1.6解三角形 课时作业-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.6解三角形课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1章1.6解三角形 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的： 1.三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=6,C=60°， 则三角形ABC的面积为() A.3 B.3V5 C.6 D.63 【答案】B 【详解】由三角形面积公式，得S4o=)bmC=×2x6sin60°=6x 5-35 2.在△ABC中，已知a=3,b=4,c=5,则c0SA=(). A月 B. 3 5 C-4 D.-3 5 5 【答案】A 【详解】由余弦定理得：c0sA=B+c-心_4+分-子4 2bc 2×4×55 3.在三角形ABC中，其内角A,B,C的对边分别为，b,c,已知c=2√5，A=45°，B=75°， 则边长a=() A.2N5 B.√2 C.√6 D.2√6 【答案】A 【详解】在三角形ABC中，由A=45°，B=75°，得C=60°，而c=2√5， 由正弦定理得a=csi4 23x2 2 =22 sin C 3 2 4.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,∠A=30°，则三角 形ABC外接圆的周长为() A.2π B.4π C.2 D.1 【答案】A 【详解】设三角形ABC外接圆的半径为R,因为a=1,∠A=30°，由正弦定理， 2R=a」 =2 sinA 1 ,解得R=1,故三角形ABC外接圆的周长为2π 2 5.在三角形ABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，若a=bsinA,则此三角形是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角，化简后即可求解 详解】在国角形ABC中，0B2R,因此可得a=2Rsn4,b=2Rm8 将其代入已知条件2 RsinA=2 RsinB:sinA,因为A是三角形内角，sinA≠0，所以sinB=1, 又B是三角形内角，故B=90°，所以此三角形是直角三角形 b+c 6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=60°，b=4, =27, sin B+sin C 则三角形ABC的面积为() A.10V5 B.53 C.43 D 3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长α，再利用余弦定理求c,结合三角形面积 公式求出面积即可求解 【详解】在三角形ABC中，由正弦定理得：4si Bsi, b sinsin B+nc2W5,则a=2W7sinA=27sn60°=2万×5T, 因此三 b+c 而b=4,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bcc0SA, 即21=16+c2-4c,解得c=5或c=-】(舍去)，所以S4c=bc sinA= 2 x4x5x5-55 7.在△1BC中，内角4，B.C所对的边分别为a,b.c,若C=,A4BC的面积为5c,则 3 4 sin Asin B=() A B. √3 C. D 3 4 4 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理即可求解 详解】由题意得S ue-absinC3c2,代入C得b=c 1 4 由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C,其中R为△ABC外接圆的半径， 代入ab-=c2,得sin Asin B=simC=sinm2元_3， 34故D正确。 8.如图，公路一侧有一幢楼OP,公路与楼底O在同一平面上，小明在公路上行走，在点A 处测得楼顶P的仰角为45°，行走100米到达B处，测得楼顶P的仰角为37°，再行走100 米到达点C处，测得楼顶P的仰角为30°，则楼OP的高为() 3 参考数据：tan37°≈ 4 楼 公路 A B A.150W2米 B.150W3米 C.300米 D.300W5米 【答案】A 【详解】由题可知∠PAO=45°，∠PBO=37°，∠PCO=30°， 则OA= tan456=OP,OB=OP 4 OP tan370=3OP.OC= OP =√30P, an30° 在△OAB中，由余弦定理得OA=AB2+OB2-2AB×OB cos.∠ABO,, 在△OBC中，由余弦定理得OC2=BC2+OB2-2 BCx OBcos.∠OBC, 又AB=BC=100,cos∠ABO+cos∠OBC=0,两式相加， 得0f+0c=2a8+08).0p产+30p=21o0+50p 解得OP=150√2. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2b=c+2 acosC,a=√3，O为三 角形ABC的外接圆的圆心，则下列结论正确的是() AA=胃 B.△ABC的外接圆的半径为2 C.BO.BC=3 D.△1BC面积的最大值为3 4 【答案】AD 【分析】根据正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值计算 判断A,B,利用向量的数量积公式、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式计算判断C,D. 【详解】在三角形ABC中，因为2b=c+2 acosC,所以由正弦定理得2sinB=sinC+2 sinAcosC, 又sinB=sinπ-(A+C)]=sin(A+C), 所以2(sinAcosC+cos4sinc)=sinC+2 sinAcosC,所以2 cosAsinC=sinC, 对于A,因为0<C<,则snC≠0，所以cos1=子因为A(Q,,所以A=子故A正 确：对于B,由正弦定理得三角形ABC外接圆半径R=片”}5 2 sinA 2 sin =1,故B错误： 3 对于C如图1，BDC-5可Ccas08C0a-子故c错误 对于D,由余弦定理得：3=a2=b+c2-2 bccos≥2bc-bc=bc, 当且仅当b=c=√5时取等号，因此S△ABo= bcsin”-5bc≤3V5,枚D正确， 2 34 4 故选：AD, 10.△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量i=(siA,sinB),i=(cosB,cos4),且 m.i=sin2C,则下列说法正确的是() A.C- B.若a=4,b=6,则c=27 C.若c=7,S4ac=6V5,则三角形ABC周长为16 D.若c=2,则三角形ABC面积的最大值为V5 【答案】ABD 【分析】利用数量积的坐标表示及和角的正弦求解判断A:利用余弦定理及三角形面积公式 求解判断BCD. 【详解】选项A:mi=sin AcosB+sin B CosA=sin(A+B)=sin2C,.A+B=2C或 A+B=元-2C,若A+B=2C,A+B+C=3C=元，C= 3 若A+B=元-2C,A+B+2C=元，与A+B+C=π矛盾，故C= 3,A正确， 选项B由A知，C-行，若a=4b=6, 由余弦定理得：c2=a2+b-2bc0sC=16+36-2×4×6×】=28,c=27.故B正确. 选项CSc=ab sinC=b×5 1 =6b,ab=24, 2 2 2 由余弦定理得： c2=d+b-2 abcosC=(a+b)2-2ab-2 abcosC=(a+b)2-48-24=49,:.(a+b)}=12La+b=V121=11 △ABC的周长为a+b+c=18,故C错误， 选项Dc=2C=由余弦定理得：c2=4=a+B-2 abeosC=d+6-b≥2ab-b=b, 即ab≤4，Se=bsim-5gb ≤5×4=3，当且仅当a=b=2时“”成立，故D正确 2 34 4 11.己知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列结论正确的是() A.若sim4 2，则A B.若b2+c2>,则三角形ABC为锐角三角形 C.若c=4,A=元，这样的三角形有两解，则a的取值范围为(22,4) 4 D.若A=2c=2,则ABBC=4 【答案】AC 【分析】对于A,由三角形内角范围，结合正弦函数性质即可判断，对于B,由余弦定理可 判断角A,B,C无法判断，即可；对于C,由题意得到csin A<a<c即可求解，对于D,由 向量数量积的定义即可求解 【详解】对于A,因为mA>5,4A∈(0，)，所以4∈红3狐 2 4’4 则A>开A正确， 对于B,由余弦定理cosA=6+c2-a ->0,可知A为锐角， 2bc 但无法判断B和C是否为锐角，所以无法判断△ABC是否为锐角三角形，B错误. 对于C,由g04FsnC得到snc=c0A 因为三角形有两解，即由snC可以得到两个C的值，即需满足C>A, 即simA<sinC=cn4<1,且a<c,故得csnA<a<c,即4x5=25<a<4, a 即a的取值范围为(22,4)，C正确.对于D,因为A= ,c=2,所以 2 AB.BC=AB BCcos(π-B)=AE-BCcosB）=-c2=-4,D错误. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-c2=b,则角C的大 小是 【答案】胃 【详解】由余弦定理可得cosC-+c-分，因为Ce(Q,),所以C-背 2ab-2 13.如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点 C与D,现测得m∠ACB-子，CD=50m,∠iCD=75,∠BDC=60,则塔高4B 【答案】15√6m 【详解】已知CD=50m,∠BCD=75,∠BDC=60,则∠CBD=180°-75°-60=45°， CD BC 50 由正弦定理 BC sn∠BDC sin.∠CBD'则、 in60°-sin45' 50 BC= ·in60° 505-256m 3 sin45 √22 己知AB⊥BC,tam∠ACB= 2 C号放4B=tan∠4CB-BC=手255=156mn. tan∠AcB=AB、3 4.已知△BC的面积为125,34=B+C+弩则BC的最小值为 【答案】45 详解】由已知联立A+8+C=,得3A=红A,解得AE 由面积得125-号ADACsinA,可得AB4C=4 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2 AB.AC.cosA=AB2+AC2-ABAC≥ABAC=48, 当且仅当AB=AC=4√3时，等号成立，于是BC的最小值为4√3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=4, 2sinB sinA =15 sin C. sinA 2sin B (1)求三角形ABC的面积： (2)求sinA. 【答案】(1)15 (②5 8 【分析】(1)利用正弦定理角化边，即可求角，再利用面积公式求解即可： (2)利用余弦定理求边，再用正弦定理求角即可 【详解】(1)因 2 sin B sin4=5nC,所以2b0-5snc, sinA 2sin B a 2b 因为a=2,b=4,所以8？=15-5mC,得snc= 284 4 所以aABC的面积g=absinC=×2x4K55 1 2 4 (2)因为△ABC为锐角三角形，所以cosC=√-sin'C=】 由余弦定理可得c=√a+b-2 ab cos C= 4+16-2×2×4×号=4， 4 4 2 所以由正弦定理，C sin C sinA 则i西sinA,解得sinA=西 4 16.己知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，满足acosC+√3 asinC=b+c (1)求A; (2)若三角形ABC的周长为20，面积为10W3,求a 【答案】0肾 (2)7 【分析】(1)由正弦定理得si4cosC+√3 sinAsinC=sinB+sinC,得到V3sin4-cos4=1,再 由辅助角公式求出答案： (2)根据题中条件得到a,b,c的关系式，结合余弦定理解得a的值 【详解】(1)由正弦定理得sin4cosC+√3sin4sinC=sinB+sinC, 其中sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,故√3 sinAsinC=cosAsinC+sinC, 因为Ce(0,所以snC+0,故，4os4=1,即2sn4名-1，所以m4-名 6 因为40功所似4宫-后故1吾第得4骨 (2)因为三角形ABC的周长为20，面积为103， a+b+c=20 a+b+c=20 所以 kcs4=1owg印 bc=40 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA,即a2=(b+c)2-2bc-bC 结合方程化简得a=(20-a)2-3×40,解得a=7 17.(15分)如图，在三角形ABC中，∠BAC=5,4C=V5CD D a若B-号求∠4C: (2)若BD=2DC,且AD=2N2,求AB. 【答案】①)乃 (2)2V6 【分析】(1)根据给定条件，利用余弦定理列式求解 (2)根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得 【详解】(1)在三角形AC中，∠B4C-受由B-号得∠C-名又4C=5CD, 在aACD中，由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC.CDeos∠C=4CD2-23CD5 =CD. 因此AD=CD,所以∠DAC=∠C= 6 C2)令DC=1,则BD=2,BC=,AC=&,因此AB=VG,cosB=48-5 BC 3 在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B, 则8=6矿+4-2后2.6-2r,解得1=2，所以A8=26 3 18.（17分)已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 acosC+3asinC-b-c=0. (1)求A的值： (2)若三角形ABC的周长为6，内切圆半径为V5 求2b+c-a的值. 【答案】0)4-号 2)4 【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及同角公式求出A: (2)利用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理即可求解， 【详解】(1)在三角形ABC中，由acos C+√3 asin C-b-c=0及正弦定理得： sin AcosC+3sin AsinC-sin B-sin C=0, 则sin AcosC+√3 sin AsinC-sin(A+g-sinC=(, 整理得：sin AcosC+V3 sin AsinC-sin Acos C-cosAsinC-sinC=0, 即√3 sin Asin C-cosAsinC-sinC=0,由0<C<兀，得sinC>0,则V5sinA=cosA+1, 两边平方得1+cosA)2=3sin2A=31-cos2A),即2cos2A+cosA-1=0 由0<A<,得-1<csA<1,解得cosA=故A-子 兀 3 (2)由三角形ABC的周长为6，内切圆半径为5，得Sbcm号-× 解得 3 x6x3 32 3 bc=4,由余弦定理得a=6+c-2cos写，即d=6-0-2c-2cc0s写 整理得a2=36-12a+d-12,解得a=2,b+c=4,又bc=4,解得b=c=2, 因此2b+c-a=4. 19.(17分)在①V3 acos C+asinC-V3b=0,②(sinB-sinC)2=sin2A-sin Bsin C, ③B4.25。,三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答（注：如果选择 3 多个条件分别解答，则按第一个解答计分) 己知三角形ABC的面积为s,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且选条件： (1)求角A的大小： (2)若a=2,求三角形ABC周长的取值范围 (3)若三角形ABC为锐角三角形，作AB⊥BD(A,D位于直线BC异侧)，使得四边形ABDC 满足∠BCD=开，BD=反，求AC的最大值 【答案】()A= (2)(4,6] B)23+v6 3 【分析】(1)选①可根据正弦定理边化角和三角形中的诱导公式化简计算；选②可根据正弦 定理角化边和余弦定理化简计算：选③根据向量乘积展开式和正弦定理的面积公式进行化简 计算； (2)利用正弦定理将b,c用角B,C表示，结合三角形内角和将周长转化为关于单一角的函 数，再根据角的范围，利用三角函数的性质求取值范围： (3)设∠ABC=日，将所有未知角用日表示，再用正弦定理将AC表示出来进行化简，最后 根据的范围求出AC的最大值 【详解】(1)选①根据正弦定理可知：√3 sin Acos C+sin Asin C-sin B=0, 即√3 sin AcosC+sinAsinC-√3sin(A+g=C,结合sinC≠0，展开化简得sinA=√3cosA, 故amA=5,又0<A<π，所以A=牙： 选②根据正弦定理可得：(b-c)）2=ad2-bc→b2+c2-a2=bc 根糕余弦定理可得，c心A:“三行·又0长江，所4 39 选③根据向量点乘运算可得：c.bcosA= 2xxbexsinA=ta A=. 3×2 又0<A<元，所以A= 3 (2)设周长L=a+b+c=2+b+c,由余弦定理：d=b'+c2-2 bc cos→4=(b+c)}2-3bc, 由基本不等 2 代入得：(6+c}-4<3b+c,解得0<b+c≤4，当且仅当=c=2时等号成立： 4 又由三角形三边关系b+c>a=2,所以b+c∈(2,4)，因此周长：L=2+b+c∈(4，： (3)如图，设∠ABC=0,则∠CBD=70,∠CDB=8+ D 在△BCD中，由正弦定理得 BC BD sin∠BDCsin乙BcD可得， V2sin 0+ BC= BDsin∠BDC 4 sin∠BCD 兀 2sma4π sin 4 4 在三角形ABC中， 由正弦定理得：AC=℃可得， sinsin A AC=BC:sin日 2sin+π sin 0 4 如升 一4 in0 sinA 3 =4y5m9+5 V52 cos sin =sin+2 sine cose √52 25m9-9o205-2m0 32 21 3 3 0<8<2 三角形ABC是锐角三角形，所以 2所以g<20-<3江 << 0< 2-0 π6 12 44 2 当20-元7时，可得4C的最大值是25+6 42 3 1.6解三角形 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1章 1.6解三角形 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则三角形ABC的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 2．在中，已知，则（    ）. A． B． C． D． 3．在三角形ABC中，其内角的对边分别为，已知，则边长（    ） A． B． C． D． 4．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则三角形ABC外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 5．在三角形ABC中，分别是所对的边，若，则此三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（    ） 参考数据：. A．米 B．米 C．300米 D．米 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在三角形ABC中，角所对的边分别为，，，O为三角形ABC的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（    ） A． B．三角形ABC的外接圆的半径为2 C． D．三角形ABC面积的最大值为 10．中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（   ） A．C= B．若，则 C．若，则三角形ABC周长为16 D．若，则三角形ABC面积的最大值为 11．已知三角形ABC的内角的对边分别为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则三角形ABC为锐角三角形 C．若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知三角形ABC的内角所对的边分别是，若，则角的大小是______． 13．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 14．已知的面积为，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. (1)求三角形ABC的面积； (2)求. 16．已知分别为三角形ABC三个内角的对边，满足 (1)求; (2)若三角形ABC的周长为，面积为 求. 17．（15分）如图，在三角形ABC中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 18．（17分）已知在三角形ABC中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若三角形ABC的周长为6，内切圆半径为，求的值． 19．（17分）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知三角形ABC的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. (1)求角的大小； (2)若，求三角形ABC周长的取值范围 (3)若三角形ABC为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6解三角形 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1章 1.6解三角形 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则三角形ABC的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】由三角形面积公式，得. 2．在中，已知，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得：. 3．在三角形ABC中，其内角的对边分别为，已知，则边长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在三角形ABC中，由，得，而， 由正弦定理得. 4．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则三角形ABC外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 【答案】A 【详解】设三角形ABC外接圆的半径为，因为，，由正弦定理，，解得，故三角形ABC外接圆的周长为. 5．在三角形ABC中，分别是所对的边，若，则此三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角，化简后即可求解. 【详解】在三角形ABC中，，因此可得 ，， 将其代入已知条件 ，因为是三角形内角，，所以， 又是三角形内角，故，所以此三角形是直角三角形. 6．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解. 【详解】在三角形ABC中，由正弦定理得：， 因此，则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去），所以. 7．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理即可求解. 【详解】由题意得，代入得， 由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 代入，得，故D正确. 8．如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（    ） 参考数据：. A．米 B．米 C．300米 D．米 【答案】A 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在三角形ABC中，角所对的边分别为，，，O为三角形ABC的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（    ） A． B．的外接圆的半径为2 C． D．面积的最大值为 【答案】AD 【分析】根据正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值计算判断A,B,利用向量的数量积公式、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式计算判断C,D. 【详解】在三角形ABC中，因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，所以， 对于A，因为，则，所以，因为，所以，故A正确；对于B,由正弦定理得三角形ABC外接圆半径，故B错误； 对于C,如图1，，故C错误； 对于D,由余弦定理得：， 当且仅当时取等号，因此，故D正确， 故选：AD.    10．中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（   ） A．C= B．若，则 C．若，则三角形ABC周长为16 D．若，则三角形ABC面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用数量积的坐标表示及和角的正弦求解判断A；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】选项A:或,若 若与矛盾，故，A正确. 选项B:由A知，，若, 由余弦定理得：故B正确. 选项C:, 由余弦定理得： 的周长为，故C错误. 选项D:,由余弦定理得：, 即,,当且仅当时成立,故D正确. 11．已知三角形ABC的内角的对边分别为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则三角形ABC为锐角三角形 C．若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，由三角形内角范围，结合正弦函数性质即可判断，对于B，由余弦定理可判断角，无法判断，即可；对于C，由题意得到即可求解，对于D，由向量数量积的定义即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，则，A正确． 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断和是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，B错误． 对于C，由得到， 因为三角形有两解，即由可以得到两个的值，即需满足， 即，且，故得，即， 即的取值范围为，C正确．对于D，因为，所以，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知三角形ABC的内角所对的边分别是，若，则角的大小是______． 【答案】 【详解】由余弦定理可得，因为，所以. 13．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ，已知，， ，故． 14．已知的面积为，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】由已知联立，得，解得. 由面积得，可得. 由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，于是的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. (1)求三角形ABC的面积； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，即可求角，再利用面积公式求解即可； （2）利用余弦定理求边，再用正弦定理求角即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以，得. 所以的面积. （2）因为为锐角三角形，所以. 由余弦定理可得， 所以由正弦定理，则，解得. 16．已知分别为三角形ABC三个内角的对边，满足 (1)求; (2)若三角形ABC的周长为，面积为 求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【详解】（1）由正弦定理得， 其中，故， 因为，所以，故，，即，所以， 因为，所以，故，解得； （2）因为三角形ABC的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 17．（15分）如图，在三角形ABC中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解. （2）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】（1）在三角形ABC中，，由，得，又， 在中，由余弦定理得， 因此，所以. （2）令，则，因此，， 在中，由余弦定理得， 则，解得，所以. 18．（17分）已知在三角形ABC中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若三角形ABC的周长为6，内切圆半径为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及同角公式求出； （2）利用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理即可求解． 【详解】（1）在三角形ABC中，由及正弦定理得： ， 则， 整理得：， 即，由，得，则， 两边平方得，即 由，得，解得，故； （2）由三角形ABC的周长为6，内切圆半径为，得，解得，由余弦定理得，即， 整理得，解得， ，又，解得， 因此． 19．（17分）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知三角形ABC的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. (1)求角的大小； (2)若，求三角形ABC周长的取值范围 (3)若三角形ABC为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）选①可根据正弦定理边化角和三角形中的诱导公式化简计算；选②可根据正弦定理角化边和余弦定理化简计算；选③根据向量乘积展开式和正弦定理的面积公式进行化简计算； （2）利用正弦定理将用角表示，结合三角形内角和将周长转化为关于单一角的函数，再根据角的范围，利用三角函数的性质求取值范围； （3）设，将所有未知角用表示，再用正弦定理将表示出来进行化简，最后根据的范围求出的最大值. 【详解】（1）选①根据正弦定理可知:， 即，结合，展开化简得， 故，又，所以； 选②根据正弦定理可得: 根据余弦定理可得:，又，所以； 选③根据向量点乘运算可得:， 又，所以. （2）设周长，由余弦定理：， 由基本不等式， 代入得：，解得，当且仅当时等号成立； 又由三角形三边关系，所以，因此周长：； （3）如图，设，则，， 在中，由正弦定理得可得， ， 在三角形ABC中，由正弦定理得:可得， ， 三角形ABC是锐角三角形，所以，所以， 当时，可得的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $1.6解三角形课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1章1.6解三角形 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=6,C=60°， 则三角形ABC的面积为() A.3 B.3√5 C.6 D.63 2.在△ABC中，已知a=3,b=4,c=5,则c0sA=(). B. 3 D.5 3.在三角形ABC中，其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=23,A=45°，B=75°， 则边长a=() A.2√2 B.2 c.6 D.2W6 4.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,∠A=30°，则三角 形ABC外接圆的周长为() A.2元 B.4π C.2 D.1 5.在三角形ABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，若a=bsinA,则此三角形是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=60°，b=4, b+c-=27, sin B+sin C 则三角形ABC的面积为() A.10W5 B.55 C.4w3 D. 7.在aMBC中，内角B,C所对的边分别为abc,若C-号：△4BC的面积为5c,则 4 sin Asin B=() A月 B.3 4 C. 3 D. 4 8.如图，公路一侧有一幢楼OP,公路与楼底O在同一平面上，小明在公路上行走，在点A 处测得楼顶P的仰角为45°，行走100米到达B处，测得楼顶P的仰角为37°，再行走100 米到达点C处，测得楼顶P的仰角为30°，则楼OP的高为() 参考数据：tan37°≈子 3 楼 公路三 A B A.150W2米 B.150W3米 C.300米 D.300W2米 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2b=c+2ac0sC,a=√3，O为三 角形ABC的外接圆的圆心，则下列结论正确的是() A.A=元 B.三角形ABC的外接圆的半径为2 3 C.BO.BC=3 D.三角形ABC面积的最大值为3V3 4 10.△ABC中，角A,B,C的对边分别是w,b,c,向量i=(SinA,sinB),i=(cosB,cosA,且 ·i=sin2C,则下列说法正确的是() Ac月 B.若a=4,b=6,则c=27 C.若c=7,SBc=6W3,则三角形ABC周长为16 D.若c=2,则三角形ABC面积的最大值为√ 11.已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,下列结论正确的是() A.若sn4>V2 则A>乃 2 4 B.若b2+c2>a2,则三角形ABC为锐角三角形 C.若c=4A-=圣这样的三角形有两解，则a的取值范围为5,4) D.若4=c=2,则丽C-4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-c2=b,则角C的大 小是 13.如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点 c与D,现测得1am∠ACB=},CD=50m,∠BCD=75,∠BDC=60,则塔高4B- B 14.已知△MBC的面积为12√3,3A=B+C+写，则BC的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=4, 2sin B_sin A=15 sinC. sinA 2sin B (1)求三角形ABC的面积： (2)求sinA. 16.己知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，满足acosC+√3 asinC=b+c (1)求A; (2)若三角形ABC的周长为20，面积为10W3,求a. 17.I5分)如图，在三角形ABC中，∠BAC=5,4C=VBCD. D (1)诺B=π ,求<DMC; (2)若BD=2DC,且AD=2√2，求AB 18.(17分)己知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,c,且 acosC+asinC-b-c=0. (1)求A的值： ②若三角形ABC的周长为6，内切圆半径为3，求2b+c-a的值 19.（17分)在①V3 acosC+asinC-√3b=0,②(simB-simC)2=sin2A-sin BsinC, ③店A汇.25。，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答（注：如果选择 3 多个条件分别解答，则按第一个解答计分) 已知三角形ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为4，b,C,且选条件： (1)求角A的大小： (2)若a=2,求三角形ABC周长的取值范围 (3)若三角形ABC为锐角三角形，作AB⊥BD(A,D位于直线BC异侧)，使得四边形ABDC 满足∠BCD-平，BD=反，求AC的最大值