1.6.3 解三角形应用举例 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.6.3　解三角形应用举例 一、必备知识基础练 1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是(　　) A.角A,角B和边AC B.角A,角B和边BC C.边BC,AC和角C D.边BC,AC和角A 2.(2025甘肃天水高一期末)小华为测量A,B(视为质点)两地之间的距离,选取C,D(与A,B在同一水平面上)两点进行测量,已知点D在点C的正东方向上,CD=2AD=40米,点A在点C的北偏东60°方向上,点B在点D的南偏西30°方向上,BD=30米,则A,B两地之间的距离是(　　) A.40米 B.10米 C.10米 D.60米 3.(2025甘肃兰州高一月考)已知某景区两座主峰的高度都是200 m,某测量团队在B点测得左侧主峰顶端M点的仰角为30°,右侧主峰顶端N点的仰角为45°,且∠MBN=45°,则两座主峰顶端之间的距离MN=(　　) A.200 m B.400 m C.200 m D.400 m 4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是(　　)(注:sin 105°=) A.8()n mile/h B.8()n mile/h C.16()n mile/h D.16()n mile/h 5.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 n mile,则x的值为　　　.  6.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h 的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是　　　h.  7. (人教B版教材例题)如图,A,B是某沼泽地上不便到达的两点,C,D是可到达的两点.已知A,B,C,D 4点都在水平面上,而且已经测得∠ACB=45°,∠BCD=30°,∠CDA=45°,∠BDA=15°,CD=100 m,求AB的长. 二、关键能力提升练 8.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(　　) (注:sin 15°=) A. B.-1 C.2- D. 9.如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=2,DC=4,则BC的长为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 10.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(+1)n mile 的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向. 三、学科素养创新练 11.如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2 km,设∠AMN=θ. (1)用θ表示AM的长. (2)当θ为何值时,工厂P与村庄的距离最远? 参考答案 1.D　根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D. 2.C　如图,由题可得CD=40,AD=20,BD=30,∠ACD=30°,∠CDB=60°,, 即sin∠DAC==1,故∠DAC=90°, 则∠ADC=180°-90°-30°=60°,则∠ADB=120°, 故AB==10. 故选C. 3.C　由题意,得BM==400(m),BN==200(m). 在△BMN中,由余弦定理,可得 MN= = =200(m). 故选C. 4.D　由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°. 由正弦定理,得, 即, 解得AB=8(), 故此船的航速为=16()(n mile/h). 5.或2　在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B, 即x2+9-2·x·3cos 30°=()2, 即x2-3x+6=0,解得x=2或x=. 6.　如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120°==-,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h. 7.解 因为A,B,C,D 4点都在水平面上, 所以∠BDC=∠BDA+∠CDA=15°+45°=60°, 因此∠CBD=180°-30°-60°=90°, 所以在Rt△BCD中,BC=100cos 30°=50(m). 在△ACD中,因为∠CAD=180°-45°-30°-45°=60°, 所以由正弦定理可知, 因此AC= m. 在△ABC中,由余弦定理可知AB2=+(50)2-2××50cos 45°=, 从而有AB= m. 8.B　在△ABC中,由正弦定理,得BC==50()(m). 在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1. 由题图知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1,故选B. 9.A　在△ABD中,∠A=60°,AB=2,BD=2, 由正弦定理得,sin∠ADB=,∠BDC=90°-∠ADB,cos∠BDC=sin∠ADB=; 在△BCD中,DC=4,BD=2, 由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=+(4)2-2×2×4=48, 所以BC=4.故选A. 10.解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile. 由题意,得AB=20(+1)n mile,DC=20 n mile,BC=10+1)n mile.在△ADC中, ∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=. ∴∠BAC=30°. ∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°, ∴D位于A的正北方向. 又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45°方向. 11.解(1)在△AMN中,因为∠NAM=60°,∠AMN=θ, 所以∠ANM=120°-θ,由正弦定理得. 因为MN=2 km, 所以AM=sin(120°-θ)km. (2)由题意知△PMN为等边三角形, 所以∠PMN=60°, 所以∠AMP=θ+60°. 在△APM中,由余弦定理得AP2=AM2+PM2-2AM·PMcos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-sin(120°-θ)cos(60°+θ)=sin2(60°+θ)-sin(60°+θ)cos(60°+θ)+4=[1-cos(2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4=sin(2θ+150°), 又0°<θ<120°,所以150°<2θ+150°<390°, 所以当且仅当2θ+150°=270°,即θ=60°时,AP2取得最大值12,即AP的最大值为2,故当θ为60°时,工厂P与村庄A的距离最远. 5 学科网（北京）股份有限公司 $