专题01二次根式复习讲义(知识梳理+20大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题01二次根式复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二次根式的定义，掌握式子有意义的条件。 2.熟记二次根式基本性质与双重非负性，会正确化简。 3.区分最简二次根式、同类二次根式，掌握判定方法。 4.掌握二次根式加减、乘除、混合运算的运算法则。 1.熟练进行二次根式化简、计算与分母有理化运算。 2.利用二次根式非负性，解决求值、参数求解类问题。 3.准确求出字母取值范围，提升审题与辨析能力。 4.学会结合代数式简单综合运用，灵活解题。 1.夯实基础考点，选择、填空基础题型稳拿分。 2.熟练掌握化简求值、混合计算等高频必考题型。 3.规避符号错误、化简不完整、忽略取值范围等易错点。 4.适应章节综合题型，轻松应对期中检测。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.利用二次根式的性质化简 题型05.二次根式有意义的条件 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.分母有理化 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.已知最简二次根式求参数 题型12.二次根式的乘除混合运算 题型13.二次根式的大小比较 题型14.复合二次根式的化简 题型15.同类二次根式 题型16.二次根式的加减运算 题型17.二次根式的混合运算 题型18.已知字母的值.化简求值 题型19.已知条件式.化简求值 题型20.二次根式的应用 知识点01:概念通关｜一眼看懂 1.最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数 / 因式 2.有意义的条件:有意义 ⟺a≥0 分母+根式：被开方数≥0且分母≠0。 3.双重非负性（必考）:≥0 且 a≥0 4.同类二次根式 化为最简后，被开方数相同，才能合并。 知识点02:核心性质｜必背清单 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:运算大全｜步骤清晰 （1）乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点04:分母有理化 .知识点05:化简二次根式一般方法 题型01.二次根式的识别 【典例】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如的式子叫二次根式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、被开方数，∴A不是二次根式； B、当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式； C、对任意实数，都有，可得，满足二次根式的定义，∴C一定是二次根式； D、不是二次根式． 【跟踪专练1】下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 【跟踪专练2】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 题型02.求二次根式的值 【典例】二次根式的值是 _________． 【答案】 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 因此． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【跟踪专练2】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 题型03.求二次根式中的参数 【典例】如果是二次根式，那么x应满足的条件是（    ） A．x≠2的实数 B．x≤2的实数 C．x≥2的实数 D．x＞0且x≠2的实数 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可知2-x≥0，解出x的范围即可． 【详解】解：根据题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 所以x应满足的条件是x≤2的实数． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【跟踪专练1】若是整数，则正整数n的最小值是_____． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题关键是根据正整数，确定整数n的最小值即可． 【详解】解：∵，且是整数， ∴正整数n的最小值是3． 故答案为：3 【跟踪专练2】＝2，则a＝________． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件得到，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果． 【详解】解：， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解方程，涉及到二次根有意义的条件和算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的定义及性质是解决问题的关键． 题型04.利用二次根式的性质化简 【典例】实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是__________． 【答案】 【分析】根据实数在数轴上的位置得出，进而根据二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵, ∴， ∴． 【跟踪专练1】已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=________ ． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，，进而判断式子的正负，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ． 【跟踪专练2】已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（  ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用分类讨论思想，根据题目条件逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：由题意得，，则化为 ① 当时： 又， ∴， 若，不满足，故，即，①正确； ② 当时： ∴ ∴ ∵， ∴所有符合条件的整式为：，，， 求和得，故②错误； ③ 当时： ， ， ∵， 分类列举得： 当，符合条件的有共3个； 当，符合条件的有共4个； 当，符合条件的有共2个； 当，无符合条件的；总共有个，不是10个，故③错误； ④ 计算所有满足条件的整式个数：有1个，有4个，有9个；时， ，无符合条件的整式；总共有个，不是17个，故④错误， 综上，只有1个结论正确． 题型05.二次根式有意义的条件 【典例】若都是实数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出、的值，再把、的值代入求出结果． 【详解】解：， ， ， ， ． 【跟踪专练1】已知，则______． 【答案】1 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出的值，再代入原式求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知、满足，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． 题型06.二次根式的乘法 【典例】在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】化简的结果是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 根据二次根式的性质和绝对值的定义，二次根式的乘法，结合给定条件化简即可． 【详解】解： ． ，， ，， 原式， 故答案为：． 【跟踪专练2】有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键． 由 和可知 和均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立． 【详解】解：∵   ，， ∴，． 对于①：，成立，符合题意； 对于②：中 ，但和在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意； 对于③：， ∵， ∴，成立，符合题意； ∴等式成立的是①③． 故选：B． 题型07.二次根式的除法 【典例】已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握物体的密度质量体积是解题的关键． 根据物体的密度公式计算即可． 【详解】解：它的密度ρ为． 故选：B． 【跟踪专练1】若，，用含的式子表示_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 题型08.分母有理化 【典例】将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 【跟踪专练1】二次根式的有理化因式可以是 ______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 【跟踪专练2】在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【分析】将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ． 题型09.最简二次根式的判断 【典例】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开尽方的因数或因式，据此逐一判断选项即可． 【详解】最简二次根式的定义为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开尽方的因数或因式， 对选项逐一判断： A. ，，是能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，该选项错误； B. ，，是能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，该选项错误； C. ，，是能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，该选项错误； D. ，被开方数不含分母，也不含能开尽方的因数，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，该选项正确． 【跟踪专练1】二次根式与最简二次根式可以合并，则_________． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．先判断与是同类二次根式，根据被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵二次根式与最简二次根式可以合并， ∴二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， ∴， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练2】下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； （a为正整数）是最简二次根式； 故选C． 题型10.化为最简二次根式 【典例】下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简． 根据二次根式的性质，对各选项进行化简判断即可． 【详解】解：A．，原化简不正确，不符合题意； B．， 原化简不正确，不符合题意； C．，原化简正确，符合题意； D． ，原化简不正确，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是将各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式． 先将与分别化为最简二次根式，其中，；再将化简后得到的同类二次根式进行合并，计算与的和即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 题型11.已知最简二次根式求参数 【典例】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得解出a的值即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 故选B． 【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，属于基础题． 【跟踪专练1】已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 【答案】 4 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式， 因此被开方数相等，可得 解得． 【跟踪专练2】若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 题型12.二次根式的乘除混合运算 【典例】下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 【跟踪专练1】计算：___________． 【案】 【详解】解：原式． 【跟踪专练2】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化． 根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D 题型13.二次根式的大小比较 【典例】下列各数中，大于的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法以及实数大小的估算解答本题的关键．对选项A、B、C分别与进行比较，选项D估值与比较即可得出． 【详解】解：A中，，故不符合题意； B ，，故不符合题意； C中，，故符合题意； D中，，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】比较下列两个数的大小：____________． 【答案】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 【跟踪专练2】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 题型14.复合二次根式的化简 【典例】已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 【跟踪专练1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 【跟踪专练2】设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 题型15.同类二次根式 【典例】若最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】11 【分析】根据同类二次根式的定义，最简二次根式为同类二次根式时被开方数相等，据此列方程求解，同时验证二次根式有意义即可得到结果． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以根据同类二次根式的定义，得， 移项，得， 计算得， 当时，，二次根式有意义． 【跟踪专练1】已知二次根式与是可以合并的二次根式，则的值可以是_____．（只需写出一个） 【答案】0 【分析】本题考查了同类二次根式，熟悉掌握同类二次根式的特点是解题的关键． 根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，与是可以合并的二次根式， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 题型16.二次根式的加减运算 【典例】下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，A错误； B、与不是同类二次根式，不能合并，B错误； C、，计算正确，C正确； D、，D错误． 【跟踪专练1】已知，，则的值为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的减法，正确计算是解题的关键． 先计算与的差以及与的积，再根据分式的减法法则将原式转化为分式形式求解即可． 【详解】解：由已知， ， ， 则 ， ． ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 题型17.二次根式的混合运算 【典例】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，按照二次根式的运算法则逐个计算选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、是最简二次根式，无法化简为，即，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 【跟踪专练1】已知 ，代数式的值是_____． 【答案】 【分析】先将代入原式，然后利用完全平方公式、平方差公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ． 【跟踪专练2】已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 【详解】解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 题型18.已知字母的值.化简求值 【典例】若，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简求值、完全平方公式，解题关键是熟练掌握二次根式的化简求值．先将利用完全平方公式进行变形，再将代入即可求解． 【详解】解：， 将代入上式可得， 原式． 故选：A． 【跟踪专练1】已知，，则______． 【答案】25 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值，最后代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 题型19.已知条件式.化简求值 【典例】已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 【跟踪专练1】已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 【跟踪专练2】已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 题型20.二次根式的应用 【典例】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 【答案】 【分析】先得出①②两个正方形的边长，然后根据进行求解即可． 【详解】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 【跟踪专练2】设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 解答题 1．计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行二次根式加法运算即可； （）先算二次根式乘除，再算减法即可； （）利用二次根式除法，完全平方公式，负整数指数幂计算，然后合并即可求解； （）先去括号，利用二次根式的性质先化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)猜想的结果； (2)按此规律，若为正整数），则的值为_______． (3)请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； 【答案】(1) (2) (3)（，为正整数），证明见解析. 【分析】（1）根据题干数据即可求解； （2）根据题干总结规律可得：，即可求解； （3）利用二次根式的性质证明即可． 【详解】（1）解：由，，得到 （2）解：根据题干总结规律可得，等号右边二次根式根号外的整数等于被开方数的分子，被开方数的分母等于根号外的整数的平方减1， ∵ ∴， 解得：， ∴． （3）解：（，为正整数） 证明：． 5．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题干中的方法进行解答即可； （2）根据（1）中的结论得到，进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：由（1）知： 而 两式相加得： 则 两边平方得到，，解得， 经检验，是方程的解， ∵，成立． 6．课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 7．嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数，现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若嘉嘉摸到如图①所示的两个小球，请计算出结果； (2)如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为，淇淇说的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)淇淇的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 8．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 9．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： (1)计算：； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过平方差公式完成分母有理化化简； （2）先将每一项分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果； （3）先对分母有理化，再将所求式子变形为完全平方，代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， 把代入得． 10．【定义理解】 材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为． 例如：如图1， 材料2：我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【操作发现】 下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图②，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图③，连接，再将矩形沿过点的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图④，过点作于点，得到矩形． 【初步应用】 (1)如图2，若黄金矩形的长，请直接写出它的宽___________． (2)在矩形中，．请判断图④中矩形是不是黄金矩形，并说明理由． 【迁移拓展】 (3)小明用一张宽为的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长的长度___________． 【答案】(1) (2)矩形是黄金矩形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据进行计算即可求解； （2）根据定义证明即可； （3）由题意得，，由（2）可得，根据点是线段的黄金分割点，分类讨论，或，分别求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）矩形是黄金矩形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：，， 又∵， ∴， 又由折叠的性质可得， ， ， ， ， 四边形是矩形， ∴，， 矩形是黄金矩形； （3）由题意得，， 由（2）可得，则同理可得， 由折叠的性质可知：， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 当时，则， ； 当时，则， ， ； 综上所述，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二次根式的定义，掌握式子有意义的条件。 2.熟记二次根式基本性质与双重非负性，会正确化简。 3.区分最简二次根式、同类二次根式，掌握判定方法。 4.掌握二次根式加减、乘除、混合运算的运算法则。 1.熟练进行二次根式化简、计算与分母有理化运算。 2.利用二次根式非负性，解决求值、参数求解类问题。 3.准确求出字母取值范围，提升审题与辨析能力。 4.学会结合代数式简单综合运用，灵活解题。 1.夯实基础考点，选择、填空基础题型稳拿分。 2.熟练掌握化简求值、混合计算等高频必考题型。 3.规避符号错误、化简不完整、忽略取值范围等易错点。 4.适应章节综合题型，轻松应对期中检测。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.利用二次根式的性质化简 题型05.二次根式有意义的条件 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.分母有理化 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.已知最简二次根式求参数 题型12.二次根式的乘除混合运算 题型13.二次根式的大小比较 题型14.复合二次根式的化简 题型15.同类二次根式 题型16.二次根式的加减运算 题型17.二次根式的混合运算 题型18.已知字母的值.化简求值 题型19.已知条件式.化简求值 题型20.二次根式的应用 知识点01:概念通关｜一眼看懂 1.最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数 / 因式 2.有意义的条件:有意义 ⟺a≥0 分母+根式：被开方数≥0且分母≠0。 3.双重非负性（必考）:≥0 且 a≥0 4.同类二次根式 化为最简后，被开方数相同，才能合并。 知识点02:核心性质｜必背清单 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:运算大全｜步骤清晰 （1）乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点04:分母有理化 .知识点05:化简二次根式一般方法 题型01.二次根式的识别 【典例】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型02.求二次根式的值 【典例】二次根式的值是 _________． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为____． 【跟踪专练2】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 题型03.求二次根式中的参数 【典例】如果是二次根式，那么x应满足的条件是（    ） A．x≠2的实数 B．x≤2的实数 C．x≥2的实数 D．x＞0且x≠2的实数 【跟踪专练1】若是整数，则正整数n的最小值是_____． 【跟踪专练2】＝2，则a＝________． 题型04.利用二次根式的性质化简 【典例】实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是__________． 【跟踪专练1】已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=________ ． 【跟踪专练2】已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（  ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A．0 B．1 C．2 D．3 题型05.二次根式有意义的条件 【典例】若都是实数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则______． 【跟踪专练2】已知、满足，则_________． 题型06.二次根式的乘法 【典例】在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 【跟踪专练1】化简的结果是__________． 【跟踪专练2】有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型07.二次根式的除法 【典例】已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，，用含的式子表示_____． 【跟踪专练2】下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型08.分母有理化 【典例】将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】二次根式的有理化因式可以是 ______． 【跟踪专练2】在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 题型09.最简二次根式的判断 【典例】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】二次根式与最简二次根式可以合并，则_________． 【跟踪专练2】下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 题型10.化为最简二次根式 【典例】下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】_________． 【跟踪专练2】如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 题型11.已知最简二次根式求参数 【典例】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 【跟踪专练2】若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 题型12.二次根式的乘除混合运算 【典例】下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算：___________． 【跟踪专练2】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 题型13.二次根式的大小比较 【典例】下列各数中，大于的数是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】比较下列两个数的大小：____________． 【跟踪专练2】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型14.复合二次根式的化简 【典例】已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【跟踪专练1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 题型15.同类二次根式 【典例】若最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【跟踪专练1】已知二次根式与是可以合并的二次根式，则的值可以是_____．（只需写出一个） 【跟踪专练2】最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型16.二次根式的加减运算 【典例】下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，，则的值为__________． 【跟踪专练2】已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 题型17.二次根式的混合运算 【典例】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知 ，代数式的值是_____． 【跟踪专练2】已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 题型18.已知字母的值.化简求值 【典例】若，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【跟踪专练1】已知，，则______． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 题型19.已知条件式.化简求值 【典例】已知，则_________． 【跟踪专练1】已知，则的值为_________． 【跟踪专练2】已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 题型20.二次根式的应用 【典例】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 【跟踪专练2】设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2) (3)； (4) 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)． 4．有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)猜想的结果； (2)按此规律，若为正整数），则的值为_______． (3)请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； 5．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 6．课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 7．嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数，现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若嘉嘉摸到如图①所示的两个小球，请计算出结果； (2)如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为，淇淇说的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 8．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 9．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： (1)计算：； (2)化简：； (3)若，求的值． 10．【定义理解】 材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为． 例如：如图1， 材料2：我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【操作发现】 下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图②，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图③，连接，再将矩形沿过点的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图④，过点作于点，得到矩形． 【初步应用】 (1)如图2，若黄金矩形的长，请直接写出它的宽___________． (2)在矩形中，．请判断图④中矩形是不是黄金矩形，并说明理由． 【迁移拓展】 (3)小明用一张宽为的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长的长度___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $