专题02整式乘法期中复习讲义(17大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题02整式乘法期中复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透3类整式乘法法则1.快速精准运算，会选公式1.突破6大常考题型，规 +2大核心公式，懂算理、 巧算，混合运算零失误 避漏项、公式混淆等高频 辨结构 2.会转化、能逆用，用几何易错点 2.掌握公式变形+运算规 面积解释公式本质 2.提速保准，养成自查习 则，结果必最简、符号不丢3.能建模解实际问题，搞定惯，运算又快又对 分 含参整式计算 3.夯实基础，为因式分解、 3.理清“幂运算→整式乘 分式运算等后续内容铺好 一乘法公式”逻辑链 路 ☆ 题型梳理 题型01.单项式乘法运算 题型02.单项式的应用 题型03.单项式乘多项式的应用 题型04.多项式乘法运算 题型05.(+p)(x+q)型多项式乘法 题型06.多项式乘法去的化简求值 题型07.多顶式乘积不含某一项求参数 题型08.多项式乘法与图形面积 题型09.多项式汞法中的规律性问题 题型10.乘法公式计算题 题型11.平方差公式与几何图形 题型12完全平方公式与几何图形 题型13.完全平方公式的变形求值 题型14.完全平方中字母系数求解 题型15.利用乘法公式的非负性求值 题型16.乘法公式之配方法求最值 题型17.乘法公式的新定义运算 解答题7题 ☆ 知识梳理 知识点01核心法则（整式柔法三部曲） 1.单项式×单项式 系数相乘+同底数幂相乘+单独字母照写（结果最简） 步骤先算系数→再算同底数幂→最后照抄单独字母 系数是负数时，注意符号 有乘方时，先算乘方，再算乘法 试卷第1页，共3页 2.单顶式×多顶式 乘法分配律：m(a+b+c)=ma+mb+mc(不漏项、符号准) 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 3.多项式×多顶式 逐项相乘再合并：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(不重不漏》 步骤逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 知识点02两大核心公式（特殊多项式乘法，必考！） 公式 标准形式 关键特征 易错提醒 名称 平方差 两数和×两数差=平方差；一项勿漏平方：(a (a+b)(a-b)=a2-b2 公式 相同、一项互为相反数 +b)(a-b)≠a-b2 完全平 首平方，尾平方，乘积二倍放中央 勿丢中间项：(a士 (a±b)2=a2±2ab+b2 方公式 符号随中间 b)2≠a2±b2 知识点03.公式高频变形（解题测提速必备） a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab (a-b)2-(b-a)2 知识点04.运算核心规则（避错关键） 1.顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 2.符号：负号乘多项式，每一项都变号；同号得正、异号得负 3.结果：必须合并所有同类项，化为最简整式（无同类项、无括号） 知识点05知识逻辑链（理清脉络不混淆） 幂的运算（基础）→单项式×单项式→单项式×多项式一多项式X 多项式→乘法公式（特殊形式，简便运算） 首平方，尾平方，乘积二倍放中央 试卷第1页，共3页 ☆ 题型精析 题型01.单项式乘法运算 【典例】计算-3x2.4x= 【跟踪专练1】若单项式-8xy和x'y的积为-2xy5,则ab的值为() A.2 B.30 C.-15 D.15 【跟踪专练2】若单项式-6x2ym与3x-y是同类项，那么这两个单项式的积是 【跟踪专练3】计算：如图，“三角 表示3abc,方框 表示4xw,求 m 的值是() 2 5 A.10mn B.-36m5m3 C.-12mn D.12mn 题型02.单项式的应用 【典例】已知单项式3x2y与-2xy2的积为mx3y”,那么m、n的值为() A.m=-6,n=6 B.m=-6,n=5 C.m=1,n=6 D.m=1,n=5 【跟踪专练1】若x2y3=-2,则6xy2. xy的值为 【跟踪专练2】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和 图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分） 的周长相等. ①号②号 图1 图2 (1)若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； (2)若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方 试卷第1页，共3页 厘米。 【跟踪专练3】己知单项式6am+b与4a2m-b-的积与7ab是同类项，则nmm的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 题型03.单项式汞多项式的应用 【典例】己知一个三角形的一边长为2m,该边上的高为m+2n,则它的面积是 【跟踪专练1】如图，有长方形空地ABCD,其中AB=a+1米，AD=b米，为了改善环境， 准备修建一横一纵宽度均为1米的两条小路，其余部分为花圃.用含Q,b的代数式表示花 圃的面积为() D A.（ab-1)平方米 B.(ab-b)平方米 c.(ab-a平方米 D.（ab-a-b+1平方米 【跟踪专练2】已知m2+3m-3=0,则m3+2m2-6m-1009= 【跟踪专练3】如图，长方形ABCD是由两个长为a,宽为b的长方形BPEQ和 DMGN(a>b)),两个相同的大正方形APHN和FQCM,以及小正方形EFGH无缝拼接组 成.若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形EFGH面积的4倍，则的值是() M D E A.2 B.5 c.3 D.3 题型04.多项式乘法运算 【典例】计算：(2x-1x+2)= 【跟踪专练1】下列多项式相乘结果为a2-3a-18的是() A.a-2ja+9B.（a+2)(a-9）C.(a+3)a-6 D.（a-3)(a+6) 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】己知x+2)(3x-4=ax2+bx+c,则4a+2b+c=· 【跟踪专练3】某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式(x2+2x+4)(x-▲)=x-■中 的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是() A.20,5 B.16,4 C.13,3 D.8,2 题型05.(X+p)(x+q)型多顶式乘法 【典例】若(x+2)(x-3)=x2+ax-6,则a的值为· 【跟踪专练1】对于任意的实数a、b,定义运算a⑧b=a(b-1,当x为实数时， x+1)⑧(x-1的化简结果为() A.x2-1 B.x2-x-2 C.x2-x+2 D.x2+x-2 【跟踪专练2】如图，观察两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若 (x+a(x+b)=x2-2x-15,且a<b(a,b均为整数)，则a=,b= (6E2(643=x243E1画 【跟踪专练3】若y+2)(y-3)=y2+mx+n,则m,n的值分别为() A.m=1,n=6B.m=5,n=6C.m=-1,n=-6D.m=5,n=-6 题型06.多项式汞法的化简求值 【典例】已知x2+y2=22,xy=7,那么(2x-)(x-2y)的值为一· 【跟踪专练1】已知xx+3)=2024,则代数式2x+4)(x-1)-2024的值为() A.2012 B.2016 C.2020 D.2024 a b a b 【跟踪专练2】若规定符号 的意义是： =ad-bc,当m2-3m-3=0时， d c d m-3 1-2mm-2 的值为 【跟踪专练3】若多项式2x2+x-14是由整式x-2与另一个整式2x+m相乘得到的，则k的 值为() A.3 B.4 C.5 D.6 试卷第1页，共3页 题型07.多顶式乘积不含某一项求参数 【典例】己知关于x的整式x2-mx+n与x-2的乘积中不含x项和x项，则mn 【跟踪专练1】己知(x+p)(x+q)的乘积项中不含x的一次项，则p与9的关系是() A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.乘积为一1 【跟踪专练2】若要使(x+ax+5)·-6x可+6x4的展开式中不含x4的项，则常数a的值为 【跟踪专练3】已知关于x的多项式x+5m与x-2的乘积展开式中不含x的一次项，则m的 值为() C. 5 D. 5 2 题型08.多项式乘法与图形面积 【典例】如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为 (2a+b),宽为(a+3b)的大长方形，则需C类卡片 张. bB a 6 a 【跟踪专练1】如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长为 m宽为n的长方形卡片组成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用大长 方形的面积你能得到下列哪个乘法公式() 白 m n A.(m+n)2=m2+2mn+n2 B.（m+n)(m+2n=m2+3mn+2n2 C.（m+njm-n=m2-n2 D.m+n)(2m+n）=2m2+3mn+n2 【跟踪专练2】如图，长方形纸片AD=6x,AB=3,沿MN折叠纸片，使得D,C分别落 到D,C处，己知AM=2x,MD'⊥BN.连接BD',则六边形ABD'CNM的面积是 (结果用含有x的代数式表示) 试卷第1页，共3页 A 6x D A 2x M 3 B D 【跟踪专练3】长方形ABCD内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角 的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a, b应满足() A D 图1 图2 A.a=b B.a=3b C.a=2b D.a=4b 题型09.多项式乘法中的规律性问题 【典例】小明同学在计算ax+b,)(a2x+b,)时发现一次项(a,b,+a,b,)x可以利用交叉相乘再 相加的规律算得.例如计算(2x+1)(x+2时一次项为2x·2+x1=5x.仿照小明的方法，计 算(x+1(x+2(x+3列小…(x+n-1(x+n)展开式中x-项的系数为·（用含n的代数式 表示) 【跟踪专练1】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了 (a+b)”(n为非负数)展开式的各项系数的规律.例如： 1 11 121 1331(a+b)°=1 14641 15101051 (a+b)'=a+b (a+b)2=a2+2ab+b (a+b)3=a23+3a2b+3ab2+b3 试卷第1页，共3页 根据以上规律，则（α+b)'展开式共有项，所有项的系数和为(） A.7;128 B.8;128 C.9:256 D.8;256 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这 个三角形给出了(a+b)”(n=1,2,3,4…)的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 若(2x+1)2025=a,x2025+a,x204+a,x2025+…+a024x2+a2025x+a06,请根据上述规律，写出 a1-a2+a3-…+a2025的值是 11 (a+b)=a+b 121 (a+b)2=2+2b+b2 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 14641(a+b)+-a4+4ab+6a2b2+4ab3+b 【跟踪专练3】观察下列等式： (x-1(x+1=x2-1: (x-10(x2+x+1=x3-1; (x-1x3+x2+x+1=x4-1; 根据以上规律，计算32026-32025+32024-…-33+32-3的值是（) A. 3207-3 B.327+1 C.3207-3 D. 32027-1 4 4 2 2 题型10.乘法公式计算题 【典例】小红将(2024x+2025)2展开后得到ax2+bx+c1；小明将(2025x-2024)2展开后得 到a2x2+b2x+c2.若两人计算过程无误，则c-c2的值为 【跟踪专练1】下列各式中，能用完全平方公式计算的是() A.（a+1(-a+1) B.(a+b)b-a】 C.（-a+b)(a-b D.(a-b)(a+b) 【跟踪专练2】计算：(2m+n-p)(2m-n+p) 【跟踪专练3】要使多项式(x-I)(x+3)(x-4)(x-8)+m为一个完全平方式，则m等于() A.12 B.24 C.98 D.196 试卷第1页，共3页 题型11.平方差公式与几何图形 【典例】如图，正方形CEFG与正方形ABCD的面积之差是6，则阴影部分的面积是 E F A B 【跟踪专练1】如图，边长(m+2)的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩 余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是() 2 m+2 A.m+2 B.m+4 C.2m+2 D.2m+4 【跟踪专练2】如图，已知正方形ABCD和BEFG,点A,B,E三点共线，AE=12.8, CG=5,则△ABD与△BEF的面积差是 D 【跟踪专练3】如图1，将一个底边为a+b,高为a-b的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把 剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式() a (2) b 1) a-b (2) b a-b 图1 图2 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a2+b2=(a+b)(a-b) D.(a+b)(a-b)=a2-b2 题型12.完全平方公式与几何图研形 【典例】如图，点B是线段AC上任意一点（不与A,C重合），以AB,BC为边在AC上 试卷第1页，共3页 方作正方形ABDE,BCFG,若两个正方形的周长和为40，面积和为80，则阴影部分的面 积为 E D G B 【跟踪专练1】如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是() n m n m A.(m+n)(m-n)=m2-n2 B.(m+n)2=m2+2mn+n2 C.(m-n)2=m2-2mn+n2 D.(m+n)2=(m-n)2+4mn 【跟踪专练2】如图有两张正方形纸片A和B,图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积 为5，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为30，若将3个正方 形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无 重叠部分)则图3阴影部分面积 B A A B B B 图1 图2 图3 【跟踪专练3】把长和宽分别为α和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴 影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是() 试卷第1页，共3页 专题02整式乘法期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透 3 类整式乘法法则 + 2 大核心公式，懂算理、辨结构 2.掌握公式变形 + 运算规则，结果必最简、符号不丢分 3.理清 “幂运算→整式乘→乘法公式” 逻辑链 1.快速精准运算，会选公式巧算，混合运算零失误 2.会转化、能逆用，用几何面积解释公式本质 3.能建模解实际问题，搞定含参整式计算 1.突破 6 大常考题型，规避漏项、公式混淆等高频易错点 2.提速保准，养成自查习惯，运算又快又对 3.夯实基础，为因式分解、分式运算等后续内容铺好路 题型01.单项式乘法运算 题型02.单项式的应用 题型03.单项式乘多项式的应用 题型04.多项式.乘法运算 题型05.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型06.多项式乘法的化简求值 题型07.多项式乘积不含某一项求参数 题型08.多项式乘法与图形面积 题型09.多项式乘法中的规律性问题 题型10.乘法公式计算题 题型11.平方差公式与几何图形 题型12.完全平方公式与几何图形 题型13.完全平方公式的变形求值 题型14.完全平方式中字母系数求解 题型15.利用乘法公式的非负性求值 题型16.乘法公式之配方法求最值 题型17.乘法公式的新定义运算 解答题7题 知识点01.核心法则（整式乘法三部曲） 1.单项式 × 单项式 系数相乘 + 同底数幂相乘 + 单独字母照写（结果最简） 步骤 先算系数→再算同底数幂→最后照抄单独字母 系数是负数时，注意符号 有乘方时，先算乘方，再算乘法 2.单项式 × 多项式 乘法分配律：m(a+b+c)=ma+mb+mc（不漏项、符号准） 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 3.多项式 × 多项式 逐项相乘再合并：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（不重不漏） 步骤 逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 知识点02.两大核心公式（特殊多项式乘法，必考！） 公式 名称 标准形式 关键特征 易错提醒 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和 × 两数差 = 平方差；一项相同、一项互为相反数 勿漏平方：(a+b)(a−b)a−b2 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 首平方，尾平方，乘积二倍放中央 符号随中间 勿丢中间项：(a±b)2a2±b2 知识点03.公式高频变形（解题提速必备） a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab (a+b)2−(a−b)2=4ab (a−b)2=(b−a)2 知识点04.运算核心规则（避错关键） 1.顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 2.符号：负号乘多项式，每一项都变号；同号得正、异号得负 3.结果：必须合并所有同类项，化为最简整式（无同类项、无括号） 知识点05.知识逻辑链（理清脉络不混淆） 幂的运算（基础） → 单项式 × 单项式 → 单项式 × 多项式 → 多项式 × 多项式 → 乘法公式（特殊形式，简便运算） 首平方，尾平方，乘积二倍放中央 题型01.单项式乘法运算 【典例】计算________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．直接利用单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 【答案】D 【分析】本题考查单项式与单项式相乘问题，先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可． 【详解】单项式和的积为， ， ， ， ． 故选择：D． 【跟踪专练2】若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是_____ 【答案】 【分析】依据同类项的定义求得，，依据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类项的定义，单项式乘单项式；解题的关键是掌握相关定义和运算法则． 【跟踪专练3】计算：如图，“三角”表示，方框表示，求的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的乘法，根据题意列算式，再根据整式的乘法法则计算可求解． 【详解】解：由题意得 ． 故答案选：B 题型02.单项式的应用 【典例】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 【跟踪专练3】已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 题型03.单项式乘多项式的应用 【典例】已知一个三角形的一边长为，该边上的高为，则它的面积是 _____________ ． 【答案】 【分析】此题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：它的面积是 ． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，有长方形空地，其中米，米，为了改善环境，准备修建一横一纵宽度均为1米的两条小路，其余部分为花圃．用含，的代数式表示花圃的面积为（   ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积，利用平移思想，得到花圃的面积为长为，宽为的长方形的面积，进行求解即可． 【详解】解：平方米； 故选C． 【跟踪专练2】已知，则___________ ． 【答案】 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，单项式乘以多项式，根据已知可得，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，则 ∴，则 即， ∴ ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由题意，得： 则：， ∴ 阴影部分（四个直角三角形）的面积为：， 正方形面积的面积为， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴； 故选C． 题型04.多项式.乘法运算 【典例】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，掌握算理是解决问题的关键．应用多项式乘法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列多项式相乘结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式法则计算各个选项，即可解答． 【详解】解：A． ，不合题意； B．，不合题意； C．，符合题意； D．，不合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的运算，方法一：利用多项式乘以多项式法则计算得，则，再代入计算即可；方法二：把代入等式即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴， ∴， ∴； 方法二：当时，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 【答案】D 【分析】根据多项式的乘法法则，可求出，从而，即可求解． 【详解】解：∵， 根据题意， ∴， 解得：， ∴． 题型05.(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例】若，则的值为____ ． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将展开后再与对比，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴． 【跟踪专练1】对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 【跟踪专练2】如图，观察两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，且（a，b均为整数），则______，______． 【答案】 3 【分析】本题考查规律探索，观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到和，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，，或，， ∵， ∴，， 故答案为：；3． 【跟踪专练3】若，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项后即可求得答案． 【详解】解： ， 则，， 故选：C 题型06.多项式乘法的化简求值 【典例】已知，，那么的值为 __． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】若规定符号的意义是：，当时，的值为_______． 【答案】12 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 原式． 故答案为12． 【跟踪专练3】若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 题型07.多项式乘积不含某一项求参数 【典例】已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为－1 【答案】B 【分析】此题考查整式乘法的运用．根据多项式乘法展开后，令一次项的系数为零，即可确定p与q的关系． 【详解】解：将表达式展开，得到：， 由于乘积中不含的一次项，则一次项系数， 即与互为相反数． 故选：B． 【跟踪专练2】若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先求出值，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：B． 题型08.多项式乘法与图形面积 【典例】如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片_______张．    【答案】7 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据长方形的面积＝长×宽，求出长为，宽为的大长方形的面积是多少，然后的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：∵， ∴系数为7， 故需要C类卡片7张， 故答案为：7． 【跟踪专练1】如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长为m宽为n的长方形卡片组成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用大长方形的面积你能得到下列哪个乘法公式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式与多项式乘积与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键． 用两种方法表示出大长方形的面积即可求解． 【详解】大长方形的面积可以表示为： 大长方形的面积还可以表示为： ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，长方形纸片，，沿MN折叠纸片，使得D，C分别落到，处，已知，．连接，则六边形的面积是______．（结果用含有x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是掌握梯形的面积公式． 先求出，，再由，即可利用梯形的面积公式进行求解； 【详解】解：根据题意可得， ， 故答案为： 【跟踪专练3】长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键．对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，故，即． 故选：B． 题型09.多项式乘法中的规律性问题 【典例】小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为______．（用含n的代数式表示） 【答案】（写作亦可） 【分析】本题主要考查与多项式乘多项式有关的规律探究，先根据题意得出展开式中项为：，然后再进行运算即可得出答案． 【详解】解：展开式中项为： ， ∴展开式中项的系数为． 故答案为：（写作亦可）． 【跟踪专练1】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．例如： …… 根据以上规律，则展开式共有_____项，所有项的系数和为（   ） A．7；128 B．8；128 C．9；256 D．8；256 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律,多项式乘多项式，根据已有等式，得到的展开式中，共项，且所有系数的和为,进行求解即可． 【详解】解：由题可知：的展开式中，共一项，且所有系数的和为； 展开式中，共二项，且所有系数的和为； 展开式中，共三项，且所有系数的和为； 展开式中，共四项，且所有系数的和为； 展开式中，共五项，且所有系数的和为 ∴的展开式中，共项，且所有系数的和为； 则展开式共有项，所有项的系数和为 故选B． 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，杨辉三角中展开式系数的规律，赋值法等知识，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键． 令，则，则，令，则，得到，两边乘以即可求解． 【详解】解：令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】观察下列等式： ； ； ； … 根据以上规律，计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 根据规律求出的值，再减去1即可解答． 【详解】解：∵； ； ； …… （为正整数） ∴ 当时， ∴ 故选：A． 题型10.乘法公式计算题 【典例】小红将展开后得到；小明将展开后得到．若两人计算过程无误，则的值为________． 【答案】4049 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉公式的结构特点是解题的关键．根据完全平方公式展开求出，，根据平方差公式求值即可． 【详解】解：展开后得到，展开后得到， ，， ， 故答案为：4049． 【跟踪专练1】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】计算： ________． 【答案】 【分析】此题考查了平方差和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式把看作一个整体，符合平方差公式，展开后再利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为： 【跟踪专练3】要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 将多项式分组相乘，转化为关于的二次三项式，再根据完全平方式的特点求出． 【详解】解： ， ∵多项式为完全平方式， ∴， 解得． 故选：D． 题型11.平方差公式与几何图形 【典例】如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是_____． 【答案】3 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与平方差公式的应用，先求出剩余部分的面积，而拼成的长方形宽为2，利用长方形的面积公式即可求出长，即可作答． 【详解】解：依题意得，剩余部分面积为：， 而拼成的长方形宽为2， 则长是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是______． 【答案】32 【分析】本题考查了平方差公式的应用，设正方形和的边长为、，根据即可解答． 【详解】解：设正方形和的边长为、， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴， 故答案为32． 【跟踪专练3】如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键． 根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 图2中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故选：D． 题型12.完全平方公式与几何图形 【典例】如图，点是线段上任意一点（不与，重合），以，为边在上方作正方形，，若两个正方形的周长和为40，面积和为80，则阴影部分的面积为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，则可根据完全平方公式推出，则． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析图形中各部分的边长，分别用两种方式表示阴影部分的面积，从而推导出对应的乘法公式．本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的形式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键． 【详解】解：表示阴影部分面积的第一种方式：阴影部分是边长为的正方形，其面积为． 表示阴影部分面积的第二种方式： 大正方形边长为，面积为；两个长方形的长为、宽为，面积和为；小正方形边长为，面积为． ∴阴影部分面积还可以表示为． 所以，该图可验证的乘法公式是， 故选：C ． 【跟踪专练2】如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为5，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为30，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积__________． 【答案】65 【分析】由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A纸片的边长为a，B纸片的边长为b，则A纸片的面积为，B纸片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ． 【跟踪专练3】把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【详解】解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 题型13.完全平方公式的变形求值 【典例】若，则等于______． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式对已知条件变形，将和的值代入变形后的式子，即可求出的值． 【详解】根据完全平方公式，可得：， 对公式变形得：， 将，代入上式得：． 【跟踪专练1】已知，，求的值是 （    ） A．25 B．5 C．15 D．35 【答案】B 【分析】该题考查了完全平方公式，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用完全平方公式变形将已知条件代入求解． 【详解】解：∵，，， 则， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】若实数a，b满足，则的值为______． 【答案】16 【分析】根据完全平方公式将式子变形为，求出，即可得到答案． 【详解】解：实数a，b满足， ， 即， ， 解得， ． 【跟踪专练3】若，，那么的值是（   ） A．－11 B．13 C．37 D．61 【答案】B 【分析】本题重点考查​完全平方公式的变形应用​​，​​灵活运用完全平方公式将已知条件转化为目标表达式是解题的关键​​． 根据完全平方公式化简，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 题型14.完全平方式中字母系数求解 【典例】如果整式是一个整式的平方，那么的值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式得出，即可求出的值． 【详解】解：∵整式 是一个完全平方式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】二次三项式是一个完全平方公式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是解题的关键，根据完全平方式的结构特征得出，进行求解即可． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方公式， ， ， 解得：或． 故选：C． 【跟踪专练2】如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为______． 【答案】13或−11 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：13或−11． 【跟踪专练3】已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：，， 当，，时，， 故选：B． 题型15.利用乘法公式的非负性求值 【典例】已知，则的值_______． 【答案】 【分析】将已知转化为，再根据“形如：，得：，”求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【跟踪专练1】已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“不含二次项”可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解： ； ∵的展开式中不含的二次项， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【跟踪专练2】原题呈现：若，求、的值． 方法介绍：①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经典运用： (1)若，则__________，__________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）仿照题干方法，转化为非负数的和为0的形式，进行求解即可； （2）仿照题干方法，转化为非负数的和为0的形式，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴； （2）， ， ， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】（1）化简：； （2）当时，求（1）中式子的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查整式的混合运算，非负性，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法公式和多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）由非负性求出，的值，代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ，， ，， ． 题型16.乘法公式之配方法求最值 【典例】在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，然后再减去，使整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）将方程左边配成两个完全平方式之和，从而根据完全平方式的非负性可求x，y，从而可以进一步求解得到答案； （2）将要求值的式子整体乘以2再除以2即可配成完全平方式，代值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 原式． 【跟踪专练1】配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成． 解决问题： （1）已知，可配方成（，为常数），则______； 探究问题： （2）已知，求的值； 拓展结论： （3）已知实数，满足，则的最大值是______． 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】本题主要考查配方法，完全平方公式的运用，二次函数求最值的方法，掌握配方法的计算是关键． （1）根据题意，找出一次项系数，运用配方法计算即可； （2）根据题意，分组运用配方法计算得到，由非负性得到，由此即可求解； （3）根据题得到，代入所求代数式得到，根据二次函数求最值的方法即可求解． 【详解】解：（1） ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， ∴， ， ∵， ∴， 解得，， ∴； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴的最大值是． 【跟踪专练2】老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴， 当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将用含的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 【详解】（1）解：依题意，∵，∴， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解：， ∵，∴， 则当时，有最小值，是， 则代数式的最小值是 8 ； （3）解：∵， ， ， ∴的最小值是． 【跟踪专练3】完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 【跟踪专练4】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题．． 例如：求代数式的最小值． 解：， 当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、平方的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征以及利用平方非负性解题是关键． （1）观察二次三项式的形式，依据完全平方公式，判断是否符合完全平方式结构来配方． （2）把等式左边的式子通过拆项，凑成两个完全平方式的和，再利用平方的非负性求出、的值，进而计算 ． （3）将代数式通过添项凑成完全平方式，结合平方的非负性确定最小值． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解： 平方数具有非负性，两个非负数的和为，则这两个非负数都为 ， ， （3）解： 当时，代数式的最小值是 题型17.乘法公式的新定义运算 【典例】定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③若，则；④若或，则，其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】根据新定义运算验算即可． 【详解】解：①，故正确； ②，，不一定相等，故错误； ③若， 则， 则， 故正确； ④若 则， 若， ， 故正确． 故答案为：①③④． 【跟踪专练1】对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； (3)对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，然后根据完全平方公式变形计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． （3）解：①原式 ， ，， ； ②由题意得：， ， 四边形的面积为， ， 解得：． 【点睛】本题考查了有理数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 【跟踪专练3】我们定义：如果两个多项式的差为常数，则称与互为恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如与互为恒定差多项式，它们的恒定差值为-4． (1)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是__________（填序号）； ①与②与③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为恒定差多项式，求，的值，并写出恒定差值． 【答案】(1)③ (2)，，恒定差值为． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，解题的关键是正确理解题意． （1）两个多项式相减，判断差是否为常数即可； （2）两个多项式作差，令二次项系数和一次项系数为零，求出和的值，代入常数项，计算即可． 【详解】（1）解：∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴①不符合题意， ∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴②不符合题意， ∵，是常数， ∴与互为“恒定差多项式”， ∴③符合题意， 故答案为：③． （2）解：∵多项式与多项式（，，为常数）互为恒定差多项式， ， ∴为常数， ∴， 解得，，， ∴， ∴恒定差值为． 答：，，恒定差值为． 【解答题】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、单项式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先分别利用乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质进行计算，再合并同类项即可； （2）先根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则计算除法，再根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 2．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘、单项式乘以多项式法则等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据积的乘方、同底数幂相乘以及单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．先化简再求值 (1)，其中，． (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出，代入计算即可求出答案； （2）原式利用同底数幂的乘法逆运算法则，幂的乘方逆运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴原式； （2）解：∵，，， ∴． 4．关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 5．如图，我校闻澜阁前有一个长为米，宽为米的长方形喷泉，现计划在喷泉的四周种植三色堇花带，花带的种植宽度均为米． (1)用含，的代数式表示三色堇花带所占面积，并化简． (2)已知，三色堇花苗单价为3元/，若购买花苗花费1812元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的数据和图形，结合三色堇花带所占面积大长方形的面积长方形喷泉面积列代数式，再根据多项式乘多项式法则展开即可； （2）根据（1）中的结果和题意，结合题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得三色堇花带所占面积 ． （2）解：∵， ∴三色堇花带所占面积， 根据题意可得， 解得：． 6．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积________；________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________（用字母表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别用分割法以及长方形的面积公式进行计算即可； （2）根据面积相等，得到乘法公式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为； 图②阴影部分的面积为； （2）解：由（1）可知：； （3）解： ． 7．【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 【答案】(1) (2)猜想：a，b，c之间的关系为，验证见解析 (3)单项式为或或 【分析】（1）根据示例可得到结果； （2）猜想规律为，利用完全平方公式展开后，可得到结果； （3）根据题意，分类讨论，可得到结果． 【详解】（1）解：根据示例可发现：； （2）解：猜想：a，b，c之间的关系为， 验证：， ，，， ， ； （3）解：①这个单项式为乘积2倍时，设单项式为， ， ， 这个单项式为或， ②这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为， ， 这个单项式为， 综上所述，单项式为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $