第五章数列单元复习课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第三册

单元复习课件 第五章数列 人教B版（2019）选择性必修三·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 维度 目标内容 核心素养对应 知识与技能 1. 系统掌握数列的通项公式、前n项和公式及性质的变式应用。【数学运算】2. 能熟练运用累加、累乘、构造等方法求解复杂的递推数列通项。【数学运算】3. 掌握错位相减、裂项相消、分类讨论等复杂数列求和技巧。【逻辑推理】 理解、掌握 过程与方法 1. 通过“已知递推求通项”的专题，体会代数变形中的类比思想与转化思想。【逻辑推理】2. 通过数列与函数、不等式的综合性题目，梳理数列在解决最值问题、不等式恒成立问题中的代数表达。【数学建模】3. 能理解新定义数列的背景含义，并将其转化为常规的等差、等比问题进行求解。【数学抽象】 应用、分析 情感与价值 1. 体会数学的严谨性与逻辑美，增强解决复杂题目的自信心。【科学态度】2. 感受高考压轴题中数列的命题规律，了解高考中数列综合题的思维深度。【求知欲】 综合、评价 单元学习目标 （一）数列基础 数列定义：自变量为正整数的一类特殊函数。 通项与前n项的转化：n = Sn - Sn-1，特别注意n=1时的检验！ 递推公式：递推与通项的互化（基础难度：累加、累乘）。 （二）等差数列 通项与求和：an = a1 + (n-1)d；Sn = = na1 + 。 性质强链： 等差中项：2an = an-1 + an+1。 若m + n = p + q，则am + an = ap + aq。 难点突破：公差d的几何意义（曲线y = kn + b）及Sn的“二次函数”特性（对称轴、最值）。 单元知识图谱 (三）等比数列 通项与求和：an = a1 ；Sn公式（分q=1与q≠1）。 性质深化：等比中项、积式性质的灵活推导（如a1 an = a2 an-1 = ……）。 （五）数列综合与应用 1. 与函数的交汇：数列是特殊的函数，常与导数结合考查单调性、极值。 2. 与不等式的交汇： 放缩法证明不等式。 恒成立问题求参数范围。 3. 新定义数列：定义新运算、新概念，化为等差/等比模型求解。 4. 与数学归纳法结合：证明数列不等式（齐次、指数型、分式型）。 （四）数列求和难点 1. 错位相减法（适用于“等差 × 等比”型）。 2. 裂项相消法（变式：分式、根式、指数型裂项）。 3. 奇偶分析/分组求和（例如：含的分类讨论）。 单元知识图谱 考点一：递推数列求通项 考点模块 重点内容 高难度强化点 递推数列求通项 累加法（an+1 - an = f(n)） 2. 累乘法 = f(n) 3. 待定系数法（构造等比） 复杂变式累加：对f(n)进行裂项求和。 2. 一次分式型逆向构造：如an+1 = p·an / (q·an + r)等的高阶变形。 3. 二阶递推特征根法：an+2 = p·an+1 + q·an（选讲/拓展）。 考点串讲 考点二：数列求和 考点模块 重点内容 高难度强化点 数列求和 基本公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法。 复合裂项：裂项后反向分组（如含n(n+1)(n+2)型）。 2. 错位相减后构造等差/等比混搭（及参数代换巧算）。 3. 含参数的分类讨论求和（如分段数列的并项推理）。 考点串讲 考点三：数列与不等式 考点模块 重点内容 高难度强化点 数列与不等式 作差法比较大小。 2. 最值问题的函数法（二次型Sn）。 3. 放缩法证明不等式。 拆项放缩与等比放缩：如将放缩为。 2. 数学归纳法证明高难度和式不等式。3. 任意性与存在性的双变量恒成立问题。 考点串讲 考点四：新定义数列与实际应用 考点模块 重点内容 高难度强化点 新定义数列 理解新定义（如“对称数列”“加减数列”等），转化为等差/等比模型。 1. 数阵/矩阵型新定义：理解其排列规律。2. 递推与定义结合的复杂分析（如2024年新高考I卷压轴题风格）。 实际应用 1. 银行利息计算（单利、复利）。2. 分期付款与增长率模型。 实际应用型问题的 方程思想 与 建模构造。 考点串讲 题型一：递推数列通项的高阶构造 典例1：已知数列{an}满足a1 = 2，且an+1 = 2an + 3(n+1)，求{an}的通项公式。 方法一：构造等比数列法（同除后构造） 对递推式两边同时除以： 令，则，且。 累差求和： 回代求： 两边乘： 题型剖析 题型一：递推数列通项的高阶构造 典例1：已知数列{an}满足a1 = 2，且an+1 = 2an + 3(n+1)，求{an}的通项公式。 方法二：待定系数法（直接构造等比数列） 设，展开得： 与原式对比，得，即。 构造等比数列： 令，则是公比为的等比数列，首项： 求： 回代求： 题型剖析 易错点 & 避坑指南 构造形式错误：当递推式右侧是 qn+1 时，不要直接用 qn 构造，需保证指数同步 等比数列求和项数错误： 累加时，项数是 n−1，不是 n，要注意从 k=1 到 k=n−1 初始项代入错误：用 n=1 时，要对应通解中的 a1=C⋅p+D⋅q，不要代成 n=0 系数化简错误：通解形式中，C 可能是分数，回代时要注意和 pn 约分 题型剖析 题型二：复杂裂项相消求和 典例2：已知an = ，求其前n项和Sn。 也可以写成更便于求和的形式： 前n项和 = 分别对两部分求和： 第一部分： ,第二部分： 题型剖析 整理最终结果 裂项相消通用技巧： 对于 型，裂项的核心是拆成相邻差的差，方便交叉抵消。这道题是三项乘积的典型例子，掌握它的裂项形式，后续遇到更高阶的乘积型数列求和就能举一反三。 题型剖析 典例3.求数列 的前 项和 ，其中通项公式为： 代入裂项后的式子： 求和 题型剖析 题型三：数列与不等式恒成立问题 典例4：已知Sn = 2+ 3n，数列{bn}满足bn = ，若对于n∈N*，bn ≤ 恒成立，求实数a的取值范围。 解析：本题的关键是将恒成立问题转化为最值问题。先求出bn，然后通过作差法或二次函数法判断数列的单调性及最大项，从而确定的取值范围。 首先，我们将 的表达式代入 中，得到： 分析数列 {} 的单调性。 因为 n 是正整数（n≥1），所以 2+3n 是一个关于 n 的增函数。 随着 n 的增大，分母 2+3n 的值不断增大。 因此，其倒数 b_n= 是一个关于 n 的单调递减数列。 所以，数列 的最大值为= 要使 对于所有 恒成立，必须满足：实数 的取值范围是 。 题型剖析 题型四：数列的“新定义”与数阵问题 典例5：将数列{an}的所有项按照第一行1项，第二行2项，第三行3项……的规则排成如下三角形数阵（数阵问题）： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 若an = 2n-1（即将所有奇数按此规律排列），求：(1)第n行最后一个数；(2)位于第10行第5个数是多少？ 解析：破解数阵问题的关键在于确定行数与项数n之间的函数关系。第k行的项数为k，前n行共有项。利用此公式即可通过“逼近法”确定第n行最后一个数在整个数列中是第几项，进而求出具体数值。 第 n 行最后一个数的推导 前 行总项数为等差数列求和：，即该位置对应原数列 的第 项。 代入通项公式 ，得： 第10行第5个数的计算 前9行总项数：。第10行第5个数在原数列中的位置：。代入通项公式：。 题型剖析 题型五：数列与函数交汇的综合压轴题 （1）求 f(x) 的解析式 。 根据题意，函数在 处有极值，这意味着 。 代入 得： （式①） 又已知点 处的切线经过原点。 首先求出该点的坐标： 时，。 该点处的切线斜率为 。因为 ，所以切线是一条水平线。 切线方程为 ，即 ，化简为 。 由于这条切线经过原点 ，将 代入切线方程得： （式②） 典例6：设函数f(x) = a+ b + cx + d，在x = 1处有极值，点(1, f(1))处的切线经过原点，且数列{an}满足a = f(an)，a1 = 1。 (1) 求f(x)的解析式； (2) 猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明； 题型剖析 题型五：数列与函数交汇的综合压轴题 （1）求 f(x) 的解析式 现在我们有两个方程： 1) 2) 考虑到 且 。 此时 a=1,b=-2,c=1,d=0。 。 （2）猜想 {} 的通项公式，并用数学归纳法证明 已知 ，。 由（1）得 。 典例6：设函数f(x) = a+ b + cx + d，在x = 1处有极值，点(1, f(1))处的切线经过原点，且数列{an}满足a = f(an)，a1 = 1。 (1) 求f(x)的解析式； (2) 猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明； 题型剖析 题型五：数列与函数交汇的综合压轴题 计算数列的前几项： 以此类推，当 时，。猜想： 数学归纳法证明： ① 当 时，，猜想成立。 当 时，，猜想成立。 ② 假设当 () 时猜想成立，即 。 那么当 时，。 即当 时猜想也成立。 根据数学归纳法原理，对于所有 的正整数， 成立。 综上所述，数列 的通项公式为 。 典例6：设函数f(x) = a+ b + cx + d，在x = 1处有极值，点(1, f(1))处的切线经过原点，且数列{an}满足a = f(an)，a1 = 1。 (1) 求f(x)的解析式； (2) 猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明； 题型剖析 题型五：数列与函数交汇的综合压轴题 典例7.已知函数 。 1. 求函数 在点 处的切线方程。 2. 设数列 满足 ，且 （）。 求 的值。 猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明。； 解析： 1. 求切线方程： 首先求导：。 计算斜率：。 计算截距：。 切线方程为 。 2.求数列项及通项：计算前几项：。。。。 猜想通项公式： 。 3.数学归纳法证明： 题型剖析 题型五：数列与函数交汇的综合压轴题 当 时：，命题成立。 假设 时成立，即 。 当 时： 命题对 也成立。 结论：由数学归纳法可知， 对所有 成立。 典例7.已知函数 。 1. 求函数 在点 处的切线方程。 2. 设数列 满足 ，且 （）。 求 的值。 猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明。； 题型剖析 1. 已知Sn = - 3，求an。（注意：n=1时要检验） 2. 在等差数列{an}中，已知a5 + a12 = 20，求S16。 A组——基础巩固 首先，计算 时的 ： 接着，计算当 时的 ：， ，，提取公因式 ：，检验n=1,也成立。 根据等差数列的性质，若 ，则 。已知 ，所以：， 针对训练 3. 数列构造：已知数列{an}满足a1 = 3，an+1 = ，求an的通项公式。 B组 —— 进阶提升 已知递推公式为 。这是一个分式线性递推数列，我们可以通过寻找不动点来构造等比数列。 设不动点方程为 ,得到两个不动点：，。我们利用这两个不动点来构造新数列。 计算 和 ： , ,将上面两式相除，得到： ,令 ，则上述关系式变为 。 这说明数列 是一个公比为 的等比数列。, 。 针对训练 4. 数列求和：求数列{n·}的前n项和Sn。 B组 —— 进阶提升 要求解数列 {n⋅} 的前 n 项和，这是一个典型的“等差数列 × 等比数列”形式的数列求和问题。我们可以使用错位相减法。 ，（式1） （式2） ，，，。 针对训练 5. 裂项挑战：已知an = ，求证其前n项和小于。 B组 —— 进阶提升 提取公因数 ：，， 因为 是正整数（），所以 。 因此，。，。 针对训练 6. 新定义挑战：定义“等积数列”：若从第2项起，每一项与前一项的积为同一个常数，求其通项公式。 C组 —— 突破压轴 ，得 设数列的首项为 。当 n 为奇数时，=当 n 为偶数时： 。 a_n={■(a_1,&"当 " n" 为奇数时" @k/a_1 ,&"当 " n" 为偶数时" )┤ 针对训练 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn = (n+1)an（n∈N*）。 (1) =1,求{an}的通项公式；(2) 设bn = 2n·an，求{bn}的前n项和。 C组 —— 突破压轴 （1）求 {} 的通项公式 当 时，。代入已知等式： 这个等式对于任意 都成立， 当 时，我们有： （式①） 将 替换为 ，得到： （式②）用式①减去式②，得到： ，因为 =（当 n≥2 时），代入上式： 2 将其变形为：，现在我们可以使用累乘法来求得 =n.也适合n=1 针对训练 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn = (n+1)an（n∈N*）。 (1) =1,求{an}的通项公式；(2) 设bn = 2n·an，求{bn}的前n项和。 C组 —— 突破压轴 (2）设 =2n⋅，求 {} 的前 n 项和 记为 ： ， ， 利用自然数平方和公式： 针对训练 总结维度 内容 知识网络 本阶段复习围绕数列的“通项”与“求和” 两大核心展开，串联了等差、等比两大基本数列的性质及它们的综合应用。 核心思想 函数思想（将数列视为特殊函数）、化归与转化思想（将未知递推转化为等差/等比）、分类讨论思想（如等比数列的q、数列的奇偶）。 易错警示 1. an = Sn - S(n-1)中，n=1的检验。   2. 等比数列求和时，容易遗漏q=1的情况。   3. 裂项相消与错位相减中，容易算错剩余项。 课堂总结 在判断数列的单调性时，容易忽略数列的定义域是正整数集这一特殊情况，直接按照函数的单调性来判断，导致错误。 通过对数列单元知识的系统复习，我们要熟练掌握等差数列和等比数列的基本知识和方法，灵活运用各种求和方法解决数列的求和问题，同时要注意数列与其他知识的综合应用，提高分析问题和解决问题的能力。 课堂总结 感谢聆听! $