专题01幂的运算（期中复习讲义，全章5知识点+12大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题01 幂的运算 （期中复习讲义，全章5知识点+12大题型+过关检测） 【题型1 同底数幂相乘】 2 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 3 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 3 【题型4 幂的乘方运算】 4 【题型5 幂的乘方的逆用】 5 【题型6 积的乘方运算】 5 【题型7 积的乘方的逆用】 6 【题型8 同底数幂的除法运算】 7 【题型9 同底数幂除法的逆用】 7 【题型10 幂的混合运算】 8 【题型11 零指数幂】 9 【题型12 负整数指数幂】 9 · 掌握幂的四大核心运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除）的法则，能熟练、准确进行基础运算； · 理解零指数幂、负整数指数幂的意义，牢记运算性质，避免常见易错点； · 能灵活运用幂的运算法则进行逆用，解决求值、化简等问题； · 掌握科学记数法与幂的运算结合的解题方法，能快速处理相关计算； 03 期中知识•梳理 知识点1：幂的基本概念 一般地，n个相同因数a相乘，记作，其中a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次幂”或“a的n次方”（n为正整数）。 知识点2：幂的四大运算法则（重点） 1. 同底数幂相乘：（m、n为正整数） 法则要点：底数不变，指数相加；注意底数必须相同（若底数互为相反数，需先转化为相同底数，再运算）。 2. 幂的乘方：（m、n为正整数） 法则要点：底数不变，指数相乘；区别于同底数幂相乘（指数相加），避免混淆。 3. 积的乘方：（n为正整数） 法则要点：先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；可推广到多个因式：。 4. 同底数幂相除：（a≠0，m、n为正整数，且m>n） 法则要点：底数不变，指数相减；前提是底数a不能为0（0不能作为除数）。 知识点3：零指数幂与负整数指数幂（易错点） 1. 零指数幂：（a≠0） 易错提醒：0的0次幂无意义，只有非0数的0次幂才等于1。 2. 负整数指数幂：（a≠0，n为正整数） 法则要点：负指数幂转化为正指数幂的倒数；可推广：，方便计算。 知识点4：科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，n为正整数）； 对于小于1的正数，可表示为（其中，n为正整数，n等于原数中左起第一个非0数字前0的个数）。 知识点5：易错点总结 · 混淆运算法则：如、； · 忽略底数不为0的前提：如计算、，均无意义； · 负整数指数幂运算错误：如（正确应为）； · 科学记数法中a的范围错误（需满足），或n的取值错误。04 期中题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 解题技巧 1. 判断底数是否相同，互为相反数的先转化为同底数； 2. 遵循“底数不变，指数相加”，注意负底数的符号运算； 3. 多个同底数幂相乘，连续运用法则即可； 4. 底数为多项式时，将其看作一个整体运算。 【典例1】．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．若（是常数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．计算______． 【变式3】．若，则___________ 【变式4】．若a，b是正整数，且满足，则______． 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 解题技巧 1. 逆用法则：，将指数和拆分为两个指数相加； 2. 结合已知条件，把所求幂转化为两个可计算的同底数幂相乘； 3. 底数为相反数时，先统一底数，再逆用法则。 【典例2】．已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 【变式1】．若，则等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【变式2】．若，，则的值是______． 【变式3】．若．则______． 【变式4】．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 解题技巧 1. 先将科学记数法表示的数拆分为“a×10ⁿ”形式，分别计算a与a、10ⁿ与10ⁿ； 2. a的乘积需满足，不满足则调整小数点，同步修正10的指数； 3. 10的幂相乘，遵循同底数幂乘法法则（指数相加），最终整理为科学记数法形式。 【典例3】．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（   ）米 A． B． C． D． 【变式1】．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为________米． 【变式3】．在某地，平均每平方米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧的煤产生的热量．该地的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧______的煤产生的热量（用科学记数法表示）． 【变式4】．在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．我国约的陆地，一年从太阳得到的能量相当于燃烧______的煤所产生的能量．（结果用科学记数法表示） 【题型4 幂的乘方运算】 解题技巧 1. 遵循“底数不变，指数相乘”，不混淆同底数幂乘法法则； 2. 底数为负数时，注意指数奇偶性（奇负偶正），确定结果符号； 3. 底数为多项式时，将其看作一个整体，按法则运算。 【典例4】．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，那么的值是___________． 【变式2】．计算：________． 【变式3】．求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【变式4】．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【题型5 幂的乘方的逆用】 解题技巧 1. 逆用法则：，将指数积拆分为两个指数相乘； 2. 结合已知条件，选择合适的拆分方式（拆成已知幂的指数）； 3. 底数为负数时，先确定符号，再逆用法则求值。 【典例5】．四个数，，，中最小的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，，则的值是（    ） A．6 B．13 C．31 D．108 【变式2】．已知，则可以用m，n表示成__________． 【变式3】．若（且，m，n是正整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【变式4】．按要求求值： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 【题型6 积的乘方运算】 解题技巧 1. 遵循“先把每个因式乘方，再把幂相乘”，不遗漏任何一个因式； 2. 因式为负数时，注意指数奇偶性，确定每个因式乘方后的符号； 3. 多个因式相乘，可连续运用法则，逐个因式乘方后再相乘。 【典例6】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．，则（  ）里可以填写的式子是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．计算：________． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【变式4】．根据已知，求值 (1)已知，求的值． (2)若，求的值． 【题型7 积的乘方的逆用】 解题技巧 1. 逆用法则：，需保证各幂的指数相同； 2. 若指数不同，先转化为相同指数，再逆用法则； 3. 结合已知条件，将所求式转化为“积的乘方”形式，简化计算。 【典例7】．计算（   ） A． B． C． D． 【变式1】．的计算结果为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式2】．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，，则____． 【变式3】．巧算：______． 【变式4】．逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【题型8 同底数幂的除法运算】 解题技巧 1. 先判断底数相同，互为相反数的先转化为同底数，注意符号； 2. 遵循“底数不变，指数相减”，牢记底数不能为0； 3. 多个同底数幂相除，连续运用法则，指数依次相减。 【典例8】．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则的值为_________． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算下列各题： (1)； (2)． 【变式4】．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，则_____； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【题型9 同底数幂除法的逆用】 解题技巧 1. 逆用法则：（a≠0），将指数差拆分为两个指数相减； 2. 结合已知条件，把所求幂转化为两个可计算的同底数幂相除； 3. 注意底数不为0，避免无意义的运算。 【典例9】．已知，，则的值是（    ） A．9 B．3 C．1 D． 【变式1】．若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若，，则__________． 【变式3】．已知，，则________． 【变式4】．已知，，求： (1)； (2)． 【题型10 幂的混合运算】 解题技巧 1. 遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内； 2. 灵活运用四大运算法则，先判断运算类型，再对应法则计算； 3. 计算过程中，及时化简，避免冗余运算；注意符号和底数不为0的前提。 【典例10】．若，则的值（ ） A． B． C． D．3 【变式1】．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，化简，其结果为______． 【变式3】．若，则________． 【变式4】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型11 零指数幂】 解题技巧 1. 牢记法则：（a≠0），先判断底数a是否不为0； 2. 若底数为多项式，先判断多项式的值是否不为0，再计算； 3. 计算中遇到零指数幂，直接替换为1，再继续后续运算。 【典例11】．若有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（    ） A．2026 B． C． D．1 【变式2】．若，则可以取的值有______． 【变式3】．计算： 【变式4】．我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 【题型12 负整数指数幂】 解题技巧 1. 牢记法则：（a≠0），将负指数转化为正指数的倒数； 2. 可灵活运用，简化计算； 3. 计算后，若结果为分数，需化为最简形式；注意底数不为0。 【典例12】．的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【变式1】．计算：____________． 【变式2】．比较大小：________（填“”、“”或“”） 【变式3】．计算： 【变式4】．我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：________；若，则________； (2)若，且，均为整数，求满足条件的，的值． 05 期中过关•检测 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．已知：，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．计算的正确结果是（   ） A．2026 B． C． D． 6．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列运算结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 8．计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是________．（填序号） 10．硬盘、U盘等信息存储设备常用等作为存储量的单位，其中，，．例如，张老师有一台硬盘容量是的笔记本电脑，还有一个存储量为的U盘，则张老师这台笔记本电脑的硬盘容量是U盘容量的________倍． 11．我们定义：三角形，四边形；若，则______． 12．若，，则______． 13．计算： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)． 15．解答下列各题： (1)已知，则的值为_______． (2)如果，求的值 (3)已知，求的值． 16．完成以下问题 (1)定义：． ①求的值； ②若，求x的值． (2)若，，，求m、n和p之间的数量关系． 17．如果，那么我们规定．例：若，则． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)若，，．试说明：． 18．阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 19．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：______；______； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：______； (3)猜想______，并说明理由． 20．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求x的值． 解：法一：∵，．，． 法二：∴．．． ②比较与的大小． 解：，，，． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求x的值． (2)比较，与的大小． (3)定义两个正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，．