课时分层评价10 正弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价10　正弦定理 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，B＝，A＝，则b＝(　　) A. B.3 C.2 D.6 答案：A　 解析：因为在△ABC中，a＝，B＝，A＝，所以由正弦定理可得b＝sin B＝＝.故选A. 2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝，则等于(　　) A. B. C. D.2 答案：D　 解析：A＝60°，a＝，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，则＝2.故选D. 3.在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案：C　 解析：在△ABC中，因为b＝2，A＝120°， 三角形的面积S＝＝bc·sin A＝c·，所以c＝2＝b， 故B＝(180°－A)＝30°. 再由正弦定理可得2R＝＝＝4， 所以三角形外接圆的半径R＝2， 故选C. 4.在△ABC中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若△ABC有两解，则a的取值范围是(　　) A.(2，5) B.(5，10) C.(2，2) D.(2，10) 答案：B　 解析：因为三角形有两个解，所以满足b＜a＜，所以5＜a＜10，故选B. 5.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.cos A＝ D.若c＝6，则△ABC的外接圆半径为 答案：ACD　 解析：因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(k＞0)，解得所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确.由上可知，c最大，所以△ABC中角C最大，又cos C＝＝＝＞0，所以C为锐角，所以B错误.又cos A＝＝＝，所以C正确.设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝.又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确.故选ACD. 6.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝4∶1∶1，AC＝，那么最大边长等于　　　　. 答案：3 解析：因为△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝4∶1∶1，所以A＝＝，B＝，BC为最大边， 由正弦定理得＝＝＝2， 所以BC＝2sin A＝2sin ＝2×＝3. 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，则b的值为　　　　. 答案：4 解析：在△ABC中，因为sin Acos C＝3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理的推论有a·＝3··c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2. 又a2－c2＝2b，所以4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍去). 8.在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取点D、E两点，沿DE折叠后A点可与BC上的P点重合，则AD长度的最小值为　　　　. 答案：2－3 解析：设∠DPB＝α，AD＝x，0＜x＜1， 则BD＝1－x，DP＝AD＝x， 在三角形BDP中，由正弦定理可得＝， 即x＝， 当sin α＝1时，即DP垂直BC时，AD＝x最小，最小值为＝2－3. 9.(15分)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA； (2)若AD＝3AC，求AC. 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin∠BCA＝. (2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得， cos∠BAC＝＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3. 10.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n. (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC的面积. 解：(1)因为2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，所以B＝. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝a2＋c2－ac.(*) 因为m∥n，所以2b2＝3ac，所以b2＝ac. 将b2＝ac代入到(*)中，得2a2－5ac＋2c2＝0， 解得a＝2c或c＝2a. 当a＝2c时，b＝c，cos A＝＝0， 所以A＝； 当c＝2a时，b＝a，cos A＝＝， 所以A＝. 综上，A＝或A＝. (2)由(1)，知B＝. 又a＝2，所以当A＝时，b＝，c＝1，S△ABC＝bc＝××1＝；当A＝时，b＝2，S△ABC＝ab＝×2×2＝2. 综上，△ABC的面积为或2. (11、12每小题5分，共10分) 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，下列说法不正确的有(　　) A.若A＝45°，b＝4，a＝4，则△ABC有两解 B.若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝2 C.a＞b是sin A＞sin B的充要条件 D.若acos A＝bcos B，则△ABC形状是等腰或直角三角形 答案：A　 解析：A选项，在△ABC中，若A＝45°，b＝4，a＝4，则B＝A＝45°，所以C＝90°，即△ABC只有一解，故A错误；B选项，由sin C＝2sin A，得AB＝2BC，因为BC＝，所以AB＝2，故B正确；C选项，在△ABC中，若a＞b，由正弦定理，可得sin A＞sin B；反之也成立，所以a＞b是sin A＞sin B的充要条件，故C正确；D选项，由acos A＝bcos B，根据正弦定理，可得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，则A＝B或A＋B＝，故△ABC形状是等腰或直角三角形，故D正确.故选A. 12.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为(　　 ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 答案：D　 解析：因为A＞B＞C，所以a＞b＞c. 设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acos A得 3b＝20(b＋1)×. 化简，得7b2－27b－40＝0. 解得b＝5或b＝－(舍去)，所以a＝6，c＝4. 所以sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4. 学科网（北京）股份有限公司 $