11.1.1 不等式及其解集（培优教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.1.1 不等式及其解集 第十一章 不等式与不等式组 不等式及其解集 不等式的性质 用不等式的性质解不等式 不等式与不等式组第十一章 11. 1 不等式 11. 2一元一次不等式 11. 3 一元一次不等式组 章节导读 解一元一次不等式 列一元一次不等式解决实际问题（一） 列一元一次不等式解决实际问题（二） 学 习 目 标 1 2 3 能结合具体情境，准确说出不等式、不等式的解、不等式的解集的定义，明确三者之间的区别与联系； 掌握用不等式表示实际问题中不等关系的方法，能运用定义判断一个数是否为不等式的解，并能直接写出简单不等式的解集； 经历从实际问题中抽象出不等关系、探究不等式解与解集的过程，体会建模思想与数形结合思想，提升数学抽象与逻辑推理的核心素养. 章节导入 数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系．现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题．例如，当两家超市推出不同的优惠方案时，到哪家超市购物花费较少？这个问题就蕴含了不等关系．对于这样的问题，常常要分析问题中的数量关系，找到其中的不等关系，列出相应的数学式子———不等式（组），并通过解不等式（组）得出结论．这样的思路与利用方程（组）研究相等关系问题的思路是类似的． 本章我们将从什么是不等式说起，类比等式和方程，探究不等式的性质，学习一元一次不等式（组）及其解法，并利用不等式的知识解决一些问题，感受不等式在研究不等关系问题中的重要作用． 导入新课 这节课，我们就在这些 “不等关系” 的基础上，继续学习、系统掌握一种更通用、更直接的数学工具，用来刻画和解决这类问题的新方法 ——不等式及其解集． 同学们，在本章开头我们就知道：生活里有大量和 “数量大小” 相关的问题，比如高速上要在限定时间前通过收费站、超市优惠要满足最低消费，这些问题里的数量关系，用我们之前学过的等式已经没法完整表示了． 新知探究 分析：设车速是 xkm/h． 汽车要在8:00之前驶过A地，从时间上看，就是以 xkm/h 的速度行驶210km的时间不到2h，这个不等关系可以表示为 从路程上看，就是以 xkm/h 的速度行驶2h的路程要超过210km，这个不等关系可以表示为 一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在 8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 问题 新知探究 像2 、 这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式． 像 a＋2≠a－2 这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 　（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”； “≠”是不等于号，读作“不等于”．这 3 个符号统称不等号． 　（2）有些不等式中不含未知数，如“3＜4”；有些不等式中含有字母． 典例分析 基础训练 基础训练 我们常用不等式来表示不等关系． 典例分析 例2： 用不等式表示下列不等关系： （1）a与15的和大于27； （2）b的一半与3的差是负数； （3）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍． 解：（1）a＋15＞27； （2）＜0； （3）设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm2，那么1333＞18x，也可以表示为18x ＜1333． 基础训练 基础训练 新知探究 对于不等式2x＞210 而言， x 可以取 90 吗？110呢？80呢？120呢？ 　　解：当 x＝90 时， 2x＝180<210； 当 x＝80 时， 2x＝160<210 ； 当 x＝120 时，2x＝240>210 ． 当 x 取 110，120 时，不等式成立；当 x 取 80，90时，不等式不成立． 当 x＝110 时，2x＝220>210； 一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在 8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 问题 新知探究 类比方程的解，你能说出什么叫不等式的解吗？ 　　使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解． 例如： 110，120 是不等式2x＞210的解， 而 80，90 不是不等式 2x＞210的解． 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 新知探究 可以发现，当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x＝105时，不等式2x＞210不成立．这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210的解．因此，x＞105表示了能使不等式2x＞210成立的x的取值范围. 探究：再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解． 观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？ 问题 x … 90 110 … 2x … 180 220 … 95 190 100 200 105 210 新知探究 问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 汽车要在8:00之前驶过A地，车速应大于105km/h． 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集． x＞105是不等式2x＞210的解集 新知探究 求不等式的解集的过程叫做解不等式． x＞105是不等式x＞210的解集 ，它可以在数轴上直观表示。 在表示105的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数. 基础训练 基础训练 新知总结 不等式及其解集 ①不等式的定义 ②不等式的解与解集 使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解． 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 不等式的解集可以用数轴直观表示出来． 用符号“<”“>”“≠表示不等关系的式子，叫作不等式；含有未知数的不等式，用来刻画数量之间的不等关系． ③解不等式的核心思路 类比方程的求解逻辑，通过分析数量关系列出不等式，再确定未知数的取值范围，用不等式或数轴清晰呈现不等关系的解． 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 拓展提升 课堂总结 感谢聆听! 【解析】根据不等式是用不等号(，，，，)连接，表示不等关系的式子判断即可． 解：A、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 例1：下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． D 【解析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式；② 是用不等号连接的式子，是不等式；③ 是用等号连接的等式，不是不等式；④ 是代数式，不是不等式；⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式；⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式，故①②⑥是不等式． 1．已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，__________是不等式．（填序号） ①②⑥ 解：由不等号连接，表示两个量大小关系的式子叫做不等式； （1）由连接，是不等式．（2）由连接，是不等式．（3）由连接，是不等式．（4）由连接，是等式，也是方程；不是不等式．（5）无连接符号，是代数式，不是不等式．（6）由连接，是不等式．综上所述，（1）（2）（3）（6）是不等式． 2．判断下列各式中哪些是不等式． （1）．     （2）． （3）．   （4）．（5）．     （6）． 【解析】本题考查了不等式的概念，熟练掌握不等式的概念是解题的关键；根据不等式的定义逐一判断是否为不等式． 【解析】根据与的和为：；的倍为：，即可写出不等式． 解：∵与的和为：；的倍为： ∴与的和比的倍大 ∴ 故答案为：． 1．用不等关系表示“x与6的和比x的5倍大”________． x+6>5x 解：（1）根据题意可知： （2）根据题意可知： （3）根据题意可知： 2．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积; (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【解析】本题重点考查根据实际问题列不等关系 （1）根据题意直接列出不等式即可． （2）根据长方形以及正方形的面积列出不等式即可． （3）根据总座位数为，以及有一些人没有座位即人数大于座位上列出不等式即可． 【解析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 1．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． B 解：不等式两边除以，得， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集表示在数轴上表示为 ． 2．把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． D 【解析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 解： ①，用不等号连接，是不等式；②，用不等号连接，是不等式；③，用等号连接，是等式，不是不等式；④，是代数式，无不等号连接，不是不等式；⑤，用不等号连接，是不等式；∴不等式共有3个． 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 C 【解析】设“ ”、“ ”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“ ”、“ ”的重量，写出符合题意的不等式即可． 解：如图，左边=x+2y，右边=2x+y． 由于左边＞右边，所以列出不等式x+2y＞2x+y． 故答案是：x+2y＞2x+y． 2．设“ ”、“ ”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“ ”、“ ”的重量，写出符合题意的不等式是__________． 【解析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意；B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意；C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意；D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意；故选：A． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 A 解：（1）将解集表示在数轴上如答图①． （2）将解集表示在数轴上如答图②． 4．将下列不等式的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)． 【解析】（1）先在数轴上确定点，再空心向右画线即可； （2）先在数轴上确定点50，再空心向左画线即可． 解：当点C在点A的左边（不含点A）时，； 当点C与点A重合时，； 当点C在点A，B之间（不含端点A，B）时，； 当点C与点B重合时，； 当点C在点B的右边（不含点B）时，． 5．如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 【解析】本题考查根据数轴比较实数大小，建立不等式的能力，需结合点C的位置进行分类讨论． $