第8章 相交线与平行线（知识清单）数学新教材青岛版七年级下册

第8章 相交线与平行线 1.若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义：如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。 4.垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 5．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 6．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 7.可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 8.可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 9.可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 10. 平行线的判定 （1）．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 11.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 12. 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 易错点1 混淆对顶角与邻补角的定义 错误：只关注公共顶点，忽略“两边互为反向延长线”的核心条件。 注意：对顶角需同时满足有公共顶点、两边互为反向延长线两个条件；邻补角需满足有公共顶点和公共边、另一边互为反向延长线。 例题1 下列描述中，与是对顶角的是（   ） A．有公共顶点，两边不互为反向延长线 B．两条直线相交，相对的两个角 C．有一条公共边的两个角 D．同在一条直线上的两个角 【答案】B 【详解】A、与两边不互为反向延长线，不符合对顶角定义，错误. B、两条直线相交形成的相对的角，满足对顶角定义，正确； C、与有公共边，不满足对顶角定义，错误； D、两个角同在一条直线上，不满足对顶角定义，错误． 易错点2 平行线性质应用错误 错误：认为“同位角、内错角一定相等，同旁内角一定互补”，忽略“两直线平行”的前提条件。 注意：三类角的数量关系（相等或互补）只有在两直线平行时才成立，不平行时不具备该性质。 例题2 下列说法中，正确的是（   ） A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【详解】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故A选项错误； B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误； C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C选项错误； D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D选项正确； 故选：D 易错点3 混淆平行线的判定与性质。 错误：用“两直线平行，同位角相等”来判定平行，逻辑颠倒。 注意：判定是由角的关系推线的关系；性质是由线的关系推角的关系。 例题3 如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　） A．∵，∴（内错角相等，两直线平行） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D．∵，∴（两直线平行，同位角相等） 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），正确，该选项不符合题意； B、∵， ∴（两直线平行，内错角相等），正确，该选项不符合题意； C、∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补），正确，该选项不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），原结论错误，该选项符合题意． 故选：D． 1．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．与有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意； B．与有公共顶点，无公共边，不符合邻补角定义，不符合题意； C．与无公共顶点，不符合邻补角定义，不符合题意； D．与有公共顶点、无公共边，不符合邻补角定义，不符合题意． 2．下列图形中，和互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：只有选项B中和互为对顶角． 3．如图所示，由已知条件推出结论错误的是（   ） A．由，可以推出 B．由，可以推出 C．由，可以推出 D．由，可以推出 【答案】B 【详解】解：A、由，可以推出，故原选项正确，不符合题意； B、由，可以推出，故原选项错误，符合题意； C、由，可以推出，故原选项正确，不符合题意； D、由，可以推出，故原选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．骑行是一种有氧运动，有助于增强心肺功能，也是一种锻炼身体和享受大自然美景的好方式．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ， ，， ， ， ，结论错误，本选项符合题意； D、若，， 则， ， ，结论正确，本选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，两条直线相交形成四个角，可以用推理说明图中的． 推理过程： 因为：，（平角等于）， 所以：，也就有：，这里运用了（ ） A．加法交换律 B．等式的性质 C．加法结合律 【答案】B 【详解】解：根据题意知，运用了等式的性质， 故选：B． 6．如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：① ，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 7．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有______．（填写序号） 【答案】②③④ 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④． 故答案为：②③④． 8．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 【答案】①③④ 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 而题中没有说明与相等， ∴不一定等于，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意， ∴符合题意的有①③④． 9．把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线，被直线所截，点为与的交点， 于点，，．试说明：． 解：∵（已知）， （ ① ）， 又∵（已知）， ② ， ∵（ ③ ）， ， 又∵（已知）， ④ （ ⑤ ）， （ ⑥ ） 【答案】①垂直定义； ②；③对顶角相等；④1 ；⑤等量代换；⑥同位角相等，两直线平行 【详解】解：∵（已知）， （垂直定义）， 又∵（已知）， ． ∵（对顶角相等）， ， 又∵（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 10．如图．在中，，，求证：． 证明：（已知），（_______），又， _______（   ）．_______（_______） （_______）． 【答案】见解析 【详解】证明：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 相交线与平行线 1.若一个角的两条边分别是__________________________________，那么这两个角叫做对顶角。 2. 对顶角的性质：_____________________。 3. 邻补角的定义：如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与_____________________________，此时就说这两个角互为____________。 4.垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中________________________，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的________，它们的交点叫做__________． 5．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点____________________________________-． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，______________________． 6．点到直线的距离：_________________________________________________叫做点到直线的距离． 7.可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是____________。图中的同位角还有_____________，______________，______________。 8.可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是______________。图中的内错角还有_______________。 9.可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是________________。图中的同旁内角还有______________。 10. 平行线的判定 （1）．平行公理：经过直线外一点，_________________________________________． （2）．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也__________________． 11.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果___________________，那么这两条直线平行 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果___________________，那么这两条直线平行． 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果_________________，那么这两条直线平行 12. 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角________。 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角________。 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角________。 易错点1 混淆对顶角与邻补角的定义 错误：只关注公共顶点，忽略“两边互为反向延长线”的核心条件。 注意：对顶角需同时满足有公共顶点、两边互为反向延长线两个条件；邻补角需满足有公共顶点和公共边、另一边互为反向延长线。 例题1 下列描述中，与是对顶角的是（   ） A．有公共顶点，两边不互为反向延长线 B．两条直线相交，相对的两个角 C．有一条公共边的两个角 D．同在一条直线上的两个角 易错点2 平行线性质应用错误 错误：认为“同位角、内错角一定相等，同旁内角一定互补”，忽略“两直线平行”的前提条件。 注意：三类角的数量关系（相等或互补）只有在两直线平行时才成立，不平行时不具备该性质。 例题2 下列说法中，正确的是（   ） A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行 易错点3 混淆平行线的判定与性质。 错误：用“两直线平行，同位角相等”来判定平行，逻辑颠倒。 注意：判定是由角的关系推线的关系；性质是由线的关系推角的关系。 例题3 如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　） A．∵，∴（内错角相等，两直线平行） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D．∵，∴（两直线平行，同位角相等） 1．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，和互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，由已知条件推出结论错误的是（   ） A．由，可以推出 B．由，可以推出 C．由，可以推出 D．由，可以推出 4．骑行是一种有氧运动，有助于增强心肺功能，也是一种锻炼身体和享受大自然美景的好方式．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．如图，两条直线相交形成四个角，可以用推理说明图中的． 推理过程： 因为：，（平角等于）， 所以：，也就有：，这里运用了（ ） A．加法交换律 B．等式的性质 C．加法结合律 6．如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有______．（填写序号） 8．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 9．把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线，被直线所截，点为与的交点， 于点，，．试说明：． 解：∵（已知）， （ ① ）， 又∵（已知）， ② ， ∵（ ③ ）， ， 又∵（已知）， ④ （ ⑤ ）， （ ⑥ ） 10．如图．在中，，，求证：． 证明：（已知），（_______），又， _______（   ）．_______（_______） （_______）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $