8.1单项式乘单项式同步培优讲义（2知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

8.1单项式乘单项式同步培优讲义 （2知识点+7题型+过关检测） 【题型1 单项式乘单项式】 2 【题型2 单项式乘单项式求值问题】 3 【题型3 单项式乘单项式中含参问题】 3 【题型4 单项式乘单项式中错解问题】 4 【题型5 单项式乘单项式中面积问题】 4 【题型6 单项式乘单项式的应用】 5 【题型7 单项式乘单项式中定义新运算问题】 6 · 理解单项式与单项式相乘的运算法则的推导过程，能准确复述法则核心内容。 · 牢记“先定符号、再算系数、再算同底数幂、最后照抄单独字母”的运算步骤，能熟练进行基础的单项式乘单项式运算。 · 能结合单项式乘单项式的运算，解决简单的求值问题和面积计算问题。 · 养成先定符号、再算运算、最后检查的良好习惯，减少符号和指数运算错误。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接前序知识点，铺垫本节课运算基础） 1. 单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式（如：3、-2x、5a²b、x 都是单项式）。 2. 幂的运算性质（核心依据）： ① 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ② 积的乘方：先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ③ 幂的乘方：底数不变，指数相乘 知识点1：单项式与单项式相乘的运算法则（核心重点） 1. 法则内容 文字语言：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 补充说明：若单项式中含有单独的数字（常数项），则常数项直接相乘，作为积的系数一部分。 2. 核心运算步骤（四步走，必记！） ① 定符号：先确定积的符号（同号得正，异号得负；多个负数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，奇数时积为负）； ② 算系数：将两个单项式的系数（包括前面的符号）相乘，所得的结果作为积的系数； ③ 算同底数幂：将相同字母的幂分别相乘，遵循“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则； ④ 照抄单独字母：只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起照抄下来，作为积的一个因式（不能遗漏）。 知识点2：单项式乘单项式的常见拓展说明 1. 多个单项式相乘：遵循同样的法则，先定符号，再将所有系数相乘，相同字母的幂分别相加，单独字母照抄； 2. 含0的单项式相乘：任何单项式与0相乘，结果都为0； 3. 含分数系数的相乘：分数系数相乘时，先约分再计算，简化运算； 4. 与实际场景结合：主要用于计算图形的面积、体积（如：长方形面积=长×宽，若长和宽为单项式，需用单项式乘单项式计算）。 易错点汇总（高频考点，重点突破，适配七年级） · 1. 符号类：异号单项式相乘，误得正；多个负因数相乘，未根据负因数个数判断符号。 · 2. 指数类：同底数幂相乘，指数相加误写成指数相乘；单独字母的指数遗漏（如：x 误写成 x⁰）。 · 3. 系数类：系数相乘时，粗心算错；分数系数相乘，未约分直接计算，导致结果繁琐。 · 4. 步骤类：含乘方的单项式相乘，未先算乘方，再算乘法；求值问题，未化简直接代入，运算复杂易出错。 · 5. 含参类：根据积的次数、系数列方程时，忽略符号；求解后未检验，导致参数值错误。 · 6. 应用类：列算式时混淆实际问题的数量关系；结果未结合实际意义，出现负数或不合理的表达式。 · 7. 新运算类：未读懂新运算的定义，混淆新运算规则与单项式乘单项式法则。 04 题型•汇总 【题型1 单项式乘单项式】 核心思路：遵循“定符号→算系数→算同底数幂→照抄单独字母”四步，直接运用法则计算，重点突破符号和指数运算。 【典例1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1． ． 跟随训练1-2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 单项式乘单项式求值问题】 核心思路：先根据单项式乘单项式法则，将代数式化简，再代入已知字母的值计算，避免直接代入导致运算复杂。 【典例2】．若，则（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 跟随训练2-2．若，，则 ． 【题型3 单项式乘单项式中含参问题】 核心思路：先根据单项式乘单项式法则化简，再结合“积的次数、系数满足的条件”，列出方程（或不等式），求解参数的值（或取值范围）。 【典例3】．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 跟随训练3-1．已知，则 ， ． 跟随训练3-2．已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 单项式乘单项式中错解问题】 核心思路：先识别错解的错误原因（常见：符号错误、指数错误、遗漏单独字母、运算顺序错误），再按照正确的法则和步骤改正。 【典例4】．小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 跟随训练4-1．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 跟随训练4-2．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【题型5 单项式乘单项式中面积问题】 核心思路：根据图形面积公式（长方形面积=长×宽、正方形面积=边长×边长），将图形的边长（含单项式）代入公式，运用单项式乘单项式法则计算面积。 【典例5】．长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 跟随训练5-2．图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米；米，则房子的面积为多少平方米？如果每平方米房价为2500元，买这套房子需要多少万元？ 【题型6 单项式乘单项式的应用】 核心思路：根据实际问题的数量关系，列出单项式乘单项式的算式，再按照法则计算，最后结合实际意义说明结果（如：长度、体积为正数）。 【典例6】．如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，运算结果可以表示为 （用含a的代数式表示）． 跟随训练6-2．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为a的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（    ）（注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．） A． B． C． D． 【题型7 单项式乘单项式中定义新运算问题】 核心思路：先读懂新运算的定义，明确新运算与单项式乘单项式的关系，再根据新定义的规则，结合单项式乘单项式法则，计算即可（重点：不改变单项式乘单项式的核心运算，只遵循新的书写规则）。 【典例7】．“三角”表示，“方框”表示，则 ． 跟随训练7-1．定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 跟随训练7-2．定义新运算：，则的运算结果是 ． 05 过关•检测 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 4．下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在代数式中，与的值各变为原来的，则该代数式的值减少为原来的（    ） A． B． C． D． 6．设，则的值为（） A． B． C． D． 7．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 8．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 9．定义新运算：，则的运算结果为 10．现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 11．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 12．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 13．如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为 ．（用含x，y的式子表示） 14．若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知，，求代数式的值． 17．如图是一个简单的数值运算程序 (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)从、、1、2中任选一个数作为的值代入，求输出的结果． 18．观察图，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度 ； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长是 ； (3)用含，的代数式，表示阴影部分的面积是 ； (4)当，时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 19．小李家住房结构如图所示，他打算把卧室和客厅铺上木制地板． (1)列式计算说明小李需要买多少平方米的木制地板．（x、y单位：米） (2)若米，米时，并且每平方米木地板的价格是190元，则他需要花费多少元钱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1单项式乘单项式同步培优讲义 （2知识点+7题型+过关检测） 【题型1 单项式乘单项式】 1 【题型2 单项式乘单项式求值问题】 3 【题型3 单项式乘单项式中含参问题】 4 【题型4 单项式乘单项式中错解问题】 5 【题型5 单项式乘单项式中面积问题】 9 【题型6 单项式乘单项式的应用】 10 【题型7 单项式乘单项式中定义新运算问题】 14 · 理解单项式与单项式相乘的运算法则的推导过程，能准确复述法则核心内容。 · 牢记“先定符号、再算系数、再算同底数幂、最后照抄单独字母”的运算步骤，能熟练进行基础的单项式乘单项式运算。 · 能结合单项式乘单项式的运算，解决简单的求值问题和面积计算问题。 · 养成先定符号、再算运算、最后检查的良好习惯，减少符号和指数运算错误。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接前序知识点，铺垫本节课运算基础） 1. 单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式（如：3、-2x、5a²b、x 都是单项式）。 2. 幂的运算性质（核心依据）： ① 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ② 积的乘方：先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ③ 幂的乘方：底数不变，指数相乘 知识点1：单项式与单项式相乘的运算法则（核心重点） 1. 法则内容 文字语言：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 补充说明：若单项式中含有单独的数字（常数项），则常数项直接相乘，作为积的系数一部分。 2. 核心运算步骤（四步走，必记！） ① 定符号：先确定积的符号（同号得正，异号得负；多个负数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，奇数时积为负）； ② 算系数：将两个单项式的系数（包括前面的符号）相乘，所得的结果作为积的系数； ③ 算同底数幂：将相同字母的幂分别相乘，遵循“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则； ④ 照抄单独字母：只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起照抄下来，作为积的一个因式（不能遗漏）。 知识点2：单项式乘单项式的常见拓展说明 1. 多个单项式相乘：遵循同样的法则，先定符号，再将所有系数相乘，相同字母的幂分别相加，单独字母照抄； 2. 含0的单项式相乘：任何单项式与0相乘，结果都为0； 3. 含分数系数的相乘：分数系数相乘时，先约分再计算，简化运算； 4. 与实际场景结合：主要用于计算图形的面积、体积（如：长方形面积=长×宽，若长和宽为单项式，需用单项式乘单项式计算）。 易错点汇总（高频考点，重点突破，适配七年级） · 1. 符号类：异号单项式相乘，误得正；多个负因数相乘，未根据负因数个数判断符号。 · 2. 指数类：同底数幂相乘，指数相加误写成指数相乘；单独字母的指数遗漏（如：x 误写成 x⁰）。 · 3. 系数类：系数相乘时，粗心算错；分数系数相乘，未约分直接计算，导致结果繁琐。 · 4. 步骤类：含乘方的单项式相乘，未先算乘方，再算乘法；求值问题，未化简直接代入，运算复杂易出错。 · 5. 含参类：根据积的次数、系数列方程时，忽略符号；求解后未检验，导致参数值错误。 · 6. 应用类：列算式时混淆实际问题的数量关系；结果未结合实际意义，出现负数或不合理的表达式。 · 7. 新运算类：未读懂新运算的定义，混淆新运算规则与单项式乘单项式法则。 04 题型•汇总 【题型1 单项式乘单项式】 核心思路：遵循“定符号→算系数→算同底数幂→照抄单独字母”四步，直接运用法则计算，重点突破符号和指数运算。 【典例1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加进行计算是解题的关键． 根据单项式的乘法法则直接求解． 【详解】． 故选：C． 跟随训练1-1． ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 跟随训练1-2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型2 单项式乘单项式求值问题】 核心思路：先根据单项式乘单项式法则，将代数式化简，再代入已知字母的值计算，避免直接代入导致运算复杂。 【典例2】．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 跟随训练2-1．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 跟随训练2-2．若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 【题型3 单项式乘单项式中含参问题】 核心思路：先根据单项式乘单项式法则化简，再结合“积的次数、系数满足的条件”，列出方程（或不等式），求解参数的值（或取值范围）。 【典例3】．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 跟随训练3-1．已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 跟随训练3-2．已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 【题型4 单项式乘单项式中错解问题】 核心思路：先识别错解的错误原因（常见：符号错误、指数错误、遗漏单独字母、运算顺序错误），再按照正确的法则和步骤改正。 【典例4】．小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m的值为2，n的值为3． (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到、的值； （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的、的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， 所以解得 所以的值为2，的值为3． （2）解：原式 由（1）可知，， 所以原式． 一题多解法由（1）可知，， 所以原式 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 跟随训练4-1．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到的值． （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， ∴，， ∴，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， ∴原式． 一题多解法 （2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 跟随训练4-2．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【题型5 单项式乘单项式中面积问题】 核心思路：根据图形面积公式（长方形面积=长×宽、正方形面积=边长×边长），将图形的边长（含单项式）代入公式，运用单项式乘单项式法则计算面积。 【典例5】．长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 【详解】解：长方形的面积长宽． 故选：D． 跟随训练5-1．在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查列代数式、单项式乘以单项式的应用，绝对值和偶次方的非负性质、代数式求值，掌握长方形的面积计算公式、绝对值和偶次方的非负性质是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ，， ，， ， 该广场的面积是35． 跟随训练5-2．图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米；米，则房子的面积为多少平方米？如果每平方米房价为2500元，买这套房子需要多少万元？ 【答案】(1) (2)房子的面积为平方米，买这套房子需要万元 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减法与求值，依据题意，正确列出代数式是解题关键． （1）将房子各区域的面积相加即可； （2）将x、y的值代入（1）的结论即可得房子的面积，再乘以单价计算房价． 【详解】（1）解：这套房子的总面积为： ， （平方米）， 答：这套房子的总面积为平方米； （2）解：当米，米时， （平方米）， （元）， 答：房子的面积为平方米，买这套房子需要万元． 【题型6 单项式乘单项式的应用】 核心思路：根据实际问题的数量关系，列出单项式乘单项式的算式，再按照法则计算，最后结合实际意义说明结果（如：长度、体积为正数）。 【典例6】．如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，然后表示出小桌、中桌，大桌的长；得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【详解】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍， 则小桌的长是，中桌的长，大桌的长，根据题意得 ， 故选：C． 跟随训练6-1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，运算结果可以表示为 （用含a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，根据题意可得运算结果可以表示为：． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得：， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ∴“2”上边的数是，“20”右边的数表示4，上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， 故答案为：． 跟随训练6-2．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为a的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（    ）（注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式和整式的加减的应用，分别求出、、，进行比较即可得出答案，根据图形求出、、是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型7 单项式乘单项式中定义新运算问题】 核心思路：先读懂新运算的定义，明确新运算与单项式乘单项式的关系，再根据新定义的规则，结合单项式乘单项式法则，计算即可（重点：不改变单项式乘单项式的核心运算，只遵循新的书写规则）。 【典例7】．“三角”表示，“方框”表示，则 ． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 跟随训练7-1．定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 跟随训练7-2．定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 05 过关•检测 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，先利用相关法则计算括号内的乘方，再与前面的单项式相乘得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 3．长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 【详解】解：长方形的面积=长×宽． 故选：D． 4．下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，涉及积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式等，需逐一验证每个计算的正误即可 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④错误． ∴仅③正确，正确的有1个． 故选：A． 5．在代数式中，与的值各变为原来的，则该代数式的值减少为原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是单项式乘单项式，列出与的值各减少原来的后的代数式是解题的关键． 和各减少到原来的，代入代数式计算新值即可. 【详解】解：在代数式中，与的值各减少原来的， ∴设 ，， ∴新值 ， ∴新代数式的值是原代数式值的. 故选：D． 6．设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 7．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了通过数轴上点的位置判断式子的正负，关键是弄清有理数的大小及正负； 根据数轴可知，借此逐一判断各选项的正负． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， 故选：D ． 8．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，以及同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相同，因此列出关于m和n的方程并求解，再计算两个单项式的乘积即可． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴且， 解得，， ∴两个单项式为和， ∴它们的乘积为． 故选：A． 9．定义新运算：，则的运算结果为 【答案】/ 【分析】本题考查整式的运算，根据新运算的定义，将 和 分别替换为 和 ，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：由定义 ，得 ， 故答案为 ． 10．现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【答案】3ab 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【详解】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 11．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 12．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 1 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，列出方程求解 【详解】解：由题意，， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：3；4；1． 13．如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为 ．（用含x，y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题目中的图形和长方形的面积计算公式，可以用含、的代数式表示出它们的面积之和． 【详解】解：由图可得， 它们的面积之和为：， 故答案为：． 14．若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查新定义运算，整式的混合运算，根据新定义的运算计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为： 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键； （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可； （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算即可； （4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， ． 16．已知，，求代数式的值． 【答案】8 【分析】本题考查了整式的乘法运算（包括积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式）以及代数式求值，解题的关键是先根据整式乘法法则化简代数式，再代入数值计算；根据积的乘方法则，单项式乘单项式的法则进行化简代数式，再代入数值计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 所以代数式的值是8． 17．如图是一个简单的数值运算程序 (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)从、、1、2中任选一个数作为的值代入，求输出的结果． 【答案】(1) (2)当时，输出的结果为（答案不唯一） 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及求代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据数值运算程序图可直接进行求解； （2）根据（1）中输出结果可代值进行求解即可． 【详解】（1）解：根据数值运算程序图可知： 输出的结果为； （2）解：由（1）可知：输出的结果为， ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则． 18．观察图，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度 ； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长是 ； (3)用含，的代数式，表示阴影部分的面积是 ； (4)当，时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】（1）结合图形知，阴影部分是长为，宽为的大长方形截去一个长为，宽为的小长方形后的剩余部分，根据线段的和差可得； （2）将阴影部分的逐个边相加即可得出阴影部分的周长； （3）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得出阴影部分的面积； （4）将，代入第（2）、（3）题的表达式进行计算即可． 【详解】（1）解：结合图形知，阴影部分是长为，宽为的大长方形截去一个长为，宽为的小长方形后的剩余部分， ∴， 即边的长度为， 故答案为：； （2）解：∵上下各两条边（包括阴影部分里面的两条边）：， 左右两侧边：， ∴阴影部分的周长是：， 故答案为：； （3）解：∵大长方形的面积是：， 小长方形的面积是：， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：； （4）解：当，时， 阴影部分的周长是：， 阴影部分的面积是：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查整式加减的应用，列代数式、求代数式的值的应用，几何图形中周长与面积的计算，长方形的面积与周长．正确理解题意并列出代数式是解题的关键． 19．小李家住房结构如图所示，他打算把卧室和客厅铺上木制地板． (1)列式计算说明小李需要买多少平方米的木制地板．（x、y单位：米） (2)若米，米时，并且每平方米木地板的价格是190元，则他需要花费多少元钱？ 【答案】(1)小明至少需要买平方米的木制地板 (2)他至少需要准备11400元钱 【分析】本题考查的是代数式的知识，根据长方形的面积公式正确的写出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式用字母列式即可得到答案； （2）由（1）可得需要木地板的代数式，将代入之后再乘以190计算即可． 【详解】（1）解：由图中可知，卧室的宽为，长为，客厅的长为，宽为， 所以小李至少需要买木地板：平方米， 答：小明至少需要买平方米的木制地板． （2）解：由（1）可知小李需要买平方米的地板， 当时，平方米， 元， 答：他至少需要准备11400元钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $