专题01 幂的运算16大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

专题01 幂的运算 题型1 同底数幂的乘法及其逆用（常考点） 题型9 幂运算中的化简求值 题型2 幂的乘方及其逆用（常考点） 题型10 利用幂的运算比较大小（重点） 题型3 积的乘方及其逆用（常考点） 题型11 幂的运算中用x表示y题型 题型4 同底数幂的除法及其逆用 题型12 幂的运算值为1的分类讨论题型（重点） 题型5 幂的混合运算 题型13 幂的有规律计算问题 题型6 零指数幂 题型14 幂的新定义运算（重点） 题型7 负整数指数幂 题型15 幂的新定义运算（劳格数）（难点） 题型8 科学记数法（常考点） 题型16 幂的新定义运算（抽象函数类）（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共4小题） 1．（24-25七年级下·江苏·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，解题关键是将常数转化为同底数幂，熟练运用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则． 先将8转化为以2为底的幂，再运用同底数幂的乘法法则计算，最后匹配选项得到结果． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法性质是解题关键．先将等式左右两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，则_______ ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，即可得到，最后根据，可得的值，代入上式计算得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘方，解题的关键是熟练运用整式乘法公式，根据解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型二 幂的乘方及其逆用（共4小题） 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方将左边化简后，再通过指数相等可求出的值．解题的关键是掌握幂的乘方：底数不变，指数相乘． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 即的值为． 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，则的值为____________． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件中的指数和进行计算是解题的关键． 将和化为以为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则和已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 由已知 得 ， ∴． 故答案为：． 7．（2026七年级下·江苏苏州·期中）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第______步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 【答案】(1)①，正确过程见解析 (2) 【分析】（1）化为同底数后进行运算，即可求解； （2）由同底数幂的乘法及幂的乘方公式得，即可求解. 【详解】（1）解：小明的计算过程是从第①步开始出现错误， ； （2）解： 解得 8．（2026七年级下·江苏·期中）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型三 积的乘方及其逆用（共4小题） 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）与相等的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，能正确根据幂的乘方和积的乘方法则进行化简是解此题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方进行化简，再判断即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意； 选项B：，故不符合题意； 选项C：，故符合题意； 选项D：，故不符合题意． 故选：C． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知n是正整数，且，则 ___________． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 11．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别化简各项，再合并同类项； （2）同理，先利用积的乘方、同底数幂的乘法法则化简各项，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 题型四 同底数幂的除法及其逆用（共4小题） 13．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据同底数幂的除法法则进行计算.同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(，为正整数，且)；利用指数运算法则，将 转化为 ，然后代入已知条件计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故选：C． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的除法运算，零指数幂，由条件可得，再把化为，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，求． 【答案】27 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂除法运算，同底数幂乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先根据，得出，整理得出，得出，然后再将进行变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 16．（2025七年级上·全国·期中）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法及幂的乘方逆运算，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （3）由（2）知，根据任何数（除外）的零次幂等于，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 题型五 幂的混合运算（共4小题） 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据积的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 20．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)a (2) (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同底数幂乘除法法则进行计算即可； （2）首先根据，再根据同底数幂乘法法则进行计算即可； （3）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数幂的意义进行即可； （4）根据幂运算性质进行运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 题型六 零指数幂（共4小题） 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，则k的值为（   ） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 【答案】D 【分析】根据初中幂运算中结果为1的三种情况分类讨论，分别计算k的值，排除无意义的情况即可得到答案. 【详解】解：由题意分3种情况： ①当时，解得，此时，不符合题意，舍去； ②，解得，此时，原式化为，满足题意； ③，解得，此时，原式化为，满足题意； 综上：或，故D正确. 22．（2026七年级下·江苏·期中）如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件．根据零指数幂成立的条件是底数，当该等式不成立时，底数为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵不成立， ∴， ∴． 故选：D 23．计算的结果是（   ） A． B．2025 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的运算性质，重点在于掌握“任何非零实数的0次幂都等于1”这一基本数学规则．题目中底数为负数，但依然满足该性质的前提条件（非零），因此可直接应用该性质得出结果． 【详解】∵ （），且 ， ∴ . 故选C 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若式子有意义，则实数满足___________ 【答案】 【分析】依据零指数幂有意义的条件求解． 【详解】解：， 解不等式得． 题型七 负整数指数幂（共4小题） 25．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】∵ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ． 26．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若（其中为正整数，且），则________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握计算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将转化为，再利用幂的乘方法则和已知条件 进行计算即可． 【详解】解：由负整数指数幂的意义，得 ， 根据幂的乘方法则，， 代入已知条件，得， ； 故答案为：． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据规定运算法则，利用同底数幂的乘法法则进行计算； （2）根据规定运算法则，利用同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∴， 解得 28．，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 题型八 科学记数法（共4小题） 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键； 本题是绝对值小于的数，然后可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，然后即可求解． 【详解】解：， 故选：D； 30．（24-25七年级下·江苏·期中）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的形式（,n整数），n等于原数化成a时小数点移动的位数，时，n是正整数，时，n是负整数，是解题的关键． 本题． 【详解】解：． 故选：B． 31．一个正方体集装箱的棱长为． （1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是_________； （2）若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为_______．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解：（1）一个正方体集装箱的棱长为， 这个集装箱的体积是：， 答：这个集装箱的体积是； 故答案是：； （2）一个小立方块的棱长为， （个， 即：需要个这样的小立方块才能将集装箱装满． 故答案是：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 32．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）水是由氢原子和氧原子组成的，其中氢原子的直径为，用科学记数法表示为________________m． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型九 幂运算中的化简求值（共4小题） 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值，，其中，，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则．熟练掌握幂的运算法则，并能灵活运用它们对式子进行化简是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则对原式进行化简，得到最简式子后，再将给定的、的值代入最简式子进行计算． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 34．先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 36．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型十 利用幂的运算比较大小（共4小题） 37．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 38．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较指数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 39．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 40．我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方以及幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则解答即可； （2）根据幂的乘方的逆用解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 又， ， ． 题型十一 幂的运算中用x表示y题型（共4小题） 41．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代数式表示． 【答案】(1)2 (2)3 (3)y 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算，得出关于x的等式，进而即可得出结果； （2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果； （3）由，可得，把变形为y，代入即可． 【详解】（1） ∴x+3=5， ∴x=2； （2） ∴ ∴x+1=4， ∴x=3； （3） ． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 43．已知，，请你利用所学知识用含的代数式表示． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方运算及代数式的变形，解题的关键是将转化为以为底数的幂，再结合与的关系进行代换．通过幂的乘方将转化为，再利用得到，代入的表达式后化简，即可用含的代数式表示． 【详解】解：，， ， 把代入上式： ． 44．已知，，用含，的式子表示下列代数式： (1)求： 的值； (2)求：①的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）分别将，化为底数为2的形式，然后代入求解即可； （2）①分别将，化为底数为2的形式，然后代入求解即可； ②将化为，将16化为，列出方程求出x的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ； （2）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 题型十二 幂的运算值为1的分类讨论题型（共4小题） 45．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，则x的值为_______． 【答案】或1或0 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 46．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若等式成立，则x的值为_________． 【答案】 或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 47．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)、、 【分析】（1）由题意可知符合非零底数的零指数幂的情况， 令指数求解即可； （2）分三种情况讨论： ① 零指数幂情况：指数为，底数不为； ② 底数为的情况：底数为，任意整数次幂结果都为； ③ 底数为的偶数次幂情况：底数为，指数为偶数时结果为． 【详解】（1）解：∵，底数为，既不是也不是， ∴指数， 解得； （2）解：分三种情况讨论： ① 零指数幂情况：指数为，底数不为， 得 ，且， 解得，，符合题意； ② 底数为的情况：底数为，任意整数次幂结果都为， 令， 解得，，符合题意； ③ 底数为的偶数次幂情况：底数为，指数为偶数时结果为， 令， 解得，，符合题意； 综上，的取值为、、． 48．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 题型十三 幂的有规律计算问题（共4小题） 49．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 50．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1）0、1、2；（2）；（3）2；（4）． 【分析】（1）根据有理数的乘方和零次幂的性质计算即可； （2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式； （3）根据（2）中式子的规律，即可计算； （4）逆用（2）中发现的规律计算即可． 【详解】解：（1），，， 故答案为：0、1、2； （2）由题意得，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ， 故答案为：2； （4） ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方运算，零次幂的性质，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律并能够应用规律． 51．（24-25七年级下·江苏·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 52．（24-25七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)1，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为1； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：1，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 题型十四 幂的新定义运算（共4小题） 53．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【答案】(1)① 3，5；② (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． （1）①按照题目给出的运算方法计算即可；②根据新定义列出方程求解即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，5， ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．（24-25七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，根据所给的定义可得，于是可求出； （2）令，，根据所给的定义可得，，因而可得，则； （3）由题意可得，解得，再由，即可求解； （4）由题意可得，，则，从而得到． 【详解】（1）解：令， ， ， 故答案为：； （2）解：令，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的运算法则，深刻理解题中新定义是解题的关键． 55．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空：___________，___________，___________． (2)记．求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】本题考查了新定义运算的含义，同底数幂乘法的应用，零次幂的含义，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律． （1）根据示例要求，直接可求解； （2）根据同底数幂乘法可得，可得，进一步可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，． （2）证明：∵， ∴，，； ∵ 又∵， ∴， ∴． 56．如果，那么我们规定． 如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________； (2)【说理】记．试说明：； (3)【应用】若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，幂的乘方的运算法则，读懂题意理解新定义规定是解题的关键． （1）根据新定义规定即可解答； （2）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； （3）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 题型十五 幂的新定义运算（劳格数）（共4小题） 57．（2026七年级下·江苏·期中）材料，一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算：　　 ，　　 ，　　 ； (2)观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式 ，，，又存在怎样的关系式 ； (3)由（2）题猜想 （且，，）；并结合幂的运算法则：进行证明； (4)已知，求的值．（且） 【答案】(1)2，4，6 (2)， (3)，证明见解析 (4)6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是理解新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． （1）根据，写成对数式即可； （2）根据题意对照比较，写出关系式即可； （3）设，则，结合即可得到； （4）根据（3）得出的运算性质计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，4，16，64之间存在怎样的关系式为， ，，之间存在的关系式为， 故答案为：，； （3）解：由（2）得，， 设，则， ∴，即， ∴； 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 58．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为，则．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为． (1)下列各“劳格数”的值：______，______，______． (2)观察（1）中的数据易得，你发现此时满足关系式是______． (3)由（2）的结果，请你猜想与且之间的关系，并证明你的猜想． (4)根据上述结论解决下列问题：已知，，求的值和的值．（且）． 【答案】(1)1；3；4 (2) (3)猜想，证明见解析 (4)， 【分析】本题主要考查了新定义，同底数乘法计算： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设，则，，则； （4）根据（3）的结论可得，则． 【详解】（1）解：∵ ∴，，； 故答案为：1；3；4； （2）解：由（1）可得； （3）解：猜想，证明如下： 设， ∴，， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 59．如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）＝__________，d（10﹣2）＝__________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：＝________，（a为正数） (3)若d（2）＝0.3010，分别计算d（4）；d（5）；d（0.08）． 【答案】(1)1，﹣2； (2)3； (3)；； 【分析】根据新定义运算，（1）由新定义运算转化为同底数幂，对应指数相等得结果； （2）根据幂的乘方公式转化求解； （3）根据积的乘方公式转化求解. 【详解】（1）10b＝10，∴b＝1， ∴d（10）＝1； 10b＝10﹣2，∴b＝﹣2， ∴d（10﹣2）＝﹣2； 故答案为1，﹣2； （2） 故答案为3； （3）∵d（2）＝0.3010， ∴d（4）＝2d（2）＝0.6020， d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699， d（0.08）＝d（8×10﹣2）＝d（8）+d（10﹣2）＝3d（2）﹣2＝0.9030﹣2＝﹣1.097． 故答案为d（4）＝0.6020，d（5）＝0.699，d（0.08）＝﹣1.097； 【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键. 60．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 题型十六 幂的新定义运算（抽象函数类）（共4小题） 61．（24-25七年级下·江苏·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3， (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 62．（24-25七年级下·江苏·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)27或 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②， ， ； （2）解：， ， ， ， 当时，； 当时，； 的值为27或． 63．规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 64．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；② (2) 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：①， ∴ ； ②， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． $ 专题01 幂的运算 题型1 同底数幂的乘法及其逆用（常考点） 题型9 幂运算中的化简求值 题型2 幂的乘方及其逆用（常考点） 题型10 利用幂的运算比较大小（重点） 题型3 积的乘方及其逆用（常考点） 题型11 幂的运算中用x表示y题型 题型4 同底数幂的除法及其逆用 题型12 幂的运算值为1的分类讨论题型（重点） 题型5 幂的混合运算 题型13 幂的有规律计算问题 题型6 零指数幂 题型14 幂的新定义运算（重点） 题型7 负整数指数幂 题型15 幂的新定义运算（劳格数）（难点） 题型8 科学记数法（常考点） 题型16 幂的新定义运算（抽象函数类）（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共4小题） 1．（24-25七年级下·江苏·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，则_______ ． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，且，求的值． 题型二 幂的乘方及其逆用（共4小题） 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，则的值为____________． 7．（2026七年级下·江苏苏州·期中）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第______步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 8．（2026七年级下·江苏·期中）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 题型三 积的乘方及其逆用（共4小题） 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）与相等的是（   ）． A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知n是正整数，且，则 ___________． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 12．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 题型四 同底数幂的除法及其逆用（共4小题） 13．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，则______． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，求． 16．（2025七年级上·全国·期中）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型五 幂的混合运算（共4小题） 17．计算： 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 20．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 题型六 零指数幂（共4小题） 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，则k的值为（   ） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 22．（2026七年级下·江苏·期中）如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 23．计算的结果是（   ） A． B．2025 C．1 D． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若式子有意义，则实数满足___________ 题型七 负整数指数幂（共4小题） 25．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若（其中为正整数，且），则________． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 28．，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 题型八 科学记数法（共4小题） 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·江苏·期中）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 31．一个正方体集装箱的棱长为． （1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是_________； （2）若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为_______．（用科学记数法表示） 32．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）水是由氢原子和氧原子组成的，其中氢原子的直径为，用科学记数法表示为________________m． 题型九 幂运算中的化简求值（共4小题） 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值，，其中，，． 34．先化简，再求值：，其中． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 36．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）先化简，再求值：，其中， 题型十 利用幂的运算比较大小（共4小题） 37．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 38．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 39．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 40．我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 题型十一 幂的运算中用x表示y题型（共4小题） 41．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代数式表示． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 43．已知，，请你利用所学知识用含的代数式表示． 44．已知，，用含，的式子表示下列代数式： (1)求： 的值； (2)求：①的值； ②已知，求的值． 题型十二 幂的运算值为1的分类讨论题型（共4小题） 45．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，则x的值为_______． 46．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若等式成立，则x的值为_________． 47．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值． 48．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型十三 幂的有规律计算问题（共4小题） 49．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 50．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 51．（24-25七年级下·江苏·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 52．（24-25七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 题型十四 幂的新定义运算（共4小题） 53．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 54．（24-25七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 55．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空：___________，___________，___________． (2)记．求证：． 56．如果，那么我们规定． 如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________； (2)【说理】记．试说明：； (3)【应用】若，直接写出的值． 题型十五 幂的新定义运算（劳格数）（共4小题） 57．（2026七年级下·江苏·期中）材料，一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算：　　 ，　　 ，　　 ； (2)观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式 ，，，又存在怎样的关系式 ； (3)由（2）题猜想 （且，，）；并结合幂的运算法则：进行证明； (4)已知，求的值．（且） 58．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为，则．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为． (1)下列各“劳格数”的值：______，______，______． (2)观察（1）中的数据易得，你发现此时满足关系式是______． (3)由（2）的结果，请你猜想与且之间的关系，并证明你的猜想． (4)根据上述结论解决下列问题：已知，，求的值和的值．（且）． 59．如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）＝__________，d（10﹣2）＝__________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：＝________，（a为正数） (3)若d（2）＝0.3010，分别计算d（4）；d（5）；d（0.08）． 60．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 题型十六 幂的新定义运算（抽象函数类）（共4小题） 61．（24-25七年级下·江苏·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 62．（24-25七年级下·江苏·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 63．规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 64．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $