题号猜押10 山东中考数学22～23题（解答题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押10 山东中考数学22~23题（解答题） 考点1 二次函数的综合应用 1．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值． 【答案】(1)对称轴为 (2)解析式为 (3)或 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，即区间端点或顶点处的函数值情况． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 整理得：， ∴对称轴为． （2）解：由（1）可得，， ，， ， ， ， ∴解析式为． （3）解：由（2）可得：二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值为6， ∵当时，y有最大值为3， ∴不成立， ∴或者： ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或2， ， ， ②当，即时，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或， ， ， 综上所述，或． 2．（2026·山东日照·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； (3)若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，黄金区间为 【分析】（1）把代入求得a的值即可解答； （2）先求得平移后新的函数解析式，再求出新函数解析式于x轴的交点坐标，再根据线段列关于t的不等式求解即可； （3）分对称轴左侧和右侧两种情况，结合函数增减性和黄金区间的定义，建立方程或方程组，求解并判断是否有符合条件的区间即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）解：抛物线向下平移个单位后的函数解析式为， 令，则． 设方程的两根为​，则． 由根与系数的关系可得， ∵， ∴，即，解得：． 所以 t 的取值范围为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线，开口向上，顶点为． ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 黄金区间定义： 在对称轴同一侧，且． ①区间在对称轴右侧（），此时y随x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴m，n 是方程 的两个根，解得， ∴，即； ②区间在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小； ∴当时，，当时，， ∴​ 两式相减： ， ∵，即， ∴，即， 将代入得，即， ∴， ∴方程无实根，故左侧不存在黄金区间． 综上，存在黄金区间，为． 3．（2026·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据函数解析式判定出的值最小，得出，然后利用二次函数的性质以及图象得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 4．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； （2）解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； （3）解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 5．（2026·山东滨州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）求出得到，由正切的定义求出，即，由题意可得，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，由勾股定理可得，从而得出，，设，则，，求出，得到，，表示出周长，由二次函数的性质可得，当时，周长最大为，此时；将点沿直线平移个单位长度得到点，连接、、，则向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，由平移的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，由并结合勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，抛物线关于原点对称的解析式为，求出，由，得出，根据点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于，此时，从而可得，设，则，，由，得出，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵轴交直线于点， ∴，， ∴， ∵点作交直线于点， ∴，， ∴周长 ， ∵， ∴当时，周长最大为，此时， ∴； 如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，则 由平移的性质可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵将点向下平移一个单位长度得到点， ∴， 抛物线关于原点对称的解析式为， ∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴点的横坐标为． 6．（2026·山东枣庄·一模）已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点． (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，有最大值7，最小值，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)4 (3) 【分析】（1）先根据已知条件求得抛物线的对称轴，进而可求得b，可得表达式和顶点坐标； （2）先求出点P平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）中表达式求解，即可解答； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（为常数）的图象经过点，两点， ∴该函数的对称轴为直线，则， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后的坐标为， 将代入中，得， 解得或（舍去）， 故m的值为4； （3）解：由（1）知，该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，开口向下， 又当时，有最大值7，最小值， ∴当时，取最大值7， ∵当时，， 又点关于对称轴对称的点的坐标为 ∴． 7．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点，求的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得抛物线的解析式，然后利用二次函数的性质求对称轴即可； （2）由题意可知，，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出t的值即可； （3）先求出新函数的顶点坐标为，当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为；再画出图形，并根据图形求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：； ， 对称轴为直线． （2）解：由（1）知：抛物线解析式为， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， 又点为线段的中点， ， ， ， 代入，得：， ． （3）解：， 抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间时，，为直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又直线，之间的距离为9，为定值， 当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： 当时，解得：，，即：， 的最大值为：． 8．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点恰为线段的中点，求的值； (3)直线：（为常数），向下平移9个单位长度得到直线．设，抛物线的一段夹在直线，之间，求的最大值． 【答案】(1) (2)的值为 (3)6 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解； （2）设，可得，再根据二次函数的对称性可得，即得，进而代入到函数解析式解答即可求解； （3）由直线与抛物线相切时得，即得此时直线：，得到直线：，再由得，，即得，时取最大值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入得 解得： 该抛物线的解析式为； （2）解：设， 点恰为线段的中点， ， 抛物线， 对称轴为直线， 点、关于对称轴对称， ， 解得， 当时，， 的值为； （3）解：当直线与抛物线相切，即只有一个交点时，的值最大，如图， ， 即， 由，解得， 此时直线：， 直线：向下平移9个单位长度得到直线， 直线： 由，解得，， ， 当，时， 的最大值. 9．（2026·山东潍坊·一模）已知二次函数，其中k为常数． (1)证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； (2)将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴的交点分别为，，且，记线段的长度为d，求d的最小值； (3)该二次函数与一次函数的图象交于点M，过点作x轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点P、Q，若，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)或 【分析】（1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）根据二次函数的平移规律得到新的二次函数解析式，令，由韦达定理可得，，从而得出，即可得解． （3）先表示出点、的坐标，从而得出，联立二次函数与一次函数，求出交点坐标，从而得出，再根据，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，即， 不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； （2）解：， 将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度， 得到的新二次函数为， 令，则， ∵新二次函数的图象与x轴的交点分别为，， ∴，， ， ∵记线段的长度为d， ， 的最小值为1； （3）解：当时，， 当时，， ，， ， 联立， 整理得：，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，． 综上可知，k的值为或． 10．（2026·山东济南·一模）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)如图，求二次函数的表达式； (2)如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据二次函数对称轴公式和已知点的坐标列方程组，求解得到，从而确定二次函数的表达式为； （）先求出点坐标及直线的解析式，先由且两三角形同高，推得线段比；再分别过作轴的平行线，交于两点，利用平行线性质证，得到；接着由点坐标求出点坐标与的长度，设出点坐标并表示出点坐标与的长度；最后代入比例关系列方程求解，再算出对应纵坐标，得到点的坐标； （）通过分析直线过分段函数的关键点时的值，以及直线与相切时的值，确定出“阶融合点”只有个时的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数，对称轴为直线，且过点， 根据对称轴公式和点坐标列方程： ，解得， 因此二次函数表达式为：； （2）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴时，，得， 由（）得，，对称轴， ∴， 直线经过两点，设直线的解析式为， ， ∴直线的解析式为， ∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，分别过作轴的平行线，交于两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 将代入， 得： ∴. ∴ 设， 则 ∵，即 ∴， 解得：， 当时，（不合题意，舍去）； 当时，； 因此点的坐标为：； （3）∵“阶融合点”，满足， ∴， ①当过时，； 过时，， 由图可得：当直线与的交点只有个； ②当与相切时：， 整理，得， ， ， ∴时，直线与的交点只有个； 综上，若函数图象上有且只有个“阶融合点”，的取值范围为或． 考点2 几何综合探究问题 1．（2026·山东青岛·一模）综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． (1)如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； (2)如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】（1）由“哥俩三角形”的定义可得，，，，可证明，可得； （2）①先可得，可得，，再由，，可得，，即可求解； ②过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，设，则，，再证明，即可求得，再求得，即可求解． 【详解】（1）解：由“哥俩三角形”的定义可得，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵和互为“哥俩三角形”， 同理（1）可得， ∴，， 由题意可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接， 同理①可知，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) (3)存在，5 (4) 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． （3）解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 3．（2026·山东淄博·一模）如图，矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． (1)【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． (2)【深入探究】如图2，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值． (3)【拓展运用】如图3，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当P、D、N是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，连接，由折叠的性质可得，，结合题意得出，再证明，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，结合题意可得点在以点为圆心，为半径的的弧上，连接、，由，得出当点在线段上时，有最小值，由勾股定理可得，即可得解； （3）过点作于，延长交于点，连接、，则，四边形为矩形，从而可得，，证明，得出，设，则，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，从而可得，求出，，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 如图，连接， ， ∵把沿直线折叠，使点落在点处， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵矩形中，，， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∵点在移动过程中，不变， ∴点在以点为圆心，为半径的的弧上， 如图，连接、， ， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图，过点作于，延长交于点，连接、， ， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵P、D、N是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得：，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得． 4．（2026·山东济宁·一模）感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． (1)【感知模型】如图1，已知．求证：； (2)【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； (3)【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； (4)【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)是等腰直角三角形，证明见详解 (3) (4)或 【分析】（1）利用相似三角形的性质得出，，再利用角度和差关系推出，从而证得结论； （2）过点F作交于点H，交于点K，连接，，利用正方形的性质结合直角三角形两锐角互余证明，，，结合已知条件证明是等腰直角三角形，得到，从而证得结论； （3）利用圆内接四边形和圆周角定理即可求得结果； （4）根据已知条件，由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆，此时分情况讨论：①当点Q在中点时；②当点Q与点D重合时；利用正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理设未知数，表示出相关线段的表达式，最终利用正切的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （2）解：是等腰直角三角形， 证明：如图，过点F作交于点H，交于点K，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵， ∴点A，B，O，F四点共圆， ∴为直径， ∵， ∴点P在圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴， 由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆， 由题意知，此时分情况讨论： ①如图，当点Q在中点时，过点Q作交于点M， 易证得：四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， 同理可证得：四边形是正方形， ∵为四边形是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 此时点F，P分别在，的中点， 设正方形的边长为， ∴， 过点O作交于点N， ∵， ∴点O为正方形对角线的中点， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴； ②如图，当点Q与点D重合时，则点E也与点D重合， 此时点F与点A重合，点P与点B重合，点G与点C重合， ∴点O为正方形对角线中点， ∴为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形， ∴， 综上所述，或． 5．（2026·山东临沂·一模）在平行四边形中，过点作于点，用纸片做一个三角形，使得．将三角形纸片和平行四边形进行如下操作：①将三角形纸片置于平行四边形内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图1所示；②连接，过点作直线交射线于点，如图2所示；③在边上取一点，分别连接，如图3所示． 请解决下列问题： (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，则可证明，得到，由全等三角形的性质可推出，则可证明，得到，即可证明； （2）先证明，再由全等三角形的性质得到，，即，则可证明，，证明是等腰直角三角形，，则可证明，进而可证明； （3）过点D作于点T，证明，解直角三角形得到，则可求出，；证明，可求出，则，据此可得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴，， ∴，； ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点D作于点T， ∴； 由（1）可得，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 6．（2026·山东德州·一模）【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）方法1：平移线段至交于点，证明四边形是平行四边形，得出，再证明，即可得出结论； 方法2：平移线段至交于点，则四边形是矩形，再证明，即可得出结论； （2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得，，，得出，则，由即可得出结果； （3）①平移线段至处，连接，由证得 ，得出，，证明 ，得出 ，即可得出结果； ②证明，得出即可求解． 【详解】（1）(1)证明：方法1：平移线段至交于点，如图， 由平移的性质得， 四边形是正方形， ，°，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 方法2：平移线段至交于点，如图， 则四边形是矩形，， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图， ， 设正方形网格中小正方形的边长为单位1， 则，，，，，， 由勾股定理可得，，，， ， 即， 为直角三角形，， ； （3）解：①平移线段至处，连接，如图， 则，四边形是平行四边形， ， 四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ； ②如图， 为正方形的对角线，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键． 7．（2026·山东枣庄·一模）探究解题： (1)如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 (3)在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用证明，得； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）分两种情况，即点在线段上和点在线段的延长线上，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：相等，理由如下： 是等腰直角三角形， ，， ， 即， ， ， ； （2）解：成立，理由： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）解：如图2，当点在线段上， 根据（2）可得， ， ，， ， ． 如图3，当点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 综上所述，为或． 8．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）当时，，连接，可证明，得出，则，根据勾股定理求出，即可得证； （2）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．则，，得出，，由（1）可得，证明，根据相似三角形的性质求出∴，即可求解 （3）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可； （4）当时，，取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可． 【详解】（1）证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （3）解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （4）解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 9．（2026·山东聊城·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作： (1)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________； (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长； (3)大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由折叠可得，，推出，得到，最后根据折叠的性质和四边形的内角和即可求解； （2）根据三角函数求出，得到，根据折叠可得，由三角函数求出，即可求解； （3）延长，交于点，根据平分和折叠的性质可求出的度数，推出和均为等腰直角三角形，得到，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ； （2），， ， 又， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ； （3）如图，延长，交于点， 平分， ， 由折叠的性质可知，，，． ， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， 即， ． 10．（2026·山东菏泽·一模）综合与实践 (1)如图①，点分别在正方形的边上，，若把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现之间的数量关系是______； 【分析问题】 (2)如图②，在四边形中，，，点分别在边上，当时，（）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路上分别有景点，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在之间修一条笔直的道路，请直接写出这条道路的长为______． 【答案】(1) (2)（）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】（）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据可得，进而证明，即得到，即可求证； （）把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，得到点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 由旋转得，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据（）的结论有， 即这条道路的长为． 1．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明，进一步即可求出答案； （2）在的延长线上取点M，使，证明，即可求解； （3）延长至N，使，证明，得到，再由，得到，由此可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长至N，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·山东济宁·一模）某校九年级数学兴趣小组借助等腰直角三角形模型进行了探究活动． 【模型应用】 如图1，中，，，D为的中点．连接，作，垂足为E，连接． 【解决问题】 (1)求的值； (2)求证； 【拓展探究】 (3)在图1基础上，兴趣小组又进行了下面操作： 如图2，以，为邻边作正方形，连接交于点G，过点A作，交的延长线于点H，连接EG，HG． 此时，小组成员甲说：“当时，四边形是平行四边形”． 你赞同小组成员甲的说法吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)赞同小组成员甲的说法，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到和，证明，再根据三角函数进行计算即可； （2）延长至点M，使，连接，证明，求出，证明，推理出，再根据相似三角形的性质得到结论即可； （3）证明，再得到，求出，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，D为的中点， ， ； （2）证明：延长至点M，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：赞同小组成员甲的说法． 理由：是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 3．（2026·山东济南·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图，求证：； (2)如图，当，时，求的长； (3)如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（）由旋转性质可得，，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，，则有，过作，，则，在中，，即，则，，通过勾股定理得，又，则，然后代入即可求解； （）设旋转角为，，，，，，再证明，通过全等三角形的性质可得，又，则． 【详解】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：设旋转角为， 则，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·山东济南·一模）根据题目条件，完成下列各题 (1)【拓展探究】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系． 如图2，小明同学解题思路和理由如下： 如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴①______， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵，∴②______． 请完成填空：①______；②______； (2)【类比分析】老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化．为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图3，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交边于点F．求证：； (3)【学以致用】如图4，在中，，，，点E，F分别在边上，，，求线段的长． 【答案】(1)①FB；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，则．进一步即可证明结论； （2）在上截取，连接．证明，则，，得到，根据即可得到结论； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，，证明，得到，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴②． 故答案为：①；② （2）证明：在上截取，连接． ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． ∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴∽， ∴， 设， 则， ∴，解得：， ∴． 5．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）解：，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 6．（2026·山东济南·一模）在中，，点D是边上的一个动点，连接． (1)【问题发现】 如图1，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_________，_________度； (2)【类比迁移】 如图2，将绕点C逆时针旋转得到，点E在上，且，若，，则与的数量关系是_________，_________度．请证明你的结论： (3)【拓展应用】 如图3，在（2）的条件下，当点D在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点F，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】(1)， (2)， (3)的长为或 【分析】本题是一道几何变换综合题，以直角三角形为背景，结合旋转、相似三角形、直角三角形性质和分类讨论思想，层层递进考查图形的全等/相似、角度与线段关系，以及动点问题的多情况求解． （1）由旋转得：，；结合，可得；结合，可证，因此，；在中，，因此，即； （2）先计算比例：，由题，因此;结合（同角的余角相等），可证（两边成比例且夹角相等）;由相似得：，；再由，推出； （3）由，点F是的中点，得；由（2）中，得，因此;结合是直角三角形，可得为等腰直角三角形，因此，进而得;分两种情况讨论点的位置：当在线段上时：，在中用勾股定理列方程求解；当在延长线上时：，同理列方程求解，最终得到的两个解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：,, 又， ， 即, 在和中： , ∴，， 在中，，， ， ； 综上，与的数量关系是，； 故答案为：，； （2），； 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即：， ，； （3）由（2）知，点F是的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， ，， ， ， 设，则， ，，， ， ①如图，当点D在线段上时， ， ， ， ， ，（舍去）， ②如图，当点D在的延长线上时， ， ， ， ， ， ，舍去）， 综上所述，的长为或． 7．（2026·山东青岛·一模）如图①，在中，，，，线段与重合（与重合，与重合），从位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，，设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点与点关于点中心对称，连接，，是否存在某一时刻，使点在外角的平分线上？若存在，直接写出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（1）根据求得结果； （2）过点作交于点，过点作交于点，连接、，根据解直角三角形可表示出和，进而表示出，，，从而得出的关系式； （3）过点作交于点，过点作交于点，连接，过点作交延长线于点，作平分，交于点，过点作交于点，连接，先假设存在，使点在外角的平分线上，根据角平分线性质得出，根据等面积法求出的值，再证明，结合相似的性质和（2）中线段的值求出，最后根据角度的等量代换推出，即，将已知值代入求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴根据勾股定理：， ∵从位置出发，沿射线方向匀速运动， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴； （2）如图1，过点作交于点，过点作交于点，连接、，　 ∵，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，　　 ∴，　　 ∴， ，　　 ， ∵， ∴； （3）如图3，假设存在，使点在外角的平分线上，　　 过点作交于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，作平分，交于点，过点作交于点，连接，　　 ∴，　　 由得，，　　 ∴，　　 ∴， ∵点与点关于点中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，， ∵由（2）得， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵由（2）得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，　　 ∴，，　　 ∴，　　 ∴， ∴， ∴，　　 ∴，　　 ∴当时，点在外角的平分线上． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 8．（2026·山东济南·一模）在矩形中，，连接对角线．在中，，． (1)如图1，当点分别在边上时，请完成填空：______，______； (2)将图1中的绕点按逆时针方向旋转，连接． ①如图2，当点在边的延长线上时，求线段的长； ②如图3，若点在线段上，且，连接，求线段的最大值． 【答案】(1)6； (2)①；② 【分析】（1）可证明，利用相似三角形的性质可得的长，利用勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案； （2）①可证明，得到；由勾股定理得，则，据此可得答案②在上截取，连接，则，，可证明，得到；可求出；根据，可得当D、T、H三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴； 由（1）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，在上截取，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴当D、T、H三点共线时，有最大值，最大值为． 9．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解；②分两种情况：①；②，讨论即可． 【详解】（1）解：把、代入得 ， 解之得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：①如图， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∴， ， ∴对称轴， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴； ②当时，如图： ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得舍去，， ∴， 当时， ， 过点作于， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由①得，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 10．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析； ，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】（1）由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同（等）角的余角相等，即可求解； （2）由折叠可得，，，，由矩形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，结合已知可得，即可得，，三条线段的数量关系；由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，证明，可得，，点、在线段的垂直平分线上，即可判断与的位置关系； （3）按照，进行分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为或． （2）解：，理由： 由折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ，理由： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴． （3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或． 11．（2026·山东济宁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． (2)如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析； (2)，见解析； (3)存在，的长为或 【分析】（1）根据折叠以及已知条件可得，则，而，可得，即可证明； （2）过点作的平行线，与的延长线交于点，根据等腰三角形的判定证明，而可证明平行四边形，则，即可利用证明，那么； （3）当点在的延长线上，当是等腰三角形，则，则设而，故，解得：，可得，则；当点在线段上，是等腰三角形，则，则设，而，则，解得：，则，同理可求． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作的平行线，与的延长线交于点，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，正方形中， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：存在， 当点在的延长线上， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴； 当点在线段上，如图： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 综上所述，存在某一时刻，使是等腰三角形，的长为或． 12．（2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)．理由见解析 (4) 【分析】（1）根据直菱四边形的定义，逐个分析判断即可； （2）先推导出平分，得到，证明为等边三角形，进而推导出，得到，求出，即可解答； （3）先求出，将绕点A顺时针旋转得到，推导出，得到M，B，E三点共线，进而证明，得到，则，即可解答； （4）连接，作于点G，先求出，得到，推导出，证明，得到，，求出，推导出点D，M，B，C共圆，得到，，可求出，，则，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：①∵平行四边形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ②∵矩形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ③∵菱形的四边相等，但内角不一定为直角， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ④∵正方形的四边相等，四个内角都为直角， ∴正方形一定是直菱四边形，该选项符合题意， （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中线上一点， ∴平分， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是直菱四边形； （3）解：．理由如下： ∵四边形是对角互补的直菱四边形，， ∴． 如图3，将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴M，B，E三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图4，连接，作于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴点D，M，B，C共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·山东滨州·一模）【教材再现】 （1）如图①，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，． 【纵向探变】 （2）如图②，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长． 【横向拓展】 （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图③所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出·的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）利用正方形性质，通过证明，得到；再通过角的等量代换，证明与的夹角为，从而证得． （2）先由折叠性质得垂直平分，再证明，利用相似比求出、的长度；接着在中，利用正切函数求出的长，最后用勾股定理算出，进而求得的长度． （3）分两种情况讨论： 当时，过作于，延长交延长线于，先求的长，证明得、的长，证明得，进而得、，再证明得，最后计算；当时，证明，结合相似性质求出、，进而计算． 【详解】（1）证明：延长交于点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：延长交于点． ∵矩形中，，，， ∴，，，， 在中， ， ∵沿折叠得， ∴垂直平分，即，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ， ， ∵ 在中，，， ， ， ； （）解：由（）得，，． 情况：，则， 过点作交延长线于，延长交延长线于． ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，  ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 情况：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上，的值为或． 14．（2026·山东·一模）如图，在中，，点是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若，点在边上(点不与点，重合)，将射线绕点顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点，连接，使得，过点作于点，过点作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点在直线下方，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到四边形所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线定义得到等角，推出，再利用含角的直角三角形的性质求出，通过勾股定理计算，最后再次利用含角的直角三角形性质求出． （2）作辅助线，先证明得到，推出是等边三角形；再结合含角的直角三角形性质得到，证明得到，最终结合推导线段的数量关系． （3）通过旋转构造全等三角形，将四边形的面积转化为等边的面积减去的面积，得到四边形面积最小时的面积最大；利用定角定弦确定点的轨迹，找到面积最大时的位置；结合翻折的性质确定的轨迹，找到取最小值时的位置，最终通过面积的和差计算的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，， 在中，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴，即是的中线， 在中，，， ∴，， ∴， ∵射线绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得，连接，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为定值， ∴要使四边形的面积最小，需使最大， 在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为定角， 如图，作的外接圆， ∵， ∴劣弧所对的圆周角为， ∴圆心角， ∵，， ∴，即是定圆， 当时，点到的距离最大，此时最大，记此时为， ∵，， ∴垂直平分， ∴点，，三点共线，记与的交点为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵等边中，， ∴， ∴，即点在直线上， 当时，取最小值，此时垂足为的中点， ∵等边中，， ∴，， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴是的中位线， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ∴ ， 即的面积为． 15．（2026·山东青岛·一模）已知二次函数，其中c，d为两个不相等的实数，与y轴交点坐标为． (1)当时，求n的值； (2)当时，点在该函数图像上，且，求整数n的值； (3)若，对于该函数图像的顶点坐标，满足，求的取值范围． 【答案】(1)12 (2)1，2，3，4 (3) 【分析】（1）将，代入解析式求解即可； （2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与y轴交点坐标为，得出，进而求得n的取值范围，即可确定n的整数值； （3）根据题意可得，根据函数图像的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：当时，二次函数． ∵函数与y轴交点坐标为， ∴． （2）解：当时，二次函数， 已知点在该函数图像上，则，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，即． ∵函数与y轴交点坐标为， 当时，． ∵， ∴， ∴，即， ∴整数n的值为1，2，3，4． （3）解：∵二次函数，函数与y轴交点坐标为， ∴当时，． 当，即时，， 该函数图像的顶点坐标， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 16．（2026·山东枣庄·一模）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，直线与抛物线有且只有一个公共点．求点的坐标； (3)将原抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，点的坐标为，是新抛物线上一动点，以点为圆心，的长为半径的圆交轴于，两点．当点在新抛物线上运动时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的性质可得对称轴为，设直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式，利用求出直线的解析式为，进一步求出； （3）根据平移的性质得到新抛物线的解析式为，过点作轴于点，连接，设，根据勾股定理可得，进而得到，再利用垂径定理得到，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得 ， 解得， ； （2）解：， 抛物线的对称轴为， 设直线的解析式为， 代入点得， ， 直线与抛物线有且只有一个公共点 ，即， 直线与抛物线有且只有一个公共点， ， 解得， ， 当时，， ； （3）解：依题意得，新抛物线的解析式为， 过点作轴于点，连接， 设， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 17．（2026·山东济南·一模）二次函数的图象经过，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)将二次函数的图象沿直线平移得到一个新函数的图象M，顶点为． ①如图1，连接，，，求的面积； ②如图2，设新函数的图象M与轴交于点和，连接，，，若，求新函数的表达式． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式和顶点的坐标即可； （2）①利用待定系数法求出直线的表达式，根据图象平移的性质得到，连接、，过点D向轴作垂线，交于点H，垂足为点P，过点C作于点Q，利用进行求解即可； ②根据求出直线的解析式，设点，、，则新抛物线表达式为，由韦达定理得到，根据角平分线定理得到，进而得到，求出的值，从而得到新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：将点，代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为， 将代入得：， 顶点的坐标为； （2）解：①将代入得：， ， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 函数的图象沿直线平移得到图象M，顶点为， ， ， 连接、，过点D向轴作垂线，交于点H，垂足为点P，过点C作于点Q，如图： 轴、， 将代入得：， ， 、、， ， ， ， 即， ； ②由①可知，直线的表达式为、， 则设直线的表达式为， 将点代入得：， 解得， 直线的表达式为， 设点， 则新抛物线表达式为， 设、， 令得：， 由韦达定理得：， ， ， 、、、， ， 即， 交叉相乘得：， 整理得：， 令或， 解得（舍去）或， ， 解得或（舍去）， 当时，， ， 新抛物线表达式为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、角平分线性质定理、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象性质、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 18．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为； （2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 19．（2026·山东青岛·一模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到．      建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 【答案】(1)，点的离地高度为 (2) (3)米 (4)米 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式； （3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解； （4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． （2）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （3）解：抛物线的表达式， 设，则，，， 设钢材长度为米，则： ，抛物线开口向下， 当时，． ∴最多需要米钢材． （4）解：由（3）可知，，，设直线的表达式为， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 由， 解得，， ， ， ∴由对称性知需用钢梁的总长度为米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押10山东中考数学22~23题（解答题) 押题预测 考点1二次函数的综合应用 k【详解】()解：把=2，y=3代入y=r+x+3 得：4a+2b+3=3, 整理得：b=-2a, b1 ·对称轴为r=一 (2)解：由(1)可得，b=-2a, x+5=。=2,出=8 3 -x2=(x+x2-4=4-2=8, ∴a=-3, .b=6, 六解析式为'=-3r2+6r+3 y=-3x2+6x+3 (3)解：由(2)可得：二次函数解析式为 .当x=1时，y有最大值为6， :当t≤x≤t+3时，y有最大值为3， ∴.t≤1≤t+3不成立， .t>1或者t+3<1: ①当t>1时，y随x的增大而减小， 当x=t时，y有最大值为3， 把t=1.y= 代入”-32+6r+3 得：-30+61+3=3 1/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得t=0或2， t>1, .t=2, ②当t+3<1,即t<-2时，y随x的增大而增大， 当x=t+3时，y有最大值为3， 把=1+3，y=3代入y=-3r2+6x+3得：-3到+3+6(+3到+3=3， 解得t=-3或-1， t<-2, 1=-3, 综上所述，t=2或-3. 2.【详解】(1)解：：二次函数y=(a-x-2ar+3 的图像经过点1,3) ÷3=(a-1-2a+3 ,解得：a=2, 二次函数解析式为)=-4x+6 ②)解：苑物线=-红+6向下平移个位后的通数解新式为=-4款+6 =0 x2-4x+6-1=0 ,则 设方程的两根为5，则P= 由根与系数的关系可得+=4=6-1 P0=k-5fVx-x2=x+x2-4xx2=V16-46-1=2-2 :P0>6 :2-2>6,即-2>3，解得：1>11 所以t的取值范围为t>11. (3)解：抛物线y=r-4x+6=(x-22+2 2/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线'=-4r+6,开口向上，顶点为2,2列 ∴当x之2时，y随x的增大而增大：当x<2时，y随x的增大而减小： 黄金区间定义：m≤x≤n在对称轴同一侧，且m≤y≤n. ①区间在对称轴右侧(2≤m≤x≤n)，此时y随x的增大而增大， .当x=m时，y=m,当X=n时，y=n, “m,n是方程-4r+6=x的两个根，解得=2,6=3 ÷m=2m=3,即25x53 ②区间在对称轴左侧m≤x≤n≤2)，此时y随x的增大而减小： ∴当x=m时，y=n,当术=n时，y=m, m2-4m+6=n .n2-4n+6=m 两式相减： m2-n2-4m+4n=(m+n(m-n)-4m-n=(m-n(m+n-4=-（m-n :m≠n,即m-n≠0， ∴.m+n-4=-1,即m+n=3, 将”=3-m代入m-4m+6=”得m-4m+6=3-m,即m-3m+3=0, :△=(-3)-4x1x3=9-12=-3<0 ∴方程无实根，故左侧不存在黄金区间. 综上，存在黄金区间，为2≤x≤3. -217m 3.【详解】(1)解：抛物线的对称轴为直线x=一2×1 =m: (2)解：y=r-2mx=xx-2m 3/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线y=r-2mr与轴的交点坐标为0,0和2m,0) 抛物线与轴的交点为0,0和2m,0,点Q0在线段B上，要使抛物线与线段4B只有一个交点，则另 一个交点2m,0) 需要在线段4B之外，或与0,0重合， 2m,0 当交点 在线段AB之外时，2m<-l或2m>4, 解得m< 2或m>2 当交点 2m,0)与0,0重合时，2m=0, 解得m=0: ÷m<-2或m>2或m=0 (3)解：由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=m,且解析式a=1>0,抛物线开口向上， N(m,y) 抛物线的顶点坐标， :”的值最小， M1-m,N(m,5) :.乃=(1-m°-2m1-m,为2=m2-2m2=-m2 ÷由以-为≤4得， (1-m)-2m1-m)+m2≤4 整理得4m2-4m-3≤0， 令w=4m2-4m-3, 当4m2-4m-3=0时， 解得烟=弓或m》 2 4/100 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3 ·2≤m≤ 4.