求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算 （期中复习讲义，全章5知识点+12大题型+过关检测） 【题型1 同底数幂相乘】 1 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 2 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 3 【题型4 幂的乘方运算】 5 【题型5 幂的乘方的逆用】 7 【题型6 积的乘方运算】 9 【题型7 积的乘方的逆用】 11 【题型8 同底数幂的除法运算】 14 【题型9 同底数幂除法的逆用】 16 【题型10 幂的混合运算】 18 【题型11 零指数幂】 20 【题型12 负整数指数幂】 22 · 掌握幂的四大核心运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除）的法则，能熟练、准确进行基础运算； · 理解零指数幂、负整数指数幂的意义，牢记运算性质，避免常见易错点； · 能灵活运用幂的运算法则进行逆用，解决求值、化简等问题； · 掌握科学记数法与幂的运算结合的解题方法，能快速处理相关计算； 03 期中知识•梳理 知识点1：幂的基本概念 一般地，n个相同因数a相乘，记作，其中a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次幂”或“a的n次方”（n为正整数）。 知识点2：幂的四大运算法则（重点） 1. 同底数幂相乘：（m、n为正整数） 法则要点：底数不变，指数相加；注意底数必须相同（若底数互为相反数，需先转化为相同底数，再运算）。 2. 幂的乘方：（m、n为正整数） 法则要点：底数不变，指数相乘；区别于同底数幂相乘（指数相加），避免混淆。 3. 积的乘方：（n为正整数） 法则要点：先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；可推广到多个因式：。 4. 同底数幂相除：（a≠0，m、n为正整数，且m>n） 法则要点：底数不变，指数相减；前提是底数a不能为0（0不能作为除数）。 知识点3：零指数幂与负整数指数幂（易错点） 1. 零指数幂：（a≠0） 易错提醒：0的0次幂无意义，只有非0数的0次幂才等于1。 2. 负整数指数幂：（a≠0，n为正整数） 法则要点：负指数幂转化为正指数幂的倒数；可推广：，方便计算。 知识点4：科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，n为正整数）； 对于小于1的正数，可表示为（其中，n为正整数，n等于原数中左起第一个非0数字前0的个数）。 知识点5：易错点总结 · 混淆运算法则：如、； · 忽略底数不为0的前提：如计算、，均无意义； · 负整数指数幂运算错误：如（正确应为）； · 科学记数法中a的范围错误（需满足），或n的取值错误。04 期中题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 解题技巧 1. 判断底数是否相同，互为相反数的先转化为同底数； 2. 遵循“底数不变，指数相加”，注意负底数的符号运算； 3. 多个同底数幂相乘，连续运用法则即可； 4. 底数为多项式时，将其看作一个整体运算。 【典例1】．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同底数幂乘法法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】． 【变式1】．若（是常数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用合并同类项和同底数幂的乘法法则化简等式，再根据幂相等底数相同时，指数相等求解的值即可． 【详解】解：∵等式左边为个相加， ∴左边， 代入得，左边， ∵等式右边为个相乘，根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加， ∴右边， ∵等式左右两边相等，底数均为， ∴指数相等，即， 解得． 【变式2】．计算______． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】．若，则___________ 【答案】6 【分析】利用同底数幂的乘法法则得到指数关系，即可求出的值． 【详解】解： ∴． 【变式4】．若a，b是正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法得到，进而可知的值． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 解题技巧 1. 逆用法则：，将指数和拆分为两个指数相加； 2. 结合已知条件，把所求幂转化为两个可计算的同底数幂相乘； 3. 底数为相反数时，先统一底数，再逆用法则。 【典例2】．已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】D 【详解】解：∵,， ∴ . 【变式1】．若，则等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式2】．若，，则的值是______． 【答案】6 【详解】解：． 【变式3】．若．则______． 【答案】27 【分析】由已知条件可得，然后利用同底数幂乘法法则将原式计算后代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ． 【变式4】．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 解题技巧 1. 先将科学记数法表示的数拆分为“a×10ⁿ”形式，分别计算a与a、10ⁿ与10ⁿ； 2. a的乘积需满足，不满足则调整小数点，同步修正10的指数； 3. 10的幂相乘，遵循同底数幂乘法法则（指数相加），最终整理为科学记数法形式。 【典例3】．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的乘法运算，根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，已知月球远地点距离为米，计算乘积后将结果整理为正确的科学记数法形式即可． 【详解】解：． 【变式1】．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 【变式2】．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为________米． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的实际应用，熟练掌握运算法则，根据题意列关系式是解题的关键．根据公式“距离速度时间”，然后根据同底数幂相乘等于底数不变，指数相加的原则进行计算，最终再把结果用科学记数法，其中的形式表示即可． 【详解】解：有题意可知，该天体与地球的距离为（米）． 故答案为：． 【变式3】．在某地，平均每平方米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧的煤产生的热量．该地的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧______的煤产生的热量（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，以及用科学记数法表示数的乘法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：． 【变式4】．在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．我国约的陆地，一年从太阳得到的能量相当于燃烧______的煤所产生的能量．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查的是幂的运算，科学记数法的表示．依题意列式计算即可． 【详解】解：， 一年从太阳得到的能量相当于燃烧千克的煤所产生的能量． 故答案为：． 【题型4 幂的乘方运算】 解题技巧 1. 遵循“底数不变，指数相乘”，不混淆同底数幂乘法法则； 2. 底数为负数时，注意指数奇偶性（奇负偶正），确定结果符号； 3. 底数为多项式时，将其看作一个整体，按法则运算。 【典例4】．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据乘法的意义化简括号内a个a相加的和，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：原式． 【变式1】．已知，那么的值是___________． 【答案】16 【分析】将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 把，代入得： 原式． 【变式2】．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】．求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)75 (2)8 【详解】（1） （2）由已知，， 【变式4】．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)24 (2)4 【分析】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型5 幂的乘方的逆用】 解题技巧 1. 逆用法则：，将指数积拆分为两个指数相乘； 2. 结合已知条件，选择合适的拆分方式（拆成已知幂的指数）； 3. 底数为负数时，先确定符号，再逆用法则求值。 【典例5】．四个数，，，中最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察四个幂的指数，可得55，44，33，22的最大公约数是11，利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，再比较底数大小即可得到结果． 【详解】解：∵； ； ； ， 又∵， ∴， ∴是四个数中最小的数． 【变式1】．已知，，则的值是（    ） A．6 B．13 C．31 D．108 【答案】D 【详解】解：． 【变式2】．已知，则可以用m，n表示成__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件即可求解. 【详解】解：∵,， ∴ . 【变式3】．若（且，m，n是正整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：； （2）解： ． 【变式4】．按要求求值： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方的逆用计算，即可求出的值． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ， ， ， ， ∴，解得：． 【题型6 积的乘方运算】 解题技巧 1. 遵循“先把每个因式乘方，再把幂相乘”，不遗漏任何一个因式； 2. 因式为负数时，注意指数奇偶性，确定每个因式乘方后的符号； 3. 多个因式相乘，可连续运用法则，逐个因式乘方后再相乘。 【典例6】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式． 【变式1】．，则（  ）里可以填写的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， D选项正确． 【变式2】．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据积的乘方运算法则即可求解； （）根据积的乘方运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】．根据已知，求值 (1)已知，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】（1）根据幂的乘方法则和同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可； （2）根据积的乘方法则和同底数幂相乘法则得出，则可求出、的值，然后代入计算即可. 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解： ， ， ，解得， ，解得， . 【题型7 积的乘方的逆用】 解题技巧 1. 逆用法则：，需保证各幂的指数相同； 2. 若指数不同，先转化为相同指数，再逆用法则； 3. 结合已知条件，将所求式转化为“积的乘方”形式，简化计算。 【典例7】．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：. 【变式1】．的计算结果为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题利用积的乘方的逆运算简化计算．用到的知识点为． 【详解】解： ． 【变式2】．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，，则____． 【答案】/ 【分析】根据新定义得到 ， ，利用幂的运算法则推出，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．巧算：______． 【答案】/ 【详解】解： ． 【变式4】．逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）将原式化为，进而计算即可； （2）将等式左边化为，根据列方程求解即可； （3）将化为，进而比较即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴， ∴ 得 （3）解： ∵ ∴ ∴． 【题型8 同底数幂的除法运算】 解题技巧 1. 先判断底数相同，互为相反数的先转化为同底数，注意符号； 2. 遵循“底数不变，指数相减”，牢记底数不能为0； 3. 多个同底数幂相除，连续运用法则，指数依次相减。 【典例8】．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除运算，运用同底数幂的乘除法法则直接计算即可． 【详解】解：． 【变式1】．已知，则的值为_________． 【答案】 27 【分析】先将所求式子的底数统一化为，再利用幂的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则化简，结合已知等式得到的值，整体代入计算即可. 【详解】解: 对所求代数式变形得 ， ， ， 把代入得， 原式. 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)9 【分析】利用同底数幂的除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式； （2）． 【变式4】．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，则_____； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）根据新定义即可得到； （2）根据新定义得到 ，，，根据即可得； （3）根据新定义得到， ，即可判断． 【详解】（1）解：， ； ，， ； （2）解：∵，，， ，，， ， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵，， ，， ①； ② ，， ， ， ， ． 【题型9 同底数幂除法的逆用】 解题技巧 1. 逆用法则：（a≠0），将指数差拆分为两个指数相减； 2. 结合已知条件，把所求幂转化为两个可计算的同底数幂相除； 3. 注意底数不为0，避免无意义的运算。 【典例9】．已知，，则的值是（    ） A．9 B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘的逆运算，同底数幂相除的逆运算，将所求代数式变形为底数为的幂，利用幂的运算性质，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 则， 【变式1】．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件即可求解． 【详解】解：． 【变式2】．若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，利用同底数幂的除法法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可. 【详解】解：∵， ∴ 【变式3】．已知，，则________． 【答案】9 【分析】把变形为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式4】．已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) 50 (2) 【分析】（1）求出的值，再根据计算求解即可； （2）求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【题型10 幂的混合运算】 解题技巧 1. 遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内； 2. 灵活运用四大运算法则，先判断运算类型，再对应法则计算； 3. 计算过程中，及时化简，避免冗余运算；注意符号和底数不为0的前提。 【典例10】．若，则的值（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将原式所有幂统一转化为以3为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简，根据同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 原式可变形为：， 根据幂的乘方法则 化简得： ， 根据同底数幂的乘除法则计算左侧指数： ， ， ∵ 底数相同的幂相等，底数不为1，则指数相等， ∴ ，解得 ． 【变式1】．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用负整数指数幂，以及幂的运算法则，计算求解，即可解题． 【详解】解：． 【变式2】．已知，化简，其结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算是关键．先用积的乘方公式计算，然后用幂的乘方公式计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，结合零指数幂的计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式3】．若，则________． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 【变式4】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型11 零指数幂】 解题技巧 1. 牢记法则：（a≠0），先判断底数a是否不为0； 2. 若底数为多项式，先判断多项式的值是否不为0，再计算； 3. 计算中遇到零指数幂，直接替换为1，再继续后续运算。 【典例11】．若有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂的定义，底数不能为0，据此求解即可． 【详解】解：根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂有意义，零的零次幂无意义， ∵ 有意义 ∴ 底数不为，即 解得． 【变式1】．（    ） A．2026 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵任何非零数的次幂等于， ∴ ， ∴． 【变式2】．若，则可以取的值有______． 【答案】6，4，1 【分析】根据整数指数幂的运算性质，分三种情况讨论幂等于的情形，分别计算验证得到的取值． 【详解】解：①当时，， ，符合题意； ②当时，， ，符合题意； ③当，，解得， 故可以取的值有6，4，1． 【变式3】．计算： 【答案】 【详解】解：原式． 【变式4】．我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据题意可得，据此可得答案； （2）分三种情况：，，，分别求出对应情况下x的值，结合进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 综上所述，x的值为或或． 【题型12 负整数指数幂】 解题技巧 1. 牢记法则：（a≠0），将负指数转化为正指数的倒数； 2. 可灵活运用，简化计算； 3. 计算后，若结果为分数，需化为最简形式；注意底数不为0。 【典例12】．的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】．计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】．比较大小：________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据乘方运算法则和负整数指数幂运算法则分别计算两个数的值，再根据有理数大小比较法则判断大小． 【详解】解：，， ∵， ∴ 【变式3】．计算： 【答案】 【详解】解： 【变式4】．我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：________；若，则________； (2)若，且，均为整数，求满足条件的，的值． 【答案】(1)， (2)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了负整数指数幂运算法则．根据法则运算即可． 【详解】（1）解： ； ， ． （2）解：、为整数，， ∴， 当时，；当时，；当时，． 05 期中过关•检测 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方运算性质、积的乘方运算性质以及同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：． 3．已知：，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂的法则可得，根据有理数的乘方运算可得，根据零指数幂的法则可得，进而比较出，，的大小关系． 【详解】解：，，， ， 故选：． 4．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总数据条数每秒处理数据条数运行时间”列式，计算后整理为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：． 5．计算的正确结果是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据负整数指数幂的定义即可直接计算得到结果． 【详解】解：根据负整数指数幂的定义，对任意非零数，有， ∵， ∴． 6．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将等式左右两侧分别化简为同底数幂的形式，再根据同底数幂相等则指数相等，推导得到与的关系式． 【详解】解：∵左边为个相加， ∴左边， ∵右边为个相乘， ∴右边， 由题意得，， ． 7．下列运算结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：A、，2是正数， ∴A不符合要求； B、，1是正数， ∴B不符合要求； C、，6是正数， ∴C不符合要求； D、，是负数， ∴D符合要求． 8．计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂除法法则和积的乘方法则，逐步计算即可得到结果． 【详解】解：． 9．已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，将每个关系式两边转化为以2为底的幂，通过比较幂的值即可判断关系式是否正确． 【详解】解：根据题意得：，，， 、， ， ， 故①正确；   ， ， ， 故②正确； 、， ， ， 故③正确； 、， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 10．硬盘、U盘等信息存储设备常用等作为存储量的单位，其中，，．例如，张老师有一台硬盘容量是的笔记本电脑，还有一个存储量为的U盘，则张老师这台笔记本电脑的硬盘容量是U盘容量的________倍． 【答案】32 【分析】根据单位换算关系，利用同底数幂的乘除法进行计算． 【详解】解：∵，，且， ∴张老师这台笔记本电脑的硬盘容量是U盘容量的32倍． 11．我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【答案】100 【分析】 根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 12．若，，则______． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则将所求代数式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则可得， 将，代入得． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算零指数幂和负整数指数幂，同时计算乘方，最后计算加减法即可； （2）先计算积的乘方和同底数幂除法，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．解答下列各题： (1)已知，则的值为_______． (2)如果，求的值 (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算得到，进而得到，即可求解； （2）根据幂的乘方和同底数相乘法则，即可求解； （3）根据幂的乘方和积的乘方对所求式子进行变形，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：， ； （3）解：， ． 16．完成以下问题 (1)定义：． ①求的值； ②若，求x的值． (2)若，，，求m、n和p之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题干所给的计算规则计算即可得出结果；②由题意可得，再结合同底数幂相乘计算得出，求解即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①由题意可得：； ②， ， ， ， ； （2）解：， ， 又，， ， ，即， ． 17．如果，那么我们规定．例：若，则． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)若，，．试说明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算； （2）利用新定义计算，得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． 18．阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】 【分析】按照例题的解题方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴． 19．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：______；______； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：______； (3)猜想______，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据，求解即可； （2）设，可得，进而求出即可； （3）设，，可得，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． （2）解：设， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 设，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 20．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求x的值． 解：法一：∵，．，． 法二：∴．．． ②比较与的大小． 解：，，，． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求x的值． (2)比较，与的大小． (3)定义两个正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方法则以及同底数幂相乘的运算法则，将变形为，从而可得，求解即可； （2）利用幂的乘方法则将三个数变成幂相同的数，比较底数的大小，即可得出结果； （3）设，则，设，则，结合幂的运算法则求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，，， ， ； （3）解：设，则，设，则， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $