学易金卷：八年级数学下学期5月学情自测卷（扬州专用，范围：新教材苏科版八下第6～10章）

**基本信息** 2025-2026学年苏科版八年级下册5月学情自测卷，聚焦第6~10章，以120分钟150分题量，通过统计图表应用、四边形性质探究、分式动态问题等设计，融合几何直观与推理能力，适配月考学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|统计图表（1）、平行四边形性质（2）、概率（3）|基础概念辨析，如扇形统计图适用场景（1）| |填空题|10/30|分式值（9）、平行四边形计算（13）、规律探究（17）|结合几何计算与代数推理，如▱ABCD中角平分线应用（13）| |解答题|10/96|统计概率（22、23）、四边形证明（24、28）、新定义分式（27）|几何综合题（28）以正方形动态问题考查推理能力，新定义“关联分式”（27）体现创新意识|

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级下册第6~10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列问题中，（　　）最适合用扇形统计图表示 A．亮亮一天中的体温变化情况 B．第四季度两种饮料的销售量比较 C．牛奶中各种营养成分的含量 D．实验小学六年级的学生人数 【答案】C 【分析】条形统计图可直观展示数据大小，折线统计图可反映数据的变化趋势，扇形统计图适合表示各部分数量占总数量的百分比关系，据此分析各选项即可． 【解答】解：根据条形统计图和扇形统计图适合的条件逐项分析判断如下： A选项、需要展示亮亮一天体温的变化趋势，适合用折线统计图，不适合扇形统计图． B选项、要比较两种饮料的销售量，不存在部分与整体的比例关系，不适合扇形统计图． C选项、牛奶的营养成分含量，需要表示各成分占总体的百分比，符合扇形统计图的使用要求． D选项、仅需要呈现六年级学生总人数，不存在部分与整体的比例关系，不适合扇形统计图． 故选：C． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（　　） A．AB＝CD B．AO＝OC C．AC＝BD D．∠DAB＝∠BCD 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质一一判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AO＝OC，∠DAB＝∠BCD， 故选项A，B，D正确，选项C错误． 故选：C． 3．在下列事件中，不可能事件是（　　） A．明天的天气是晴天 B．从只有苹果的袋子中摸出梨 C．任意画一个正方形是轴对称图形 D．篮球运动员投篮一次，正好投中 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，进而选出不可能事件． 【解答】解：A、“明天的天气是晴天”，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； B、袋子中只有苹果，一定不可能摸出梨，是一定不发生的不可能事件，符合要求； C、任意正方形一定是轴对称图形，是必然事件，不符合要求； D、篮球运动员投篮一次正好投中，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． 故选：B． 4．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下列说法不正确的是（　　） A．AD∥BC B．AB＝CD C．AB＝AD D．∠B＝∠C 【答案】C 【分析】利用等腰梯形的性质一一判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠C， 故选项A，B，D正确，选项C错误． 故选：C． 5．当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将（4m+5）2﹣9因式分解即可得到答案． 【解答】解：（4m+5）2﹣9 ＝（4m+5+3）（4m+5﹣3） ＝（4m+8）（4m+2） ＝8（m+2）（2m+1）， ∴（4m+5）2﹣9一定能被8整除； 故选：D． 6．关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为0，列不等式求解得到k的取值范围． 【解答】解：原方程可变形为， x+k﹣4k＝3（x﹣2）， x﹣3k＝3x﹣6， 2x＝6﹣3k， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为0， ∴， 解不等式得，k≤2， 解不等式得，， ∴k的取值范围是k≤2且． 故选：C． 7．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，再将所得结果相加之和等于（　　） A．﹣1 B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】将分式变形为1，将x值代入运算，找出变化的规律，依据规律解答即可． 【解答】解：原式， 当x＝0时，原式＝﹣1， 当x＝1时，原式＝0， 当x＝2时，原式＝1 当x时，原式＝11， 当x＝3时，原式＝1， 当x时，原式＝﹣1 ...， 当x＝2026时，原式＝1， 当x时，原式＝﹣1， ∴将所得结果相加之和＝﹣1， 故选：A． 8．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若，PB＝17．下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③EB＝15；④S△APD+S△APB＝76；⑤．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】①先证明∠EAB＝∠PAD，进而根据AE＝AP，AB＝AD可依据“SAS”判定△APD和△AEB全等据此得结论①正确； ②证明△AEP是等腰直角三角形得∠AEP＝∠APE＝45°，进而得∠APD＝135°，然后根据△APD和△AEB全等得∠AEB＝∠APD＝135°，据此得结论②正确； ③先在Rt△AEP中，由勾股定理求出PE＝8，证明∠BEP＝90°得△BEP是直角三角形，再由勾股定理得EB＝15，据此得结论③正确； ④根据△APD和△AEB全等得S△APD＝S△AEB，由此得S△APD+S△APB＝S四边形AEBP，再求出S△AEPAE×AP＝16，S△BEPBE×EP＝60，进而得S四边形AEBP＝S△AEP+S△BEP＝76，据此得结论④正确； ⑤过点B作BQ⊥AE，交AE的延长线于点Q，证明△BQE是等腰直角三角形得BQ＝EQ，由勾股定理得BQ＝EQEB，进而得AQ＝AE+EQ，在Rt△BQA中，由勾股定理得AB，据此得结论⑤正确，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°， ∵AP⊥AE， ∴∠EAP＝90°， ∵∠EAP＝∠BAD＝90°， ∴∠EAP﹣∠BAP＝∠BAD﹣∠BAP， ∴∠EAB＝∠PAD， 在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS）， 故结论①正确； ②在△AEP中，AE＝AP，∠EAP＝90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， ∴∠APD＝180°﹣∠APE＝135°， ∵△APD≌△AEB， ∴∠AEB＝∠APD＝135°， 故结论②正确； ③在△AEP中，∠EAP＝90°，AE＝AP＝√（32）， 由勾股定理得：PE8， ∵∠AEB＝135°，∠AEP＝45°， ∴∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝90°， ∴△BEP是直角三角形， 在Rt△BPE中，PB＝17， 由勾股定理得：EB15， 故结论③正确； ④∵△APD≌△AEB， ∴S△APD＝S△AEB， ∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四边形AEBP， 在△AEP中，∠EAP＝90°，AE＝AP＝√（32）， ∴S△AEPAE×AP16， 在Rt△BPE中，∠BEP＝90°，BE＝15，EP＝8， ∴S△BEPBE×EP15×8＝60， ∴S四边形AEBP＝S△AEP+S△BEP＝16+60＝76， ∴S△APD+S△APB＝76， 故结论④正确； ⑤过点B作BQ⊥AE，交AE的延长线于点Q，如图所示： ∴∠Q＝90°， ∵∠BEQ＝∠AEP＝45°， ∴△BQE是等腰直角三角形， ∴BQ＝EQ， 在Rt△BQE中，EB＝15， 由勾股定理得：EBBQ， ∴BQ＝EQEB， ∵AE， ∴AQ＝AE+EQ， 在△BQA中，∠Q＝90°， 由勾股定理得：AB， ∴CD＝AB， 故结论⑤正确， 综上所述：正确结论是①②③④⑤，共5个， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．若分式的值为零，则x＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3 【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴，解得x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 10．如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是2，表明数字2周围的8个位置有2颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为 　　 ． 【答案】． 【分析】由题意可知数字2周围的8个位置中有2个位置有地雷，再根据概率公式计算即可． 【解答】解：由题意可知数字2周围的8个位置中有2个位置有地雷， ∴任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为． 故答案为：． 11．已知x﹣2y﹣4＝0，则x2﹣4xy+4y2的值为　16　 ． 【答案】16． 【分析】由x﹣2y﹣4＝0，求出x﹣2y＝4，根据完全平方公式可得：x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，代入数字计算即可． 【解答】解：因为x﹣2y﹣4＝0， 所以x﹣2y＝4， x2﹣4xy+4y2 ＝（x﹣2y）2 ＝42 ＝16． 故答案为：16． 12．已知在一个样本中，将200个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是30，第二组与第三组的频率之和是0.65，那么第四组的频数是40． 【答案】40． 【分析】根据频数与频率的关系，先求出第二组与第三组的频数和，再用数据总数减去已知三组的频数和，即可得到第四组的频数． 【解答】解：将200个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是30，第二组与第三组的频率之和是0.65，则： ∵第二组与第三组的频率之和是0.65，数据总数为200个， ∴第二组与第三组的频数之和为200×0.65=130， ∵第一组的频数是30， ∴第四组的频数是200-30-130=40， 故答案为：40． 13．如图，在▱ABCD中，∠BAD＝60°，AE、BF分别是∠BAD、∠ABC的平分线分别交CD于点E、F，AE交BF于点O，若AB＝6，BC＝4，则OF的长为　1　 ． 【答案】1． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义，推出∠AOB＝90°，∠BAE＝30°，得到，再推出△BCF是等边三角形，即可得解． 【解答】解：在▱ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝6，BC＝4， ∴AD∥BC，∠C＝∠BAD＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝120°， ∵AE、BF分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴，， ∴∠AOB＝90°， ∴， ∵∠CBF＝∠C＝60°， ∴∠CFB＝60°， ∴△BCF是等边三角形， ∴BF＝BC＝4， ∴OF＝BF﹣OB＝1， 故答案为：1． 14．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　等腰　 三角形． 【答案】等腰． 【分析】把已知条件中的等式的右边移到等号左边，然后利用平方差公式、提取公因式法分解因式，进行解答即可． 【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc， ∴a2﹣b2﹣ac+bc＝0， （a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a，b，c为△ABC的三边， ∴a+b﹣c≠0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 15．如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，AE，BD相交于点F，连接CF．设∠E＝α，则∠CFE＝　90°﹣2α　 （用含α的代数式表示）． 【答案】90°﹣2α． 【分析】利用正方形的对称性将∠CFE转化为与∠AFE相关的角，并结合平行线性质建立与∠E的联系解题即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∠ADF＝∠CDF＝45°， ∴∠DAE＝∠E＝α， 在△ADF中，∠AFE是外角， ∴∠AFE＝∠ADF+∠DAE＝45°+α， ∵∠AFB+∠AFE＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣（45°+α）＝135°﹣α， ∵∠CFD与∠AFB是对顶角， ∴∠CFD＝∠AFB＝135°﹣α， 在△CDF中，∠DCF＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD， ∴∠DCF＝180°﹣45°﹣（135°﹣α）＝α， ∵点E在BC的延长线上，且BC⊥CD， ∴∠DCE＝90°， ∴∠FCE＝∠DCE+∠DCF＝90°+α， 在△CFE中，∠CFE＝180°﹣∠FCE﹣∠E， ∴∠CFE＝180°﹣（90°+α）﹣α＝90°﹣2α， 答：∠CFE的度数为90°﹣2α． 故答案为：90°﹣2α． 16．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是 k≤2且k≠﹣1　 ． 【答案】k≤2且k≠﹣1． 【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得， k+2（x﹣1）＝﹣x， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以k≤2， 当x＝1时，k＝﹣1， 因此k的取值范围为k≤2且k≠﹣1， 故答案为：k≤2且k≠﹣1． 17．观察下列方程：可以发现它们的解分别是①x＝1或2；②x＝2或3；③x＝3或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程（n为正整数）解x＝n+3或n+4　 ．（用含n的代数式表示） 【答案】n+3或n+4． 【分析】通过观察给定方程的解的规律，发现对于方程 ，其解为x＝n或x＝n+1，将待解方程中的x﹣3视为整体，应用上述规律求解即可 【解答】解：令y＝x﹣3，则方程化为， 根据规律，该方程的解为y＝n或y＝n+1， 代入y＝x﹣3，得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，即x＝n+3或x＝n+4， 故答案为：n+3或n+4． 18．如图在矩形ABCD中，AB＝5，，AE⊥BD，垂足是E，作点E关于AB的对称点F，连接AF、BF．将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到矩形ABCD的一边所在的直线上时，则m＝　3或或　 ． 【答案】3或或． 【分析】用面积法求出AE，BE，可得BF的长度，再分三种情况讨论可得答案． 【解答】解：∵S△ABDBD•AEAB•AD， ∴AE4， 在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4， ∴BE3， ∵点E关于AB的对称点F， ∴BF＝3， 分三种情况讨论： 当点F'落在AB上时，如图， 设平移中的三角形为△A'B'F'， 由对称的性质可知，∠1＝∠2； 由平移的性质可知，AB∥A'B'，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3， ∵AB∥A′B′， ∴∠3＝∠4， ∴∠3＝∠2， ∴BB'＝B'F'＝3， 即m＝3； 当点F'落在AD上时，如图， ∵AB∥A'B'， ∴∠6＝∠2， ∵∠1＝∠2，∠5＝∠1， ∴∠5＝∠6， 又∵A′B′⊥AD， ∴ΔB′F′D为等腰三角形， ∴B′D＝B′F′＝3， ∴BB′＝BD﹣B'D3，即m； 当F'在直线CD上时，同理可得m3， 综上所述，m的值为3或或； 故答案为：3或或． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）因式分解： （1）4m2﹣36n2； （2）3x2﹣6xy+3y2． 【分析】（1）先提公因式4，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可； 【解答】解：（1）4m2﹣36n2＝4（m2﹣9n2）＝4（m+3n）（m﹣3n）；(4分) （2）3x2﹣6xy+3y2＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2．(8分) 20．（8分）解方程： （1）． （2）． 【分析】（1）方程两边同乘2x（x+3），将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同乘2﹣x，将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同乘2x（x+3），得x+3＝4x， 解得x＝1，(3分) 检验：当x＝1时，2x（x+3）≠0， 所以分式方程的解是x＝1；(4分) （2）， 方程可化为， 方程两边同乘2﹣x，得x﹣1+2（2﹣x）＝1， 解得x＝2，(7分) 检验：当x＝2时，2﹣x＝0，即x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解．(8分) 21．（8分）先化简，再求值：，请从﹣1，﹣2，2中选择一个合适的x的值代入求值． 【分析】先对括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后从﹣1，0，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（x+1） • ，(6分) ∵x＝﹣1或2时，原分式无意义， ∴x＝﹣2，(7分) 当 x＝﹣2 时，原式0．(8分) 22．（8分）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试，如表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 （1）填空：x＝　100　 ，y＝　0.83　 ，z＝　415　 ； （2）测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是　0.8　 （精确到0.1）； （3）根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）总投篮次数乘以投中概率估计值即可得出答案． 【解答】解：（1）x＝81÷0.81＝100，y＝249÷300＝0.83，z＝500×0.83＝415，(3分) 故答案为：100，0.83，415； （2）该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是0.8， 故答案为：0.8；(5分) （3）150×0.8＝120（次），(8分) 答：通过计算估计他命中的次数为120次． 23．（10分）为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好!为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）：1．你每天的课外阅读时长是_____． A．30分钟以内 B．30分钟～1小时 C.1小时～2小时 D.2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是_____． A．早读前 B．午休时段 C．放学后 D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．） 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时～2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图． （1）扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为　36　 度． （2）本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时～2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图． （3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数． 【分析】（1）用360度乘以所占百分比计算即可； （2）先计算该项目的人数，再补图即可； （3）用样本估计总体的思想计算即可． 【解答】解：（1）360°×10%＝36°．(2分) 故答案为：36． （2）300×（1﹣15%﹣10%﹣45%）＝90（人）；(4分) (7分) （3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人为： 1500×（1﹣10%﹣15%）＝1125（人），(10分) 答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为1125人． 24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足　直角三角形　 时，四边形ADCE是一个正方形． 【分析】（1）利用三个角是直角的四边形是矩形来判定即可． （2）利用邻边相等的矩形是正方形来判定即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D， ∴． ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴， ∵∠BAC与∠CAM是邻补角， ∴∠BAC+∠CAM＝180°， ∴， ∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°． ∴四边形ADCE为矩形．(5分) （2）解：当△ABC是直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形， 证明：∵△ABC是直角三角形 ∴∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC ∴，∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD． ∵四边形ADCE为矩形，AD＝CD， ∴四边形ADCE为正方形． 故答案为：直角三角形．(10分) 25．（10分）某商店销售A，B两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 【答案】A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 【分析】根据“顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同”列分式方程求解即可． 【解答】解：设B款吉祥物的单价为x元，则A款吉祥物的单价为（x+20）元， 根据题意列分式方程得，，(5分) 整理得，500x＝10000， 解得x＝20， 检验：当x＝20时，x（x+20）≠0，(8分) 所以x＝20是原分式方程的解， 则x+20＝20+20＝40，(10分) 答：A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 26．（10分）如图，四边形OABC是平行四边形，若点D、E分别是线段CB、OA上一点． （1）当四边形CDAE是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． （2）若点O坐标是（0，0），点A坐标是（10，0），点C坐标是（2，4）． ①请直接写出点B的坐标 ； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 【分析】（1）连接AC，作AC的垂直平分线交BC于点D，交OA于点E，连接CE，DA即可； （2）①根据菱形的性质得到CB=OA=10，然后结合点C坐标是（2，4）求解； ②过点C作CF⊥AO，设AE=CE=x,则EF=AF-AE=8-x,利用勾股定理求解． 【解答】解：（1）如图所示，菱形CDAE即为所求； (4分) 设AC，DE交于点G，由作图得，DE垂直平分CA， ∴CD=AD，CE=AE，CG=AG，AC⊥DE， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴CD∥OA， ∴∠CDE=∠AED， 又∵∠CGD=∠AGE， ∴△CGD≌△AGE（AAS）， ∴CD=AE， ∴CD=DA=AE=CE， ∴四边形CDAE是菱形； （2）①∵四边形CDAE是菱形，点A坐标是（10，0）， ∴CB=OA=10， ∵点C坐标是（2，4）， ∴B的坐标为（12，4）； 故答案为：（12，4）；(6分) ②如图，过点C作CF⊥AO， ∴AF=10-2=8， 设AE=CE=x,则EF=AF-AE=8-x, 在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2， ∴（8-x）2+42=x2，(8分) 解得x=5， ∴OE=OA-AE=5， ∴点E的坐标（5，0）．(10分) 27．（12分）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． （2）已知分式，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． （3）已知分式与Q互为“关联分式”，且“关联值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出A+B＝2，进而即可判断； （2）由C与D互为“关联分式”、k＝2，得，求出M＝﹣3x﹣6，将M＝﹣3x﹣6代入D，进而即可求解； （3）由P与Q互为“关联分式”、k＝2，列方程化简得（1﹣m）x＝﹣4．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【解答】解：（1）A与B互为“关联分式”，关联值k＝2，理由如下： ＝2，(2分) ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值k＝2；(3分) （2）∵C与D互为“关联分式”，关联值k＝2， ∴ （2x﹣1）（x+2）+M＝2（x2﹣4） 2x2+3x﹣2+M＝2x2﹣8 解得M＝﹣3x﹣6；(4分) 当M＝﹣3x﹣6时，， ，(5分) ∵D为正整数，且x为正整数， ∴当2﹣x＝1时，解得x＝1；(6分) 当2﹣x＝3时，解得x＝﹣1（舍去），(7分) ∴x的值为1； （3）∵P与Q互为“关联分式”，关联值k＝2， ∴， （3x﹣5）+（3﹣mx）＝ 2（x﹣3）， （1﹣m）x＝﹣4， 解得（m﹣1）x＝4，(9分) ∵关于x的方程无解， ∴当m﹣1＝0时，即m＝1，此时方程变为0•x＝4，无实数解，符合要求；(10分) ∵原分式方程的增根为x＝3（使分母为0）， ∴将x＝3代入3（m﹣1）＝4， 3m﹣3＝4， 解得；(11分) 此时整式方程的解x＝3是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数m的值为1或．(12分) 28．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不包含端点），AG⊥EF于点G，GM⊥AB于点M，EF＝AG． （1）如图1，求证：△AMG≌△ECF． （2）如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG，MG于点H，N． ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN＝AB； ③若AB＝1，请直接写出HE的取值范围． 【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到∠C＝∠B＝90°＝∠AMG，根据等角的补角相等得到∠BAG＝∠CEF，根据AAS即可证明△AMG≌△ECF； （2）①根据HE⊥BC，GM⊥AB得到∠BEN＝∠BMN＝∠B＝90°，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠B＝90°，根据△AMG≌△ECF得到AM＝EC，进而得到BE＝BM，即可证明四边形BMNE为正方形； ②延长MG交CD于点K，根据正方形的性质得到∠C＝∠B＝90°，∠CEN＝∠KNE＝90°，根据矩形的性质得到CK＝NE＝MN，∠FKG＝∠HNG＝90°，根据全等三角形的性质得到MG＝CF，∠KFG＝∠HGN，进而得到FK＝NG，证明△FKG≌△GNH，得到HN＝KG，即可证明HE+GN＝AB； ③取HE中点O，连接GO，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长EH交AD于P，则四边形AMNP是矩形，得到∠APH＝90°，AP＝MN，根据正方形的性质得到MN＝NE，进而得到AP＝EN，证明△PAH≌△NEG（ASA），得到PH＝NG＝1﹣EH，可知0≤EH≤1，根据GO≥NG得到，即可得到HE的取值范围． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，GM⊥AB， ∴∠C＝∠B＝90°＝∠AMG， ∵AG⊥EF， ∴∠BAG+∠BEG＝360°﹣∠AGB﹣∠B＝180°， ∵∠CEF+∠BEG＝180°， ∴∠BAG＝∠CEF，(2分) 在△AMG和△ECF中， ， ∴△AMG≌△ECF（AAS）；(3分) （2）①证明：∵HE⊥BC，GM⊥AB， ∴∠BEN＝∠BMN＝∠B＝90°， ∴四边形BMNE为矩形，(4分) ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵△AMG≌△ECF， ∴AM＝EC， ∴BE＝BM． ∴四边形BMNE为正方形；(5分) ②证明：如图2，四边形ABCD为正方形，延长MG交CD于点K， ∴∠C＝∠B＝90°． 又∵四边形BMNE为正方形， ∴∠CEN＝∠KNE＝90°． ∵四边形NECK为矩形， ∴CK＝NE＝MN，∠FKG＝∠GNH＝90°，(6分) ∵△AMG≌△ECF， ∴MG＝CF，∠KFG＝∠HGN， ∴FK＝NG， 在△FKG和△GNH中， ， ∴△FKG≌△GNH（ASA）， ∴HN＝KG，(7分) ∴HE+GN＝HN+NE+GN＝KG+MN+GN＝BC＝AB；(8分) ③解：HE的取值范围为．理由如下：(9分) 如图3，取HE中点O，连接GO， ∵∠HGE＝90°， ∴， 延长EH交AD于P， ∴四边形AMNP是矩形， ∴AP＝MN，∠APH＝90°， ∵四边形BMNE为正方形， ∴MN＝NE， ∴AP＝EN， ∵∠BAP＝∠CEP＝90°，∠BAG＝∠CEF， ∴∠PAG＝∠NEG， 在△PAH和△NEG中， ， ∴△PAH≌△NEG（ASA），(10分) ∴PH＝NG＝1﹣EH， ∴0≤1﹣EH≤1， ∴0≤EH≤1，(11分) ∵GO≥NG， ∴， ∴， ∴．(12分) / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.___________ 14. ___________ 10. ___________ 15. ___________ 11. ___________ 16.___________ 12. ___________ 17. ___________ 13. ___________ 18. ___________ 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级下册第6~10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列问题中，（　　）最适合用扇形统计图表示 A．亮亮一天中的体温变化情况 B．第四季度两种饮料的销售量比较 C．牛奶中各种营养成分的含量 D．实验小学六年级的学生人数 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（　　） A．AB＝CD B．AO＝OC C．AC＝BD D．∠DAB＝∠BCD 3．在下列事件中，不可能事件是（　　） A．明天的天气是晴天 B．从只有苹果的袋子中摸出梨 C．任意画一个正方形是轴对称图形 D．篮球运动员投篮一次，正好投中 4．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下列说法不正确的是（　　） A．AD∥BC B．AB＝CD C．AB＝AD D．∠B＝∠C 5．当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 7．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，再将所得结果相加之和等于（　　） A．﹣1 B．2026 C．2027 D． 8．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若，PB＝17．下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③EB＝15；④S△APD+S△APB＝76；⑤．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．若分式的值为零，则x＝　 　 ． 10．如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是2，表明数字2周围的8个位置有2颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为　 　 ． 11．已知x﹣2y﹣4＝0，则x2﹣4xy+4y2的值为　 　 ． 12．已知在一个样本中，将200个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是30，第二组与第三组的频率之和是0.65，那么第四组的频数是　 　 ． 13．如图，在▱ABCD中，∠BAD＝60°，AE、BF分别是∠BAD、∠ABC的平分线分别交CD于点E、F，AE交BF于点O，若AB＝6，BC＝4，则OF的长为　 　 ． 14．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是　 　 三角形． 15．如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，AE，BD相交于点F，连接CF．设∠E＝α，则∠CFE＝　 　 （用含α的代数式表示）． 16．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是　 　 ． 17．观察下列方程：可以发现它们的解分别是①x＝1或2；②x＝2或3；③x＝3或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程（n为正整数）解x＝　 　 ．（用含n的代数式表示） 18．如图在矩形ABCD中，AB＝5，，AE⊥BD，垂足是E，作点E关于AB的对称点F，连接AF、BF．将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到矩形ABCD的一边所在的直线上时，则m＝　 　 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）因式分解： （1）4m2﹣36n2； （2）3x2﹣6xy+3y2． 20．（8分）解方程： （1）． （2）． 21．（8分）先化简，再求值：，请从﹣1，﹣2，2中选择一个合适的x的值代入求值． 22．（8分）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试，如表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 （1）填空：x＝　 　 ，y＝　 　 ，z＝　 　 ； （2）测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是　 　 （精确到0.1）； （3）根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 23．（10分）为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好!为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）：1．你每天的课外阅读时长是_____． A．30分钟以内 B．30分钟～1小时 C.1小时～2小时 D.2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是_____． A．早读前 B．午休时段 C．放学后 D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．） 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时～2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图． （1）扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为　 　 度． （2）本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时～2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图． （3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数． 24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足　 　 时，四边形ADCE是一个正方形． 25．（10分）某商店销售A，B两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 26．（10分）如图，四边形OABC是平行四边形，若点D、E分别是线段CB、OA上一点． （1）当四边形CDAE是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． （2）若点O坐标是（0，0），点A坐标是（10，0），点C坐标是（2，4）． ①请直接写出点B的坐标 ； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 27．（12分）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． （2）已知分式，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． （3）已知分式与Q互为“关联分式”，且“关联值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 28．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不包含端点），AG⊥EF于点G，GM⊥AB于点M，EF＝AG． （1）如图1，求证：△AMG≌△ECF． （2）如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG，MG于点H，N． ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN＝AB； ③若AB＝1，请直接写出HE的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级下册第6~10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列问题中，（　　）最适合用扇形统计图表示 A．亮亮一天中的体温变化情况 B．第四季度两种饮料的销售量比较 C．牛奶中各种营养成分的含量 D．实验小学六年级的学生人数 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（　　） A．AB＝CD B．AO＝OC C．AC＝BD D．∠DAB＝∠BCD 3．在下列事件中，不可能事件是（　　） A．明天的天气是晴天 B．从只有苹果的袋子中摸出梨 C．任意画一个正方形是轴对称图形 D．篮球运动员投篮一次，正好投中 4．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下列说法不正确的是（　　） A．AD∥BC B．AB＝CD C．AB＝AD D．∠B＝∠C 5．当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 7．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，再将所得结果相加之和等于（　　） A．﹣1 B．2026 C．2027 D． 8．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若，PB＝17．下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③EB＝15；④S△APD+S△APB＝76；⑤．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．若分式的值为零，则x＝　 　 ． 10．如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是2，表明数字2周围的8个位置有2颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为　 　 ． 11．已知x﹣2y﹣4＝0，则x2﹣4xy+4y2的值为　 　 ． 12．已知在一个样本中，将200个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是30，第二组与第三组的频率之和是0.65，那么第四组的频数是　 　 ． 13．如图，在▱ABCD中，∠BAD＝60°，AE、BF分别是∠BAD、∠ABC的平分线分别交CD于点E、F，AE交BF于点O，若AB＝6，BC＝4，则OF的长为　 　 ． 14．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是　 　 三角形． 15．如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，AE，BD相交于点F，连接CF．设∠E＝α，则∠CFE＝　 　 （用含α的代数式表示）． 16．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是　 　 ． 17．观察下列方程：可以发现它们的解分别是①x＝1或2；②x＝2或3；③x＝3或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程（n为正整数）解x＝　 　 ．（用含n的代数式表示） 18．如图在矩形ABCD中，AB＝5，，AE⊥BD，垂足是E，作点E关于AB的对称点F，连接AF、BF．将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到矩形ABCD的一边所在的直线上时，则m＝　 　 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）因式分解： （1）4m2﹣36n2； （2）3x2﹣6xy+3y2． 20．（8分）解方程： （1）． （2）． 21．（8分）先化简，再求值：，请从﹣1，﹣2，2中选择一个合适的x的值代入求值． 22．（8分）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试，如表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 （1）填空：x＝　 　 ，y＝　 　 ，z＝　 　 ； （2）测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是　 　 （精确到0.1）； （3）根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 23．（10分）为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好!为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）：1．你每天的课外阅读时长是_____． A．30分钟以内 B．30分钟～1小时 C.1小时～2小时 D.2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是_____． A．早读前 B．午休时段 C．放学后 D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．） 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时～2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图． （1）扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为　 　 度． （2）本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时～2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图． （3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数． 24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足　 　 时，四边形ADCE是一个正方形． 25．（10分）某商店销售A，B两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 26．（10分）如图，四边形OABC是平行四边形，若点D、E分别是线段CB、OA上一点． （1）当四边形CDAE是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． （2）若点O坐标是（0，0），点A坐标是（10，0），点C坐标是（2，4）． ①请直接写出点B的坐标 ； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 27．（12分）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． （2）已知分式，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． （3）已知分式与Q互为“关联分式”，且“关联值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 28．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不包含端点），AG⊥EF于点G，GM⊥AB于点M，EF＝AG． （1）如图1，求证：△AMG≌△ECF． （2）如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG，MG于点H，N． ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN＝AB； ③若AB＝1，请直接写出HE的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C D C A D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．﹣3 10． 11．16 12．40 13．1 14．等腰 15．90°﹣2α 16．k≤2且k≠﹣1 17n+3或n+4 18．3或或 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【解析】解：（1）4m2﹣36n2 ＝4（m2﹣9n2） ＝4（m+3n）（m﹣3n）；(4分) （2）3x2﹣6xy+3y2 ＝3（x2﹣2xy+y2） ＝3（x﹣y）2．(8分) 20．（8分） 【解析】解：（1）， 方程两边同乘2x（x+3），得x+3＝4x， 解得x＝1，(3分) 检验：当x＝1时，2x（x+3）≠0， 所以分式方程的解是x＝1；(4分) （2）， 方程可化为， 方程两边同乘2﹣x，得x﹣1+2（2﹣x）＝1， 解得x＝2，(7分) 检验：当x＝2时，2﹣x＝0，即x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解．(8分) 21．（8分） 【解析】解：（x+1） • ，(6分) ∵x＝﹣1或2时，原分式无意义， ∴x＝﹣2，(7分) 当 x＝﹣2 时，原式0．(8分) 22．（8分） 【解析】解：（1）x＝81÷0.81＝100，y＝249÷300＝0.83，z＝500×0.83＝415，(3分) 故答案为：100，0.83，415； （2）该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是0.8， 故答案为：0.8；(5分) （3）150×0.8＝120（次），(8分) 答：通过计算估计他命中的次数为120次． 23．（10分） 【解析】解：（1）360°×10%＝36°．(2分) 故答案为：36． （2）300×（1﹣15%﹣10%﹣45%）＝90（人）；(4分) (7分) （3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人为： 1500×（1﹣10%﹣15%）＝1125（人），(10分) 答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为1125人． 24．（10分） 【解析】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D， ∴． ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴， ∵∠BAC与∠CAM是邻补角， ∴∠BAC+∠CAM＝180°， ∴， ∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°． ∴四边形ADCE为矩形．(5分) （2）解：当△ABC是直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形， 证明：∵△ABC是直角三角形 ∴∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC ∴，∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD． ∵四边形ADCE为矩形，AD＝CD， ∴四边形ADCE为正方形． 故答案为：直角三角形．(10分) 25．（10分） 【解析】解：设B款吉祥物的单价为x元，则A款吉祥物的单价为（x+20）元， 根据题意列分式方程得，，(5分) 整理得，500x＝10000， 解得x＝20， 检验：当x＝20时，x（x+20）≠0，(8分) 所以x＝20是原分式方程的解， 则x+20＝20+20＝40，(10分) 答：A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 26．（10分） 【解析】解：（1）如图所示，菱形CDAE即为所求； (4分) 设AC，DE交于点G，由作图得，DE垂直平分CA， ∴CD=AD，CE=AE，CG=AG，AC⊥DE， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴CD∥OA， ∴∠CDE=∠AED， 又∵∠CGD=∠AGE， ∴△CGD≌△AGE（AAS）， ∴CD=AE， ∴CD=DA=AE=CE， ∴四边形CDAE是菱形； （2）①∵四边形CDAE是菱形，点A坐标是（10，0）， ∴CB=OA=10， ∵点C坐标是（2，4）， ∴B的坐标为（12，4）； 故答案为：（12，4）；(6分) ②如图，过点C作CF⊥AO， ∴AF=10-2=8， 设AE=CE=x,则EF=AF-AE=8-x, 在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2， ∴（8-x）2+42=x2，(8分) 解得x=5， ∴OE=OA-AE=5， ∴点E的坐标（5，0）．(10分) 27．（12分） 【解析】解：（1）A与B互为“关联分式”，关联值k＝2，理由如下： ＝2，(2分) ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值k＝2；(3分) （2）∵C与D互为“关联分式”，关联值k＝2， ∴ （2x﹣1）（x+2）+M＝2（x2﹣4） 2x2+3x﹣2+M＝2x2﹣8 解得M＝﹣3x﹣6；(4分) 当M＝﹣3x﹣6时，， ，(5分) ∵D为正整数，且x为正整数， ∴当2﹣x＝1时，解得x＝1；(6分) 当2﹣x＝3时，解得x＝﹣1（舍去），(7分) ∴x的值为1； （3）∵P与Q互为“关联分式”，关联值k＝2， ∴， （3x﹣5）+（3﹣mx）＝ 2（x﹣3）， （1﹣m）x＝﹣4， 解得（m﹣1）x＝4，(9分) ∵关于x的方程无解， ∴当m﹣1＝0时，即m＝1，此时方程变为0•x＝4，无实数解，符合要求；(10分) ∵原分式方程的增根为x＝3（使分母为0）， ∴将x＝3代入3（m﹣1）＝4， 3m﹣3＝4， 解得；(11分) 此时整式方程的解x＝3是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数m的值为1或．(12分) 28．（12分） 【解析】（1）证明：∵正方形ABCD，GM⊥AB， ∴∠C＝∠B＝90°＝∠AMG， ∵AG⊥EF， ∴∠BAG+∠BEG＝360°﹣∠AGB﹣∠B＝180°， ∵∠CEF+∠BEG＝180°， ∴∠BAG＝∠CEF，(2分) 在△AMG和△ECF中， ， ∴△AMG≌△ECF（AAS）；(3分) （2）①证明：∵HE⊥BC，GM⊥AB， ∴∠BEN＝∠BMN＝∠B＝90°， ∴四边形BMNE为矩形，(4分) ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵△AMG≌△ECF， ∴AM＝EC， ∴BE＝BM． ∴四边形BMNE为正方形；(5分) ②证明：如图2，四边形ABCD为正方形，延长MG交CD于点K， ∴∠C＝∠B＝90°． 又∵四边形BMNE为正方形， ∴∠CEN＝∠KNE＝90°． ∵四边形NECK为矩形， ∴CK＝NE＝MN，∠FKG＝∠GNH＝90°，(6分) ∵△AMG≌△ECF， ∴MG＝CF，∠KFG＝∠HGN， ∴FK＝NG， 在△FKG和△GNH中， ， ∴△FKG≌△GNH（ASA）， ∴HN＝KG，(7分) ∴HE+GN＝HN+NE+GN＝KG+MN+GN＝BC＝AB；(8分) ③解：HE的取值范围为．理由如下：(9分) 如图3，取HE中点O，连接GO， ∵∠HGE＝90°， ∴， 延长EH交AD于P， ∴四边形AMNP是矩形， ∴AP＝MN，∠APH＝90°， ∵四边形BMNE为正方形， ∴MN＝NE， ∴AP＝EN， ∵∠BAP＝∠CEP＝90°，∠BAG＝∠CEF， ∴∠PAG＝∠NEG， 在△PAH和△NEG中， ， ∴△PAH≌△NEG（ASA），(10分) ∴PH＝NG＝1﹣EH， ∴0≤1﹣EH≤1， ∴0≤EH≤1，(11分) ∵GO≥NG， ∴， ∴， ∴．(12分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/] 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.A][B1[C][DJ 5.[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A1[B1[C1[DJ 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 10. 12. 15 16. 17. 18 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21. (8分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 学生每日课外阅读时长情况的扇形统计图 “1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的 人数的条形统计图 2小时以上：15%30分钟以内：10% 人数个 40 30 24 20 30分钟~1小时： 10 1小时~2小时 45% 10 早读前午休时段放学后其他时间 图1 图2 24.(10分) M A 年N B D C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 26.(10分) C B B 0 A (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（12分) C DF G E H E ◇ h y M y M B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！