【详解】D解：由题意得，将点C(0,3)代入=-+2mr-m+4(m>0), 则-m2+4=3 解得m=±1 :m>0 ∴.m=1, y=-x2+2x+3 .解析式为： 令y=0,则-x2+2x+3=0 解得=3七=-1 B30) BC:y=kx+b (2)解：设直线 [3k+b=0 [k=-1 则代入点B,C得，b=3,解得b=3 BC:y=-x+3 直线 B3,0,C0,3) ∴.OB=OC=3 ∴.△OBC为等腰直角三角形， ∴.∠OCB=45° ·MF∥y ， ∴.∠MFC=∠OCB=45° ,ME⊥BC ∴，△MEF为等腰直角三角形， 5/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF-MF-EM 2 :C=F-BM+M-2wrt9r+wr=小迈lF 2 2 ∴当MF取得最大值时， C△MEF取得最大值， 设M(m-m+2m+3列，则Fm-m+3列 :MF=-m+2m+3-(-m+3到=-m2+3m ,-1<0 33 .当m2x-2时，E的最大值为分 +3x39 24 aMEr周长的最大值为5州； （3)解：在'=-+2m-m+4(m>0)中，当y=0,则-2+2mx-m2+4=0, 解得=m-2,5=m+2 :4m-2,0) y=-x2+2mx-m2+4=-(x-m)2+4 D(m,4 如图所示，当点P在x轴上方时，过点D作DT⊥x轴于点T,设AP与DT交点为点E,在射线DT上取点 H,使得TH=3AT,连接AH, 6/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B O H 备用图 :r=m-(m-2)=2,Dr=4, :TH=6.AD=AT+DT=4=25 AT 1 tan H= HF3,tana=tan∠Dap 3 .tanH=tan∠ADP, ∴.∠H=∠DAP, ,∠ADE=∠HDA, .△ADE∽△HDA, AD DE HDAD' 25 DE .4+62√5 解得DE=2, ∴.TE=DT-DE=2, E(m,2) [m-2)k+b=0 设直线AP的解析式为y=kx+b,则mk+b=2, 7/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∫k=1 解得b=-m+2 “直线1P y=x-m+2 的解析式为 y=x-m+2 x=m+1 x=m-2 联立y=-x2+2mx-m2+4,解得y=3或y=0, :Pm+1,3) .PD=Vm+1-m)2+3-42=V2. 当点'在x箱下方时，过点P作010交直线于点”，过点P作DT1销于点了，过点9作 QF⊥DT,交直线DT于点F, IT\B 则∠ADQ=∠QFD=∠ATD=90°， ∠DQF=∠ADT=90°-∠QDF ,△DQF∽△ADT DF_oF=De=tana= 1 ·ATDT AD 9-9 8/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 414 :0m33. m-2)k2+b2=0 设直线的解析式为 2-4 AP y=kx+h, 则 [k2=7 解得b2=-7m+14 ∴直线1护的解析式为'=7x-7m+14 y=7x-7m+14 x=m-5∫x=m-2 联立y=-x2+2mx-m2+4,解得y=-21或y=0, :Pm-5,-21 PD=Vm-5-m)2+(-21-4)2=5V26: 综上：PD的长为V5或5V26 5.【详解】D解：在y=r+c+40≠0中，当=0时，y=4, C0,4 ∴.0C=4, tan∠0cB= 4 OB 1 六0C4' OB=L,即B1,0) ,0A=4, 9/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-4,0) 将4-4,0,8L0代入二次函数的解析式y=a+r+4a0可得， a+b+4=0 16a-4b+4=0, a=-1 解得：b=-3, ·二次函数的解析式为少=-r-3x+4 (2)解：设直线1C的解析式为'=+么(k≠0， 将4-4,0)，C0,4 代入直线AC的解析式可得 -4k+b=0 b=4, 「k=1 解得：b=4, AC =x+4 直线的解析式为 设直线BC的解析式为'=Kx+b(k≠0) k+b2=0 将B(1,0),C(0,4)代入直线BC的解析式可得b:=4, [k=-4 解得：b=4, BC y=-4x+4 ∴直线的解析式为 A-4,0)C(0,4 ∴.0A=4,0C=4, 10/100 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .4C=V0AP+0C2=4V2 :sin∠4c0=404-V2 cos∠400=C0-4-V2 AC422, AC 42 2, :点P是直线AC上方抛物线上的一动点， 设Pm,-m2-3m+4(-4<m<0) :PE∥ 轴交直线1C于点E, :Em,m+4,∠PED=∠4C0. :PE=-m2-3m+4-(m+4=-m2-4m :点P作PD⊥AC交直线AC于点D, PD=PE-sin ZPED-(-m2-4m)x -5m2-2x2m, 22 DE-PE-cosZPED-(-m-4m)x 2-2m2-2V2m ∴.△PDE周长=PE+PD+DE =-2+1m2-4V2+1m =-2+1(m+2+42+1, :V2+<0, ÷当m=-2时，△P0E周长最大为45+1，此时m-3m+4=-(-2-3×(-2)+4=6, P-2,6) 11/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V17 如图，将点P沿直线CB方向平移2个单位长度得到点P',连接P'M、OM、OP, D A B BC y=-4x+4 ,直线的解析式为 点P向右甲移2个年位长度，肉下子移2个年位长度得到点P,可P(,则P=n=亚 由平移的性质可得：PP'∥MN, ∴.四边形PP'MN为平行四边形， ∴.PN=P'M, OM-PN=OM-P'MIsOP 》 OM-PW的最大值为2 -0+4-02= 2; (3)解：将点C向下平移一个单位长度得到点F, F0,3) 抛狗线=下-+4关于原么0对称的解析式为=-3灯-4（空. :将抛物线关于原点O对称后沿者射线BC方向平移 个单位长度得到抛物线'， “将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移4个单位长度得到， 12/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =r-3-44(}r-2 :∠PA0+∠0CB=∠BCQ+∠PAF ∠PAF+∠FAO+∠OCB=∠BCQ+∠PAF ∠BCQ=∠FAO+∠OCB 1》 QT⊥y 如图，点Q为抛物线”上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作 轴于T VA .∠BCQ=∠OCQ+∠OCB ∠FAO=∠OCQ 设0nn--2列，则0r=-n,CT=4-(n-n-2到=-n+n+6, :tan∠FA0=OF3 A043 ∴tan∠0CQ=tan∠FA0=-n-=3 -n2+n+641 解得： n=7-265 n=7+V26的 6或 6 (不符合题意，舍去)： 7-√265 .点2的横坐标为6。 13/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.【详解】(D解：：二次函数=-+x+b-1(b为常数)的图象经过点4-，5,4两点， b -1+5 =2 “该函数的对称轴为直线=2=2，则2×-可2， 解得b=4, 该二次函数的表达式为”=-术+4x+3 当x=2时， y=-22+4×2+3=-4+8+3=7 顶点坐标为27)， （2)解：点P2-3到先向下平移6个单位长度，再向右平移mm>0个单位长度后的坐标为2+m,) 将2+m,9列代入y=-r+4x+3中，得9=-(2+m+4到2+m+3 解得m=4或m=-4(舍去)， 故m的值为4： (③)解：由()知，该二次函数的对称轴为直线=2，顶点坐标为2)，开口向下， 又当n≤x≤5时，y有最大值7，最小值-2， .当x=2时，y取最大值7， :当x=5时，y=-5+4×5+3=-25+20+3=-2 又点5，-2)关于对称轴对称的点的坐标为，-2) ∴.-1≤n≤2. 7.【详解】()解：把3,0代入y=X-r+3,得：9-3a+3=0,解得：a=4: .y=x2-4x+3 :对称轴为直线x=4 =2 2 14/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由()知：抛物线解析式为)=-4红+3 :点40,1在)》轴上，过点(0，刊与轴平行的直线交抛物线于5，C两点。 .B,C关于对称轴对称，B,C的纵坐标均为t, 又：点B为线段AC的中点， .xc=2x8, :+七- 2 22, 4 :.xB=3’ 3代入y=x2-4x+3,得：y= ∴x= 6-4×4+3=-3 9 3 9 1s 9 (3)解：y=r2-4x+3=(x-22-1 六抛物线的顶点坐标2，-1， 当抛物线的一段'=-4r+3到m≤x≤ 夹在两条均与*轴平行的直线，之间时，m,”为直线与抛物 线的交点，x=m和X=n关于对称轴对称， 又”直线，之间的距离为9，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点2，-，即：y=一时，n-m最大，此时另一条直线的解析式为 y=9-1=8 ,如图： 15/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当 时，解得：， 71 12 .x2-4x+3=8 x=5x2=-1 n=5m=-1 ∴n-m的最大值为： 5-(-1)=6 8.【详解】（)解：把3,4代入y=-+ar+1得4=-3+3a+1 解得：a=4 六该抛物线的解析式为'=-？+4r+1 (2)解：设Bm, :点B恰为线段AC的中点， ∴.C(2m,t) ”抛物线=-+4+1 ∴·对称轴为直线x=2, ·点B、C关于对称轴对称， m+2m=2, 2 4 解得m=3, 当时， 4） 1=- 3 *4 1 9, 41 t的值为9： 16/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：当直线与抛物线相切，即只有一个交点时，”-m的值最大，如图， y=2x+t-9 y=-x2+4x+1 y=2x+1 ∴.2x+t=-x2+4x+1 即-2x+1-1=0 由-4ac=(-2°-41-=0，解得1=2， ·此时直线” 4y=2x+2 “直线，=2x+2 下平移9个单位长度得到直线， “直线5：y=2x-7 由2x-7=-+4红+1，解得=4,5=-2 .m<2<n, .当m=-2,n=4时， ”-m的最大值=4-(-2=6 9。【详解】(1)解：y=x-2+k-1 a12了-4-月=4-+44+3 17/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +3>0,即A>0 ∴·不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点： (2)解：y=x-2+k-1=(x-k2-2+k-1 将该函数的图象沿y轴向上平移2个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度， 得到的新=次通数为y=k--产+k-1+分(---+大-(2+2列x+3+分 令y0则2-(2k+21x+3张+0， ”新二次函数的图象与x轴的交点分别为1(，0)，B(。,0)】 六斯+=2张+2，西=3张+ 2， --6*-4%=2必+2-4+分》=-+2=2-+11， 记线段AB的长度为d, ∴，d=AB=x2-x .d的最小值为l: (3)解：当=2时，y=-2+k-1=4-4k+k-1=-3张+3 当x=2时，=1-21x+6-1-2x2+6--+子 P12-+3,g2-+到 P0-+列-(3+）- 18/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x2-2k+k-1 联立=1-2刻x+-至 1 “x==2, 公引 0-2-++ MO=PO, .M02=P02 + 整理得：从-k6=0, 解得：-2+5 5-2-5 4, 4· 2+√52-5 综上可知，k的值为4或4 0.【详解】（D解：二次商数”=a+6+6.对移轴为直线-1，且过点4-L0。 b1 根据对称轴公式和点坐标列方程：{2a 。’解得4=-2， a(-1)2-b+6=0 b=4 因此二次函数表达式为：y=-2r+4x+6 19/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：二次函数y=+hr+ 的图象与》轴交于点C, .*=0 y=6C(0,6) 时， ,得 由(1)得，A(-1,0),对称轴x=1, .B(3,0) 直线1经过B,C两点，设直线I的解析式为y=c+b, b=6 3k+b=0, y=-2x+6 .直线的解析式为 :S,o=2S,m,△1BD和4PBD同高(8到直线P的高)， DP 1 ·AD=2DP,即AD2 如图，分别过P,A作y轴的平行线，交I于QE两点， E AElyPO ∠QPD=∠EAD,∠PQD=∠AED △DPQP△DAE PO DP 1 AEAD2 .A(-1,0) 将x=-1代入y=-2x+6, 20/100 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得：y=8 :E-18) .AE=8 设Pm,-2m+4m+6.0<m<3), 则2m-2m+6 P9=（-2m2+4m+6-(-2m+6)=-2m2+6m 器分期0-证 ∴-2m2+6m= 二×8 2 解得： %=1,m2=2 当m=1时，-2m2+4m+6=-2×12+4×1+6=8(不合题意，舍去)； 当m=2时，-2m2+4m+6=-2×22+4×2+6=6: 因此点P的坐标为：(2,6， (3):“t阶融合点”，满足x+y=t, ∴.y=t-x, ①当y=-x+1过0,6时，1=6 过3,0叭时，1=3 由图可得：当3<t<6直线y=-x+t与T的交点只有2个： ②当"=一t+'与少=-2+4+6相切时：-+1=-2+4x+6 整理，得2r-5x+t~6)=0 △=25-8(t-6)=0 73 21/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >时直线，+1与7的交点只有2个 综上.者商数图象7上有且只有2个“，阶磁合点“：，的政值花脂为3<1<6或>受 8 考点2几何综合探究问题 1.【详解】(I)解：由“哥俩三角形”的定义可得，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, ∴，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :△ABD≌△ACE(SAS .'BD=CE (2)解：①，△FDC和△ADE互为“哥俩三角形”， 同理(I)可得△DCE≌DFA(SAS) ∴.CE=AF,∠DCE=∠DFA, 由题意可得∠CDF=90°，DF=CD=2, .∠DFC=∠DCF=45°CF=VCD2+DF2=V22+22=2V2 .∠DCE=∠DFA=180°-∠DFC=135°， ∴.∠ECA=∠DCE-∠DCF=135°-45°=90°， .4C=3 CB=AF=AC-CF=32-22=2 &5m号4C-cE=x3x5=3, ②如图，过点D作DG⊥AB于点G,过点F作FH⊥DG于点H,过点E作EP⊥AB交BA的延长线于点 P,连接EC, 22/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理①可知，CE=AF,∠ECA=90°， DG⊥AB,FH⊥DG,∠BAC=90°， .四边形AGHF是矩形， ∴.∠CFH=∠AFH=90°，FH=AG, 由题意可知∠DFC=45°， .∠DFH=45°， ,FH⊥DG, ∴，∠FHD=90°， 设FH=AG=x,则DF=V2x, 在RtADCF中，∠CDF=90°，∠DFC=45°， CF=2DF=2x EC=AF=AC-CF=32-2x :EP⊥PA,∠ECA=90°，∠CAP=180°-∠BAC=90°， .四边形ACEP是矩形， AP=EC=32-2x PE=AC=3 AC//EP ,∴.△BFA∽△BEP. AF AB AF AB ·PEPB,即PEAP+AB, 3V2-2x3v2 ∴.323√2+3V2-2.x, 解得x953而或95+3 4 4 2(舍去)， 23/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC=AF=32-2r=31而-32 2, 2. 2.【详解】(1)解：：AC⊥BC,AB=25cm,BC=20cm, ÷AC=VAB2-BC=N22-20=15(cm), 过O作OH⊥BC于点H, .∠ADC=90°AB∥CD .∠DAB=180°-∠ADC=90°，即OA⊥AD, 点O在AD和BC夹角的平分线上， :.OH=OA, 40=21040 ，为中点， :01=0A40=1,则0B=4-04=25-4 :AC⊥BC,OH⊥BC, ∴.OH∥AC, ∴.△BHOr△BCA, .OH OB OH AC AC=AB,即OB=AB, t15 小25-t25' 24/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q,OM⊥BC (2)解：过作 C于点M,过点C作CFLB于点F, B →Q S△4cB= -I AC.BC= 2AB-CF, :CF=4CBC_15x20-12. AB 25 .∠ADC=∠DAB=90°，CF⊥AB, ∴四边形DAFC是矩形， .AD=CF=12, 在RtADC中，DC=VAC2-AD=V152-122=9 :10=21 :DB=AB-A0-25-21 ·AC⊥BCQM⊥BC .OMIAC △BMQP△BCA OM OB OM AC ∴ACAB,即QBAB, OM 15 25-2t25' 0w-25-2川. =-5w-ae9+251×12-1-g025-2刘--+204 5 2 (3)解：存在. 25/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意，得5 2-21+204=151号 2 35 解得：=2（舍去），5=5 EO (4)解：如图，连接， D C E ∠AEQ 是直角， ∴.∠AE0=90°， :0是10的中点， 1 0E=0A=240=, ,AB∥CD, .∠CDE=∠EOA,∠DEC=∠AEO, ∴.△DECn△OEA, DC DE ·0A0E’ DC_0A=1, .DE OE .DE=DC=9, ..DO=DE+OE=9+1, 在Rt△DAO中，DO=DA2+AO2, ∴(t+92=t2+122 解彩子。 3.【详解】(1)证明：，四边形ABCD为矩形， 26/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B=∠C=90°， 如图，连接EF, D E :把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处， ∴.∠B=∠APE=∠EPF=90°，PE=BE, ,点E为BC的中点， ∴.BE=EC, .PE=CE, 在Rt△PEF和Rt△CEF中， EP=EC EF=EF, :RtPEF≌RtCEF(HL) .FP=FC (2)解：，矩形ABCD中，AB=10,AD=17, .CD=AB=10,DD=90° 由折叠的性质可得：AP=AB=10, :点E在移动过程中，AP=10不变， ,点P在以点A为圆心，10为半径的⊙A的弧上， 如图，连接AM、PM, :PM≥AM-AP, .当点P在线段AM上时，PM有最小值， ,CM=3, ∴.DM=CD-CM=7, 27/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM =VAD+DM=13 :PM的最小值为4M-P=13W5-10, (3)解：如图，过点P作PH⊥AD于H,延长HP交BC于点G,连接PD、NP, H 31 D EG 则∠1+∠3=90°，四边形ABGH为矩形， ∴.HG=AB=10,BG=AH, :P、D、N是以DN为斜边的直角三角形， ∴.∠NPD=90°， .∠1+∠2=90°， .∠2=∠3， .∠PHN=∠DHP=90°， ∴.△PHN∽aDHP, HP HN .HD HP' HP=HN.HD ,AN=4,AD=17, ∴.DW=13, 设HN=x,则HD=13-x,AH=x+4, :D2=13- AB=10, ∴.由折叠的性质可得：AP=AB=10,BE=PE, 由勾股定理可得HP2=AP2-AH2, HP2=102-(x+42 :102-(x+4)2=x13- 28/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=4, ∴.HP=6,AH=8, .PG=GH-HP=4,BG=AH=8, 由勾股定理可得PE2=EG+PG2, BE=(BG-BE)+PG2 BE2=(8-BE2+4 解得BE=5 4.【详解】(1)证明：，△ABC一△ADE, ADAE’∠BAC=∠DME, AB AD .AC AE' ,∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, ∴，△ABD~△ACE (2)解：△EOG是等腰直角三角形， 证明：如图，过点F作FH⊥BC交BC于点H,FH交BE于点K,连接OH,OC, D H 在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠BCE=90°， .∠ABC=∠FHC=90°， .AB∥FH且AB=FH, ∴.BC=FH, ,FG⊥BE,∠FKO=∠BKH, ∴.∠KFO+∠FKO=∠BKH+∠EBC=90°， ∴.∠KFO=∠EBC, 29/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△FIHG和△BCE中， ∠KFO=∠EBC FH=BC ∠FHG=∠BCE' :.△FHG≌△BCE(ASA .∠BEC=∠FGH,HG=CE, :∠EBF=45°， ∴.∠BF0=90°-∠EBF=45°， ∴，△FOB是等腰直角三角形， ∴.FO=BO, 在△FOH和△BOC中， FH=BC ∠HFO=∠CBO FO=BO ÷.△FOH≌△BOC(SAS) ∴.∠FHO=∠BCO, ,∠FHC=∠ECB=90°， ∴.∠FHO+∠OHC=∠BCO+∠ECO=90°， ∴.∠OHC=∠ECO 在△HG0和aCEO中， ∠OHC=∠ECO HG=EC ∠FGH=∠BEC' :△HGO≌aCEO(ASA ..OG=OE, ∴.△EOG是等腰直角三角形 (3)解：∠A+∠B0F=90°+90°=180°， 点A,B,O,F四点共圆， 30/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FB为直径， :∠FPB=90°， 点P在圆上， ,∠FBE=45°， ∴.∠FPO=∠FBE=45°， FP⊥BC, .∠FPC=90° ∴.∠OPC=∠FPC-∠FPO=45° (4)解：FP⊥BC,FG⊥BE, ∴.∠FPB=∠FOB=90°， 由定弦定角可知，点B,P,O,F四点共圆， 由题意知，此时分情况讨论： ①如图，当点Q在CD中点时，过点Q作OM⊥FP交FP于点M, Mh NH- B MOCP 易证得：四边形 是矩形， :∠FP0=45∠QMP=90 .AMPO 是等腰直角三角形， MP=MO OCP ∴.四边形 是正方形， MQ=CQ∠MQP=∠CQP=45° :点Q为CD的中点， 31/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CO=DO MO=DO 同理可证得：四边形MFDQ是正方形， MFDO 为四边形 是正方形的对角线， ∴.∠FQM=∠FQD=45°， .∠FOM+∠PQM=FQP=90°， ∴，△FPO是等腰直角三角形， 此时点F,P分别在AD,BC的中点， 设正方形ABCD的边长为2a, .8P-PC-PFu 过点O作ON L FP交FP于点N, .EO=0G MOCP PO 点0为正方形 对角线的中点， .ON∥QM, 0N=2M0=20, 在Rt△FBP中，FB=VBP+FP=V5a :△BOF是等腰直角三角形， &B0=F0=5B那-Moa 2 20, 在RO中，PN=o-0m-0, ,∠NFO=∠PFG. &am2r0=an∠PFG=9O-{ FN3: ②如图，当点Q与点D重合时，则点E也与点D重合， 32/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(F) D(O)(E) B(P) C(G) 此时点F与点A重合，点P与点B重合，点G与点C重合， ∴.点O为正方形ABCD对角线中点， ∴.△FP2为等腰直角三角形，即△ABD为等腰直角三角形， ian∠PFG=BC-PG AB FP 综上所述，an∠PFG=l或3 5.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC: ,BE⊥CD ∴.BE⊥AB, .∠ABE=90°， .∠ABF+∠EBF=90°： :△B,CE≌aBCE ZCBE-ZCBE 即∠ABF=∠CBE .∠CBE+∠EBF=90°，即∠CBF=90°， .BF⊥BC, BF⊥AD: (2)证明：：BE⊥CD, .∠BEC=90°， :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, A∠CEN=∠BE,E∠E,BE=∠BEC=9O° 33/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△BCE≌aBCE ÷∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE,CE=CE BE=BE ，即 :.CE1AB.∠BE,E=∠BEE=450 :.CE1CD∠CEN=∠BE.E=450 ,CN⊥CD, ..ACEN CN∥CE, 是等腰直角三角形， :.CE=CN,∠MCE=∠MCN,∠MEC,=∠MNC CN-GE :.△CNM≌CEM(ASA (3)解：如图所示，过点D作DT L AB于点T, B(B) .∠DTA=∠DTB=90°： 由(1)可得BF⊥AD,则∠AFB=90°， .∠A+∠ADT=90°=∠A+∠ABF, ∴.∠ADT=∠ABF, 在RItABF中，MB=2V7,AF=1, :sin∠ABF=45IV万 AB2√714， ∴在Rt△ADr中，A7=AD:sin∠ADT=AD-sin∠ABF=号 2 34/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DT =VAD-AT-33 ； :FG∥BD, ∴.△AGF∽△ABD, AG AF AG 1 ABAD,即2万万， ∴AG=2, ..TG=AG-AT= 2 tan∠DGT=DT =√5 TG ∴.∠DGT=60°，即∠AGD=60°. 6.【详解】(1)()证明：方法1：平移线段FG至BH交AE于点K,如图， D B E 由平移的性质得FG∥BH, :四边形ABCD是正方形， .AD‖CB∠ABE=∠C=90。AB=BC ∴四边形BFGH是平行四边形， .BH=FG. FG⊥AE, .BH⊥AE, ∠BKE=90°， ∠KBE+∠BEK=9O°， ·∠BEK+∠BAE=90°， 35/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠BAE=∠CBH, 在△ABE和△BCH中， I∠BAE=∠CBH AB=BC ∠ABE=∠C ∴.△ABE≌△BCH(ASA) :AE=BH :.AE=FG: 方法2：平移线段BC至FH交AE于点K,如图， D G B 则四边形BCHF是矩形，∠AKF=∠AEB, ∴.FH=BC,∠FHG=90°， :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABE=90°， .AB=FH,∠ABE=∠FHG, FG⊥AE, .∠HFG+∠AKF=90°， ∠AEB+∠BAE=90°， ∴.∠BAE=∠HFG, 在△ABE和△FHG中， 「∠BAE=∠HFG AB=FH ∠ABE=∠FHG' .△ABE≌△FHG(ASA .AE=FG: 36/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF,，如图， G .:.∠AOC=∠FDC 设正方形网格中小正方形的边长为单位1， AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4, 由勾般定理可得，CF=VAC+AF=2+P=5,CD=CE2+DE=V2+4=2V5 DF=FG2+DG2=32+42=5 W5+25=52 即CF2+CD2=Dp .△DCF为直角三角形，∠FCD=90°， ÷si∠40C=sin∠FDC=CF-v5 FD 5: (3)解：①平移线段BC至DG处，连接GE,如图， N E G P B 则∠DMC=∠GDE,四边形DGBC是平行四边形， .DC=GB, :四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形， .DC=AD=AP,BP=BE,∠DAG=∠GBE=90°， .DC=AD=AP=GB. 37/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AG=BP=BE, 在△AGD和△BEG中， AG=BE ∠DAG=∠GBE, AD=GB ∴△AGD≌△BEG SAS .DG=EG,∠ADG=∠EGB, :,∠EGB+∠AGD=∠ADG+∠AGD=90°， .∠EGD=90°， ∴∠GDE=∠GED=45°， ∠DMC=∠GDE=45°； ②如图， 0 H M 为正方形 的对角线， B.AC ADCP ∠DMC=45 ∴.∠DAC=∠PAC=45=∠DMC .AC=√2AD :∠HCM=∠BCA, .∠AHD=∠CHM=∠ABC, △ACB△ADH, BC ACAD DH AD AD 7.【详解】(1)解：相等，理由如下： :△ABC是等腰直角三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°， 38/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, AD=AE, :.△ABD≌△ACE(SAS) .∠ABC=∠ACE: (2)解：成立，理由： AB=BC, ÷∠BAC=∠ACB=180°-∠ABC, AD=DE, ·∠DAE=∠DEA=(180°-∠ADE), ∠ABC=∠ADE, .∠BAC=∠DAE, .△ABC∽△ADE, ABAD .AC AE, ∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE, .△ABD~△ACE, .∠ABC=∠ACE: (3)解：如图2，当点D在线段BC上， D 图2 根据(2)可得△ABD△ACE, AB BD .AC CE, AB=BC=5,AC=3,CD=2 55-2 .3CE, 39/100 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·CE=9 如图3，当点D在线段BC的延长线上， E A B C D 图3 .·AB=BC .∠BAC=∠ACB= 180°-∠ABC), 2 AD=DE, 六∠DAE=∠DEA=180°-∠ADE, :∠ABC=∠ADE, .∠BAC=∠DAE, .△ABCn△ADE, AB AD .AC AE, :∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, .△ABD~△ACE, AB BD .AC CE' .AB=BC=5,AC=3,CD=2 5_5+2 .3 CE' CE=2 5 9.21 综上所述，CE为5或5· BD_1=1, 8.【详解】(1)证明：当n=1时，CDn ∴BD=CD, 40/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AD, B D 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ADBCD2B2C4DAFC 4DCC4C .∠B=∠DAF, :DE⊥DF, ,∠EDF=∠ADB=90° .∠BDE=∠ADF=90°-∠ADE, :△BDE≌AADF(ASA) ∴.BE=AF, ∴.BE+CF=AF+CF=AC, 又BC=V2AC .'BE+CF= BC, 2 BD 11 (2)解：当n=2时，CDn2, 取CD的中点G,过点G作GH∥AC,分别交AB、DF于点H、M. D G 则∠BGH=∠C=∠B=45,BG=号8C ∴.BH=GH,∠BHC=90°，即△BHG为等腰直角三角形， 41/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由D可得E+MG=5BG 2 :MG∥CF, .△DGM∽DCF, MG DG 1 .CF DC 2, MG-CF, 2 又BG=2BC BE+MG= BG 3 E+=9c 1 3 (3)解： BE+CF-BC 4 BD1_1 理由：当n=3时，CDn3, 取CD的三分之一点G(靠近点D),过点G作GH∥AC,分别交AB、DF于点H、M. AF H M B 则∠BGH=1C=∠B=45,BG1 由(2)可得BE+MG=2 ,MG∥CF, ∴.aDGM∽DCF, MG DG 1 CFDC3, 42/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :MG-CF, 3 又BG=)BC,BE+MG= -BG 2 3 4 BD 1 (4)解：当n=k时，CDk: 取CD的k分之一点G(靠近点D),过点G作GH∥AC,分别交AB、DF于点H、M. H M B D G 则∠BGH=∠C=45,BG-2BC. k+1 由(2)可得BE+MG=2 BG 2 MG∥CF, ∴.aDGM∽DCF, MG DG 1 ∴.CF DC k, .MG-ICF, 又cf品C,BB+hMG-5BG BE+CF-BC k k+1 9.【详解】(1)解：BC=6,CF=2, .BF=BC-CF=6-2=4, 43/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠可得，EF=BF=4,∠B=∠FEG=90°， .cos∠CFE=CF21 EF42, .∠CFE=60°， ∴.∠BFE=180°-∠CFE=120° .∠BGE-360°-∠B-∠FEG-∠BFE=360°-90°-90°-120°=60°： (2)BC=6,CF=2, .BF=4, 又：∠BGF=30°， BG=BF4 在 中， tan3043 Rt△BFG 3 AB=CD=53 ..AG=AB-BG=53-43=3 ∠BGE=60°， .∠AGM=180°-∠BGE=120°， ∠AGN=)∠AGM=60, 在Rt△MAGN中，AW=AGan60=V5V3=3 .DN=AD-AN=6-3=3: (3)如图，延长CG,交AB于点M, D 3 H 平分 G B M A .CG ∠ECF .∠2=∠4， 由折叠的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠EHM=90° 4=22=3=∠4=4∠BcD=25°， 44/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ECF=45°， ,CD∥AB .∠EMH=∠DCM=45°， ,'.△CBM和△EHM均为等腰直角三角形， .BM=BC=6 EM=2BE BE+EM=6 即BE+V2BE=6 :.BE=6V2-1 10.【详解】(1)解：：正方形ABCD, .AB=AD,∠BAD=90°， 由旋转得，△ADG≌△ABE, ,AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE, :∠EAF=45°， ∴.∠DAF+∠BEA=90°-45°=45°， ∴.∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°， ∴.∠GAF=∠FAE, 在△GAF和△FAE中， AG=AE ∠GAF=∠FAE AF=AF :△MFG≌aAFE(SAS ∴GF=EF, .EF GF=DG+FD=BE+FD, 即EF=BE+FD, 故答案为：EF=BE+FD: 45/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：(1)中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, MB E ,∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， ∴.∠D=∠ABM, 在△ABM和△ADF中， AB=AD ∠ABM=∠D BM=DF ·△MBM≌aADF(SAS ∴.AF=AM,∠DAF=∠BAM, :∠Ei-BD ∴.∠DAF+∠BAE=∠EAF, ∴.∠BAM+∠BAE=∠EAM=∠EAF, 在△FAE和△MAE中， AE=AE ∠FAE=∠MAE AF=AM :△FAE≌MAE(SAS) .'EF EM=BE+BM=BE+DF, 即EF=BE+DF; (3)解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,连接AF,过A作AH⊥GD,垂足为H,则 ∠AHD=90°， 46/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G:H E ,∠BAD=150°，∠DAE=90°， ∴.∠BAE=60°， 又，∠B=60°， △ABE是等边三角形， .'BE AB =800m, 由旋转的性质得，∠ADG=∠B=60°， ,∠ADF=120°， ∴，∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上， 在Rt△ADH中，∠DAH=90°-∠ADG=90°-60°=30°， &Dn=方4D=400m, 、.AH=VAD2-DH=V8002-4002=400W5m :.FH=DH+DF=400+400V3-1=400W5m .AH FH, ∴.∠HAF=45°， .∠DAF=∠HAF-∠HAD=45°-30°=15°， .∠EAF=∠EAD-∠DAF=90°-15°=75°， .∠EAF=号∠BAD 2 根据(2)的结论有EF=BE+DF=800+4005-1=4005+400m 即这条道路EF的长为400√5+400)m 47/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通关特训 L.【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AB=8,BC=6,AF=BE=2, ∴.AE=BC=6, :∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90°， :△AEF≌△BCE(SAS EF=EC,∠AEF=∠BCE EF ·∠AEF+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°'EC 1, ∴.∠FEC=90° (2)证明：在AB的延长线上取点M,使BC=CM, D ,平行四边形ABCD .AD∥BC, .∠CBM=∠A=60°， ∴，△CBM是等边三角形， .∠M=60°， :∠A=∠FEC=60°， ∴.∠AEF+∠CEM=120°，∠AFE+∠AEF=120°， ∴.∠AFE=∠CEM, ∴.△AEFP△MCE, AE EF CM CE .'AE.CE=EF.CM, 48/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CM=BC, .EF·BC=AE·EC: (3)解：延长AB至N,使CN=BC, D B ∴.∠CBN=∠N, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .∠A=∠CBN, ∴∠A=∠N, ,∠A=∠FEC=a, ∴.∠A+∠AFE=∠FEN=∠FEC+∠CEN ∴.∠AFE=∠CEN, ∴.△AEFANCE, AE EF CN CE .BC=CN=6,AE=m,AB=8, .EB=8-m, m EF 6CE' CE-6 EF, m AB∥CD, ∴.△BEGr△DCG, .EG BE 8-m CG-CD 8 CE 16-m CG-8 CE-16mCG, 8 49/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷6EF-16mcG, m 8 .:.EF=16m-m 48· 2.【详解】(1)解：AE⊥CD, .∠AED=90°， .∠ADE+∠BAE=90°， :∠BAC=90°， .∠ADE+∠ACD=90°， .∠BAE=∠ACD, :AB=AC,D为AB的中点， :.AD-14B-1AC 2 tan∠BAE=tan∠4CD=AD_1 AC2 (2)证明：延长ED至点M,使DM=DE,连接BM, :∠ADE=∠BDM,AD=BD ∴.△ADE≌△BDM(SAS) ∴.∠AED=∠BMD=90°，AE=BM,∠ABM=∠BAE :an∠BAE=ED-1 AE 2' ∴.AE=BM=2DE=EM, ∠MEB=∠MBE=45°， .∠AEB=∠AED+∠MEB=90°+45°=135°， .∠BEC=180°-∠MEB=180°-45°=135°， ∴.∠AEB=∠BEC, AB=AC,∠BAC=90°， ∠ABC=45°， :∠ABM=∠MEB-∠ABE=45°-∠ABE, 50/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBE=∠ABC-∠ABE=45°-∠ABE, .∠ABM=∠CBE, ,∠BAE=∠CBE, .△AEB∽△BEC, AE BE .BE CE' ∴.BE2=AE.CE A M--D/E B 图1 (3)解：赞同小组成员甲的说法 理由：：AF、BC是正方形ABFC的对角线， ∴.∠AGB=90°，BC=2BG=2AG AH⊥BE ∠AHB=∠AGB=90°， :AEB△BEC, ∠EAB=∠EBC,AE=AB=2ADAD BE BC 2BG BG' .△ADE△BGE, .∠BEG=∠AED=90°， .∠GEH=∠AHB=90°， ∴.AH∥GE, EH=EG, ∠BHG=∠BG=080-909=45. :∠AEB=135°， ∴.∠AEH=180°-∠AEB=180°-135°=45°， .∠AEH=∠EHG, 51/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE∥GH, ∴.四边形AEGH是平行四边形. 3.【详解】(1)证明：，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D落在边AB上， .AC=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, AC CD ·CBCE' ∴.△BCE∽△ACD: (2)解：BC=2,AC=1,∠ACB=90°， AC=CD=1.AB=AC2+BC2=+=5 .tan∠A==2， AC 过D作DH⊥AC, tm21-og-2, AH .DH=2AH, 在△CDH中，CH+DH2=CD,即1-AH+(2AH=P 解得：A=5,H=0(舍去)， m 在△ADH中，AH2+DH2=AD2, :D=√H+(2AH2=5H=2 5, ,△BCE∽△ACD, 52/100 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE BC ·ADAC BE 2 .251, 5 :8E45 5: (3)证明：设旋转角为0， 则∠ACD-∠BCE=a·4G=CD'C6=CE,2CD1=∠A-1o3g=0-g 2 ∠CEB=∠CBE=180°-a=90°- 2 2, ,∠ACB=90°， 图3 ∴.∠BCF=90°，∠DCB=90°-a&, ∴.∠ECF=90°-a, ∴.∠DCB-∠ECF, ,GF∥AB, ∴.∠F+∠A=180°， ∴.∠CDA+∠CDB=180°，∠CDA=∠A, .∠CDB=∠F, :∠DCB=∠ECF,∠CDB=∠F,CB=CE, :△BCD≌AECF(AAS) ..CD=CF, ..CD=AC, ∴.AC=CF 53/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.【详解】(1)解：如图，在BC上截取CF=AD,连接DF, 在等腰Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， AC-AD=BC-CF, ∴.CD=FB, :DE=DB,∠BDE=90 ∴.∠DBF=90°-∠CDB=∠CDE, ∴△DBF≌△EDC(SAS) .CE=DF CF2+CD=DR2 4D+CD=CE 故答案为：①FB:②AD2+CD2=CE2 (2)证明：在CB上截取CM=CF,连接 M,DM ∴.∠DCE=∠BCA=90°，CD=CE, .∠DCE-∠ACD=∠BCA-∠ACD, ∴.∠DCM=∠ECF, :△ECF≌DCM(SAS) ∴.∠E=∠CDM,EF=DM. .CE=CD,∠ECD=90°， ∴.∠E=∠CDE=45°=∠CDM, .∠FDM=45°+45°=90°， DM+DF2=FM2 .CF=CM,∠FCM=90°， 54/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF+CM=FM FM2=2Cm2 DM2+DE2=FM2 EF+DF=2CF2 (3)在B上裁取BP=BE,连接EP,在D上截取 DO=DF 接FO,作4HLBC于点H,在 ，连接，作 Rt△ABH中，∠B=60°， A D B :AH=AB:sin60°=6：sin60°=3V5.BH=AB-cos60°=6-cos60°=3 在Rt△MEH中，ME=2√7 “E=27列-3=1， ∴.BE=BH+HE=4, ∴BP=BE=4, .AP=AB-BP=6-4=2, 在口ABCD中，∠B=60°， ∴.∠B=∠D=60°，AD∥BC, .∠BAD+∠B=180°， ∴.∠BAD=180°-∠B=120° :BE=BP,∠B=60°D0=DF∠D=60 。 :△BPE△DFO 和是等边三角形， :.PE=BE=4OF=DF∠BPE=∠DQF=6O 55/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠APE=180°-60°=120°=∠FQA ,∠EAF=60°， ∠PAE=120°-60°-∠QAF=60°-∠QAF ∠AFQ=∠DQF-∠QAF=60°-∠QAF ∠PAE=∠AFQ .:△APE、△FOA FO AO APPE’ DF=DO=OF=x 设 则AQ=10-x, 受10，解得： 3 :DF=10 · EFI‖MH 5.【详解】(1)解： ,理由如下， :矩形ABCD, .AD∥BC, ∴.∠AEH=∠CHE, GEF3AEH∠GHM=,LC .∠GEF=∠GHM, .EF MH (2)解：设AB=2m,BC=2n, 如图(3)，连接FH, 56/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D(E) M 图(3) ,·AF=FB,AF=FG :FG=FB, 在Rt△FGH和Rt△FBH中， ∠FGH=∠FBH=90°， FG=FB, FH=FH, ∴.Rt△FGH≌Rt△FBH(HL) :BH=GH, GH=CH, .BH=GH=BC= EFMH 由(1)知 ∴.△FGD∽△MGH, FG DG MG-HG' m_2=2, MG n CM=GM-2, 1 3 DM =CD-CM=2m-7m-m .DG2+MG2=MD2,DG=AD=2n, 2-j-6j ∴.m=V2n 57/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB =2 AD (3)解：当∠MEG=90°时，如备用图(1)， F B E M C 备用图1.∠AEG=90° :∠A=∠EGF=90°，AF=FG, ∴.四边形AEGF是正方形， .AE AF =2 dm 当∠MGE=90°时， 如图(4)，过点M作MN⊥BC于点N, H D 图(4) 则MN=AB=4dm, :∠MGH=∠MNH=90°，∠GHM=∠NHM,MH=HM, .∴△GHM≌△VHM(AAS) ∴.MG=MW=4dm, AF=FG=2 dm: ∴.MF=MG+GF=6dm, :AM =VMF2-AF2=V6-2=4V2dm ∠A=∠MGE=90°， 58/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AMF=∠AMF, ∴.△MGE△MAF, MG EG MA AF 4 EG 4W2=2 .AE=EG=√2dm 6.【详解】(1)解：由旋转的性质可知：CD=CE,∠DCE=90°， 又∠ACB=90°， .∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE, 在△BCD和△ACE中： BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE ∴.△BCD≌△ACE(SAS) AE=BD,∠CAE=∠B, 在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， .∠B=∠BAC=45°， .∠CAE=450 .∠BAE=∠BAC+∠CAE=45°+45°=90°： 综上，AE与BD的数量关系是AE=BD,∠BAE=90°： 故答案为：AE=BD,∠BAE=90°： 2)4E=9m 3 ,∠BAE=90°： 证明：“4C=2.BC=2V5 59/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D E AC2- B·BC=23 CE-CD CE-V§ CD 3, .AC_CE BC CD' :∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°， ∴.∠ACE=∠BCD, .△ACE-△BCD, :E=5 BD3,∠CAE=∠CBA, ∠ACB=90°， ∠B+∠BAC=90°， ∠EAC+∠BAC=90°，即：∠BAE=90°， AE-BD 3 ,∠BAE=90°： (3)由(2)知∠BAE=90°，点F是DE的中点， :.AF=IDE, 2 ∠DCE=90°， :.CF=IDE, 2 :.AF =CF, :△ACF是直角三角形， ∴∠AFC=90°，∠FAC=∠FCA=45°， 60/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4F=CF=2AC=x2 2 2 .DE=2AF=2√2 设4E=x,则B BD=3x :AC=2BC=2V3∠ACB=90° AB=V2+2=4, ①如图，当点D在线段AB上时， D B AD=AB-BD=4-√3x ∠BAE=90°， .AE2+AD2=DE2, ∴2+4-5x=22. x=5-1,=5+1(含去)， ②如图，当点D在BA的延长线上时， AD=BD-AB=3x-4 D B :∠BAE=90 .∠DAE=180°-90°=90°， :AE2+AD2=DE2, 61/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴x2+5x-4=22, X=5+1,=B-1舍去)， 综上所述，AE的长为5-1或V5+1 ∠ACB=90°AB=10cmAC=8cm 7.【详解】(1)， ∴.根据勾股定理：BC=6cm, ,EF从BC位置出发，沿射线AC方向匀速运动， ∴.EF=BC=6cm, :线段EF绕点F逆时针旋转90得到线段DF, 90° DF ∴.DF=EF=6cm, 点G在线段DF的垂直平分线上， ..CF=CD= DF=3cm, .t=3: (2)如图1，过点P作PW⊥AC交AC于点W,过点P作PV⊥BC交BC于点V,连接PC、GF, B P D 图1 sinABC-C :sin∠BAC=BC-3 AB 5'BP=2tcm'AP=(10-2t)cm, PW⊥AC,PV⊥BC, sin∠BAC=PW_3 AP=5,sin∠ABC=PY_4 PB 5' ÷PW=AP-sin∠BAC=10-2cm,Py=PB.sinB=cm, 8 5 62/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF=DF,EF⊥DF, :∠EDF=45 ,CG⊥CD, ∴，△DCG为等腰直角三角形， ÷CG=CD=(6-t)cm 5mcD-PW-6-4小×30-2刘-6-5-， 5wCG-Pm-6-=6-. 1 55 Sw-CF.C- .S=S.rcD+S.rcG+S.crG s-36-i5-0+含6-0+6-1=0+号8 (3)如图3，假设存在t,使点H在△ABC外角∠BAM的平分线上， 过点P作PW⊥AC交AC于点W,过点P作PV⊥BC交BC于点'，过点H作HT⊥CM交AC延长线于 点T,作AX平分∠ACB,交BC于点X,过点X作XZ⊥AB交AB于点Z,连接XZ, E H M TA D 图3 :z=C,∠hAT+∠CaX=90 由sar+Sam=S得，4C-Cx+4Bz=4CBC. 2 2 .8CX+10CX=6×8, 8 .CX=cm 3 63/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点H与点D关于点P中心对称， .PH-PD-HD ,PW⊥AC,HT⊥CM, ∴.△HTDn△PWD, ÷g品阳-2，em2D-w :由(2)得Pp-210-2cm, 5 m-号0-2em :PW⊥AC,PV⊥BC,∠ACB=90°， ∴四边形PVCW为矩形， ∴.PV=WC, :由2)得Pp-m,cD=6-小m :c9m,m=c-D-得-6m -2sm 4r=0+c0c-0-2*6-18(1-14m “∠4H=∠4CX=90,∠IAB+∠BX-B1M+<BAC=90. :.2A7+∠AHT=90.∠AT+∠CAX=90 ∴.∠AHT=∠CAX, ∴.tan∠AHT=tan∠CAX, AT CX ·mAC' 64/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21 f -14 5 3 610-28, :8 5 当=时，点H在AC外角∠84W的平分线上 8.【详解】(I)解：：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90° ,∠AEF=90°， ∴.∠ABC=∠AEF, 又：∠EAF=∠CAB, ∴.△ABCP△AEF, .EF AE EF 9 BC=AB,即4=6， ∴EF=6: 在Rt△ABC中，AC=VAB+BC=2W3 在Rt△AEF中，AF=VAE2+EF=33 .CF=AF-AC=3 .BE=AE-AB=3, CF 13 ∴.BE3; (2)解：①：∠EAF=∠CAB, ∴.∠EAF-∠CAE=∠CAB-∠CAE, ∴.∠CAF=∠BAE: 由(1)知4F=3W13,AC=23 又，AB=6,AE=9, 65/100 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF3V13√13AC21313 .AE=9=3AB=6=3, 北6 ∴，△CAFP△BAE, CF AF 13 ∴.BEAE3; 在R△ABF中，由勾股定理得BF=NAF-AB=9, .CF BF-BC=5, 5√3 .BE 3, BE=15/13 13； BT 1 ②如图所示，在AB上截取BT=2'连接DT,HT·则AB3,AT=AB-BT=4' D -H B BH 1 BE3' BT BH ABBE' 又，∠TBH=∠ABE, ∴，△TBH∽△ABE, 66/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 TH BH 1 AEBE3' m6=3 :四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=4,∠BAD=90°， .DT=VAD+AT2=4 ,DH≤DT+TH, 当D、T、H三点共线时， DH有最大值，最大值为4W5+3。 9.【详解】)解：把140、C0,4刊代入y=-+b+C得 c=4 1-16-4b+c=0, b=-3 解之得c=4, ·该二次函数的解析式为少=--3x+4, (2)解：①如图， D 设直线AC的解析式为y=c+m, 把4-4,0、C(0,4)代入得 m=4 -4k+m=0, 67/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [k=1 解得m=4, AC 直线 的解析式为少=x+4 设P--3+到，则0,1+4 :P2=--3+4-1+4=-2-4 Sm8w+5m4xP02P阳-2刻=2n-, 5um=8c+5ex4x4+-2r-则=-2-8+8， -8 =-2 ∴.对称轴 2×(-2), :-2<0,开口向下， 当=-2时，0有最大值，最大值为16。 P-2,6 ACPOAADO ②当 时，如图： B ∠CPQ=∠ADQ=90° ∴.CP∥x轴， .点P的纵坐标为4， :4=-r-3x+4 68/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得=0（会去），6=3。 :P-34 当aPCQ∽aAD2时， ∠PCQ=∠ADQ=90°， 过点C作CM⊥PD于M, 6 DO .C0,4,4-4,0,PD1x轴， ∴.0C=0A=4,∠0AC=45°， :<COP=∠CP0=45 PC=OC ÷e=2CM 由O得P2=-t-4.CM=-1 -12-4t=-26 解得1=0（合去），4=2. :P-2,6 综上，点P的坐标为-3,4或-2,6 10.【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形， 69/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°， ∴.∠ABH+∠AHB=90°，∠ABH+∠CBH=90°， 由折叠可得，∠D'C"F=∠C=90°，∠D'=∠D=90°， 、.∠D'HE+∠D'EH=90°， 又.∠AHB=∠D'HE, ∴.∠D'EH=∠ABH, 又：点B、C、D三点共线， .∠BCF=180°-90°=90°， ∴.∠BFC'+∠FBC'=90°， ∠ABH+∠FBC'=90°， .∠ABH=LBFC', .∠D'EH=∠BFC', .与∠BFC相等的角为∠ABH或∠D'EH. (2)解： ①AC'+DE=FC ,理由： 由折叠可得，CE=C'E,CF=CF,∠CFE=∠CFE, :四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,AD∥BC, ∴.∠CEF=∠CFE, ∴∠C'EF=∠CFE, ∴.CE=C"F, ∴.CE=CF=CF=CE, :F为BC的中点， FC'-CE-CF-C-AD .AC'+DE=AD-CE=AD-T4D= 2D, .AC'+DE FC', ②GF⊥BC',理由： :四边形ABCD是矩形， .∠ABC=∠BCD=90°， 70/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠可得，∠DCF=∠DCF=90°，C'F=CF, .∠GCF=180°-90°=90°， ,F为BC的中点， ∴.BF=CF=CF, 在RtAGBF和RIAGC'F中， BF=CF GF=GF, :.R:AGBF≌RtAGC'F(HL ..GB=GC',FB=FC', ∴点G、F在线段BC的垂直平分线上， .GF⊥BC' (3)解：当CD'⊥AB时，如图，垂足为点G,过点C作CM⊥ED'于M,连接AF交ED'于H, M B ,四边形 是平行四边形， G ∠ABC=60° ABCD .∠D=60°，∠BAD=∠C=120°，CD=AB=2,BC=AD=4, 由折叠可得，∠FCD'=∠C=120°，∠D'=∠D=60°，C'D'=CD=2,CF=CF,D'E=DE, :C'M⊥ED', ∴.∠C'MD'=∠C'MH=90°， ∴.∠MCD'=30°， :.D'M=2CD'=l，∠MC'F=120°-30°=90 1 2 :CD'⊥AB, ∴.∠NGD'=90°， .∠D'NG=90°-60°=30°， ∴.∠AWE=∠D'NG=30°， ∠BAD=120°， 71/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEN=30°， ∴.∠ANE=∠AEN, 'AN=AE, ,F为BC的中点， 1 ..BF=CF=C'F=BC=2, 2 :AB=BF, ,∠ABC=60°， “.△ABF是等边三角形， .∠BAF=60°， .∠AHN=90, ∴.∠MHF=∠AHE=90°， ∴，四边形CMHF是矩形， MH=CF=2, 设1H=x,则=2x,EH=V5x D'E DE, .DE+AE D'E+AE=AD, :1+2+V5x+2x=4 解得七=2-V5 :AE=2x=4-2W5 :DE=AD-AE=4-(4-2V3=2V5 当CD'⊥BC时，如图，垂足为点G,延长BA交ED'于点H, D H D 由折叠可得， G ∠D'=∠D=60°∠FC'D'=∠C=120°C'D'=CD=2 72/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D'E=DE,C'F=CF, .∠GCF=60°， F为BC的中点， ÷BF=CF=CF=BC=2, 2 CD'⊥BC, ∴.∠BGM=∠C'GF=90°， ∠GC'F=60°， ∴.∠CFG=30°， :cG=c℉=1， 2 FG=CF2-CG2= :BG=2-V5 ,∠ABC=60°， ∴.∠BMG=30°， :BM=2BG=4-2N5.∠DMH=∠BMG=30 MG=VBM2-BG-4-25-2-5=25-3,∠MHD=90°， .CM=CG-MG=1-25-3)=4-2W5 :D'M=C"D'+C'M=2+4-2W5=6-2W5 .DH=D'M=3-5, Mm=VDM2-DH=V6-23-3-°=35-3， .BM-4-213 4B=2 :.AM=AB-BM=2-4-25=2W3-2 73/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .H=MH-AM=35-3-25-2=V5-1 .∠BAD=120°， ∴.∠EAH=60°， ,∠AHE=180°-90°=90°， .∠AEH=30°， :1E=2AH=2V5-2 ∴.EH=VAE2-AH=23-2-5-1=3-3, :D'E=D'H+EH=3-V3+3-V5=6-25 :DE=6-25 DE的值为25或6-25 11.【详解】(1)解：△AGD'是等腰三角形，理由如下： 如图， 入 40 D C 图1 :点E是边AD的中点， ∴EA=ED, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠D=∠BAD=90°， :折叠， :BD=ED,∠EDF=D=90 74/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EA=ED',∠ED'G=90°=∠BAD ∴.∠1=∠2， .∠3=∠4 ∴.GA=GD', ∴.△AGD'是等腰三角形： (2)解：GP=PH,理由如下： 过点H作GD'的平行线，与DP的延长线交于点Q,则∠5=∠Q,∠6=∠7， G 工6 7 H B C 图2 ,折叠， .DF=D'F, ∴.∠FDD'=∠FD'D, :∠GD'P=∠FD'D, ∠Q=∠FDD' QH=DH GHI AD AG∥DH 正方形中 ∴.四边形AGHD是平行四边形， .'.AG=DH, 又AG=GD, GD'=OH :△GPD'≌aHPg(ASA 75/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴GP=PH: (3)解：存在， E D 6 B C 当点P在DD'的延长线上， ∠DPH<90°， .∠D'PG>90° ∴，△PGD'是等腰三角形，则PG=PD .∠5=∠6=∠8=∠9， 设∠5=∠6=∠8=∠9=a .∠DPH=∠5+∠6=2a, :∠9+∠DPH=90°， ∴.a+2a=90°， 解得：a=30°， 由折叠可得DD'⊥EF, ∴.∠DFE=90°-∠9=60°， :点E是边AD的中点， .'EA=ED=2, DE 2 .'DF = an/DFE彻603VS: 当点P在线段DD'上，如图： A E D 9: H 6D B FD=FD', 76/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠9=∠FD'D<90° .∠PD'G>90°， ∴.△PGD'是等腰三角形，则D'G=PD ∴.∠5=∠6=∠8， 设∠5=∠6=∠8=a ∴.∠FD'D=∠5+∠6=2a=∠9， :∠9+∠8=90°， .a+2a=90°， 解得：a=30°， ∴.∠9=60°， 由折叠可得DD'⊥EF, .∠DFE=90°-∠9=30°， :点E是边AD的中点， ∴.EA=ED=2, ..DF= DE 2 =25 tan∠OFE tan30° 综上所述，存在某一时刻，使△PGD是等腰三角形，DF的长为25或V5。 12.【详解】(1)解：①平行四边形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义： ②，矩形的邻边不一定相等， 该选项不符合直菱四边形的定义： ③：菱形的四边相等，但内角不一定为直角， 该选项不符合直菱四边形的定义： ④：正方形的四边相等，四个内角都为直角， ∴正方形一定是直菱四边形，该选项符合题意， (2)证明：：△ABC是等边三角形， ∴，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC, :点D为△ABC中线上一点， .AD平分∠BAC, 77/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷∠BAD=∠CAD=∠BAC=30 2 ,将线段DC绕点D顺时针旋转60°得到线段DE, .∠CDE=60°，DC=DE, ,△DCE为等边三角形， ∴.∠DCE=60°=∠ACB,CE=CD, .∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD ÷△BCE≌*ACD(SAS) ∴.∠CBE=∠CAD=30°， ∴.∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+30°=90°， ∴.四边形ABEC是直菱四边形： (3)解：EF=FD+BE.理由如下： :四边形ABCD是对角互补的直菱四边形，∠BCD=60°， ∠ABC=∠D=1x180°=90° 如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM, M B E 图3 .△ABM≌AADF, .∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=FD, ,∠ABE=90°， ∴.∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°， .M,B,E三点共线， 78/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=6O°， ∴.∠MAE=∠FAE, .AE=AE,AM=AF, :△ME≌FAE(SAS) ∴.EM=EF, .EF=EM=BM+BE=FD+BE (4)解：如图4，连接DM,作DG⊥CM于点G, D 图4 ∠BCD=90°，∠BDC=60°， .∠CBD=∠BCD-∠BDC=30°， CD=BC.tan 30-2x 3 ,BD=2CD=4, .AD=BD=4」 :DE⊥AE,∠DAE=30°， DE=AD=2=CD ADE=609 .∠CDE=∠ADB, CD BD DE AD ∴.△CDE∽△BDA, CE CD ·∠DCM=∠DBM'ABBD' CE 2 .234 79/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：CE=V3, .∠DCM=∠DBM, ∴点D,M,B,C共圆， ∴.∠DMB=180°-∠BCD=90°，∠DMC=∠DBC=30°， M-AM-24B-3 CG-EG-CE ∴DM=VBD-BM=V4-5'-E, .GM-DM 2 2, CM=CG+GM =3+9 2· 13.【详解】(1)证明：延长BE交DF于点H. B :四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠BCE=∠DCF=90°， .CE=CF, ∴.△BCE≌△DCF(SAS), ∴.∠CBE=∠CDF,BE=DF, ,∠BEC=∠DEH,∠BEC+∠BCE+∠CBE=∠DEH+∠CDF+∠DHE=I8O°， .∠BCE=∠DHE=90°， ∴.BE⊥DF; (2)解：延长BE交DF于点H, 80/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E G :矩形ABCD中，AB=3,AD=4,CE=2DE, .CD=AB=3,AD=BC=4,DE=1,CE=2, 在Rt△BCE中， BE=BC2+CE2=42+22=25 :△BED沿BE折叠得△BEG, .BE垂直平分DG,即DH=HG,BH⊥DF, ∴.∠DHE=90°=∠BCE, ,∠BEC=∠DEH, ∴.△BCEr△DHE, DH DE BC=BE'∠CDF=LCBE' DH 1 425, ·DH=2⑤ 5, DG-2DH=5 5, :tan∠CDH=tan∠CBE=CE-2_1 BC-4-2 在RIADCF中，an∠CDF=CF-} CD2’CD=3' CP=3 2 r=m+c=+ 3w5 2， 81/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FG-DF-DG-35_431 25-10 (3)解：由(2)得DE=1,CE=2,BC=CD=3. 情况1：∠BGF=60°，则∠DGE=120°， 过点E作EP⊥BC交BC延长线于P,延长BG交AD延长线于N, A D E G B C :四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°， ∴.∠BCD=∠A=120°，AD∥BC,BC=AD=4, ∴.∠ECP=60°， EP⊥BC, .∠CEP=90°-60°=30°， ∴.在RtACEP中， CP-CE=1.PE-CE-sin60=3 2 .BP=BC+CP=5,BE=BP2+PE2=+(3)=27 :∠BCD=∠DGE=120°，∠BEC=∠DEG, ∴.△BCEn△DGE, EG DG DE 1 CE-BC-BE2 ..EG_DG1 2427, :G=6 DG=27 7 15√7 ∴.BG=BE+EG=7, 82/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD∥BC, ∴，△NDEr△BCE, DN NE DE 1 ∴BC=BECE2 NE=BE=V万，DN=BC=2, 67 .'.NG=NE-EG=7, ADIBC ∴.△NDG∽△BFG DG NG ·FGBG' 276W7 7 7 FG=157, 7 5万 .FG=7 :.DF=DG+FG=V万 :0c0r-295x7=2 7 情况2：当∠BGD=60°时，如图， D E G B C ,∠BGD=60°，∠BCD=120°， ∴.∠DGE=∠DCF=180°-120°=60°， ,∠EDG=∠FDC, 83/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△DGE∽aDCF, 8瓷器 ∴.DG·DF=DC.DE=3×1=3 综上，DG·DF的值为2或3. 14.【详解】(1)解：：∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴.∠ABC=90°-30°=60°， 又，BD平分∠ABC, :∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°， ∴.∠BAC=∠ABD=30°， ∴.AD=DB=2, 在RtADBC中，∠C=90°，∠DBC=30°， 2.DC-D=1 由勾股定理得，BC=VBD-DC=V22-下=V5 在RtAABC中，∠BAC=30°， .AB=2BC=23 (2)解： 5DH+EG=2BC,证明如下： 如图，连接ED,过点E作EK⊥AB于点K, E ,AE=BE,EK⊥AB, ∴，AK=BK,即EK是△AEB的中线， 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°， .AB=2BC,∠ABC=60°， 84/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AK=BK=BC, ,射线BD绕点B顺时针旋转60°得到BE, ∴.∠EBD=60°， ,∠EBK+∠KBD=∠KBD+∠DBC=6O°， .∠EBK=∠DBC, ∠EKB=∠DCB=90° BK=BC 在 和 中， △BEK△BDC ∠EBK=∠DBC :△BEK≌aBDC(ASA .BE=BD, 又.∠EBD=60°， ∴.△BDE是等边三角形， ∴.DE=BD,∠BDE=60°， DH⊥AB,∠BAC=30°， ∴.∠ADH=90°-∠BAC=60°， ∴.∠ADE+∠EDH=∠EDH+∠HDB=6O°， ∴.∠ADE=∠HDB, AE=BE,BE=DE, .:AE DE, 又：EG⊥AD, :AG-GD-AD, 2 在Rt△ADH中，∠HAD=30°， DH-TAD.AH=VAD-DH -DHY-DH -H 2 ∴AG=GD=DH, GD=DH ∠GDE=∠HDB 在 和 中， EGD△BHD DE=BD 85/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :aEGD≌BHD(SAS) ∴.EG=BH, AB=AH+BH,AB=2BC, 3DH+EG-2BC (3)解：将BA绕点B逆时针旋转60°得BH,连接AH,DH, :线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE, ∴.BE=BD,∠EBD=60°， ,∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBH=6O°， ∴.∠EBA=∠DBH, EB=DB ∠EBA=∠DBH 在 和 中， △EBA△DBH AB=BH :aEBA≌DBH(SAS到) S.E-S. ,AB=BH=6,∠ABH=60°， ∴.△ABH为等边三角形， :8边e4sE=S,4o+SAac=S.ABn+SDA=-S.4n-S.4m :S4M为定值， 要使四边形DBE的面积最小，需使S0“最大， 在四边形AEBD中，∠EAD=75°，∠EBD=60°， ∴.∠AEB+∠ADB=360°-75°-60°=225°， :△EBA≌△DBH, ∴，∠AEB=∠BDH, .∠ADB+∠BDH=225°， :∠ADH=360°-（∠ADB+∠BDH=1350 86/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AH=AB=6,∠ADH=135°为定角， 如图，作△ADH的外接圆⊙O, E ∠ADH=135°， “劣弧H所对的圆周角为180°-135°=45°， .圆心角∠A0H=2×45°=90°， .OA=OH,AH=6, 、D4=O以=)AH=32 ,即⊙0是定圆， 当OD⊥AH时，点D到AH的距离最大，此时S0最大，记此时D为D', .OA=OH,BA=BH, ∴.OB垂直平分AH, ∴点O,D',B三点共线，记AH与OB的交点为G, :4G=GH=号4=3，oG1AH 在RaA0G中，01=3V5,AG=3 :0G=V0P-AG2=V32y2-32=3, :OD'=32 87/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :GD=0D'-0G=3V2-3 :将△DBP沿DB BD'Q 翻折得到 BP=BQ∠PBD'=∠QBD' 等边△ABH中，BO⊥AH, .∠ABG=∠HBG, :<OBD'=∠DBH 即点”在直线BH上， 当AQ⊥BH时，AQ取最小值，此时垂足Q'为BH的中点， :等边△1BH中， AQ'⊥BH :40-9=5.g-n 2 过点Q作QM1OB于点M, OB⊥AH OM LOB ..OMIAH :OM是aBGH 中位线， 在Rt△ABG中，AB=6,AG=3, BG=AB2-AG2=33 :.QM-1GH-3 2, 5mGx6x95 1 2 sm0403x36-5. 88/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5w46-60}335--5-9 2, 5.. 4 5og-o00w-a-小号-w月-9 S.ame-S.-S.w@-S.wa-S.cqu-S.cpq =9w595-92-9_9595-9 24 4 9W3-27√2+27 4 即。4D0的面积为5-272+27 15.【详解】(1)解：当c=3,d=4 时，二次函数 y=x(x-c+(x-c(x-d)=x(x-3+(x-3(x-4)=2x2-10x+12 :函数与y轴交点坐标为 0,n) ∴.n=12」 (2)解：当d=3c时，二次函数y=x-c)+x-c(r-d=rx-c+(x-c(x-3)=2xr2-5cr+3c2 已知 C.D2y在该函数图像上，则4=2-5c+3c,=8-10c+3c, :为<y E2-5c+3<8-0c+3c,廨得：c< d=3c>0, c>0即0<c< 5 89/100 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·函数与y轴交点坐标为 0,n 当x=0时，n=3c2. 6 0<c< 5 0<c2<36 5 0<3c2<1 25,即0<n<10s 25 .整数n的值为1,2,3,4. (3》解：”=次函数=x-d+-e-d训=2-2c+dx+4,质数与y轴交点坐标为0网， ∴.当x=0时，n=cd. 当"=-3，即cd=-3时，y=22-(2c+dx-3 该函数图像的顶点坐标)， 2c+d = 4 :≥1 2c+d21,即2c+d≥4' .4 :当 4x2x-3j-2e+d_24-2c+d-3-(2c+d 4×2 8 8 ,2c+d≥4， :(2c+d2≥16 y365,即56=5 16.【详解】①D解：将4-2,3引，B40)代入抛物线y=2+h得 90/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3=4a-2b 10=16a+4b, fa-i 4 解得b=1 -x: y=4 (2)解：=4-x=4x-2-1, 1 ·抛物线的对称轴为x=2, 设直线AC的解析式为y=kx+h, 代入点1-2,3别得h=2k+3, ∴.y=a+2k+3, :直线AC与抛物线有且只有一个公共点 y=x+2k+3 y=- C2x,即421+x-2k-3=0 4 :直线AC与抛物线有且只有一个公共点， △=[-1+k]-4××(-2k-3)=0, 4 解得k=-2, .y=-2x-1 当x=2时，y=-2×2-1=-5, .C(2,-5) (3)解：依题意得，新抛物线的解析式为y=x-2, QQI⊥x. .ON 过点作 1轴于点'，连接， 91/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设() D(2,2 ∴0W2=QD2=(s-2)2+t-22 在R△0N中，N2=0N2-Q2=(s-22+t-22-2=(s-22-4+4, N2=(s-22-4s-2+4=4 N=2, .MN=2W=4, 1 1 Sam=2MW:%=2X4x2=4. 17.【详解】(D解：将点4-2,0，B40代入y=+r+4得： [(-22a-2b+4=0 42a+4b+4=0’ 1 a=- 2 解得 b=1 :二次函数的表达式为y= 44 :对称轴为x= 2+4=1, 2 92/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将x=1代入y=- 1x2+x+4得：y=二2十1十4义 2 ,9 顶点D的坐标为D引， (2）解：①将x-0代入y=+x+4得：y=4: ∴.C0,4 设直线1C的解析式为'=+b 将4-2,0、C0,4代入y=+么得： 「-2k+b=0 b=4, [k=2 解得b=4, ∴直线AC的表达式为y=2r+4, “函数'=++4的图象沿直线4C平移得到图象M,顶点为S, DG∥AC, .S.ACG=SACD 连接D、CD,过点D向”轴作垂线，交MC于点H,垂足为点P,过点C作 CQ⊥HP 于点Q,如图： 93/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D 究Q 轴、 6 图1 .HP⊥x CO=1 将x=1代入y=2x+4得：y=2×1+4=6, .H1,6 DH=6-93 DP=9 22 2、HP=61 A-2,0) ÷.AP=|1-(-2=3 .S-S.w-5.wo-5.w-xPxHP-xDxCQ-xAPxDP, x1-x3x9=3 13 即S4cn=2×3x6 2212 22 3 :.S。Ac6=S.4cn=2 ②由①可知，直线AC的表达式为y=2x+4、AC∥DG, 则设直线D6的表达式为'=2x+么 将点3) 代入y=2x+b得： 2x1+b 解得b=2 :直线DG的表达式为y=2x+ 21 94/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则新港物线表达式为y=方x一小+2++宁产+2+ 21 2 设E,0)、Fxe,0) 令y=0得：2 x+-2+2+ =0, 2 2+2+ 5 由韦达定理得：2=2 =t2-4t-5 1 2 '∠BCE=∠BCF, CE EB CF BF' CE2=xE2+42=xE2+16CF2=x2+42=x2+16BE=4-xE=4-EBf=xe-4=p-4 . xg2+16_(4-xE)2 即xF+16(x-4)2, 交叉相乘得：x+16(4-x2=x2+16(x-42, 整理得：（xe-川x-16)=0 令-，=0或-16=0， 解得=（会去）或，=16， ∴.t2-4t-5=16, 解得t=7或t=-3(舍去)， 当，-7所，327+3 2 95/100 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c》 新能物线衣达式为y=-+空分+7x-8 18.【详解】(1)解：将 4-L,0,B3,0,C0,3)分别代入y=ar+br+c a-b+c=0 a=-1 9a+3b+c=0 b=2 得 c=3 ,解得 c=3· y=-x2+2x+3 ,二次函数的解析式为 (2)解：如图1，设点Pm,-n+2m+),则2mn+2列 E 图1 y=-x2+2x+3 联立一次函数与二次函数的表达式，得y=x+2 1-5 [1+5 X=- X=- 2 2 解得 =5-5或]y-5+5, 2 J= 2 1-5<m1+5 2 2 1-511+V5 .222,且-1<0， 96/100 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ÷当n=2时，P0取得最大值4， 把”=2代入-m2+2m+3,得气2 23 1)2 4, p115】 .（2’4: (3)解：y=-r+2x+3=(x-12+4 ∴抛物线的顶点为 M1,4) 如图2，当点E、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时， 设mn ,分三种情况： M N 6 图2 ①如图2，DM为对角线时，EN的中点与DM的中点重合， 1-5,m+22+n=3+5 +1,- 2 2 2 2+4, 解得m=V5+l,n=V5+4 N(5+15+4, 97/100 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图2，EM为对角线时，D心：的中点与EM的中点重合， l-5+11+5+m5-5+4-5+5+m -+m, -+n 2 2 2 2 解得m=-5+h,n=-V5+4 N-5+1,5+4 @如图2，BD为对角线时，N的中点与ED的中点重合， 5,5-m1-55 22 22 2=n+4, 解得m=0,n=1, ∴.N3(0,1 综上，点N的坐标为V5+,5+4,NV5+1,5+4,N(0,1 9,9) 19.【详解】(1D解：由题意可得，OM段抛物线顶点坐标为 设OM段抛物线表达式y=k(x-9)+9 把00,0)代入y=x-9+9得，k(0-9y+9=0, 解得：=、 9 y=-gx-9y+9, 1 由题意知：OW=24, .点M的横坐标为12， 当x=12时，y=2-92+9=8, ∴抛物线OM的表达式为y=号x-9)+9,M点的离地高度为8m 98/100 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由题意可得，MN段抛物线顶点坐标为15，)，N24,0)。 二设MW段抛物线表达式y=k(x-l5)+9 把24,0代入y=x-15+9得，24-15+9=0， 解得：k=1 9 ∴抛物线MN的表达式为y=与x-15+9. （3)解：抛物线ov的表达式y=x-9+9=写+2x, A m-gm+2m 设B(m,0),则 -,24-a-n42 .9 设钢材长度为w米，则： w=AB+AD+DC =2m+2j424-2m 2m2+2m+24 g<0,抛物线开口向下， :当ns9 时， 57 w大=2· 57 ∴最多需要2米钢材. (4解：由《③)可知，H川15,9)，M(28,设直线EH的表达式为y=+b [15k+b=9 得12k+b=8, 99/100 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得b=4' 直线EH的表达式为y=3+4, 由g+2x=3x+4, 3 解得=12.5=3 .E3,5 .EH=V15-3)+(9-5)2=410 六由对称性知需用钢梁的总长度为8 米 100/100 题号猜押10 山东中考数学22~23题（解答题） 考点1 二次函数的综合应用 1．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值． 2．（2026·山东日照·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； (3)若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 3．（2026·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 4．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 5．（2026·山东滨州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 6．（2026·山东枣庄·一模）已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点． (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，有最大值7，最小值，求的取值范围． 7．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点，求的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 8．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点恰为线段的中点，求的值； (3)直线：（为常数），向下平移9个单位长度得到直线．设，抛物线的一段夹在直线，之间，求的最大值． 9．（2026·山东潍坊·一模）已知二次函数，其中k为常数． (1)证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； (2)将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴的交点分别为，，且，记线段的长度为d，求d的最小值； (3)该二次函数与一次函数的图象交于点M，过点作x轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点P、Q，若，求k的值． 10．（2026·山东济南·一模）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)如图，求二次函数的表达式； (2)如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 考点2 几何综合探究问题 1．（2026·山东青岛·一模）综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． (1)如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； (2)如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 3．（2026·山东淄博·一模）如图，矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． (1)【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． (2)【深入探究】如图2，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值． (3)【拓展运用】如图3，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当P、D、N是以为斜边的直角三角形时，求的长． 4．（2026·山东济宁·一模）感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． (1)【感知模型】如图1，已知．求证：； (2)【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； (3)【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； (4)【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 5．（2026·山东临沂·一模）在平行四边形中，过点作于点，用纸片做一个三角形，使得．将三角形纸片和平行四边形进行如下操作：①将三角形纸片置于平行四边形内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图1所示；②连接，过点作直线交射线于点，如图2所示；③在边上取一点，分别连接，如图3所示． 请解决下列问题： (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，若，求的度数． 6．（2026·山东德州·一模）【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 7．（2026·山东枣庄·一模）探究解题： (1)如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 (3)在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长． 8．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 9．（2026·山东聊城·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作： (1)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________； (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长； (3)大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长． 10．（2026·山东菏泽·一模）综合与实践 (1)如图①，点分别在正方形的边上，，若把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现之间的数量关系是______； 【分析问题】 (2)如图②，在四边形中，，，点分别在边上，当时，（）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路上分别有景点，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在之间修一条笔直的道路，请直接写出这条道路的长为______． 1．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 2．（2026·山东济宁·一模）某校九年级数学兴趣小组借助等腰直角三角形模型进行了探究活动． 【模型应用】 如图1，中，，，D为的中点．连接，作，垂足为E，连接． 【解决问题】 (1)求的值； (2)求证； 【拓展探究】 (3)在图1基础上，兴趣小组又进行了下面操作： 如图2，以，为邻边作正方形，连接交于点G，过点A作，交的延长线于点H，连接EG，HG． 此时，小组成员甲说：“当时，四边形是平行四边形”． 你赞同小组成员甲的说法吗？请说明你的理由． 3．（2026·山东济南·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图，求证：； (2)如图，当，时，求的长； (3)如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 4．（2026·山东济南·一模）根据题目条件，完成下列各题 (1)【拓展探究】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系． 如图2，小明同学解题思路和理由如下： 如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴①______， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵，∴②______． 请完成填空：①______；②______； (2)【类比分析】老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化．为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图3，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交边于点F．求证：； (3)【学以致用】如图4，在中，，，，点E，F分别在边上，，，求线段的长． 5．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 6．（2026·山东济南·一模）在中，，点D是边上的一个动点，连接． (1)【问题发现】 如图1，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_________，_________度； (2)【类比迁移】 如图2，将绕点C逆时针旋转得到，点E在上，且，若，，则与的数量关系是_________，_________度．请证明你的结论： (3)【拓展应用】 如图3，在（2）的条件下，当点D在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点F，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 7．（2026·山东青岛·一模）如图①，在中，，，，线段与重合（与重合，与重合），从位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，，设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点与点关于点中心对称，连接，，是否存在某一时刻，使点在外角的平分线上？若存在，直接写出值；若不存在，请说明理由． 8．（2026·山东济南·一模）在矩形中，，连接对角线．在中，，． (1)如图1，当点分别在边上时，请完成填空：______，______； (2)将图1中的绕点按逆时针方向旋转，连接． ①如图2，当点在边的延长线上时，求线段的长； ②如图3，若点在线段上，且，连接，求线段的最大值． 9．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 10．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 11．（2026·山东济宁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． (2)如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 12．（2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 13．（2026·山东滨州·一模）【教材再现】 （1）如图①，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，． 【纵向探变】 （2）如图②，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长． 【横向拓展】 （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图③所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出·的值． 14．（2026·山东·一模）如图，在中，，点是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若，点在边上(点不与点，重合)，将射线绕点顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点，连接，使得，过点作于点，过点作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点在直线下方，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到四边形所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 15．（2026·山东青岛·一模）已知二次函数，其中c，d为两个不相等的实数，与y轴交点坐标为． (1)当时，求n的值； (2)当时，点在该函数图像上，且，求整数n的值； (3)若，对于该函数图像的顶点坐标，满足，求的取值范围． 16．（2026·山东枣庄·一模）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，直线与抛物线有且只有一个公共点．求点的坐标； (3)将原抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，点的坐标为，是新抛物线上一动点，以点为圆心，的长为半径的圆交轴于，两点．当点在新抛物线上运动时，求的面积． 17．（2026·山东济南·一模）二次函数的图象经过，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)将二次函数的图象沿直线平移得到一个新函数的图象M，顶点为． ①如图1，连接，，，求的面积； ②如图2，设新函数的图象M与轴交于点和，连接，，，若，求新函数的表达式． 18．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2026·山东青岛·一模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到．      建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $