17.1 一元二次方程 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学八年级下册

本讲义聚焦一元二次方程的核心知识点，系统梳理从定义（含整式、单未知数、最高次2三个条件）到一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0），再到解的意义（使方程成立的未知数的值）及直接开平方法（形如x²=p或(nx+m)²=p的求解）的递进脉络，构建概念理解到技能应用的学习支架。 该资料通过题型分层设计，将知识点与典型例题结合，如定义辨析题培养抽象能力（数学眼光），代入根求参数题发展推理意识（数学思维），化为一般形式题强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后练习题帮助学生巩固基础，查漏补缺。

第17章 17.1 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式 题型3 一元二次方程的解 题型4 解一元二次方程-直接开平方法 ▉题型1 一元二次方程的定义 【知识点的认识】 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x+3y＝2 B．x2+2x﹣5＝x2 C． D．x2﹣x＝0 【答案】D 【解答】解：A．x+3y＝2，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B．x2+2x﹣5＝x2，整理后不含x2项，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C． ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D．x2﹣x＝0，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列式子是一元二次方程的是（　　） A．2x﹣3＝0 B．x2﹣6x﹣3＝0 C．x2﹣3x﹣4 D．4xy+1＝0 【答案】B 【解答】解：A．2x﹣3＝0为一元一次方程，所以A选项不符合题意； B．x2﹣6x﹣3＝0为一元二次方程，所以B选项符合题意； C．x2﹣3x﹣4不是方程，所以C选项不符合题意； D．4xy+1＝0为二元一二方程，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．（x﹣1）（x+2）＝1 B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 C．x20 D．ax2+bx+c＝0 【答案】A 【解答】解：A、是一元二次方程，故A符合题意； B、是二元二次方程，故B不符合题意； C、是分式方程，故C不符合题意； D、a＝0时是一元一次方程，故D不符合题意； 故选：A． 4．下列方程中，是一元二次方程的有（　　）个． ①ax2+bx+c＝0；②2x（x﹣3）＝2x2+1；③x2＝4；④（2x）2＝（x﹣1）2 ⑤2x2． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：①当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故错误； ②由2x（x﹣3）＝2x2+1得到﹣6x﹣1＝0，属于一元一次方程，故错误； ③x2＝4符合一元二次方程的定义，故正确； ④由（2x）2＝（x﹣1）2得到 3x2+2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，故正确； ⑤2x2属于分式方程，故错误； 故选：C． 5．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0 【答案】D 【解答】解：A． x﹣1＝0为分式方程，所以A选项不符合题意； B．3x+1＝5x+42为一元一次方程，所以B选项不符合题意； C．ax2+bx+c＝0，当a≠0时，方程为一元二次方程，所以C选项不符合题意； D．m2﹣2m+1＝0为一元二次方程，所以D选项符合题意． 故选：D． 6．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 a≠1　 ． 【答案】a≠1． 【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程， ∴a﹣1≠0， ∴a≠1， 故答案为：a≠1． 7．已知是一元二次方程，则m＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：由题意，得 ∴m﹣1≠0且m2+1＝2， 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 8．方程； （1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解； （2）m取何值时是一元一次方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）若方程是一元二次方程，则m2+1＝2， ∴m＝±1． 显然m＝﹣1时m+1＝0 故m＝1符合题意． 当m＝1时，原方程可化简为2x2﹣2x﹣1＝0， 此时x ∴x1，x2． 因此m＝1，方程的两根为x1，x2． （2）当m+1＝0时，解得：m＝﹣1， 此时方程为﹣4x﹣1＝0． 当m2+1＝1时，解得m＝0， 此时方程为﹣2x﹣1＝0， 当m2+1＝0且m﹣3≠0时，无实数根． 故当m＝﹣1或m＝0时，方程为一元一次方程． ▉题型2 一元二次方程的一般形式 【知识点的认识】 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 9．将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（　　） A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5 【答案】B 【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0， 所以二次项系数、一次项系数分别是3，﹣5． 故选：B． 10．关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2 【答案】C 【解答】解：∵方程3x2﹣2＝4x化为一般形式为：3x2﹣4x﹣2＝0， ∴二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4． 故选：C． 11．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4 【答案】D 【解答】解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4． 故选：D． 12．将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（　　） A．2x2+5x﹣7＝0 B．2x2+5x+1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．x2﹣7x﹣1＝0 【答案】B 【解答】解：（x+3）（2x﹣1）＝﹣4， 2x2﹣x+6x﹣3+4＝0， 2x2+5x+1＝0， 故选：B． 13．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，5 【答案】B 【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，﹣5， 故选：B． 14．一元二次方程3x2+2x+1＝0的二次项系数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解答】解：一元二次方程3x2+2x+1＝0的二次项系数是3． 故选：A． 15．将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　﹣3　 ． 【答案】﹣3 【解答】解：∵一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为2x2﹣3x﹣4＝0， ∴一次项系数为﹣3， 故答案为：﹣3． ▉题型3 一元二次方程的解 【知识点的认识】 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 16．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0， ∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1， 故选：B． 17．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4 【答案】B 【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣b＝0得4+2b﹣b＝0， 解得b＝﹣4． 故选：B． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2021 B．2021 C．﹣2025 D．2025 【答案】D 【解答】解：由题意知，a+b+2＝0， ∴a+b＝﹣2， ∴2023﹣a﹣b ＝2023﹣（a+b） ＝2023﹣（﹣2） ＝2025． 故选：D． 19．已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程（m+1）x2+m2x+2＝0的解，则m的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1 【答案】B 【解答】解：将x＝﹣2代入方程得：4（m+1）﹣2m2+2＝0， 解得：m＝﹣1或m＝3， m＝﹣1时，方程为x+2＝0，不合题意，舍去， 则m＝3． 故选：B． 20．若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】C 【解答】解：由条件可知12+m×1﹣1＝0， 解得m＝0， 故选：C． 21．已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　2028　 ． 【答案】2028 【解答】解：因为a是方程x2+2x＝3的一个根， 所以a2+2a＝3， 则a2+2a+2025＝3+2025＝2028． 故答案为：2028． 22．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根， ∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m， ∴m2 ＝（m）2+2 ＝（）2+2 ＝22+2 ＝6． 故答案为：6． 23．若x＝﹣1是方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：由条件可知x＝﹣1满足方程x2+mx﹣1＝0， ∴1﹣m﹣1＝0， 解得m＝0． 故答案为：0． 24．实数x满足方程（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0，则x2+x的值等于　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：设y＝x2+x，则由原方程，得 y2﹣y﹣2＝0， 整理得 （y﹣2）（y+1）＝0， 解得 y1＝2，y2＝﹣1， 当y＝﹣1时，x2+x+1＝0，此时x无解， 即x2+x的值等于2． 故答案为：2． 25．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得 a﹣1+a2﹣a＝0， 解得：a1＝1，a2＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 26．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根， ∴a2+2a﹣3＝0， ∴a2+2a＝3， ∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6， 故答案为：6． 27．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ 　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1， 所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2． 故答案为：﹣2． 28．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根是2，则k的值是　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意得：把x＝2代入x2﹣kx＝0中得：4﹣2k＝0， 解得：k＝2， 故答案为：2． 29．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根是1，则k的值是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+x﹣k＝0中得： 12+1﹣k＝0， 解得：k＝2， 故答案为：2． 30．若x＝a是方程x2+2x﹣8＝0的一个实数根，则2a2+4a+2025的值为 　2041　 ． 【答案】2041． 【解答】解：由条件可得：a2+2a﹣8＝0， ∴2a2+4a+2025＝2（a2+2a）+5＝2×8+2025＝2041． 故答案为：2041． 31．先化简再求值，其中a是方程a2+2a﹣9＝0的根． 【答案】；． 【解答】解： ∵a是方程a2+2a﹣9＝0的根 ∴a2+2a＝9 ∴原式． 32．先化简，再求值，其中x的值是方程x2﹣x﹣2＝0的根． 【答案】﹣x2+x，﹣2． 【解答】解：原式 ＝﹣x2+x． 由x2﹣x﹣2＝0可得x＝2或x＝﹣1， ∵当x＝2时，原式无意义， ∴当x＝﹣1时， 原式＝﹣（﹣1）2+（﹣1）＝﹣2． ▉题型4 解一元二次方程-直接开平方法 【知识点的认识】 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 33．若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1 【答案】B 【解答】解：根据题意得m﹣1≥0， 所以m≥1． 故选：B． 34．方程x2＝16的解为x1＝4，x2＝﹣4　 ． 【答案】x1＝4，x2＝﹣4 【解答】解：x＝±4， 所以x1＝4，x2＝﹣4． 故答案为x1＝4，x2＝﹣4． 35．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+2与2m﹣5，则　9　 ． 【答案】9 【解答】解：∵x2， ∴x＝±，即方程的两个实数根互为相反数， 则m+2+2m﹣5＝0， 解得：m＝1， ∴方程的两根为x＝3或x＝﹣3， ∴x2＝9， 故答案为：9． 36．解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 【答案】x1＝3，x2＝﹣1． 【解答】解：∵3（x﹣1）2﹣12＝0 ∴3（x﹣1）2＝12， 则（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 17.1 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式 题型3 一元二次方程的解 题型4 解一元二次方程-直接开平方法 ▉题型1 一元二次方程的定义 【知识点的认识】 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x+3y＝2 B．x2+2x﹣5＝x2 C． D．x2﹣x＝0 2．下列式子是一元二次方程的是（　　） A．2x﹣3＝0 B．x2﹣6x﹣3＝0 C．x2﹣3x﹣4 D．4xy+1＝0 3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．（x﹣1）（x+2）＝1 B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 C．x20 D．ax2+bx+c＝0 4．下列方程中，是一元二次方程的有（　　）个． ①ax2+bx+c＝0；②2x（x﹣3）＝2x2+1；③x2＝4；④（2x）2＝（x﹣1）2 ⑤2x2． A．4 B．3 C．2 D．1 5．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0 6．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 ． 7．已知是一元二次方程，则m＝　 　 ． 8．方程； （1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解； （2）m取何值时是一元一次方程． ▉题型2 一元二次方程的一般形式 【知识点的认识】 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 9．将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（　　） A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5 10．关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2 11．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4 12．将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（　　） A．2x2+5x﹣7＝0 B．2x2+5x+1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．x2﹣7x﹣1＝0 13．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，5 14．一元二次方程3x2+2x+1＝0的二次项系数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 15．将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 ． ▉题型3 一元二次方程的解 【知识点的认识】 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 16．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 17．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2021 B．2021 C．﹣2025 D．2025 19．已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程（m+1）x2+m2x+2＝0的解，则m的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1 20．若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 21．已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　 　 ． 22．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　 　 ． 23．若x＝﹣1是方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是　 　 ． 24．实数x满足方程（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0，则x2+x的值等于　 　 ． 25．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 　 　 ． 26．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　 　 ． 27．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ 　 　 ． 28．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根是2，则k的值是　 ． 29．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根是1，则k的值是 　 ． 30．若x＝a是方程x2+2x﹣8＝0的一个实数根，则2a2+4a+2025的值为 　 　 ． 31．先化简再求值，其中a是方程a2+2a﹣9＝0的根． 32．先化简，再求值，其中x的值是方程x2﹣x﹣2＝0的根． ▉题型4 解一元二次方程-直接开平方法 【知识点的认识】 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 33．若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1 34．方程x2＝16的解为 　 ． 35．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+2与2m﹣5，则　 　 ． 36．解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 学科网（北京）股份有限公司 $