11.1.2 不等式的性质及应用 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

11.1.2 不等式的性质 11.1.2 课时1 不等式的性质 比你大两岁，所以我是你哥哥. 哈哈！三年前我还是比你大. 呵呵，再过二十年,你也比我小! 大两岁,那三年前，你不就比我小呀！ 哦？那…再过十年，我肯定比你大. 对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它的解集. 例如：不等式x+3>6的解集是x>3， 不等式2x<8的解集是x<4. 但是对于比较复杂的不等式（如）直接得出解集就比较困难. 怎样解不等式呢？ 与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质. 为此，我们先来看一看不等式有什么性质？ 不等式的基本性质 (1)如果a＞b，那么b＜a. (2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 等式的基本性质 (1)如果a=b，则b=a. (2)如果a=b，b=c，那么a=c. 猜想 (1) 假设a＞0，b＜0，在数轴上大致表示为： 0 a b 根据数轴右边的数总比左边的数大可得：b＜a，a＞b (2) 假设a＞0，b=0，c＜0，在数轴上表示为： 0 a b c 根据数轴右边的数总比左边的数大可得：a＞b，b＞c，并且a＞c. 不等式的基本事实 文字描述 数学表达 不等式基本事实1 不等式基本事实2 交换不等式两边， 不等式的方向改变 不等关系可以传递 如果a＞b， 那么b＜a 如果a＞b，b＞c，那么a＞c 我们知道，等式两边加或减同一个数(或式子)，乘或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等，不等式是否也有类似的性质呢？ 5>3. 5+2____ 3+2 5+0____ 3+0 5+(-2) ____3+(-2) 探究1 (2) –1<3. –1+4____3+4 –1+4____3+4 –1+(-7)____-1+(-7) > > > < < < 不等式两边同时加上一个正数 不等式两边同时加上一个负数 不等号方向不发生变化 不等式的性质1 数学符号：如果 a ＞ b，那么 a ± c ＞ b ± c. 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 思考1：你能总结出不等式的性质吗？ c c 6>2. 6×5 ____ 2×5 6×(-5) ____2×(-5) 探究2 ＜ ＞ (2) –2<3 –2×4 ____3×4 –2×(-0.5)____3×(-0.5) ＜ ＞ 不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不发生变化. 不等式两边同时乘以一个负数不等号方向发生变化. 思考2：请你总结出不等式的性质？ 如果a>b，c>0，那么ac>bc(或 ) 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 数学表达： 不等式的性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 数学表达： 如果a>b，c<0，那么ac<bc(或 ) 不等式的性质3 思考3：如果不等式两边同时乘0，结果如何呢？ 不等式两边同时乘0，根据0乘任何数都为0，得两边的值都为0.则不等号变等号 思考4：比较不等式的性质2和性质3，它们有什么区别？ 不等式的性质2：不等式的两边 乘(或除以)同一个正数 不等式的性质3：不等式的两边 乘(或除以)同一个负数 不等号的方向不变. 不等号的方向改变. 思考5 不等式性质与等式性质有什么异同？ 等式 不等式 相同点 不同点 (1)等式与不等式都可以在它的两边加上或减去同一个整式，符号保持不变. (2)等式与不等式两边同乘或同除以同一个正数，符号保持不变. 不等式两边同乘或同除以同一个负数，不等号的方向改变. 例 已知a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据： (1)a+3与b+3； 解：(1)因为a＞b， 所以a+3＞b+3(不等式的性质1) (2)-2a与-2b. 解：(2)因为a＞b， 所以-2a＜-2b(不等式的性质3) 用适当的不等号填空： (1)若 a-1<b-1，则 a____b； (2)若 -3a<-3b，则 a____b； (3)若 0.3a+1<0.3b+1，则 a___b. < > < 两边同时加1 两边同时除以-3 0.3a<0.3b a<b 两边同时减1 两边同时除以0.3 不等式的性质 文字描述 数学表达 不等式基本事实1 不等式基本事实2 不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质3 交换不等式两边，不等式的方向改变 不等关系可以传递 如果a＞b，那么b＜a 如果a＞b，b＞c，那么a＞c 如果 a ＞ b，那么 a ± c ＞ b ± c 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 如果a>b，c>0，那么ac>bc(或 ) 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b，c<0，那么ac<bc(或 ) 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 1.若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（　 　） A．a+1＜b B．a﹣1＜b C．a＞b D．a+1＞b 2.如果x＞y，那么下列正确的是（　　） A. x+5 ≤ y+5 B. x﹣5＜y﹣5 C. 5x＞5y D.﹣5x＞﹣5y D C 3. 若x>y，请比较 (a-3) x 与 (a-3) y的大小. 解：当a>3时，a-3>0，(a-3)x>(a-3)y 当a=3时，a-3=0，(a-3)x=(a-3)y=0 当a<3时，a-3<0，(a-3)x<(a-3)y 注意分类讨论的思想 4.已知m＞3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： (1) m+5； 解：(1)因为m＞3， 所以m+5＞3+5，即m+5＞8. (2) ； 解：(2)因为m＞3， 所以 m ＞3 ，即 ＞2. (3) -2m； (4) 3m - 4； 解：(3)因为m＞3， 所以-2m＜ 3×-2，即-2m＜ -6. 解：(4)因为m＞3， 所以3m＞3×3，3m- 4＞3×3 - 4， 即 3m - 4 ＞5. （2024•吉林）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 A 课时2 不等式性质的应用 问题 不等式的性质有哪些? 性质 1： 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 性质 2： 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 性质 3： 不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 思考 解不等式的最终目标是把不等式转化成什么形式？ 与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式 化为 的形式. 或(m为常数) 例1 利用不等式的性质解下列不等式： （1）x-7＞26；　　　　　 （2）3x＜2x+1； （3）x＞50；　　 （4）-4x＞3． 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以 x-7+7＞26+7 ， x＞33 . (2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以 3x - 2x＜2x+1 - 2x ， x＜1 . 例1 利用不等式的性质解下列不等式： （1）x-7＞26；　　　　　 （2）3x＜2x+1； （3）x＞50；　　 （4）-4x＞3． 解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以 (4)根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，所以 还有什么方法可以表示不等式的解集呢? 还可以在数轴上直观地表示不等式的解集. (1)不等式x -7＞26的解集x ＞33在数轴上可以表示为： 0 33 0 1 (2)不等式3x＜2x+1的解集 x＜1在数轴上可以表示为： 请你分别在数轴上表示上题中其它2个不等式的解集 思考 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)5x ≥ 4x +4； (2) - 8x ≥ 10 . 除了含有<，>，≠的不等式，像a ≥ b或a ≤ b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.如，x ≥ 3表示x ≥ 3或x = 3，即x可以取3和大于3的所有值. 符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”. 思考 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减4x，不等号的方向不变，所以 5x - 4x ≥ 4x +4- 4x x ≥ 4 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： 1 2 3 4 5 -1 0 6 (1)5x ≥ 4x +4； (2) - 8x ≥ 10 . 思考 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)5x ≥ 4x +4； (2) - 8x ≥ 10 . 解：(2)根据不等式的性质3，不等式两边乘，不等号的方向改变，所以 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： ×(- 8x) ≤ 10× x ≤ . 0 1 2 3 4 -2 -1 5 常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号 关键 词语 第一类：明确表明数量的不等关系 第二类：明确表明数量的范围特征 ①大 于 ②比…大 ③超 过 ①小 于 ②比…小 ③低 于 ①不小于 ②不低于 ③至 少 ①不大于 ②不超过 ③至 多 正数 负数 非负数 非正数 不等号 ＜ ＞ ≥ ≤ ＞0 ＜0 ≥0 ≤0 若a≥b，则：①a±c≥b±c； ②ac≥bc（c＞0）; ③ac≤bc（c＜0）. a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质． 不等式的解集在数轴上的表示： 解集 x＞a x≥a x＜a x≤a 数轴表示 生活中也有很多不等关系可以用形如 a ≥ b 或 a ≤ b 的不等式表示. 如图所示的高速公路限速标志，你能用不等式的形式表示吗？ 如果用v（单位：km/h） 表示汽车的速度， 则v应满足： . 80≤v≤100 解决问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6 : 00 时汽车距前方的 A 地 210 km，汽车要在 8 : 00 之前驶过 A 地，如果汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h，那么车速x应满足什么条件? 解：设车速为 x km/h.由题意可得：2x＞ 210， 根据不等式性质2，不等式两边同时除以2 ，解得x＞ 105. 又汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h， 所以车速x应满足：105＜x ≤ 120. 例2 如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm. 若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水. 用V(单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示. 分析： 问题中的不等关系是：已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积. 解得 V ≤ 201 . 又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是 0 ≤V ≤ 201. 在数轴上表示V的取值范围为： 解：因为“已有水的体积+新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以 10×3.5×1+V ≤ 10×3.5×7 0 210 在表示 0 和 210 的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数. 不等式性质的应用 不等式的解集在数轴上的表示 不等式中常见的关键词 小于/不足(<)， 大于/多于(>)， 不大于/不超过/至多(≤)， 不小于/不低于/至少(≥)， 不相等(≠). 1. 某市4月份某日的最高气温为23 ℃，最低气温为 3 ℃，则当天该市气温t(℃)的变化范围是( ) A．3＜t＜23 B．3 ≤ t ＜23　 C．3＜t ≤ 23 D．3 ≤ t ≤ 23 D (1)如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸(L的取值范围)_______________. 39.99≤L≤40.01 2. 填空： (2)若关于x的不等式x≥m-1的解集如图所示，则m等于　　　　. 3 -1 0 1 2 3 4 5 6 3.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1)x+5>-1； (2) -5x ≥ 10. 解：(1) 根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，所以 x＋5-5>-1-5， x>-6. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 (2) 根据不等式的性质3，不等式两边乘 ，不等号的方向改变，所以 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 3.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1)x+5>-1； (2) -5x ≥ 10. （2024•内江）不等式3x≥x﹣4的解集是（　　） A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2 A $