题号猜押07 山东中考数学17题（解答题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 山东中考数学17题（解答题） 考点1 三角形中的证明与计算 1．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在中，，延长到D，使，E 是的中点．求证：． 3．（2026·山东济南·模拟预测）如图，已知，，与交于点M．过点C作，过点B作，与交于点N． (1)求证：； (2)已知，求的长． 4．（2026·山东德州·一模）如图，，点在同一直线上，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 5．（2026·山东烟台·模拟预测）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 6．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 7．（2026·山东滨州·一模）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 8．（2026·山东滨州·一模）如图，在中，，，分别是 和 的角平分线． (1)求 的度数； (2)过点作交 于点，交 于点．若，，求 的周长． 9．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接． (1)证明垂直平分线段； (2)若，求的值． 10．（2026·山东济宁·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E． (1)求的度数； (2)若，求由线段，和围成的图形的面积． 考点2 四边形中的证明与计算 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知：如图，在中，是对角线上的两点，且．求证：． 2．（2026·山东济南·一模）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 4．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 5．（2026·山东·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，点、在上，，．求证：． 6．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是的中线，过点D作的平行线交于点E，O是的中点，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 7．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证： (1) ； (2)四边形是菱形． 8．（2026·山东济南·一模）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 9．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 10．（2026·山东济宁·模拟预测）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 考点3 尺规作图问题 1．（2026·山东青岛·模拟预测）已知：如图，点O是内部一点； 求作：，使得点M，N分别在边上． 2．（2026·山东·模拟预测）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：；求作：菱形，使D为的中点，点F在边上，且G在内部． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（2026·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图：四边形 求作：点，使点到、两边的距离相等且最短． 5．（2026·山东日照·模拟预测）如图，平行四边形中，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，连接，求证：四边形是矩形． 6．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，． (1)利用尺规过点C作直线，交于点D；（保留作图痕迹） (2)求的长． 7．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在中，是斜边上的中线，平分． (1)使用直尺和圆规作，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)证明（1）中得到的四边形是菱形． 8．（2026·山东·模拟预测）如图，已知． (1)尺规作图：求作点P，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，为锐角，的面积为15，则点P到的距离为________． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，在四边形中，，，点E为的中点． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． (2)求证：四边形是菱形 10．（2026·山东济宁·一模）如图，在中，，，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点． (2)连接，求线段的长． 1．（2026·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：矩形，使它的对角线，交于点O，且，． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线MN交AC于点，交AB于点，连接CD． (1)请根据题中的描述和图中的作图痕迹直接写出直线与的关系； (2)若，求的长． 3．（2026·山东济南·模拟预测）如图，矩形中，E，F分别是，上的点，连接，，且．求证 ：． 4．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 5．（2026·山东·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 6．（2026·山东淄博·模拟预测）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 7．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 8．（2026·山东潍坊·一模）如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和． (1)证明：； (2)在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M． (1)求的度数 (2)求点M到射线的距离 10．（2026·山东济宁·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 山东中考数学17题（解答题） 考点1 三角形中的证明与计算 1．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，即可证明； （2）由（1）知，得到，继而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ； （2）解：由（1）知， ， ． 2．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在中，，延长到D，使，E 是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定．如图所示，取的中点F，连接，证明是的中位线，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】证明：如图所示，取的中点F，连接， ∵，即点B为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵E、F分别是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东济南·模拟预测）如图，已知，，与交于点M．过点C作，过点B作，与交于点N． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先根据得出，再结合平行线的性质得，，则，即可作答． 【详解】（1）证明：在与中， ∵，，， ∴． （2）解：如图： 由（1）知． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． 4．（2026·山东德州·一模）如图，，点在同一直线上，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，利用全等三角形的性质边角关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴EF=BC，AE=BD,∠AEF=∠DBC ∴△AEF≌△DBC ∴． 5．（2026·山东烟台·模拟预测）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴平分； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 6．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 7．（2026·山东滨州·一模）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形； （2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出． 【详解】（1）证明：， ，， 平分， ， ， ∴， 为等腰三角形； （2）解：∵平分，， ∵， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 8．（2026·山东滨州·一模）如图，在中，，，分别是 和 的角平分线． (1)求 的度数； (2)过点作交 于点，交 于点．若，，求 的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，又由，分别是 和的角平分线，即可求得； （2）由平分及平行的条件可得，利用勾股定理可求，从而可得周长为，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵分别是和的角平分线， ， ， ， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在 中，， ∴， ∴． 9．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接． (1)证明垂直平分线段； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据直角三角形角的性质求出的度数，结合作图得到，再由尺规作图的性质得出平分，进而证明，得到，最后结合推出为中点，从而证明垂直平分 （2）设，利用直角三角形角的性质表示出、的长度，再由垂直平分得到，结合勾股定理表示出，再根据列方程求解的长度． 【详解】（1）证明：在中， ∵，， ∴ 由作图可知：，平分， ∴ 在和中， ， ∴（）． ∴，即 ∵， ∴，即为的中点． ∴垂直平分线段 （2）解：设， 在中，，， ∴， ∴， 由（）知垂直平分， ∴， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 10．（2026·山东济宁·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E． (1)求的度数； (2)若，求由线段，和围成的图形的面积． 【答案】(1) (2)所求图形面积为 【分析】（1）结合已知条件利用三角形内角和定理求出的度数，再由作图可得平分，得到，最后利用三角形外角的性质即可得解； （2）利用解含30度的直角三角形得到，结合已知条件利用勾股定理求得的长度，由可得出，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由作图可得平分， ， ，， ． （2）解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ∴所求图形面积． 考点2 四边形中的证明与计算 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知：如图，在中，是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．先由平行四边形性质得到，进而由平行线性质得到，最后利用三角形全等的判定与性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（2026·山东济南·一模）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是证明出，即可求解． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 5．（2026·山东·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，点、在上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，内错角相等两直线平行， 根据平行四边形的性质可得，再说明，可根据“边角边”证明，即可得出，然后根据邻补角的定义得，则答案可得． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． ． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． 6．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是的中线，过点D作的平行线交于点E，O是的中点，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； （2）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据菱形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）当时，四边形为菱形， 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 7．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证： (1) ； (2)四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直平分线的性质得，结合平分，得，即可证明； （2）先由等边对等角得，进行角的等量代换得，证明，故四边形是平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 8．（2026·山东济南·一模）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 9．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 10．（2026·山东济宁·模拟预测）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解. 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4， 考点3 尺规作图问题 1．（2026·山东青岛·模拟预测）已知：如图，点O是内部一点； 求作：，使得点M，N分别在边上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的尺规作图，先在上任取一点P，作直线，过点O作交于M，再过点O作交于N，则四边形即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 2．（2026·山东·模拟预测）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：；求作：菱形，使D为的中点，点F在边上，且G在内部． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图和线段的尺规作图，作线段的垂直平分线交线段于D，以B为圆心，的长为半径画弧交于F，分别以D、F为圆心，的长为半径画弧，二者交于点G，连接，则四边形即为所求． 【详解】解：如图，菱形即为所求． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线分别交，于点E，F，连接、，即可． 【详解】解：如图，点E，F即为所求． 理由：设交于点O， 根据作法得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 4．（2026·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图：四边形 求作：点，使点到、两边的距离相等且最短． 【答案】见解析 【分析】延长交于点Q，作的平分线，过点C作的垂线交于点P，即可． 【详解】解：点P即为所求． 5．（2026·山东日照·模拟预测）如图，平行四边形中，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 6．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，． (1)利用尺规过点C作直线，交于点D；（保留作图痕迹） (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线，以及勾股定理和三角形面积的应用，解题的关键是掌握垂线的尺规作图方法，再利用面积法或相似三角形求线段长度． (1)中以为圆心，适当长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，连接与该点交于,则； (2)中先由勾股定理求，再由面积法求，最后在中用勾股定理求． 【详解】（1）解：如图所示，直线(即直线即为所求； （2）解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 7．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在中，是斜边上的中线，平分． (1)使用直尺和圆规作，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)证明（1）中得到的四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，菱形的判定，直角三角形的性质，等边对等角，平行线的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． （1）以点A为圆心，以为半径画弧，再以点C为圆心，以长为半径，在内部画弧，交于点K，然后以点K为圆心，以为半径画弧，交前弧于点P，作射线，交于点F，则即为所求作； （2）根据直角三角形的性质得，可得，再根据角平分线的定义说明，接下来说明四边形是平行四边形，最后根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作； （2）证明：在中，是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 8．（2026·山东·模拟预测）如图，已知． (1)尺规作图：求作点P，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，为锐角，的面积为15，则点P到的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）利用尺规作图作出的垂直平分线，过点作的垂线，两线相交于点P即可； （2）利用三角形面积公式求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理列式计算可求得，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作， （2）解：由作图知是的垂直平分线，则， 如图，， ∵，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点P到的距离为， 故答案为：． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，在四边形中，，，点E为的中点． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． (2)求证：四边形是菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用角平分线和平行线得出，可得，利用直角三角形斜边中线的性质得出，可得，结合，证明四边形为平行四边形，再结合，即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角平分线． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 10．（2026·山东济宁·一模）如图，在中，，，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点． (2)连接，求线段的长． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) 【分析】（1）①根据角平分线的尺规作图过程进行解答即可； ②根据垂直平分线的尺规作图过程进行解答即可； （2）结合角平分线以及垂直平分线的性质，证明，运用30度角的直角三角形的性质得，再列式化简得，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：①作的平分线，交于点，如图所示： ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点，如图所示． （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴． 1．（2026·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：矩形，使它的对角线，交于点O，且，． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质，结合，得到为等边三角形，作线段的中点，作线段，以为圆心，为半径画圆，确定点，再以为圆心，为半径画圆，与的交点，确定点，点，连接，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形，即可得到矩形. 【详解】解：如图，矩形即为所求； 2．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线MN交AC于点，交AB于点，连接CD． (1)请根据题中的描述和图中的作图痕迹直接写出直线与的关系； (2)若，求的长． 【答案】(1)直线是线段的垂直平分线； (2) 【分析】该题考查了尺规作线段垂直平分线，勾股定理和直角三角形的斜边中线等于斜边一半． （1）根据尺规作线段垂直平分线即可解答； （2）根据直线是的垂直平分线得出，，继而根据勾股定理求出，，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半即可得出结论． 【详解】（1）解：直线是线段的垂直平分线； （2）解：连接 ∵， ∴， 直线是的垂直平分线， ，， ， ， ∴， ∴． 3．（2026·山东济南·模拟预测）如图，矩形中，E，F分别是，上的点，连接，，且．求证 ：． 【答案】见详解 【分析】该题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，根据矩形的性质得出，从而得，证明，即可证明． 【详解】解：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 4．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 5．（2026·山东·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 6．（2026·山东淄博·模拟预测）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 7．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正方，见解析 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 8．（2026·山东潍坊·一模）如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和． (1)证明：； (2)在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长，交于，利用证明，得出，利用角的和差关系得出，即可得结论； （2）在右侧作，可得，根据平行线分线段成比例定理即可得出． 【详解】（1）证明：如图，延长，交于， ∵在线段同侧作正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． （2）解：如图，在右侧作，交于，点即为所求． ∵， ∴， ∴． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M． (1)求的度数 (2)求点M到射线的距离 【答案】(1)； (2)点M到射线的距离为． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，利用三角形的外角性质求解； （2）解直角三角形求得，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线， ∵， ∴，， ∴； （2）根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，， ∴点M到射线的距离为． 10．（2026·山东济宁·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，求的长． 【答案】2 【分析】由矩形的性质得到，，，则由勾股定理可得，证明，得到，证明，得到，据此代入数值求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， ， 由作图过程知平分，则， ， ， 又， ， ， ∴， ， ， ，即， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 题号猜押07山东中考数学17题 押题预测 ◆考点1三角形冲的证明与计算 1.【详解】(1)证明：：BF=CE, .BF +CF=CE +CF :BC EF, AB=DE,AC=DF, :△ABC≌△DEF(SSS); (2)解：由(1)知△ABC≌△DEF, ·∠B=LE=55°， :∠ACE=180°-∠A-∠B=180°-80°-55°=45°. 2.【详解】证明：如图所示，取AC的中点F,连接BF, :BD=AB,即点B为AD的中点， ∴BF是△ACD的中位线， .CD=2BF, :E、F分别是AB,AC的中点，AB=AC, 4E=48-4C-4P 2 又：∠A=∠A, .△ACE≌△ABF(SAS, ∴.CE=BF, 1/22 上好每一堂课 (解答题) 命学科网·上好课 WW .CD =2CE. 3.【详解】(1)证明：在ABC与△DCB中， .AB=DC,AC=DB,BC=CB, △ABC≌DCB(SSS). (2)解：如图： M W 由(1)知△ABC≌△DCB .∠MBC=∠MCB. :CNI‖BD,BN∥AC, .LMBC=LNCB,∠MCB=∠NBC. ∴.∠NCB=∠NBC. .CN =BN=3. 4.【详解】解：AF=CD,理由如下： :△ABC≌△DEF, ∴.EF=BC,AE-BD,∠AEF=∠DBC .△AEF≌△DBC .AF CD. 5.【详解】(1)证明：：DE⊥AB,DF⊥AC, LBED=LCFD=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD BE=CF' :.Rt△BDE≌RtaCDF(HL, w zxx k.com 2/22 卷系一每并丁 学科网·上好课 www zxxk.com .DE=DF. DE⊥AB,DF⊥AC, .AD平分∠BAC; (2)解：在RtAADE中，AD2=DE2+AE2, AE=VAD2-DE2=V132-52=12, :BE=CF =3, AE=AB+BE,即AB+3=12, 解得AB=9. 6.【详解】(1)证明：：菱形ABCD, :AD=BC,AD‖BC, .∠D=∠DCF,∠F=∠DAE, 又：E是边CD的中点， .CE =DE, .△ADE≌△FCE(AAS), .AD FC, .BC=FC; (2)解：由题意，AB=BC=2, .FC=BC=2, .BF=4, :AE⊥CD, .LAED=90°， 又：四边形ABCD是菱形，AB∥DC, .∠BAF=AED=90°， 在Rt△ABF中，AF=VBF2-AB2=V42-22=25. 7.【详解】(1)证明：：EG∥AD, :LG=LBAD,∠AFG=∠CAD, :AD平分∠BAC, 3/22 卷系一每并丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAD=∠CAD, :.ZG=ZAFG .AF=AG, :△AFG为等腰三角形： (2)解：AD平分∠BAC,∠BAC=82°， :∠BAD=∠CAD=∠BAC=41°， :EG∥AD, LEFC=LCAD=41°， 在△EFC中，CE=EF, ∠C=∠EFC=41°， 在ABC中，∠B=180°-（∠BAC+∠C)=180°-(82°+41）=57°. 8.【详解】(1)解：在ABC中，∠A=90°， .∠ABC+∠ACB=90°， :BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， :∠OBC=∠DB0=∠ABC∠OCB=∠ECO=I∠ACB, 2 :ZOBC+Z0CB 2∠ABC+2∠4CB, -4c4c w =45°， .LB0C=135°： (2)解：DE∥BC, .ZDOB Z0BC,ZEOC Z0CB 由(1)得，∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB, ∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO, .BD DO,EC=0E, .DE=OD+0E, 4/22 而学科网·上好课 上好每一堂课 .DE =BD +EC, :在RIAABC中，AC=2,BC=3,∠A=90°， ·AB=√BC2-AC2=V32-22=V5, :C.ADE AD+DE+AE AD+BD+EC+AE=AB+AC=5+2. 9.【详解】(1)证明：在△ABC中， :∠ABC=90°，∠C=30°， LBAC=60°. 由作图可知：AB=AD,AE平分∠BAD, .∠BAE=∠DAE. 在△ABE和△ADE中， AB=AD ∠BAE=∠DAE, AE=AE △ABE≌△ADE(SAS), ∠ADE=∠ABE=90°，即DE⊥AC. .∠C=30°， :AD=AB=}AC,即D为AC的中点. 2 .DE垂直平分线段AC. (2)解：设AB=x, 在RIAABC中，∠ABC=90°，∠C=30°， .AC=2AB =2x, ..BC=VAC2-AB2=(2x)2-x2=3x, 由(1)知DE垂直平分AC, .AE =CE, ∠EAC=LC=30°. :∠BAC=60°， ∠BAE=30 在RtAABE中，∠BAE=30°， 5/22 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE=AE=CE. 2 CE CE-CE+CECE. .CE-28C-2xx2 23 3 -x. 在RtACDE中，∠C=30°， DE=ICE=> -123.-3 23= -x, 2 3 BCDE=8, 3x.5」 x=x2=8, 3 :x>0, x=22,即AB=2√2 10.【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°， .∠BAC=60°， 由作图可得AD平分∠BAC, ·∠CAD=∠BAD=1∠BAC=30°， 2 :∠C=30°，∠CAD=30°， ∠ADB=∠C+LCAD=60°. (2)解：在Rt△ABD中，∠B=90°，∠BAD=30°， .AD 2BD BD=2, .AD=4, ..AB=AD2-BD2=23, :∠CAD=∠C, :CD=AD=4, :所求图形面积=5m-S=CD-B-04=45-红 360 3 >考点2四边形中的证明与计算 1.【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， 6/22 可学科网·上好课 www zxxk.com AD=CB,AD∥CB, .ZDAE ZBCF 在ADE和CBF中， AE=CF ∠DAE=∠BCF, AD=CB △ADE≌△CBF(SAS, .DE=BF 2.【详解】证明：：四边形ABCD是菱形， .AB=AD,∠B=∠D. :AE⊥BC,AF⊥DC, ∠AEB=∠AFD=90°， 「∠AEB=∠AFD :在△AEB与△AFD中 ∠B=∠D AB=AD △AEB≌△AFD(AAS, .AE =AF, ∴.∠AEF=∠AFE. 3.【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, .LABD=∠CDB, :AB⊥BE,CF⊥DF, .∠E=∠F=90°， .△ABE≌△CDF(AAS), .AE=CF. 4.【详解】证明：四边形ABCD是菱形， .AB =BC, 7/22 卷系一每并丁 而学科网·上好课 www zxxk.com :AE=CF, AB-AE=BC-CF,即BE=BF, 在△ABF和△CBE中， BF=BE ∠B=∠B, BA=BC △ABF≌△CBE SAS), .AF CE. 5.【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥CB LADB=∠CBD. .BH=DG, .BH-GH =DG-GH, .BG=DH DE=BF △DEH≌△BFG(SAS, .LDHE=∠BGF. .∠DHE+∠BHE=180°，∠BGF+∠DGF=180°， .ZBHE ZDGF .EH∥GF. 6.【详解】(1)证明：：DE∥AB, ∠ADE=∠DAF, :O是AD的中点， .A0=D0, 在△AOF与△DOE中， ∠FAO=∠EDO A0=DO ∠AOF=∠DOE 8/22 卷系一每并丁 学科网·上好课 www zxxk.com △AOF≌aDOE(ASA), ..OE=OF (2)当AB=AC时，四边形AEDF为菱形， 证明：：AO=D0,OE=OF, .四边形AEDF是平行四边形， :AB=AC,AD是ABC的中线， ∴.∠BAD=∠CAD, :AB∥DE, ∴.∠FAD=∠ADE, .∠DAE=∠ADE, .AE=DE, :四边形AEDF为菱形. 7.【详解】(1)证明：：EF垂直平分线段AD, .AE=DE,AF DF, .∠EAD=∠EDA, :AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD, ∴.∠EDA=∠FAD, .DE∥AB; (2)解：AF=DF, ∴.∠FAD=∠FDA, :∠EAD=∠FAD, ∴.∠FDA=∠EAD, .DF∥AE, 四边形AFDE是平行四边形， AE =DE, :四边形AFDE是菱形. 9/22 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 8.【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,∠B=∠D,LBAD=LBCD, ∠DAE=∠BCF, LBAD-∠DAE=LBCD-∠BCF, ∴.∠BAE=∠DCF, △ABE≌△CDF(ASA, .BE DF 9.【详解】(1)证明：BE⊥AD,DF⊥AB, LAEB=∠AFD=90°， 在△AEB和△AFD中 ∠AED=AFD ∠A=∠A BE=DE .△AEB≌△AFD(AAS) :AB=AD, 又四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是菱形 (2)解：BE⊥AD,∠C=60°=∠A, ∠ABE=30, .AB=2AE 在RtAAEB中，AB2=AE2+BE2,BE=√3， .AB=2=AD :.菱形ABCD的面积=ADx BE=2×√3=2V3 10.【详解】(1)解：四边形ABCD是菱形， 理由：：AB=BC,BO平分∠ABC, 10/22 卷系一每并丁 学科网·上好课 A0=C0, :AD∥BC .LDA0=ACB,∠ADO=∠CBO, ∴.△AD0≌△CB0, .D0=B0, :.四边形ABCD是平行四边形， .AB=BC, .四边形ABCD是菱形： (2)解：：BO平分∠ABC,∠ABE=120°， :LDBC=3LABE=60°， :四边形ABCD是菱形， .BC=CD =AB=4, .△BCD是等边三角形， .BD BC=4, :BD⊥DE, .∠BDE=90°， .∠E=90°-∠DBC=30°， .BE=2BD=8, .DE=VBE2-BD2=V82-42=4V3, 。考点3尺规作图问题 1.【详解】解：如图所示，即为所求 ww.Zx x k com 11/22 卷系一每并丁 学科网·上好课 2.【详解】解：如图，菱形BDGF即为所求. D 3.【详解】解：如图，点E,F即为所求， 理由：设EF,BD交于点O, 根据作法得：OB=OD,EF⊥BD, .DE =BE, :AD∥BC, :∠ODE=∠OBF,∠OED=∠BFO, .△ODE≌△OBF, .DE=BF :四边形BFDE为平行四边形， DE BE, .四边形BFDE为菱形. 4.【详解】解：点P即为所求， w Zxx k.com 12/22 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.【详解】(1)解：如图，AE即为所作； A D B (2)证明：由作图得∠AEC=90°， :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AB=CD,∠B=∠D, ∠EAD+∠AEC=180°， .∠EAD=90°； AB=CD,∠B=∠D,DF=BE, .△CDF≌△ABE, LCFD=∠AEB=90°， .∠EAD=∠CFD=∠AEB=90°， 四边形AECF是矩形. 6.【详解】(1)解：如图所示，直线1（即直线CD)即为所求； Q D B (2)解：在RtAABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, :AB=√AC2+BC2=V62+82=10, :CD⊥AB, .S.we-CC-CD x6x8=lx10xCD. 1 :. 2 CD=24 13/22 函学科网·上好课 www.zxxk.co m 在RtaBCD中，BD=√BC2-CD 24 64、576 1600-576 5 25 25 32 故答案为：BD= 7.【详解】(1)解：如图所示，CF即为所求作： D (2)证明：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， .CD BD AD ∠CBD=∠BCD. :BC平分∠ABE, .ZCBD =ZEBC .ZBCD ZEBC, CD∥BE. CF∥BD, 四边形BDCF是平行四边形. BD=CD, 四边形BDCF是菱形. 8.【详解】(1)解：如图，点P即为所作， E (2)解：由作图知PE是AC的垂直平分线，则AE=CE= 1AC=2, 如图，CD⊥AB, 1 :SMc=AB×CD,即×10×CD=15, 14/22 上好每一堂课 1024 32 V25 5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得CD=3, AC=4, .AD2=AC2-CD2=7, PA=PC, 设PA=PC=x,则PD=3-x, 在RtAAPD中，由勾股定理得PD2+AD2=AP2,即(3-x)+7=x2, 8 解得x=3' .PA=PC 3, RtAPE中，由勾股定理得PE=VAP2-AE=-22V7 3 点P到4C的距离为2 31 故答案为： 2W7 3 9.【详解】(1)解：如图，EF即为所求作的角平分线. `、F B E (2)证明：：EF平分∠AEC, ∴LAEF=LCEF, :AD∥BC, ∠AFE=LCEF, ∴∠AEF=∠AFE, ∴AE=AF, :∠BAC=90°，点E是BC中点， AE=CE=BC .AF CE, .AF∥CE, 15/22 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形AECF为平行四边形， 又：AE=CE, 四边形AECF是菱形. 10.【详解】(1)解：①作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,如图所示： B ②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E,交AD于点F,如图所示 (2)解：∠C=90°，∠B=30°， AB=2AC=12,∠BAC=90°-30°=60°， :AD平分∠BAC, ∠CAD=∠EAD=30°， :EF是AD的垂直平分线， ∴.DE=AE, ∠ADE=LEAD=30°， .∠BED=30°+30°=60°， :∠B=30°， ∠BDE=180°-30°-60°=90°， ∴.BE=2DE, AB BE AE =2DE +DE =3DE 即12=3DE, ∴DE=4. 通关特训 1.【详解】解：如图，矩形ABCD即为所求； 16/22 函学科网·上好课 www zxxk.com ia B 2.【详解】(1)解：直线MN是线段AB的垂直平分线： (2)解：连接BE E D CE=AE=1, AE=3, :直线MN是AB的垂直平分线， :AE=BE =3,AD=BD, ∠ACB=90°， BC=VBE2-EC2=V32-12=2V2, AB=VAC2+BC2=V42+(2V2)2=2√6， G08=6. 3.【详解】解：证明：四边形ABCD是矩形， ∠EBC=∠FCB=90°，AB=CD, AE =DF, .AB-AE CD-DF BE CF, .△EBC≌aFCB(SAS, .CE =BF. 17/22 卷系一每并丁 函学科网·上好课 www zxxk.com 4.【详解】(1)证明：：AE⊥BD,DF1AC, ∠AE0=LDF0=90°， 在△AE0和△DF0中， ∠AEO=∠DFO ∠AOE=∠DOF, AE=DF △AEO≌△DFO(AAS, A0=D0, :四边形ABCD是平行四边形， .A0=C0=D0=B0, .AC=BD 四边形ABCD是矩形； (2)解：由(1)得：四边形ABCD是矩形， .∠BAE=90°×5=30°，A0=B0, 3 ∠OAB=∠ABE, 在直角三角形ABE中，∠ABE=90°-∠BAE=60°=∠0AB, ∠A0E=180°-∠0AB-∠ABE=60°. 5.【详解】解：(1)如图，AE为所作∠BAC的平分线； ò E (2)证明：如图.连接DE,由(I)知：∠CAE=∠DAE 在△ACE和ADE中 18/22 卷系一每并丁 函学科网·上好课 www zxxk.com AC=AD ∠CAE=∠DAE AE=AE △ACE≌△ADE(SAS), .ZACE ZADE 又：∠ACB=90° .∠ADE=90°， AB⊥DE 6.【详解】(1)证明：：E,F分别为AB,AC的中点， :EF∥BC,EF=BC. 2 CD∥EF. CD-IBC. 2 .CD=EF, :四边形DCEF是平行四边形. (2):CD=IBC,BD=AB=6, 2 :CD=IBD=2.BC=2BD-4. 3 3 .∠ACB=90°， ∴.∠0CD=90°. 在Rt△ABC中，AC=VAB2-BC2=2V5, :四边形DCEF是平行四边形， OC-CF-140-V5 .,DE=20D. 2 在Rta0CD中，0D=VCD'+OC-2I .DE =20D=21. 7.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD‖BC, 19/22 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com .∠ADC=∠ECD, :点M是CD的中点， :MC=MD 在△ADM和△ECM中， I∠ADC=∠ECD ∠AMD=∠EMC, MD=MC .△ADM≌△ECM(AAS), AD CE, .BC=CE, .BE=BC+CE=AD+AD=2AD (2)解：当AB⊥AE时，四边形ACED是正方形. 证明：由(1)知，AD=CE, 又：ADCE, :四边形ACED是平行四边形， .AB⊥AE △ABE是直角三角形，∠BAE=90° 由(1)可知，BC=CE, AC-BE-CE. :四边形ACED是菱形， :BC⊥AC, LACB=90°， .∠ACE=180°-90°=90°， .菱形ACED是正方形. 8.【详解】(1)证明：如图，延长AN,交CD于F, 20/22 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com E F M B :在线段AC同侧作正方形ABDE和正方形BCMN, .AB=BD,LABN=∠DBC=90°，BN=BC, .△ABN≌△DBC(SAS), ∴.∠BAN=∠BDC, :∠BAN+∠ANB=90°，∠ANB=∠DNF, .∴.∠BDC+∠DNF=90°， ∠AFD=90° AN⊥CD. (2)解：如图，在BD右侧作∠BNP=∠BDC,NP交BC于P, E D B :∠BNP=∠BDC, PN∥CD, ND"PC BN BP 9.【详解】(1)解：如图所示： B Q G C 根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平 .:∠BAC=60°， .∠BAO=∠CAO= ∠B4C=30°，LMD4=900, 21/22 上好每一堂课 点P即为所求 分线， 可学科网·上好课 www zxxk.com ∠AME=∠MDA+∠MAD=90°+30°=120°； (2)根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平 :AB=6,∠BAC=60°， ZB40=ZCA0=)ZBAC=30°，AD=)AB MD=4D.tan30=3x 3 :AM是∠BAC的平分线，MD⊥AB, :点M到射线AC的距离为5. 10.【详解】解：“矩形ABCD中，AB=6,BC=8, :CD=AB=6,AD∥BC,∠BCD=∠ADC=90°， ·BD=VBC2+CD2=V82+62=10, 由作图过程知BP平分∠CBD,则∠CBO=∠MBO, :CM⊥BP, :∠C0B=∠M0B=90°， 又：B0=B0, :△BOC≌△BOM(ASA, ·BM=BC=8, ∴.DM=BD-BM=2, :DN∥BC, :△DMN∽△BMC, C0- 881 DN=2. 22/22 上好每一堂课 分线，