精品解析：海南澄迈中学2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考数学试题

海南澄迈中学2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由角度制与弧度制的关系可知. 2. 汪老师在寒假期间到韩国旅游，途经首尔、光州和釜山．如图，设首尔为点，光州为点，釜山为点．令，如果他要从釜山到首尔，那么这一段位移可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知从釜山到首尔为，可知. 3. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角正切公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 可知，由，可知， 所以， 所以. 6. 将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得到的曲线向右平移个单位，得到曲线，则曲线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角图象变换可得出所得函数图象的解析式，然后求出每个选项中对应函数的解析式，逐项判断即可. 【详解】将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象， 再将所得到的曲线向右平移个单位，可得函数， 设四个选项中对应函数的解析式为. 对于A选项，由图象可知，， 函数的最小正周期为，则， ，可得， 所以，则，A符合要求； 对于B选项，由图象可知，函数的最小正周期为， 则，B不符合要求； 对于C选项，由图象可知，， 函数的最小正周期为，则， ，所以， 解得，此时，C不符合要求； 对于D选项，由图象可知，函数的最小正周期为， 则，D不符合要求. 7. 如图，在中，为CD上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可知， 所以， 因为三点共线，所以，解得. 8. 已知函数．若，且，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 当时，，则， 因为，所以， 所以，解得. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】AD 【解析】 【详解】根据向量共线定理，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得，所以选项A正确； 是方向相同，模长相等，不能得出，所以B错误； 由得， 当时，得，不能得出，所以C错误； 对于平面内任意四个点A、B、C、D，由，所以D正确； 10. 下列计算结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，正确； 选项D：，错误. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D. 直线是图象的一条对称轴 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：由图象可知，函数的最大值为3， 因为，所以； 选项B：设函数的周期为，则，解得， 因为，所以， 由图象可知，函数过点，代入可得，即， 所以，即， 因为，所以解得， 因此； 选项C：将替换成，代入可得； 选项D：因为，所以直线不是图象的一条对称轴. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由并根据三角恒等式，代入可得， 因为，所以，解得， 因此. 13. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 可知. 14. 如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边、分别交于、两点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，分析得出，求得，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，若，则. 因为、、为直线上三个不同的点，则， 可设，即，所以，， 所以，，结论成立. 本题中，设，， 当点与点重合时，为的中点，此时； 当点为线段的中点时，与点重合，此时，故，同理可得. 由， 又、、三点共线，，即， 延长交于点，则为的中点，且有， 又 ， 当且仅当，时取得最小值. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）已知，求的坐标. （3）已知之间的夹角为. ①求； ②若，求的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，，代入可得. 【小问3详解】 ，，之间的夹角为， 代入可得. ，，， 因为，即之间的夹角为， 所以，即， 代入可得，解得. 16. 已知，求 （1）； （2） （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，， 代入可得. 【小问2详解】 ， 化简可得， 因为，， 代入可得. 【小问3详解】 ， 因为，， 代入可得. 17. 如图，在中，点是的中点，与相交于，设. （1）用表示； （2）若在平面直角坐标系中，已知点，求的坐标. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 在中，，点是的中点，与相交于，，， ， . 【小问2详解】 在平面直角坐标系中，已知点，，， 则，，， 因此， 设，则， 因为与共线，所以，解得， 代入可得的坐标为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的增区间； （2）利用三角函数图象变换求出函数解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象， 则， 当时，，则，故. 故函数在上的取值范围为. 19. 设O为坐标原点，定义非零向量的”相伴函数”为称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，求函数的相伴向量； （2）记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M运动时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两角和差公式化简的解析式，进而根据定义找到的相应系数即可； （2）根据题意可得，分离参数后，构造函数，作出分段函数的图象，数形结合法可知，函数的图象与直线有四个交点时实数k的取值范围； （3）根据辅助角公式可得的解析式，根据最大值可得的表达式，根据倍角公式可用表示，令，根据已知不等式可得到m的范围，换元法可求得的取值范围． 【小问1详解】 因为， 所以函数的相伴向量 【小问2详解】 的“相伴函数”为， 方程，即，， 该方程有四个实数解， 所以，有四个实数解， 令，， ①当时，； ②当时，， 即 作出的图象，如图： 由图知，当函数的图象与直线有四个交点时，实数k的取值范围为. 【小问3详解】 向量的“相伴函数”， 其中，，， 当，即时，取得最大值， 所以， 所以. 由知，且，. 令，则，即，解得， 所以()， 因为在上单调递增，所以， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南澄迈中学2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 汪老师在寒假期间到韩国旅游，途经首尔、光州和釜山．如图，设首尔为点，光州为点，釜山为点．令，如果他要从釜山到首尔，那么这一段位移可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得到的曲线向右平移个单位，得到曲线，则曲线是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为CD上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若，且，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 10. 下列计算结果正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D. 直线是图象的一条对称轴 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 13. 已知向量的夹角为，则__________. 14. 如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边、分别交于、两点，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）已知，求的坐标. （3）已知之间的夹角为. ①求； ②若，求的值. 16. 已知，求 （1）； （2） （3）. 17. 如图，在中，点是的中点，与相交于，设. （1）用表示； （2）若在平面直角坐标系中，已知点，求的坐标. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围. 19. 设O为坐标原点，定义非零向量的”相伴函数”为称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，求函数的相伴向量； （2）记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $