段、对应角的关系，明确平移不改变图形的形状和大小。 3. 能根据平移的性质，解决线段长度、角度大小等相关计算问题，体会平移的几何特征。 4. 掌握平移作图的基本方法和步骤，能根据已知条件（原图形、平移方向、平移距离）作出平移后的图形。 5. 能运用平移的知识解决生活中的实际问题，培养几何直观能力、动手操作能力和应用意识，感受数学与生活的联系。 03 知识•梳理 【知识点1 平移的定义】 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 关键提醒： · 平移的两个核心要素：平移方向（如水平向右、竖直向上、斜向等）和平移距离（图形上各点移动的距离都相等）； · 平移的范围：仅限“平面内”，空间中的移动不属于本节课所学的平移； · 平移的本质：图形的位置发生改变，但图形的形状、大小和方向都不改变（区别于旋转、翻折）。 【知识点2 平移的性质】 1. 对应点：平移后，图形上每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等，且这些线段的方向与平移方向一致。 2. 对应线段：平移前后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段的方向与平移方向一致。 3. 对应角：平移前后，对应角相等。 4. 图形特征：平移前后，图形的形状、大小不变，图形的方向不变（对应线段、对应角的方向一致）。 补充说明：“平行（或在同一条直线上）”——当平移方向与对应线段的方向一致时，对应线段在同一条直线上；当平移方向与对应线段的方向不平行时，对应线段互相平行。 【知识点3 平移作图的步骤】 1. 确定原图形的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点、线段的端点等，关键点越多，作图越准确）； 2. 根据平移方向和平移距离，画出每个关键点的对应点（画对应点时，确保对应点与原关键点的连线平行于平移方向，且长度等于平移距离）； 3. 按原图形的形状，依次连接各对应点，得到平移后的图形。 关键提醒：平移作图时，要标注平移方向和平移距离，确保对应点的位置准确，连线平行且相等。 易错点提醒 · 混淆平移与其他图形运动：平移不改变图形的方向，而旋转、翻折会改变图形的方向； · 忽略平移的两个要素：只说“移动”，不说方向和距离，不算完整的平移； · 平移作图时，关键点找不全，或对应点的连线不平行于平移方向、长度不等于平移距离； · 误认为平移会改变图形的形状或大小，或对应角不相等、对应线段不相等。 04 题型•汇总 【题型1 生活中的平移现象】 解题关键：紧扣平移的定义，判断现象是否满足“沿某个方向移动一定距离”“形状、大小、方向不变”，排除旋转、翻折、缩放等其他运动。 【典例1】．濮阳杂技是一种非常古老的传统民间杂技艺术．历史悠久，起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．“耍宝”是濮阳杂技艺术节设计出的卡通图案．通过平移，如图中的“耍宝”移动得到的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的概念，熟练掌握平移后的图形位置改变，大小和形状、方向不变是解题的关键．根据平移的概念进行判断即可． 【详解】解：A、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过旋转变换得到的，故不符合题意； B、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过旋转变换得到的，故不符合题意； C、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过轴对称变换得到的，故不符合题意； D、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过平移变换得到的，故符合题意． 故选：D． 跟随训练1-1．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 跟随训练1-2．下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意； B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意； C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意； D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意； 故选：B. 【题型2 图形的平移】 解题关键：识别图形平移前后的对应点、对应线段、对应角，判断平移的方向和距离，明确平移前后图形的特征（形状、大小、方向不变）。 【典例2】．下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A、通过旋转得到，故本选项不符合题意； B、通过平移得到，故本选项符合题意； C、通过轴对称得到，故本选项不符合题意； D、通过旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：B． 跟随训练2-1．京剧是中国的“国粹”，京剧脸谱是一种具有汉族文化特色的特殊化妆方法．下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．解题的关键是要观察比较平移前后物体的位置． 根据题意，结合图形，根据平移前后是全等图形且方向不变即可求解． 【详解】解：由平移的性质可得，B选项中的图形可由如图所示的脸谱平移得到． 故选：B． 跟随训练2-2．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 【题型3 利用平移的性质求解】 解题关键：运用平移的性质（对应线段相等、对应角相等、对应点连线平行且相等），结合已知条件，求线段长度、角度大小等。 【典例3】．如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质得，，，即得，再根据梯形的面积公式解答即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，，，， ∴，， ∴四边形是直角梯形， ∵为中点， ∴， ∴， 解得， ∴平移距离为， 故答案为：． 跟随训练3-1．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 跟随训练3-2．如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积 ．（结果化成最简形式） 【答案】/ 【分析】此题考查了平移的性质，首先得到，，求出，然后得到． 【详解】解：由平移得，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【题型4 利用平移解决实际问题】 解题关键：将实际问题转化为平移问题，利用平移的性质（对应线段相等、对应点连线平行且相等），简化计算或解决图形拼接、路径最短等问题。 【典例4】．如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 跟随训练4-1．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为 ， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题； （2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 跟随训练4-2．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 【题型5 平移（作图）】 解题关键：按照平移作图的三步法（找关键点→画对应点→连对应点），确保对应点连线平行于平移方向、长度等于平移距离，作图规范、标注清晰。 【典例5】．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：连接、， 由平移的性质可知：，， 故答案为：平行且相等； （3）解： 故答案为：． 跟随训练5-1．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，20 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是四边形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是． 跟随训练5-2．将下列方格纸中的向右平移8格，再向上平移2格，得到． (1)画出平移后的三角形； (2)若，，则_______． (3)如果，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握平移不变性是解题的关键． （1）分别作出点向右平移8格，再向上平移2格的点，再顺次连接即可； （2）利用的平移的性质求解； （3）利用的平移的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：由平移的性质可得， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 由平移的性质可得，， 故答案为：． 【题型6 平移的性质与平行线的性质综合】 解题关键：核心是联动平移的性质（对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等）与平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），先通过平移性质得到线段平行关系，再利用平行线性质求角度、证线段关系；或反之，由平行线性质推导平移的对应关系，注意两者的关联转化，避免混淆两个知识点的适用条件。 【典例6】．在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 【答案】(1)12 (2) (3)10秒 (4)105或52.5或17.5或35 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得，进而可得阴影部分的周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）设的边上的高为，则，由平移性质得四边形底，高为，面积为，根据四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； （4）分和两种情况，根据平行线的性质以及平移的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵沿着直线l平移得到，平移距离为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：12； （2）解：∵， ∴， ∵，沿着直线l平移得到， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的边上的高为，则， 由平移性质得：四边形底，高为， 所以，四边形面积为， 因为四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； 所以，， 解得：， 即10秒后四边形的面积是的面积的3倍 （4）解：连接，如图，由平移知，， ∴，当与中一个角是另一个角的3倍时，与中一个角是另一个角的3倍时，设， 当时，， 若，则，解得，即， 若，则，解得， 即， 当时， 若，则，解得，即， 若，则，解得，即， ∴的度数为或或或 故答案为：105或52.5或17.5或35． 跟随训练6-1．如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． 如图，当时，求的度数； 在整个运动中，当时，则的度数______． 在整个运动中，直接写出之间的等量关系． 【答案】(1)见解析； (2)；或；或或． 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定与性质及正确作出辅助线是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，等量代换得到，然后通过平行线的判定即可得到结论； （）如图，过作交于，根据平行线的性质即可得到结论； 过作交于，根据平行线的性质即可得到结论； 结合即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作交于， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 如图，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或； 如图，∵，， ∴， ∴，， ∴，即； 如图，∵，， ∴， ∴，， ∴，即； 同理，当在下方时， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，或或． 跟随训练6-2．直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 ②如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：①如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； ②如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 05 过关•检测 1．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 2．一个图形经过平移能得到另一个图形，其对应点所连成的线段的关系是（   ） A．平行 B．相等 C．平行且相等或在同一条直线上且相等 D．平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查平移的基本性质，需明确平移后对应点所连线段的关系，根据平移的性质，作答即可．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．        【详解】解：∵平移后对应点所连成的线段平行且相等，当对应点在同一条直线上时，对应点连线在同一直线上且相等， ∴对应点所连成的线段的关系是平行且相等或在同一条直线上且相等． 故选：C． 3．如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移，根据平移的性质可知两只蚂蚁行走的路程相等，又因为它们爬行的速度相等，所以两只蚂蚁同时回到洞中． 【详解】解：，， ， 两只蚂蚁行走的路程相等， 又它们爬行的速度相等， 两只蚂蚁同时回到洞中． 故选：C． 4．中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解题的关键．四方连续纹样是指一个单位纹样向上下左右四个方向反复循环排列形成的装饰图案，根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 5．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段的长度相等是解题的关键． 根据平移的性质确定平移线段的长度，再将拆分为三段，通过相加计算出的长度． 【详解】解：将三角形沿方向平移得到对应的三角形， ． ， ． 故选：C． 6．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 7．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了长方形周长公式的应用及图形的平移思想，熟练掌握长方形周长公式并利用平移简化计算是解题的关键． 通过平移道路，将其转化为长方形的长与宽的和，结合长方形周长公式计算道路总长． 【详解】解：设长方形草坪的长为，宽为． 长方形周长公式：， ∴． 平移道路后，道路总长等于． 故答案为：B． 8．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 9．如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则 cm． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质．直接利用平移的性质即可求解． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 10．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移，由已知可得中间重叠部分长方形的周长为，由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，即可得甲、乙的周长和为，进而得到甲的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40， ∴中间重叠部分长方形的周长为， 由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长， ∴甲、乙的周长和为， ∵甲和乙的周长相等， ∴甲的周长为， ∴正方形甲的边长为， 故答案为：． 11．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是 的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 12．某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，如图，有甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），甲方案中小路总面积为，乙方案中小路总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【分析】本题考查生活中的平移，熟练掌握平移的定义和性质是解题的关键． 将甲设计方案中的小路通过平移变为规则的图形即可求解． 【详解】解：如图，将甲中的一部分小路平移， 观察图形可得，平移后的甲方案中小路总面积和乙方案中小路总面积相等， 则甲乙方案中小路总面积相等，即． 故答案为：． 13．如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了平移，理解平移的性质是解题的关键．根据平移能够得到，求得即可求得 【详解】解：由平移，得， ， 可以看作向右平移得到，可以看作向左平移得到， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是进行面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】解：四边形沿方向平移得到四边形，， ∴，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)线段扫过的图形的面积是32 【分析】此题主要考查了平移变换和三角形的高，利用图形的面积之和是解题关键． （1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点、、，然后顺次连接； （2）先画出平移过程，可得线段扫过的图形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；      （2）解：线段扫过的图形的面积 ， 答：线段扫过的图形的面积是32． 16．如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位至，与的位置关系是______； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点E； (4)线段、、这三条线段大小关系是______．（用“”号连接） 【答案】(1)平行 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查平移的性质，网格中的垂线作图，垂线段最短，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平移的性质，直接得出与的位置关系； （2）利用网格的垂直特性，过点作竖直线与 交于，得到垂线； （3）根据的格数特征，过点作的垂线，延长该线与交于点，得到垂线； （4）根据垂线段最短即可得出、、这三条线段的大小关系． 【详解】（1）解：已知向右平移个单位，再向上平移个单位至， 平移不改变线段的方向， 则与的位置关系为平行． 答：平行． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． （4）解：， ， ， ， ． 答：． 17．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 18．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 19．小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查长方形的面积公式，整式的混合运算，关键在于平移的性质推出b图中道路的宽和长． （1）如图b，根据平移的性质，东西方向的道路的长为，宽为，则面积为，南北方向道路的面积为，院子的面积为，则空白部分的面积为，然后计算即可； （2）根据（1）所推出的结论，把代入（1）所求出的表达式，即可推出结果． 【详解】（1）∵院落为东西长，南北宽为的长方形， ∴， ∵道路的宽为， ∴东西方向的道路的长为，宽为， ∴面积为， ∴南北方向道路的面积为， ∴空白部分的面积 ． （2）∵空白部分的面积为， ∴当时，空白部分的面积 =． 20．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)10 (3)1 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $