2026年中考数学考前20天冲刺讲义（一）

该初中数学中考复习讲义覆盖实数、整式、方程、不等式、统计与概率等核心模块，按“考情透视-考点抢分-真题精研-终极预测”系统架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破运算、推理等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“解题妙法+易错避坑”策略，如用非负性模型秒杀绝对值问题培养推理意识，双统计图综合题训练数据意识，配合分层真题与预测题，确保高效突破。教师可据此把控复习节奏，学生能提升运算能力与应考技巧，实现有限时间内最大化复习效果。

目 录 倒计时20天 ➤实数及其运算………………………………………………………………………………3 聚焦有理数、实数的概念和运算等基础理论，直击实数相关核心知识，“开篇必拿分”板块 倒计时19天 ➤整式、分式、二次根式、因式分解、运算化简…………………………………………17 以基础计算、公式运用、代数式求值为核心考点，中考代数必考内容，题型固定，难度低。 倒计时18天 ➤方程…………………………………………………………………………………………34 聚焦各类方程解法与实际应用，是中考代数中档核心考点，分值占比高，为必抓得分重点。 倒计时17天 ➤不等式………………………………………………………………………………………64 聚焦不等式（组）求解与方案类应用题，题型基础简单，是中考易稳分的基础考点。 倒计时16天 ➤统计与概率…………………………………………………………………………………79 聚焦数据分析和简单概率计算，题型浅显固定，是中考高频送分的独立板块。 倒计时20天 实数运算聚焦基础概念与混合计算，掌握运算顺序、细心规范步骤，放平从容心态，就能稳稳拿下这类基础满分题。 实数及其运算 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： ①正负数：相反意义的量（温度、海拔、收支、涨跌、方向）； ②有理数/无理数辨别：有限/无限循环=有理数；无限不循环=无理数； ③实数与数轴一一对应，数轴上右大左小； ④基础概念：相反数、倒数、绝对值、算术平方根、立方根； ⑤核心运算：加减乘除、乘方开方、零指数、负整数指数幂、科学记数法；⑥性质应用：非负数的性质（绝对值、算术平方根、偶次幂）及其简单应用。 ►中考前沿：①基础概念辨析仍是必考题：有理数/无理数辨别、正负数实际意义、科学记数法，多以选择、填空基础题出现，难度低、题位靠前； ②非负数性质与简单运算结合考查：绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性，常与“和为0”形式结合，出现在选择/填空的中低档题； ③实数混合运算为解答题固定首题：考查乘方、开方、零指数、负指数、特殊角三角函数值的综合运算，侧重步骤规范与计算准确性； ④新情境、新定义类创新题占比提升：以文化背景、跨学科情境为载体，考查无理数估值、实数大小比较，注重数感与估算能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   正数和负数（简单） 1、正数：大于0的数叫做正数；如：…… 2、负数：小于0的数叫做负数；如：…… 终极考点2   实数的分类（简单） 1、有理数：整数与分数统称为有理数；有理数的表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数四种； 有限小数、无限循环小数都属于分数的不同形式。有理数也可以说成可以写成(此处均为整数)； 2、无理数：即无限不循环小数；无理数的表现形式通常有以下四种：开方开不尽的；化简后带有的；无限不循环小数；一些三角函数； 3、实数：有理数与无理数统称为实数； 4、实数按照定义分类 5、按照性质分类 终极考点3   数轴（简单） 1、数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2、实数与数轴关系：实数和数轴上的点一一对应；有理数、无理数都能在数轴上表示。 3、数轴比较大小：数轴上右边的数总大于左边的数；正数＞0＞负数；负数越靠左数值越小。 4、相反数几何意义：互为相反数的两个数，在数轴上位于原点两侧，到原点距离相等。 5、两点间距离公式：数轴上两点距离 = 右边数 − 左边数，或两数差的绝对值。 6、绝对值几何意义：一个数的绝对值，是该数在数轴上对应点到原点的距离。 终极考点4   相反数、倒数、绝对值（简单） 1、相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 （2）基本性质：a 的相反数是 -a，0 的相反数是 0；互为相反数两数和为0：a+b=0⟷a、b 互为相反数； 2、倒数 （1）定义：乘积为1的两个数互为倒数。 （2）基本性质：a(a0) 的倒数是；1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数（高频易错）； 3、绝对值 （1）定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，距离非负。 （2）代数法则：正数的绝对值是本身：|a|=a(a>0)；负数的绝对值是相反数：|a|=-a(a<0)；0的绝对值是0：|0|=0 （3）核心性质：非负性：|a|>0；若|a|=|b|，则a=b 或 a=-b； 终极考点5   平方根、算术平方根、立方根（重点） 1、平方根：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”。 性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 性质：记作，双重非负性：a≥0，≥0； 0的算术平方根是0；只有非负数才有算术平方根。 3、立方根：若 x^3=a，则x 叫做 a 的立方根。记作 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；任意实数都有唯一立方根。 4、中考易混必考区分 （1） 是算术平方根，结果为 4； （2）是平方根，结果为4； （3）平方根看正负两个，算术平方根只取正，立方根唯一不变号。 终极考点6   科学计数法（简单） 1、大数表示（大于10） 方法：小数点向左移动，n= 整数位数减1； 例：320000=3.2×105。 2、小数表示（小于1的很小数） 方法：小数点向右移动，n 为负整数； 例：0.000045=4.5×10-5。 终极考点7   实数混合运算（难点） 1、实数运算的顺序 （1）先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减. （2）同级运算从左到右依次计算， （3）有括号的要先算括号里面的. 实数的运算顺序与有理数相同，有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去（添）括号法则同样适用于实数. 2、实数的大小比较： 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b． 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b； ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b． 倒数比较法：若>，ab>0，则a<b． 作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b； ②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b； ③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b. 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 正数和负数 （2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作．故选：A． 解题妙法 1、大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 2、用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”. 题型二 实数的分类 （2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【详解】解：选项A：是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B：是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C：是整数，属于有理数，且非负数． 选项D：是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 解题妙法 妙法1：看「小数形式」一秒区分 有限小数、无限循环小数 → 一定是有理数；无限不循环小数 → 直接判定无理数 妙法2：带根号数专属判断 根号下能开得尽（、）→ 有理数；根号下开不尽（、、）→ 无理数 妙法3：常见特殊数直接背（中考高频） ✅ 必为无理数：π、含π式子、,,、0.1010010001...（相邻1之间0依次多1） ✅ 必为有理数：0、正负整数、分数、百分数、有限小数、循环小数 妙法4：易混陷阱避坑（扣分重灾区） 带根号不一定是无理数：=3 是整数、有理数；分数一定是有理数：不是分数，是无理数； 无限小数≠无理数：无限循环小数是有理数。 题型三 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 （2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 题型四 相反数 （2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：∵ 相反数的定义是：数的相反数为， ∴ ， ∴的相反数是， 故选：B． 题型五 绝对值非负性 （2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 解题妙法 1、三大秒杀解题模型 模型1：单个绝对值求值 若|A|=0，则A=0 例题：|x-3|=0→x-3=0→x=3 模型2：两个非负数相加 = 0（高频大题） 口诀：非负相加等于0，各自为0必成立 若：|A| + |B| = 0，则：A=0, B=0 拓展万能版（三大非负混搭通用）：|A|+B2+=0 → A=0，B=0，C=0 模型3：绝对值最小值问题 （1）|x|≥ 0，当x=0时，取最小值0 （2）|x-m|，当x=m时，最小值为0 （3）式子：|x-m|+k，最小值就是k 2、中考易错题避坑妙法 （1）不要看到绝对值就以为是正数，绝对值可以等于0 （2）多个非负式子相加为0，必须全部单独等于0，不能互相抵消 （3）化简求值题，先利用非负性求字母，再代入计算 题型六 求一个数的绝对值 （2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：的绝对值是2，故选：D 题型七 求一个数的算术平方根 （2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的算术平方根是，故选：B． 题型八 估算算数平方根的取值范围 （2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 题型九 求一个数的平方根 （2025·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【详解】解： ， ∵a满足，即但， ∴， ∴当时，原式． 题型十 求一个数的立方根 （2025·浙江·中考真题）计算：________． 【答案】2 【详解】解：， 故答案为：2． 题型十一 实数的大小比较 （2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 题型十二 实数运算 （2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【详解】解：． 题型十三 科学计数法 （2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【详解】∵1皮秒秒，∴400皮秒秒．∴秒．故选：A． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·陕西渭南·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：． 2．（2026·河南商丘·一模）的相反数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数是． 3．（2026·福建漳州·一模）计算： 【答案】 【详解】解：原式. 4．（2026·河南新乡·一模）我国人工智能的算力持续突破，某超级计算机单次运算时间约为秒，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 5．（2026·海南·一模）已知，且m是整数，则m的值为________． 【答案】3 【详解】解：，，，即， ∵，且m是整数，∴满足条件的整数． 6．（2026·山东淄博·一模）从实数，，0，，，中，挑选出的两个数都是无理数的为（   ） A．，0 B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：逐个化简判断各数的类型： ∵ ，是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数． ∴只有选项D中的两个数都是无理数． 7．（2026·陕西榆林·二模）计算：（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：． 8．（2026·新疆伊犁·二模）对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③若，则x的取值范围为．其中正确结论_____________（只填写序号）． 【答案】①③ 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， 当时，得； 当时，得，解得； ∴或，故②错误； 当，即时， 不等式为， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 结合，得； 当，即时， 不等式为， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 结合，得； 综上所述，的取值范围为，故③正确； 综上，正确的是①③. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）在实数中，无理数是___________． 【答案】， 【详解】解：， 所以无理数有，． 10．（2026·广东·一模）阅读与思考 【概念理解】 我们将实数“四舍五入”到个位的值记为，其规则定义如下：当为整数时，若，则；若，则．例如，，，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)若，求的取值范围； (3)若关于的分式方程有正整数解，求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，符合， 即， ∴； ∵， ∴， ∴当时，符合， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴该分式方程的解为． ∵该分式方程有正整数解且， ∴， 解得且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由题意得，应为整数， 且满足， 解得． 设（为整数）， 即， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 倒计时19天 整式分式根式稳化简，因式分解巧拆解，冷静审题稳运算，技巧在心，从容应试，步步拿分。 整式、分式、二次根式、因式分解、运算化简 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 本板块是中考数学基础核心必考内容，以基础题为主，分布在选择、填空、计算题，侧重工具性考查。 整式重点考查幂的运算、同类项合并与乘法公式辨析，常以选择题判断正误形式出题。因式分解固定考查“先提公因式，再用公式”两步法，多为填空题与化简前置步骤。 分式高频考查有意义、值为零的限制条件，解答题必考分式混合运算、先化简再求值。二次根式围绕有意义条件、最简根式、根式运算及非负性设题。 中考命题多综合混搭考查，紧扣运算规则、符号细节、分母不为零、分解不彻底等易错点，重解题步骤书写，难度低、分值稳，是保底拿分的关键题型。 ►中考前沿： 整体延续基础为主、稳中求活、重在运算与化简，难度不升、陷阱更细。 整式：仍以幂的运算、乘法公式、化简求值为主，选择题常考正误判断，侧重符号与公式混淆。 因式分解：必考先提公因式、再套公式两步法，填空高频；作为分式、根式化简的前置步骤，隐含考查。 分式：有意义/值为0的条件必出；解答题固定考混合运算+化简求值，强调分母不为0、取值限制。 二次根式：重点考有意义条件、最简根式、=|a|化简，非负性与符号判断是易错点。 综合趋势：融合化更强（因式分解+分式+整式混搭）；情境化少量融入，运算量略增、步骤分更严；不考偏难怪，回归课本与基础能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   整式的运算（简单） 1、整式相关概念 考查：单项式、多项式、整式区分；系数、次数、常数项；同类项判断。 解题方法：不含分母含字母的是整式；单项式次数：所有字母指数和；同类项：字母相同、相同字母指数完全相同，与系数无关。 2、幂的运算（选择高频） 考查：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数、负指数。 解题方法：相乘指数加，相除指数减；幂的乘方：指数相乘；牢记公式不混用，逐项验算，避开指数运算陷阱。 3、整式加减 考查：去括号、合并同类项化简。 解题方法： 括号前是负号，括号内全部变号；只合并同类项，不同类项不能合并；按顺序运算，不乱跳步骤。 4、整式乘法 考查：单×单、单×多、多×多，基础化简。 解题方法：单项式相乘：系数相乘、字母指数相加；多项式乘法：逐项相乘，不重不漏。 5、两大乘法公式（必考） 考查：直接计算、变形化简、求值。 解题方法：平方差：，同方减反方； 完全平方：首尾平方，中间两倍乘积，严防漏中间项、符号错误。 6、整式化简求值 考查：解答题基础大题，固定题型。 解题方法：先化简→再代值→规范计算；不直接硬算，先变形简化运算。 7、高频易错破解 符号优先看、指数不乱算、公式不混淆、去括号必变号，稳步骤、少口算，减少粗心丢分。 终极考点2   分式（简单） 1、分式有意义条件：分母≠0，是选择、填空高频考点。 2、分式值为0条件：分子=0 且 分母≠0，缺一不可，极易丢分。 3、分式基本性质：分子分母同乘、同除不为0的式子，值不变；约分、通分核心依据。 4、约分与通分：约分先因式分解，约去公因式；通分找最简公分母，为加减运算打底。 5、分式四则混合运算：先乘除后加减，有括号先算括号；乘除变乘法、颠倒相乘，步骤规范得分。 6、先化简，再求值：中考计算大题必考，代入数值必须避开分母为0的取值。 7、负整数指数幂结合：分式与负指数互换：，常综合化简。 8、易错陷阱：随意去分母、漏写取值范围、符号错误、约分不彻底。 终极考点3   因式分解（重点） 1、中考必考3大考法 （1）填空基础考：单一或两步分解，直接写结果，必考提公因式、公式法。 （2）化简工具考：分式约分、整式化简、方程求解，必须先因式分解才能做题。 （3）易错陷阱考：分解不彻底、符号出错、漏提公因式，是高频扣分点。 2、万能解题四步法（牢记） （1）一提：优先提取公因式，有公因式必先提。 （2）二套：再套用两个核心公式 平方差： 完全平方 （3）三检查：看是否还能再分解，必须分解到不能再拆为止。 （4）四验号：注意负号、括号符号变化，避免符号错误。 终极考点4   二次根式（重点） 1、有意义条件：被开方数≥0；分式+根式结合，需同时满足：分母≠0、被开方数≥0。 2、最简二次根式判断：根号内无分母、无开得尽方的因数，不含小数分数。 3、二次根式性质（高频易错）：=|a|，化简必看正负；。 4、同类二次根式：化简后被开方数相同，可合并加减。 5、四则运算 加减：先化简，再合并同类根式； 乘除：、；必考分母有理化。 6、非负性综合：，常搭配绝对值、平方，利用「几个非负数和为0，则每项都为0」解题。 7、大小估算、化简求值：常结合代数式化简、代入计算，侧重符号与取值范围陷阱。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 用代数式表示数、图形的规律 （2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 题型二 单项式规律题 （2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 题型三 图形类规律探究 （2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且，为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形，， 此时点在点的正北方． 故选：D． 题型四 整式的加减 （2025·四川雅安·中考真题）已知：和是同类项，则______． 【答案】/ 【详解】解：∵和是同类项，∴，，解得：，∴． 解题妙法 1、四大解题妙法 （1）同类项快速判定法：字母一样、相同字母指数完全相同，只看字母不看系数；不是同类项，坚决不合并。 （2）去括号万能法则：括号前是加号：括号里符号全不变；括号前是减号：括号内每一项全部变号； 有数字系数：先把系数乘进去，再去括号，防止漏乘 （3）分组归类法 多项式子先划线分组：同类项划同一种标记，分开计算，不乱项、不漏项，条理清晰，不容易算错。 （4）合并同类项最简技巧：只算系数加减，字母和指数原样照搬；正负号优先计算，先定符号，再算数值，杜绝符号错误。 2、中考避坑绝招 （1）多层括号：先去小括号，再去中括号，层层拆解 （2）负数、负系数重点盯，是90%扣分源头 （3）化简求值题：先化简、后代数，绝不直接硬代硬算 题型五 整式的乘除 （2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【详解】解：（）， 因为，所以． （）解：， 由得， 将代入，得，解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 解题妙法 1、幂的运算（选择必考·秒杀口诀） 同底数幂相乘：底数不变，指数相加；同底数幂相除：底数不变，指数相减；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：分别乘方，再相乘 ✅ 妙法：做题先看「底数」，底数不同不能乱运算；选择题逐项排除，杜绝公式混用。 2、单项式乘除（快速算法） 乘法：系数相乘，同字母指数相加 除法：系数相除，同字母指数相减 ✅ 妙法：系数、字母、指数分开算，三部分单独运算，互不干扰，不易错。 3、单项式×多项式（防漏项） ✅ 妙法：括号外的式子，依次乘括号内每一项，有负号先标负，先定符号、再算数，杜绝漏乘、少项。 4、多项式×多项式（不乱项） ✅ 妙法：首尾逐项交叉乘，按顺序：第一项乘后面全部 → 第二项乘后面全部，写完再合并同类项，不跳步、不跳项。 5、两大乘法公式（化简核心） ✅ 避坑：完全平方千万别漏中间2ab项，负号平方变正。 6、多项式÷单项式 ✅ 妙法：分开除、分别算，多项式每一项，单独除以单项式，最后合并结果，简单不易乱。 题型六 乘法公式 （2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ，，，， 将两式相加得， ，，， ，解得：， ，故答案为：． 题型七 因式分解 （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 解题妙法 1、第一步：优先提公因式 不管什么题，有公因式必先提。找系数最大公因数、相同字母最低次，提干净，不留余因式。 2、第二步：套用两大公式 提完公因式，立刻判断形式： 平方差：两项、平方、异号 完全平方：三项、首尾平方、中间两倍积 3、第三步：符号巧处理 首项为负，先提负号；括号内变号，统一顺序，避免正负混乱。 4、第四步：彻底分解检查 中考必考分解彻底，分解完再看一遍：还能提公因式、还能套公式，必须继续拆。 题型八 分式有无意义的条件 （2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ，∴ ，故选： A． 题型九 分式值为0的条件 （2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【详解】解：由题意，得：且，解得：；故选A． 题型十 分式的值 （2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 题型十一 分式的运算 （2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式； 当时，原式． 题型十二 二次根式有意义的条件 （2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：使二次根式有意义，则，解得，故选：A． 题型十三 二次根式的混合运算 （2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【详解】（1）解：； （2）解：． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·吉林松原·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式， 当时，原式． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）计算和化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 4．（2026·安徽阜阳·二模）若，是方程的两个根，则______________． 【答案】 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得，， ． 5．（2026·广东江门·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：， A错误， B选项：， B错误， C选项：， C错误， D选项：， D正确． 6．（2026·湖南长沙·一模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 7．（2026·福建泉州·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式； 将代入，原式 8．（2026·山东济宁·一模）若有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】 【详解】要使有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， 可得， 解得：． 9．（2026·山东临沂·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 10．（2026·山东淄博·一模）计算、化简并求值 (1) (2)先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】(1)4 (2)，当时，原式 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； ∵， ∴， ∴当时，原式． 11．（2026·重庆南岸·模拟预测）我们规定：一个四位数，若满足，且各个数位上的数字均不为零，称这个数为“九九数”．例如：四位数8136，因为，所以8136是“九九数”．按照这个规定最大的“九九数”是________，一个“九九数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记．再将的千位数字放到个位数字之后得到，将的个位数字放到千位数字之前得到，记．若是完全平方数，且是整数，则满足条件的的值是________． 【答案】 【详解】解：∵，且各个数位上的数字均不为零， ∴，最大为，，d相应为，∴最大的“九九数”是； ∵，∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是完全平方数，且各个数位上的数字均不为零， ∴为或，即为或， ∵，∴， ∵， 当，时，不是整数，不符合题意； 当，时，是整数，符合题意，这时的值为； 当，时，不是整数，不符合题意； 当，时，不是整数，不符合题意； 当，时，不是整数，不符合题意； 当，时，不是整数，不符合题意； ∴满足条件的的值为． 12．（2026·安徽池州·二模）【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1．；② (2)55 (3)754 【详解】（1）解：①观察图2可发现规律： 第2行：1，2，1，是中字母的系数， 第3行：1，3，3，1，是中的字母的系数， ∴第n行是的字母的系数， ∴第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1． ②∵第n行是的字母的系数， 数之和可以看作时的值， 即第100行的数之和用幂可以表示为． （2）观察图3可得： 第7条斜线经过的数之和为， 第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 第10条斜线经过的数之和为． （3）观察长方形①，长方形②，长方形③，长方形④的周长的规律： 前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长， ∴序号为⑤的长方形周长为， 序号为⑥的长方形周长为， 序号为⑦的长方形周长为， 序号为⑧的长方形周长为， 序号为⑨的长方形周长为， 序号为⑩的长方形周长为， 序号为⑪的长方形周长为． 倒计时17天 稳抓方程步骤、规范运算细心，放平心态从容落笔，步步推演便能稳拿满分。 方程 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 方程包含一元一次、二元一次方程组、一元二次、分式方程，为中考基础必考内容。 选择填空常考方程解、参数求值、根的判别；解答题直接考查解方程、方程组。 分式方程必考求解加增根检验；一元二次方程侧重多种解法灵活选用。 高频结合工程、利润、增长率等实际场景，考查列方程建模解题。 整体设问常规、难度适中，侧重步骤规范、细心计算，稳住心态即可稳拿分。 ►中考前沿： 2026年中考方程命题整体稳中求新，以基础考查为主，兼顾应用与简单综合。基础题型会集中考查一元一次方程、二元一次方程组的求解与参数计算，一元二次方程重点考查多种解法、根的判别式及简单根系关系。分式方程仍是必考内容，着重考查解方程与增根检验，强化细节规范。应用题结合生活实际，围绕利润、工程、增长率、行程等经典情境设问，考查列方程建模能力。同时会小幅融入跨知识点综合，结合不等式、简单几何与函数基础内容命题。整体难度适中，设问贴合课本，注重运算准确率、解题步骤和实际意义检验，弱化偏难题，侧重核心基础与学以致用的考查。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   一元一次方程（简单） 1、一元一次方程定义 满足4个条件才是： ① 只有一个未知数； ② 未知数最高次数是1； ③ 方程两边都是整式（分母不能有未知数）； ④ 未知数前面的系数不等于0。 常考题型：给一串式子，判断哪个是一元一次方程；含字母参数，求m、a的取值。 2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 考法：已知x=3是方程的解，代入式子求参数。 3、等式的基本性质（解方程依据） 性质1：等式两边同时加、减同一个数或式子，等式不变。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以不为0的数，等式不变。 易错：两边不能同时除以0，含字母除法要注意讨论。 4、一元一次方程解方程核心考点（计算必考） （1）去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数； 关键点：不含分母的常数项也要乘，容易漏乘扣分。 （2）去括号：运用乘法分配律；括号前是负号，括号内每一项都要变号。 （3）移项：把含未知数的项移左边，常数项移右边； 口诀：移项必须变号，不移不变号。 （4）合并同类项：化简，统一化成最简形式：ax=b。 （5）系数化为1：两边同时除以未知数系数，算出 。 5、含参数一元一次方程考点（选择填空高频） （1）已知方程的解，求字母的值 解题方法：把解直接代入原方程，变成普通一元一次方程，求出字母。 （2）方程有唯一解、无解题型 最简式 ax=b ① a≠0，有唯一解； ② a=0，b≠0，方程无解； ③ a=0，b=0，无数个解。 6、一元一次方程实际应用题（中考大题重点） 所有应用题统一思路：审题→找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验→答题 中考常考7大类： （1）和差倍分问题：多、少、几倍、一共、剩余，找加减倍数关系； （2）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. （4）利润折扣问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； （5）分段计费：水费、电费、打车费、套餐收费，分段分别计算； （6）配套问题：零件配套、桌椅配套，按比例列等量； （7）几何应用：线段长度、角度计算、周长面积，利用几何公式列方程。 终极考点2   二元一次方程组（重点） 1、二元一次方程组定义：含两个未知数；未知数最高次数都是1；都是整式方程，不含分母带未知数、不含平方。 常考：判断是不是二元一次方程组、改错。 2、方程组的解：同时满足两个方程的一对 x、y； 考法：给一组数，判断是不是解；已知解，代入求参数。 3、核心计算考点（必考） （1）代入消元法 适用：有一个方程里，x 或 y 系数为±1，好变形。 步骤：变形用一个字母表示另一个→代入另一个方程→变成一元一次方程→求解。 （2）加减消元法 适用：同一个未知数系数相同或互为相反数。 步骤：同系数相减、反系数相加→消掉一个未知数→变一元一次方程。 4、含参数题型（选择、填空高频） （1）已知方程组的解，求字母 m、n、k 方法：把解直接代入方程组，得到新二元一次方程，求参数。 （2）同解方程组问题 两个方程组解相同：先联立不含参数的两个方程，先求出 x、y，再代回去求参数。 （3）看错系数问题：看错一个系数，但解满足没看错的方程，代入计算即可。 终极考点3   一元二次方程（难点） 1、一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏前面的性质符号。 2、一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：形如或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为（a≠0）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． （3）公式法：把（-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出-4ac的值（若-4ac＜0，方程无实数根）；在-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②-4ac≥0． （4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 3、一元二次方程根的判别式： 利用一元二次方程根的判别式（△=-4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的根与△=-4ac有如下关系： （1）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； （3）当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 4、一元二次方程根与系数的关系： （1）若二次项系数为1，常用以下关系：， 是方程+px+q=0的两根时，+ =-p， =q 反过来可得p=-（+ ），q= ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的两根时， 反过来也成立，+ =—， = （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 5、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 终极考点4   分式方程（重点） 分式方程的重要特征：含有分母；分母中含有未知数；是方程 分式方程的解法 （1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式; （2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程;3)解整式方程; （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母 3、与分式方程有关应用题的常见类型 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 已知一元二次方程的解，求参数 （2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 题型二 等式的性质 （2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】五 【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． ∴对于等式； 当时，该等式恒成立； 当，两边同时除以，得； ∵，∴∴上述推理过程中，第五步是错误的； 故答案为：五． 题型三 解一元二次方程 （2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则__________． 【答案】4 【详解】解：∵关于的方程的解为，∴，解得：，故答案为：4． 题型四 销售问题（一元一次方程的应用） （2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：，解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：，解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 解题妙法 1、核心公式 （1）单件利润 = 售价 − 进价（2）售价 = 标价 × 折扣（3）总利润 = 单件利润 × 销售数量 2、万能解题妙法 （1）先抓三个量：进价、售价、销量，缺哪个就设哪个为 x。 （2）固定等量关系：题目只要问总利润、盈利、亏损，统一用：（售价-进价）×销量 = 总利润 （3）涨价/降价套路：涨价→销量减少；降价→销量增加， 先写清楚：变化后的单价、变化后的数量，再列方程。 （4）遇折扣先换算：八折=0.8、八五折=0.85，先算实际售价，再列式。 3、避坑妙招 （1）分清进价和标价，不要混为一谈；（2）折扣只乘标价，不乘进价； （3）方程解完，价格、数量必须是正数，不合理直接舍去。 题型五 数字问题（一元一次方程的应用） （2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 【答案】1 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ．故答案为：1． 题型六 几何问题（一元一次方程的应用） （2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 【答案】(1)55 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴机器人乙运动的路线长为， 故答案为：55； （2）解：根据题意，得， ∵中，，为中点， ∴， ∴，， ∴，， 当点Q在上时，， ∴，解得， 当点Q在上时，作，垂足为H（如图）， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当时，， 此时，， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时，由，得， 解得． 当点Q在上时，由，得， 解得． ∴或． 题型七 和差倍分问题（一元一次方程的应用） （2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 题型八 行程问题（一元一次方程的应用） （2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 解题妙法 1、核心基础公式（全程通用） 路程=速度×时间 变形：速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 2、三大经典题型+秒杀等量关系 （1）相遇问题（面对面走） 妙招：路程相加=总路程；甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地总距离 （2）追及问题（同向走） 妙招：路程相减=初始距离；快者路程 − 慢者路程 = 一开始相差的距离 （3）航行/流水问题 顺水更快，逆水更慢；顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 − 水速 3、通用解题步骤（考试直接套） （1）设：一般设时间 或 速度为 x （2）表：用含 x 的式子，分别表示两个人的路程 （3）找：相遇求和、追及求差，锁定等量 （4）列：套路程公式列一元一次方程 （5）解+答 4、高分避坑妙招 （1）单位统一！千米/小时、米/分钟必须换算一致 （2）同时出发：时间相等；不同时出发：要算时间差 （3）往返、中途停留：单独减去停留时间 （4）画图解题：草稿纸上画线段图，一眼看清路程关系，不容易错 题型九 古代问题（一元一次方程的应用） （2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ，解得：，故答案为：B． 题型十 其他问题（一元一次方程的应用） （2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 题型十一 二元一次方程组的相关概念 （2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 题型十二 解一元二次方程组 （2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 【答案】1 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 题型十三 方案问题（二元一次方程组的问题） （2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 题型十四 行程问题（二元一次方程组的问题） （2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． 题型十五 销售、利润问题（二元一次方程组的问题） （2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 题型十六 由一元二次方程的定义求参数 （2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十七 由一元二次方程的解求参数 （2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 题型十八 解一元二次方程 （2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型十九 增长率问题（一元二次方程的问题） （2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 题型二十 动态几何问题（一元二次方程的问题） （2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 题型二十一 分式方程的解（一元二次方程的问题） （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 题型二十二 分式方程的工程问题 （2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 题型二十三 分式方程的经济问题 （2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·江苏泰州·一模）若二元一次方程组的解为，则的值为____． 【答案】 【详解】解：二元一次方程组的解为，， 则①②得，． 2．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)①；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：，解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 3．（2026·广东佛山·模拟预测）某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意得． 4．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 5．（2026·上海静安·二模）如图，中，点D在边上，，，，那么的值等于______． 【答案】１ 【详解】解：∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 方程两边同除以，， ∴． 6．（2026·上海黄浦·二模）解方程组： 【答案】， 【详解】解： ，由分式分母不为0，得， ②可化为： ， 将①代入，得 ，解得：③， 由①得，代入③得：， 整理得：， 因式分解得， 解得或， 代入①求并检验，时，；时，，两组解都满足原方程， 因此，是原方程组的解． 7．（2026·上海松江·二模）一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是，5小时后水池的水量是，那么8小时后水池的水量是________． 【答案】50 【详解】解：设水池内原有的水量为x，则1小时注入水量为， 解得， 8小时后水池的水量是． 8．（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【答案】10000枚 【详解】解：设这批纪念章一共有枚， 根据题意可得， 解得：， 答：这批纪念章一共有枚． 9．（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 10．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【答案】9 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴． 11．（2026·江苏扬州·一模）“鹅嘟嘟”是2026年江苏省城市足球联赛吉祥物“苏嘟嘟”家族中代表扬州队的专属形象．甲、乙两人现同时加工“鹅嘟嘟”，乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同．请问甲每小时加工多少件“鹅嘟嘟”？ 【答案】甲每小时加工50件 【详解】解：设甲每小时加工x件， 根据题意得： 解得， 经检验：是原方程的解 答：甲每小时加工50件． 12．（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元. 【详解】（1）解：由题意得，新能源车满电总费用为（元）， 续航里程为千米， 因此新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：化简燃油车每千米行驶费用：， 根据题意列方程得：， 整理得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用为（元）， 新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.12元． 倒计时17天 吃透不等式移项变号、端点取舍的解题细节，稳住细心沉稳的应考心态，步步严谨，便能稳稳拿下每一分。 不等式 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 中考数学不等式为核心基础考点，分值稳定在6至10分，题型分布全面。选择填空侧重不等式性质辨析、解集判断与参数取值；解答题必考一元一次不等式组求解、数轴表示解集、求特殊整数解。命题注重基础运算，聚焦移项变号、边界取舍等易错点，常结合生活实际考查方案选择、最值应用。同时逐步强化综合考查，联动一次函数、方程结合出题，侧重考查数形结合、分类讨论思想，题目难度梯度分明，基础题为主，少量中档综合题拉开差距。 ►中考前沿： 2026年不等式命题整体延续稳定风格，立足基础、贴合课标。基础题型仍是考查重点，不等式组计算、数轴标注、整数解探究为必考题型。应用题会贴近生活场景，围绕购物消费、资源分配、规划方案等情境命题，考查建模解题能力。综合题型会加大融合力度，频繁结合一次函数、二元方程考查参数范围与最值问题。命题更注重细节陷阱，强化负数变号、端点虚实等易错考查，侧重考查严谨审题与规范作答，稳中适度提升综合性与实际应用能力考查。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   不等式的基本性质（简单） 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 若a＞b，则a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 终极考点2   解一元一次不等式（简单） 解一元一次不等式的一般步骤是： 1、去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 2、去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 3、移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 4、合并同类项。 5、将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 6、有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 终极考点3   解一元一次不等式组（简单） 1、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。 2、由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大小小取不到。 3、一元一次不等式组的解法： 第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。 终极考点4   一元一次不等式的应用（重点） 1、找不等关系（核心考点） 重点抓取题目关键词：至少、至多、不超过、不少于、不低于、最多、最少、剩余、不足等，区分等式与不等式，准确列出不等式子，是解题第一步关键。 2、常见五大必考应用题型 分配问题：物品分配、人员调配，根据“分不完、不够分”列不等式； 购物销售问题：商品打折、预算限制、成本控制、利润下限，结合总价、单价、数量关系列式； 方案选择问题：两种优惠方案、两种采购方式，通过不等式求取值范围，对比选出最优方案； 工程与行程问题：工作效率、完成时间限制，行驶速度、行程约束类实际问题； 生活实际问题：环境整治、垃圾分类、校园活动、租车住宿等现实情境应用题。 3、取值限制必考细节 实际问题中，人数、物品数量、车辆数均为正整数；求出不等式解集后，必须结合实际取舍，筛选合理整数解，这是高频扣分点。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 不等式的性质 （2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 解题妙法 1、先看正负，再定符号：做题先判断乘除的数是正还是负，正数直接算，负数立刻变号，杜绝低级错误。 2、系数化1，紧盯符号：解不等式最后一步系数化为1，只要未知数系数是负数，一定反向。 3、比较大小，巧用赋值法：选择填空里判断不等式变形对错，直接代数字举例验证，快速排错。 4、连号传递，直接套用：若 a>b，b>c，则 a>c，连续不等关系直接递推。 题型二 求一元一次不等式的整数解 （2025·山东东营·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】（1）；（2）， 【详解】解：（1）原式； （2） ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，，，3，，， 当时，原式． 解题妙法 1、核心秒杀妙招 （1）先求解，再圈数：不解完解集，绝不乱猜整数，一步一步算，避免漏解、多解。 （2）数轴大法最稳妥：看不清范围就画数轴，直观清晰，大小边界一目了然，杜绝看错。 （3）边界判断口诀：大于往右找，小于往左找；空心取不到，实心能取到。 （4）限定词重点盯牢:非负整数解：0、1、2、3……;正整数解：1、2、3……;最大整数、最小整数：紧贴边界就近取值. 2、高频易错避坑 （1）忘记不含等号取不到边界数； （2）求非负整数，漏掉数字0； （3）不等式系数为负，忘记变号，导致整个解集方向写反。 题型三 求一元一次不等式的最值 （2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 题型四 用一元一次不等式解决实际问题 （2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东东莞·一模）不等式组的解集是________ 【答案】 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得； 解不等式 ， 移项得； 可得不等式组的解集为． 2．（2026·广东·一模）阅读与思考 【概念理解】 我们将实数“四舍五入”到个位的值记为，其规则定义如下：当为整数时，若，则；若，则．例如，，，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)若，求的取值范围； (3)若关于的分式方程有正整数解，求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，符合， 即， ∴； ∵， ∴， ∴当时，符合， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴该分式方程的解为． ∵该分式方程有正整数解且， ∴， 解得且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由题意得，应为整数， 且满足， 解得． 设（为整数）， 即， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 4．（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：，是直线 上的两点，且， 随的增大而减小 根据一次函数的性质可得 解得 5．（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：联立两个一次函数解析式得 令，解得， 即两函数交点的横坐标为， 一次函数中，，随增大而增大，一次函数中，，随增大而减小， 当大于交点横坐标时，， 又当时，， ， 不等式两边同乘得：， 移项得：． 6．（2026·上海崇明·二模）不等式组的解集是__________． 【答案】 【详解】解： 解不等式①， 移项得 ， 不等式两边同乘，得 . 解不等式②， 移项得 ， 合并同类项得 ， 不等式两边同除以，得 . 根据不等式组解集的确定规则可得原不等式组的解集为. 7．（2026·辽宁盘锦·一模）某水果店购进苹果和香蕉两种水果共100千克，其中苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元．已知总进价不超过380元．设购进苹果x千克． (1)根据题意列出不等式，并求出x的取值范围； (2)若苹果售价为6元千克，香蕉售价为4元千克，且全部售出，求总利润y（元）与x的函数关系式，并求当x为何值时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)不等式为，的取值范围是 (2)函数关系式为，当时总利润最大，最大利润为180元 【详解】（1）解：设购进苹果千克，则购进香蕉千克， ∵苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元，总进价不超过380元， ∴ 解得， ∵， ∴的取值范围是； （2）解：由题意得，苹果每千克利润为（元），香蕉每千克利润为（元）， ∴总利润为， 一次项系数， 随的增大而增大． ， 当时，取得最大值． 将代入函数得：（元）， 答：当为80时总利润最大，最大利润是180元． 8．（2026·陕西渭南·一模）2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭成功将8颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，购入A、B两种火箭模型共200件，这两种火箭模型每件的进价和售价如下表所示： A种模型 B种模型 进价（元/件） 50 60 售价（元/件） 80 100 设购入A种火箭模型x件，所购进的两种火箭模型全部卖出后获得的总利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若购入A、B两种火箭模型的总费用不超过11200元，那么该网店如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)（，为非负整数） (2)购进A种模型80件，B种模型120件时获利最大，最大利润为7200元 【详解】（1）解：由题意可知，购入A种火箭模型件，则购入B种火箭模型件， 根据题意得：， 整理得：， 因此，w与x之间的函数关系式为：（，为非负整数） （2）解：由题意得， 整理得：， 解得：， 由（1）知，则， 在函数中， 由于， 则随的增大而减小， 当时，取得最大值，即最大利润为元， 此时件， 答：购进A种火箭模型80件，B种火箭模型120件时获利最大，最大利润为7200元． 9．（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 若时，方程化为，无解，故； 当时， ∵ 方程的根在和之间，∴ ∴， ∵为正数，∴∴ ． 10．（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：为的中点， ． ∵矩形和面积相等， ， ， ． ，， ．． （2）解：∵矩形和面积相等， ． 当时，． （3）解：∵每作为1个面积单位， ∴为30个面积单位． 方案一每年净收入：（元）， 方案二每年净收入：（元），则，解得． 倒计时16天 深耕统计概率基础题型，理清图表分析、概率计算的解题逻辑，保持冷静细致、沉稳审题的应考心态，稳扎稳打，从容拿下每一分。 统计与概率 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 统计与概率为中考高频基础考点，分值约8至12分，题型覆盖选择、填空与解答题，整体难度偏低，是必稳拿分模块。统计侧重结合生活情境命题，重点考查平均数、中位数、众数、方差的计算与意义，常结合条形、扇形、折线统计图，考查读图、补全图表、提取数据分析问题。概率以简单随机事件为主，多运用列表法、树状图计算概率，判断事件可能性大小。命题注重基础应用，贴合实际生活，考查数据整理、分析与逻辑推理能力，题型固定、套路清晰，极少出现难题，重在细心审题、规范答题。 ►中考前沿： 2026年中考统计与概率命题将稳中微变、素养导向、情境化更强，分值约8–12分，仍为必拿分模块。选择填空侧重统计量辨析、事件分类、一步概率；解答题必考双统计图（条形+扇形）综合，含补图、样本估计总体、中位数/众数/方差计算，搭配列表/树状图求两步概率。命题贴近校园、环保、科技等真实场景，强化数据分析与建模能力，减少机械计算，重视逻辑规范。难度以基础、中档为主，无偏题怪题，强调“读懂情境→提取数据→建模求解”的完整思维，初高衔接特征略增。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   总体、个体、样本及样本容量（简单） 分类 概念 注意事项 总体 所要调查对象的全体对象叫做总体. 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 个体 总体中的每一个考察对象叫做个体. 总体包括所有的个体. 样本 从总体中抽取的部分个体叫做样本. 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目称为样本容量.（无单位） 一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确. 终极考点2  几种常见的统计图 （重点） 统计图 图形 优点 缺点 常见结论 条形统计图 能清楚看出每个项目的具体数量，便于直观比较数量的多少。 不能清楚反映数据变化趋势，不能看出各部分占总体的百分比。 各组数量之和=总数 扇形统计图 能清楚表示各部分数量占总体的百分比，反映部分与整体的关系。 不能表示具体数量，无法直接看出数据的增减变化。 各部分百分比之和=100%； 各部分圆心角的度数=相应百分比×360° 折线统计图 能清楚反映数据的变化趋势、增减变化情况。 不容易直观比较各数据具体数量，难以看出部分与整体的关系。 各种数量之和=样本容量 频数分布直方图 能直观反映数据的分布情况、数据集中与分散范围，看清各组频数多少。 看不出每一个具体数据，不能快速对比单个数据大小。 各组数量之和=样本容量; 各组频率之和=1; 数据总数×相应的频率=相应的频数 终极考点3  数据分析 （重点） 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 中考常考：成绩打分、比赛评分、百分比权重。 注意：若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数；权重越大，对结果影响越大。 中位数 定义：先从小到大排序；奇数个数据：取最中间的那个数；偶数个数据：取中间两个数的平均数。 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 注意：可以有多个众数；一定是原数据，不是次数 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 必考题型：甲乙两人成绩对比，选方差小的更稳定 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 注意：极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 补充：标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 终极考点4  概率 （重点） 1、事件的分类（选择题高频考点） （1）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；概率P=1。 举例：太阳从东方升起、三角形内角和180°。 （2）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；概率P=0。 举例：掷骰子点数为7、水中捞月。 （3）随机事件（不确定事件）：可能发生，也可能不发生的事件；概率0<P<1。 举例：抽奖中奖、掷硬币正面朝上。 2、两大核心解题方法（大题必考，书写有分） （1）列表法 适用：两步随机试验，数字少、规则整齐 优点：清晰、不易漏数 局限：三步及以上不好用 （2）树状图法（中考万能） 适用：两步、三步及以上所有随机试验 答题规范：分层画图；列出所有结果；数出总结果、符合条件结果；代入公式计算。 3、重中之重：放回 vs 不放回 （1）放回试验：抽完一次，物品放回去，总数量不变，可以重复选取。 例：摸球后放回、两次掷骰子。 （2）不放回试验：抽完不放回，总数量减少，不会重复选取。 例：连续抽两张卡片、依次摸两个球。 终极考点5   频率与概率（重点） 1、频数：某个事件实际出现的次数 2、频率：频率 = 频数÷试验总次数 3、概率：理论固定值，不会变 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 用样本估计总体 （2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（   ） A．3000 B．4000 C．6000 D．60000 【答案】A 【详解】解：（条）； 故选：A． 题型二 条形统计图 （2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解 【详解】（1）解：依题意，， 即甲的一般成绩有次， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：乙参加跳远比赛较为合适， 理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少， ∴乙参加跳远比赛较为合适． 解题妙法 1、缺谁算谁 条形图只要少一组数据，直接：缺失数量 = 总数 - 已知各组数量之和 不用复杂计算，一步出答案。 2、条高=数量 柱子越高，数量越多；柱子越矮，数量越少。 比较多少、找最多/最少，直接看柱子高低。 3、条形+扇形联动秒杀 条形找：具体数；扇形找：百分数；两者结合，第一件事：先算总数，后面所有问题全通。 4、看清横轴、纵轴 横轴：分类（项目、组别、时间） 纵轴：数量、人数、频数 题型三 扇形统计图 （2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】(1)60 (2)85，36 (3)900 【详解】（1）解：由题意得：（名）．答：一共抽取60名学生． （2）解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ；故答案为85，36． （3）解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 解题妙法 1、 找突破口：扇形图只有百分比，一定要找：已知具体人数 + 对应百分比，先算出总数量。 2、求未知百分比：所有部分百分比相加 = 100%；未知百分比 =1 - 其他所有百分比之和 3、求圆心角：算出占比后，直接 × 360°，大题必考题 4、求具体人数：总人数 × 对应百分比 = 该部分人数 5、样本估计总体：全校/全市总数 × 样本里的百分比 = 估算人数 题型四 折线统计图 （2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）． (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． 【答案】(1)①抽样调查；②见解析 (2)①B；②见解析 【详解】（1）解：①∵图1中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果， ∴疾控中心收集数据，采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查； ②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级有所下降； （2）解：①观察条形统计图可以看到，B选项长时间连续用眼的有887人，人数最多， ∴从图2中可知，影响视力的最主要因素是B选项长时间连续用眼．故答案为：B； ②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长时间连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，用眼一段时间要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠时间． 题型五 选择合适的统计图 （2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势； ∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图； 故选：C． 题型六 频数分布直方图 （2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，见解析 (2)4 (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人，则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内，故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 解题妙法 妙法1：百分比互补法：整圆是100%，缺的那一块百分比，直接用减法算，不用复杂列式。 妙法2：角度快速判断：一半：180°占50%；四分之一：90度占25%；看角度大小，就能快速判断占比多少。 妙法3：扇形+条形 联动绝招：条形图→给具体人数；扇形图→给百分比 先总数，后一切，只要算出总人数，求角度、求人数、补全图表全部搞定。 妙法4：无具体数，绝不单独算 单独一个扇形图，算不出具体多少人，题目一定搭配条形图、表格给数据。 题型七 加权平均数 （2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分）， 故答案为：． 题型八 数据的集中趋势 （2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 【答案】(1)105；110 (2)图象见解析 (3)480 【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数； 中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110， 故答案为：105，110； （2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本， 由（1），可知这一组共有15个样本， 由题意可知，样本总量为50， 故这一组共有个样本， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次， ∴（人） 故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480． 题型九 方差 （2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【详解】解：甲的平均数为：， ∴； 乙的平均数为：， ∴， ∵， ∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 题型十 极差 （2025·四川成都·中考真题）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； (2)求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】(1)10分 (2)，，平台A的服务态度更好； (3)该公司会选择平台B 【详解】（1）解：分， 即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分； 故答案为：10 （2）解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好； （3）解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B． 题型十一 随机事件与概率 （2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：． 题型十二 用列举法求概率 （2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． (1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； (2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【答案】(1) (2) （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， 取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． （2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 题型十三 用频率估计概率 （2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东深圳·一模）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从表格数据可知，当抛掷次数达到次及以上时，“正面朝上”的频率稳定在， 故抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 2．（2026·浙江·模拟预测）甲、乙两名射击运动员在一次训练中各射击5次，成绩统计如下：已知乙成绩的方差为，则对甲、乙射击成绩的稳定性判断正确的是（   ） A．甲的射击成绩更稳定 B．乙的射击成绩更稳定 C．甲、乙射击成绩稳定性相同 D．无法比较两人的射击成绩稳定性 【答案】A 【详解】甲的成绩为，，，，， 根据平均数的定义可得， 方差为：， ∵ ∴， 根据方差的性质，方差越小成绩越稳定，所以甲的成绩更稳定． 3．（2026·安徽阜阳·二模）在如图所示的电路中，有4个开关，，，，3个灯泡，，和电源以及导线若干，已知该电路所示元件都能正常工作，任意闭合两个开关，灯泡能正常发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：现有4个开关，任意闭合两个开关，列表如下： — — — — 共种等可能的结果． 根据电路结构，要使正常发光，电流需要经过形成通路，必须满足闭合，且、、其中的一个闭合，符合条件的组合为，，，，，共6种结果， ∴． 4．（2026·湖南长沙·一模）在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解：将这组数据从小到大排列得： 6，7，7，7，8，9，9 则该组数据的中位数为． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)请通过计算把频数分布直方图补充完整； (3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】(1)在这次调查中，一共抽取了50名学生 (2)见解析 (3)估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数为450人 【详解】（1）解：（名） 答：在这次调查中，一共抽取了50名学生． （2）解：（名）， 频数分布直方图如下： （3）解：，（人）． 答：估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数为450人． 6．（2026·辽宁·模拟预测）暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位里参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级里的部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩（成绩均为整数）进行分析比较，并决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 【信息一】甲班本次考试成绩统计图如下： 【信息二】乙班本次考试情况统计如下表： 平均分 中位数 众数 最高分 90 89.5 94 98 【信息三】甲、乙两班方差如下表： 12.1 35.4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次考试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，选取的甲班学生成绩的中位数是 分，并补全条形统计图； (2)本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为多少分？ (3)通过本次考试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 【答案】(1)20，88，图见解析 (2)90分 (3)乙班，理由见解析 【详解】（1）解：（名）， ∴本次考试一个班级抽取了20名学生； 将选取的甲班学生的成绩按从小到大排列，位于最中间的两个数据都是88， ∴中位数是（分）， 甲班学生成绩为90分的人数为， 补全条形统计图如图所示： （2）解：（分）， 答：本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为90分； （3）解：该校选派乙班的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动，理由如下： ∵乙班和甲班的平均分相同，但乙班的中位数高于甲班，乙班的最高分高于甲班，有高分学生，可以争取单项奖， ∴该校选派乙班的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动．（答案不唯一） 7．（2026·江苏泰州·模拟预测）为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． (1)小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； (2)若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：随机抽取一个朗诵的结果：A．唐诗、B．宋词、C．元曲，总共有3种等可能的结果，抽中“宋词”的情况有1种，故（抽中宋词）； （2）解：画树状图如下： 共6种等可能性的结果，其中小敏抽中唐诗、小杰抽中元曲的情况有1种，故（小敏抽唐诗且小杰抽元曲）． 8．（2026·江苏泰州·一模）“苏超冠军城”是泰州最新的亮眼名片，2026年春节期间，溱湖国家湿地公园、梅兰芳纪念馆、凤栖湖冰雪乐园等多处景点备受游客追捧．小林，小凯两人分别从这3个景点中选择景点游玩． (1)若每人选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为 ； (2)若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：从这3个景点中选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为； （2）解：将这3个景点分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人所选景点相同的结果有3种， 两人所选景点相同的概率为． 9．（2026·上海宝山·二模）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． (1)扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； (2)本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； (3)才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 【答案】(1)90 (2)160，补全条形统计图见解析 (3)①7，8，；②见解析 【详解】（1）解：， ∴扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为； （2）解：总人数：（人）， B的人数：（人）， 则E的人数为：（人）， 补全条形统计图： （3）解：①； 乙的数据排列为：3，4，8，8，8，9，9，则； ； ②甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分多，甲的方差小，说明成绩更加稳定． 10．（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1) (2)夫妇基因型均为，概率为 (3) (4) 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子， ∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为， ∴夫妇的基因型均为， 列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种， ∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种， ∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为， ∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种， ∴， 又∵男方的基因型为的概率为， ∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 104 / 104 学科网（北京）股份有限公司 $ 目 录 倒计时20天 ➤实数及其运算………………………………………………………………………………3 聚焦有理数、实数的概念和运算等基础理论，直击实数相关核心知识，“开篇必拿分”板块 倒计时19天 ➤整式、分式、二次根式、因式分解、运算化简…………………………………………11 以基础计算、公式运用、代数式求值为核心考点，中考代数必考内容，题型固定，难度低。 倒计时18天 ➤方程…………………………………………………………………………………………21 聚焦各类方程解法与实际应用，是中考代数中档核心考点，分值占比高，为必抓得分重点。 倒计时17天 ➤不等式………………………………………………………………………………………36 聚焦不等式（组）求解与方案类应用题，题型基础简单，是中考易稳分的基础考点。 倒计时16天 ➤统计与概率…………………………………………………………………………………43 聚焦数据分析和简单概率计算，题型浅显固定，是中考高频送分的独立板块。 倒计时20天 实数运算聚焦基础概念与混合计算，掌握运算顺序、细心规范步骤，放平从容心态，就能稳稳拿下这类基础满分题。 实数及其运算 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： ①正负数：相反意义的量（温度、海拔、收支、涨跌、方向）； ②有理数/无理数辨别：有限/无限循环=有理数；无限不循环=无理数； ③实数与数轴一一对应，数轴上右大左小； ④基础概念：相反数、倒数、绝对值、算术平方根、立方根； ⑤核心运算：加减乘除、乘方开方、零指数、负整数指数幂、科学记数法；⑥性质应用：非负数的性质（绝对值、算术平方根、偶次幂）及其简单应用。 ►中考前沿：①基础概念辨析仍是必考题：有理数/无理数辨别、正负数实际意义、科学记数法，多以选择、填空基础题出现，难度低、题位靠前； ②非负数性质与简单运算结合考查：绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性，常与“和为0”形式结合，出现在选择/填空的中低档题； ③实数混合运算为解答题固定首题：考查乘方、开方、零指数、负指数、特殊角三角函数值的综合运算，侧重步骤规范与计算准确性； ④新情境、新定义类创新题占比提升：以文化背景、跨学科情境为载体，考查无理数估值、实数大小比较，注重数感与估算能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   正数和负数（简单） 1、正数：大于0的数叫做正数；如：…… 2、负数：小于0的数叫做负数；如：…… 终极考点2   实数的分类（简单） 1、有理数：整数与分数统称为有理数；有理数的表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数四种； 有限小数、无限循环小数都属于分数的不同形式。有理数也可以说成可以写成(此处均为整数)； 2、无理数：即无限不循环小数；无理数的表现形式通常有以下四种：开方开不尽的；化简后带有的；无限不循环小数；一些三角函数； 3、实数：有理数与无理数统称为实数； 4、实数按照定义分类 5、按照性质分类 终极考点3   数轴（简单） 1、数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2、实数与数轴关系：实数和数轴上的点一一对应；有理数、无理数都能在数轴上表示。 3、数轴比较大小：数轴上右边的数总大于左边的数；正数＞0＞负数；负数越靠左数值越小。 4、相反数几何意义：互为相反数的两个数，在数轴上位于原点两侧，到原点距离相等。 5、两点间距离公式：数轴上两点距离 = 右边数 − 左边数，或两数差的绝对值。 6、绝对值几何意义：一个数的绝对值，是该数在数轴上对应点到原点的距离。 终极考点4   相反数、倒数、绝对值（简单） 1、相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 （2）基本性质：a 的相反数是 -a，0 的相反数是 0；互为相反数两数和为0：a+b=0⟷a、b 互为相反数； 2、倒数 （1）定义：乘积为1的两个数互为倒数。 （2）基本性质：a(a0) 的倒数是；1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数（高频易错）； 3、绝对值 （1）定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，距离非负。 （2）代数法则：正数的绝对值是本身：|a|=a(a>0)；负数的绝对值是相反数：|a|=-a(a<0)；0的绝对值是0：|0|=0 （3）核心性质：非负性：|a|>0；若|a|=|b|，则a=b 或 a=-b； 终极考点5   平方根、算术平方根、立方根（重点） 1、平方根：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”。 性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 性质：记作，双重非负性：a≥0，≥0； 0的算术平方根是0；只有非负数才有算术平方根。 3、立方根：若 x^3=a，则x 叫做 a 的立方根。记作 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；任意实数都有唯一立方根。 4、中考易混必考区分 （1） 是算术平方根，结果为 4； （2）是平方根，结果为4； （3）平方根看正负两个，算术平方根只取正，立方根唯一不变号。 终极考点6   科学计数法（简单） 1、大数表示（大于10） 方法：小数点向左移动，n= 整数位数减1； 例：320000=3.2×105。 2、小数表示（小于1的很小数） 方法：小数点向右移动，n 为负整数； 例：0.000045=4.5×10-5。 终极考点7   实数混合运算（难点） 1、实数运算的顺序 （1）先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减. （2）同级运算从左到右依次计算， （3）有括号的要先算括号里面的. 实数的运算顺序与有理数相同，有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去（添）括号法则同样适用于实数. 2、实数的大小比较： 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b． 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b； ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b． 倒数比较法：若>，ab>0，则a<b． 作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b； ②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b； ③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b. 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 正数和负数 （2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 解题妙法 1、大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 2、用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”. 题型二 实数的分类 （2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 解题妙法 妙法1：看「小数形式」一秒区分 有限小数、无限循环小数 → 一定是有理数；无限不循环小数 → 直接判定无理数 妙法2：带根号数专属判断 根号下能开得尽（、）→ 有理数；根号下开不尽（、、）→ 无理数 妙法3：常见特殊数直接背（中考高频） ✅ 必为无理数：π、含π式子、,,、0.1010010001...（相邻1之间0依次多1） ✅ 必为有理数：0、正负整数、分数、百分数、有限小数、循环小数 妙法4：易混陷阱避坑（扣分重灾区） 带根号不一定是无理数：=3 是整数、有理数；分数一定是有理数：不是分数，是无理数； 无限小数≠无理数：无限循环小数是有理数。 题型三 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 （2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 相反数 （2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（　　） A． B． C． D．4 题型五 绝对值非负性 （2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 解题妙法 1、三大秒杀解题模型 模型1：单个绝对值求值 若|A|=0，则A=0 例题：|x-3|=0→x-3=0→x=3 模型2：两个非负数相加 = 0（高频大题） 口诀：非负相加等于0，各自为0必成立 若：|A| + |B| = 0，则：A=0, B=0 拓展万能版（三大非负混搭通用）：|A|+B2+=0 → A=0，B=0，C=0 模型3：绝对值最小值问题 （1）|x|≥ 0，当x=0时，取最小值0 （2）|x-m|，当x=m时，最小值为0 （3）式子：|x-m|+k，最小值就是k 2、中考易错题避坑妙法 （1）不要看到绝对值就以为是正数，绝对值可以等于0 （2）多个非负式子相加为0，必须全部单独等于0，不能互相抵消 （3）化简求值题，先利用非负性求字母，再代入计算 题型六 求一个数的绝对值 （2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 题型七 求一个数的算术平方根 （2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 题型八 估算算数平方根的取值范围 （2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 题型九 求一个数的平方根 （2025·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 题型十 求一个数的立方根 （2025·浙江·中考真题）计算：________． 题型十一 实数的大小比较 （2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 题型十二 实数运算 （2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 题型十三 科学计数法 （2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·陕西渭南·一模）计算：． 2．（2026·河南商丘·一模）的相反数是______． 3．（2026·福建漳州·一模）计算： 4．（2026·河南新乡·一模）我国人工智能的算力持续突破，某超级计算机单次运算时间约为秒，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·海南·一模）已知，且m是整数，则m的值为________． 6．（2026·山东淄博·一模）从实数，，0，，，中，挑选出的两个数都是无理数的为（   ） A．，0 B．， C．， D．， 7．（2026·陕西榆林·二模）计算：（    ） A． B． C．2 D． 8．（2026·新疆伊犁·二模）对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③若，则x的取值范围为．其中正确结论_____________（只填写序号）． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）在实数中，无理数是___________． 10．（2026·广东·一模）阅读与思考 【概念理解】 我们将实数“四舍五入”到个位的值记为，其规则定义如下：当为整数时，若，则；若，则．例如，，，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)若，求的取值范围； (3)若关于的分式方程有正整数解，求关于的方程的解． 倒计时19天 整式分式根式稳化简，因式分解巧拆解，冷静审题稳运算，技巧在心，从容应试，步步拿分。 整式、分式、二次根式、因式分解、运算化简 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 本板块是中考数学基础核心必考内容，以基础题为主，分布在选择、填空、计算题，侧重工具性考查。 整式重点考查幂的运算、同类项合并与乘法公式辨析，常以选择题判断正误形式出题。因式分解固定考查“先提公因式，再用公式”两步法，多为填空题与化简前置步骤。 分式高频考查有意义、值为零的限制条件，解答题必考分式混合运算、先化简再求值。二次根式围绕有意义条件、最简根式、根式运算及非负性设题。 中考命题多综合混搭考查，紧扣运算规则、符号细节、分母不为零、分解不彻底等易错点，重解题步骤书写，难度低、分值稳，是保底拿分的关键题型。 ►中考前沿： 整体延续基础为主、稳中求活、重在运算与化简，难度不升、陷阱更细。 整式：仍以幂的运算、乘法公式、化简求值为主，选择题常考正误判断，侧重符号与公式混淆。 因式分解：必考先提公因式、再套公式两步法，填空高频；作为分式、根式化简的前置步骤，隐含考查。 分式：有意义/值为0的条件必出；解答题固定考混合运算+化简求值，强调分母不为0、取值限制。 二次根式：重点考有意义条件、最简根式、=|a|化简，非负性与符号判断是易错点。 综合趋势：融合化更强（因式分解+分式+整式混搭）；情境化少量融入，运算量略增、步骤分更严；不考偏难怪，回归课本与基础能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   整式的运算（简单） 1、整式相关概念 考查：单项式、多项式、整式区分；系数、次数、常数项；同类项判断。 解题方法：不含分母含字母的是整式；单项式次数：所有字母指数和；同类项：字母相同、相同字母指数完全相同，与系数无关。 2、幂的运算（选择高频） 考查：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数、负指数。 解题方法：相乘指数加，相除指数减；幂的乘方：指数相乘；牢记公式不混用，逐项验算，避开指数运算陷阱。 3、整式加减 考查：去括号、合并同类项化简。 解题方法： 括号前是负号，括号内全部变号；只合并同类项，不同类项不能合并；按顺序运算，不乱跳步骤。 4、整式乘法 考查：单×单、单×多、多×多，基础化简。 解题方法：单项式相乘：系数相乘、字母指数相加；多项式乘法：逐项相乘，不重不漏。 5、两大乘法公式（必考） 考查：直接计算、变形化简、求值。 解题方法：平方差：，同方减反方； 完全平方：首尾平方，中间两倍乘积，严防漏中间项、符号错误。 6、整式化简求值 考查：解答题基础大题，固定题型。 解题方法：先化简→再代值→规范计算；不直接硬算，先变形简化运算。 7、高频易错破解 符号优先看、指数不乱算、公式不混淆、去括号必变号，稳步骤、少口算，减少粗心丢分。 终极考点2   分式（简单） 1、分式有意义条件：分母≠0，是选择、填空高频考点。 2、分式值为0条件：分子=0 且 分母≠0，缺一不可，极易丢分。 3、分式基本性质：分子分母同乘、同除不为0的式子，值不变；约分、通分核心依据。 4、约分与通分：约分先因式分解，约去公因式；通分找最简公分母，为加减运算打底。 5、分式四则混合运算：先乘除后加减，有括号先算括号；乘除变乘法、颠倒相乘，步骤规范得分。 6、先化简，再求值：中考计算大题必考，代入数值必须避开分母为0的取值。 7、负整数指数幂结合：分式与负指数互换：，常综合化简。 8、易错陷阱：随意去分母、漏写取值范围、符号错误、约分不彻底。 终极考点3   因式分解（重点） 1、中考必考3大考法 （1）填空基础考：单一或两步分解，直接写结果，必考提公因式、公式法。 （2）化简工具考：分式约分、整式化简、方程求解，必须先因式分解才能做题。 （3）易错陷阱考：分解不彻底、符号出错、漏提公因式，是高频扣分点。 2、万能解题四步法（牢记） （1）一提：优先提取公因式，有公因式必先提。 （2）二套：再套用两个核心公式 平方差： 完全平方 （3）三检查：看是否还能再分解，必须分解到不能再拆为止。 （4）四验号：注意负号、括号符号变化，避免符号错误。 终极考点4   二次根式（重点） 1、有意义条件：被开方数≥0；分式+根式结合，需同时满足：分母≠0、被开方数≥0。 2、最简二次根式判断：根号内无分母、无开得尽方的因数，不含小数分数。 3、二次根式性质（高频易错）：=|a|，化简必看正负；。 4、同类二次根式：化简后被开方数相同，可合并加减。 5、四则运算 加减：先化简，再合并同类根式； 乘除：、；必考分母有理化。 6、非负性综合：，常搭配绝对值、平方，利用「几个非负数和为0，则每项都为0」解题。 7、大小估算、化简求值：常结合代数式化简、代入计算，侧重符号与取值范围陷阱。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 用代数式表示数、图形的规律 （2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）． 题型二 单项式规律题 （2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 题型三 图形类规律探究 （2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 题型四 整式的加减 （2025·四川雅安·中考真题）已知：和是同类项，则______． 解题妙法 1、四大解题妙法 （1）同类项快速判定法：字母一样、相同字母指数完全相同，只看字母不看系数；不是同类项，坚决不合并。 （2）去括号万能法则：括号前是加号：括号里符号全不变；括号前是减号：括号内每一项全部变号； 有数字系数：先把系数乘进去，再去括号，防止漏乘 （3）分组归类法 多项式子先划线分组：同类项划同一种标记，分开计算，不乱项、不漏项，条理清晰，不容易算错。 （4）合并同类项最简技巧：只算系数加减，字母和指数原样照搬；正负号优先计算，先定符号，再算数值，杜绝符号错误。 2、中考避坑绝招 （1）多层括号：先去小括号，再去中括号，层层拆解 （2）负数、负系数重点盯，是90%扣分源头 （3）化简求值题：先化简、后代数，绝不直接硬代硬算 题型五 整式的乘除 （2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 解题妙法 1、幂的运算（选择必考·秒杀口诀） 同底数幂相乘：底数不变，指数相加；同底数幂相除：底数不变，指数相减；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：分别乘方，再相乘 ✅ 妙法：做题先看「底数」，底数不同不能乱运算；选择题逐项排除，杜绝公式混用。 2、单项式乘除（快速算法） 乘法：系数相乘，同字母指数相加 除法：系数相除，同字母指数相减 ✅ 妙法：系数、字母、指数分开算，三部分单独运算，互不干扰，不易错。 3、单项式×多项式（防漏项） ✅ 妙法：括号外的式子，依次乘括号内每一项，有负号先标负，先定符号、再算数，杜绝漏乘、少项。 4、多项式×多项式（不乱项） ✅ 妙法：首尾逐项交叉乘，按顺序：第一项乘后面全部 → 第二项乘后面全部，写完再合并同类项，不跳步、不跳项。 5、两大乘法公式（化简核心） ✅ 避坑：完全平方千万别漏中间2ab项，负号平方变正。 6、多项式÷单项式 ✅ 妙法：分开除、分别算，多项式每一项，单独除以单项式，最后合并结果，简单不易乱。 题型六 乘法公式 （2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 题型七 因式分解 （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 解题妙法 1、第一步：优先提公因式 不管什么题，有公因式必先提。找系数最大公因数、相同字母最低次，提干净，不留余因式。 2、第二步：套用两大公式 提完公因式，立刻判断形式： 平方差：两项、平方、异号 完全平方：三项、首尾平方、中间两倍积 3、第三步：符号巧处理 首项为负，先提负号；括号内变号，统一顺序，避免正负混乱。 4、第四步：彻底分解检查 中考必考分解彻底，分解完再看一遍：还能提公因式、还能套公式，必须继续拆。 题型八 分式有无意义的条件 （2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 题型九 分式值为0的条件 （2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 题型十 分式的值 （2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 题型十一 分式的运算 （2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 题型十二 二次根式有意义的条件 （2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十三 二次根式的混合运算 （2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·吉林松原·二模）先化简，再求值：，其中． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 3．（2026·江苏南通·模拟预测）计算和化简 (1)； (2)； (3)． 4．（2026·安徽阜阳·二模）若，是方程的两个根，则______________． 5．（2026·广东江门·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·一模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 7．（2026·福建泉州·三模）先化简，再求值：，其中． 8．（2026·山东济宁·一模）若有意义，则x的取值范围为_____． 9．（2026·山东临沂·模拟预测）计算 (1) (2) 10．（2026·山东淄博·一模）计算、化简并求值 (1) (2)先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值． 11．（2026·重庆南岸·模拟预测）我们规定：一个四位数，若满足，且各个数位上的数字均不为零，称这个数为“九九数”．例如：四位数8136，因为，所以8136是“九九数”．按照这个规定最大的“九九数”是________，一个“九九数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记．再将的千位数字放到个位数字之后得到，将的个位数字放到千位数字之前得到，记．若是完全平方数，且是整数，则满足条件的的值是________． 12．（2026·安徽池州·二模）【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 倒计时17天 稳抓方程步骤、规范运算细心，放平心态从容落笔，步步推演便能稳拿满分。 方程 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 方程包含一元一次、二元一次方程组、一元二次、分式方程，为中考基础必考内容。 选择填空常考方程解、参数求值、根的判别；解答题直接考查解方程、方程组。 分式方程必考求解加增根检验；一元二次方程侧重多种解法灵活选用。 高频结合工程、利润、增长率等实际场景，考查列方程建模解题。 整体设问常规、难度适中，侧重步骤规范、细心计算，稳住心态即可稳拿分。 ►中考前沿： 2026年中考方程命题整体稳中求新，以基础考查为主，兼顾应用与简单综合。基础题型会集中考查一元一次方程、二元一次方程组的求解与参数计算，一元二次方程重点考查多种解法、根的判别式及简单根系关系。分式方程仍是必考内容，着重考查解方程与增根检验，强化细节规范。应用题结合生活实际，围绕利润、工程、增长率、行程等经典情境设问，考查列方程建模能力。同时会小幅融入跨知识点综合，结合不等式、简单几何与函数基础内容命题。整体难度适中，设问贴合课本，注重运算准确率、解题步骤和实际意义检验，弱化偏难题，侧重核心基础与学以致用的考查。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   一元一次方程（简单） 1、一元一次方程定义 满足4个条件才是： ① 只有一个未知数； ② 未知数最高次数是1； ③ 方程两边都是整式（分母不能有未知数）； ④ 未知数前面的系数不等于0。 常考题型：给一串式子，判断哪个是一元一次方程；含字母参数，求m、a的取值。 2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 考法：已知x=3是方程的解，代入式子求参数。 3、等式的基本性质（解方程依据） 性质1：等式两边同时加、减同一个数或式子，等式不变。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以不为0的数，等式不变。 易错：两边不能同时除以0，含字母除法要注意讨论。 4、一元一次方程解方程核心考点（计算必考） （1）去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数； 关键点：不含分母的常数项也要乘，容易漏乘扣分。 （2）去括号：运用乘法分配律；括号前是负号，括号内每一项都要变号。 （3）移项：把含未知数的项移左边，常数项移右边； 口诀：移项必须变号，不移不变号。 （4）合并同类项：化简，统一化成最简形式：ax=b。 （5）系数化为1：两边同时除以未知数系数，算出 。 5、含参数一元一次方程考点（选择填空高频） （1）已知方程的解，求字母的值 解题方法：把解直接代入原方程，变成普通一元一次方程，求出字母。 （2）方程有唯一解、无解题型 最简式 ax=b ① a≠0，有唯一解； ② a=0，b≠0，方程无解； ③ a=0，b=0，无数个解。 6、一元一次方程实际应用题（中考大题重点） 所有应用题统一思路：审题→找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验→答题 中考常考7大类： （1）和差倍分问题：多、少、几倍、一共、剩余，找加减倍数关系； （2）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. （4）利润折扣问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； （5）分段计费：水费、电费、打车费、套餐收费，分段分别计算； （6）配套问题：零件配套、桌椅配套，按比例列等量； （7）几何应用：线段长度、角度计算、周长面积，利用几何公式列方程。 终极考点2   二元一次方程组（重点） 1、二元一次方程组定义：含两个未知数；未知数最高次数都是1；都是整式方程，不含分母带未知数、不含平方。 常考：判断是不是二元一次方程组、改错。 2、方程组的解：同时满足两个方程的一对 x、y； 考法：给一组数，判断是不是解；已知解，代入求参数。 3、核心计算考点（必考） （1）代入消元法 适用：有一个方程里，x 或 y 系数为±1，好变形。 步骤：变形用一个字母表示另一个→代入另一个方程→变成一元一次方程→求解。 （2）加减消元法 适用：同一个未知数系数相同或互为相反数。 步骤：同系数相减、反系数相加→消掉一个未知数→变一元一次方程。 4、含参数题型（选择、填空高频） （1）已知方程组的解，求字母 m、n、k 方法：把解直接代入方程组，得到新二元一次方程，求参数。 （2）同解方程组问题 两个方程组解相同：先联立不含参数的两个方程，先求出 x、y，再代回去求参数。 （3）看错系数问题：看错一个系数，但解满足没看错的方程，代入计算即可。 终极考点3   一元二次方程（难点） 1、一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏前面的性质符号。 2、一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：形如或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为（a≠0）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． （3）公式法：把（-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出-4ac的值（若-4ac＜0，方程无实数根）；在-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②-4ac≥0． （4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 3、一元二次方程根的判别式： 利用一元二次方程根的判别式（△=-4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的根与△=-4ac有如下关系： （1）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； （3）当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 4、一元二次方程根与系数的关系： （1）若二次项系数为1，常用以下关系：， 是方程+px+q=0的两根时，+ =-p， =q 反过来可得p=-（+ ），q= ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的两根时， 反过来也成立，+ =—， = （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 5、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 终极考点4   分式方程（重点） 分式方程的重要特征：含有分母；分母中含有未知数；是方程 分式方程的解法 （1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式; （2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程;3)解整式方程; （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母 3、与分式方程有关应用题的常见类型 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 已知一元二次方程的解，求参数 （2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 题型二 等式的性质 （2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则． 题型三 解一元二次方程 （2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则__________． 题型四 销售问题（一元一次方程的应用） （2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 解题妙法 1、核心公式 （1）单件利润 = 售价 − 进价（2）售价 = 标价 × 折扣（3）总利润 = 单件利润 × 销售数量 2、万能解题妙法 （1）先抓三个量：进价、售价、销量，缺哪个就设哪个为 x。 （2）固定等量关系：题目只要问总利润、盈利、亏损，统一用：（售价-进价）×销量 = 总利润 （3）涨价/降价套路：涨价→销量减少；降价→销量增加， 先写清楚：变化后的单价、变化后的数量，再列方程。 （4）遇折扣先换算：八折=0.8、八五折=0.85，先算实际售价，再列式。 3、避坑妙招 （1）分清进价和标价，不要混为一谈；（2）折扣只乘标价，不乘进价； （3）方程解完，价格、数量必须是正数，不合理直接舍去。 题型五 数字问题（一元一次方程的应用） （2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 题型六 几何问题（一元一次方程的应用） （2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 题型七 和差倍分问题（一元一次方程的应用） （2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 题型八 行程问题（一元一次方程的应用） （2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 解题妙法 1、核心基础公式（全程通用） 路程=速度×时间 变形：速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 2、三大经典题型+秒杀等量关系 （1）相遇问题（面对面走） 妙招：路程相加=总路程；甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地总距离 （2）追及问题（同向走） 妙招：路程相减=初始距离；快者路程 − 慢者路程 = 一开始相差的距离 （3）航行/流水问题 顺水更快，逆水更慢；顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 − 水速 3、通用解题步骤（考试直接套） （1）设：一般设时间 或 速度为 x （2）表：用含 x 的式子，分别表示两个人的路程 （3）找：相遇求和、追及求差，锁定等量 （4）列：套路程公式列一元一次方程 （5）解+答 4、高分避坑妙招 （1）单位统一！千米/小时、米/分钟必须换算一致 （2）同时出发：时间相等；不同时出发：要算时间差 （3）往返、中途停留：单独减去停留时间 （4）画图解题：草稿纸上画线段图，一眼看清路程关系，不容易错 题型九 古代问题（一元一次方程的应用） （2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 题型十 其他问题（一元一次方程的应用） （2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 题型十一 二元一次方程组的相关概念 （2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 题型十二 解一元二次方程组 （2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 题型十三 方案问题（二元一次方程组的问题） （2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 题型十四 行程问题（二元一次方程组的问题） （2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 题型十五 销售、利润问题（二元一次方程组的问题） （2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 题型十六 由一元二次方程的定义求参数 （2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 题型十七 由一元二次方程的解求参数 （2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 题型十八 解一元二次方程 （2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 题型十九 增长率问题（一元二次方程的问题） （2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 题型二十 动态几何问题（一元二次方程的问题） （2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二十一 分式方程的解（一元二次方程的问题） （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 题型二十二 分式方程的工程问题 （2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 题型二十三 分式方程的经济问题 （2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·江苏泰州·一模）若二元一次方程组的解为，则的值为____． 2．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 3．（2026·广东佛山·模拟预测）某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 5．（2026·上海静安·二模）如图，中，点D在边上，，，，那么的值等于______． 6．（2026·上海黄浦·二模）解方程组： 7．（2026·上海松江·二模）一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是，5小时后水池的水量是，那么8小时后水池的水量是________． 8．（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 9．（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 10．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 11．（2026·江苏扬州·一模）“鹅嘟嘟”是2026年江苏省城市足球联赛吉祥物“苏嘟嘟”家族中代表扬州队的专属形象．甲、乙两人现同时加工“鹅嘟嘟”，乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同．请问甲每小时加工多少件“鹅嘟嘟”？ 12．（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 倒计时17天 吃透不等式移项变号、端点取舍的解题细节，稳住细心沉稳的应考心态，步步严谨，便能稳稳拿下每一分。 不等式 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 中考数学不等式为核心基础考点，分值稳定在6至10分，题型分布全面。选择填空侧重不等式性质辨析、解集判断与参数取值；解答题必考一元一次不等式组求解、数轴表示解集、求特殊整数解。命题注重基础运算，聚焦移项变号、边界取舍等易错点，常结合生活实际考查方案选择、最值应用。同时逐步强化综合考查，联动一次函数、方程结合出题，侧重考查数形结合、分类讨论思想，题目难度梯度分明，基础题为主，少量中档综合题拉开差距。 ►中考前沿： 2026年不等式命题整体延续稳定风格，立足基础、贴合课标。基础题型仍是考查重点，不等式组计算、数轴标注、整数解探究为必考题型。应用题会贴近生活场景，围绕购物消费、资源分配、规划方案等情境命题，考查建模解题能力。综合题型会加大融合力度，频繁结合一次函数、二元方程考查参数范围与最值问题。命题更注重细节陷阱，强化负数变号、端点虚实等易错考查，侧重考查严谨审题与规范作答，稳中适度提升综合性与实际应用能力考查。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   不等式的基本性质（简单） 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 若a＞b，则a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 终极考点2   解一元一次不等式（简单） 解一元一次不等式的一般步骤是： 1、去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 2、去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 3、移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 4、合并同类项。 5、将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 6、有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 终极考点3   解一元一次不等式组（简单） 1、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。 2、由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大小小取不到。 3、一元一次不等式组的解法： 第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。 终极考点4   一元一次不等式的应用（重点） 1、找不等关系（核心考点） 重点抓取题目关键词：至少、至多、不超过、不少于、不低于、最多、最少、剩余、不足等，区分等式与不等式，准确列出不等式子，是解题第一步关键。 2、常见五大必考应用题型 分配问题：物品分配、人员调配，根据“分不完、不够分”列不等式； 购物销售问题：商品打折、预算限制、成本控制、利润下限，结合总价、单价、数量关系列式； 方案选择问题：两种优惠方案、两种采购方式，通过不等式求取值范围，对比选出最优方案； 工程与行程问题：工作效率、完成时间限制，行驶速度、行程约束类实际问题； 生活实际问题：环境整治、垃圾分类、校园活动、租车住宿等现实情境应用题。 3、取值限制必考细节 实际问题中，人数、物品数量、车辆数均为正整数；求出不等式解集后，必须结合实际取舍，筛选合理整数解，这是高频扣分点。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 不等式的性质 （2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 解题妙法 1、先看正负，再定符号：做题先判断乘除的数是正还是负，正数直接算，负数立刻变号，杜绝低级错误。 2、系数化1，紧盯符号：解不等式最后一步系数化为1，只要未知数系数是负数，一定反向。 3、比较大小，巧用赋值法：选择填空里判断不等式变形对错，直接代数字举例验证，快速排错。 4、连号传递，直接套用：若 a>b，b>c，则 a>c，连续不等关系直接递推。 题型二 求一元一次不等式的整数解 （2025·山东东营·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 解题妙法 1、核心秒杀妙招 （1）先求解，再圈数：不解完解集，绝不乱猜整数，一步一步算，避免漏解、多解。 （2）数轴大法最稳妥：看不清范围就画数轴，直观清晰，大小边界一目了然，杜绝看错。 （3）边界判断口诀：大于往右找，小于往左找；空心取不到，实心能取到。 （4）限定词重点盯牢:非负整数解：0、1、2、3……;正整数解：1、2、3……;最大整数、最小整数：紧贴边界就近取值. 2、高频易错避坑 （1）忘记不含等号取不到边界数； （2）求非负整数，漏掉数字0； （3）不等式系数为负，忘记变号，导致整个解集方向写反。 题型三 求一元一次不等式的最值 （2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 题型四 用一元一次不等式解决实际问题 （2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东东莞·一模）不等式组的解集是________ 2．（2026·广东·一模）阅读与思考 【概念理解】 我们将实数“四舍五入”到个位的值记为，其规则定义如下：当为整数时，若，则；若，则．例如，，，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)若，求的取值范围； (3)若关于的分式方程有正整数解，求关于的方程的解． 3．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 4．（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 5．（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 6．（2026·上海崇明·二模）不等式组的解集是__________． 7．（2026·辽宁盘锦·一模）某水果店购进苹果和香蕉两种水果共100千克，其中苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元．已知总进价不超过380元．设购进苹果x千克． (1)根据题意列出不等式，并求出x的取值范围； (2)若苹果售价为6元千克，香蕉售价为4元千克，且全部售出，求总利润y（元）与x的函数关系式，并求当x为何值时总利润最大？最大利润是多少？ 8．（2026·陕西渭南·一模）2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭成功将8颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，购入A、B两种火箭模型共200件，这两种火箭模型每件的进价和售价如下表所示： A种模型 B种模型 进价（元/件） 50 60 售价（元/件） 80 100 设购入A种火箭模型x件，所购进的两种火箭模型全部卖出后获得的总利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若购入A、B两种火箭模型的总费用不超过11200元，那么该网店如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 9．（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 10．（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 倒计时16天 深耕统计概率基础题型，理清图表分析、概率计算的解题逻辑，保持冷静细致、沉稳审题的应考心态，稳扎稳打，从容拿下每一分。 统计与概率 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 统计与概率为中考高频基础考点，分值约8至12分，题型覆盖选择、填空与解答题，整体难度偏低，是必稳拿分模块。统计侧重结合生活情境命题，重点考查平均数、中位数、众数、方差的计算与意义，常结合条形、扇形、折线统计图，考查读图、补全图表、提取数据分析问题。概率以简单随机事件为主，多运用列表法、树状图计算概率，判断事件可能性大小。命题注重基础应用，贴合实际生活，考查数据整理、分析与逻辑推理能力，题型固定、套路清晰，极少出现难题，重在细心审题、规范答题。 ►中考前沿： 2026年中考统计与概率命题将稳中微变、素养导向、情境化更强，分值约8–12分，仍为必拿分模块。选择填空侧重统计量辨析、事件分类、一步概率；解答题必考双统计图（条形+扇形）综合，含补图、样本估计总体、中位数/众数/方差计算，搭配列表/树状图求两步概率。命题贴近校园、环保、科技等真实场景，强化数据分析与建模能力，减少机械计算，重视逻辑规范。难度以基础、中档为主，无偏题怪题，强调“读懂情境→提取数据→建模求解”的完整思维，初高衔接特征略增。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   总体、个体、样本及样本容量（简单） 分类 概念 注意事项 总体 所要调查对象的全体对象叫做总体. 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 个体 总体中的每一个考察对象叫做个体. 总体包括所有的个体. 样本 从总体中抽取的部分个体叫做样本. 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目称为样本容量.（无单位） 一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确. 终极考点2  几种常见的统计图 （重点） 统计图 图形 优点 缺点 常见结论 条形统计图 能清楚看出每个项目的具体数量，便于直观比较数量的多少。 不能清楚反映数据变化趋势，不能看出各部分占总体的百分比。 各组数量之和=总数 扇形统计图 能清楚表示各部分数量占总体的百分比，反映部分与整体的关系。 不能表示具体数量，无法直接看出数据的增减变化。 各部分百分比之和=100%； 各部分圆心角的度数=相应百分比×360° 折线统计图 能清楚反映数据的变化趋势、增减变化情况。 不容易直观比较各数据具体数量，难以看出部分与整体的关系。 各种数量之和=样本容量 频数分布直方图 能直观反映数据的分布情况、数据集中与分散范围，看清各组频数多少。 看不出每一个具体数据，不能快速对比单个数据大小。 各组数量之和=样本容量; 各组频率之和=1; 数据总数×相应的频率=相应的频数 终极考点3  数据分析 （重点） 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 中考常考：成绩打分、比赛评分、百分比权重。 注意：若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数；权重越大，对结果影响越大。 中位数 定义：先从小到大排序；奇数个数据：取最中间的那个数；偶数个数据：取中间两个数的平均数。 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 注意：可以有多个众数；一定是原数据，不是次数 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 必考题型：甲乙两人成绩对比，选方差小的更稳定 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 注意：极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 补充：标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 终极考点4  概率 （重点） 1、事件的分类（选择题高频考点） （1）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；概率P=1。 举例：太阳从东方升起、三角形内角和180°。 （2）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；概率P=0。 举例：掷骰子点数为7、水中捞月。 （3）随机事件（不确定事件）：可能发生，也可能不发生的事件；概率0<P<1。 举例：抽奖中奖、掷硬币正面朝上。 2、两大核心解题方法（大题必考，书写有分） （1）列表法 适用：两步随机试验，数字少、规则整齐 优点：清晰、不易漏数 局限：三步及以上不好用 （2）树状图法（中考万能） 适用：两步、三步及以上所有随机试验 答题规范：分层画图；列出所有结果；数出总结果、符合条件结果；代入公式计算。 3、重中之重：放回 vs 不放回 （1）放回试验：抽完一次，物品放回去，总数量不变，可以重复选取。 例：摸球后放回、两次掷骰子。 （2）不放回试验：抽完不放回，总数量减少，不会重复选取。 例：连续抽两张卡片、依次摸两个球。 终极考点5   频率与概率（重点） 1、频数：某个事件实际出现的次数 2、频率：频率 = 频数÷试验总次数 3、概率：理论固定值，不会变 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 用样本估计总体 （2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（   ） A．3000 B．4000 C．6000 D．60000 题型二 条形统计图 （2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 解题妙法 1、缺谁算谁 条形图只要少一组数据，直接：缺失数量 = 总数 - 已知各组数量之和 不用复杂计算，一步出答案。 2、条高=数量 柱子越高，数量越多；柱子越矮，数量越少。 比较多少、找最多/最少，直接看柱子高低。 3、条形+扇形联动秒杀 条形找：具体数；扇形找：百分数；两者结合，第一件事：先算总数，后面所有问题全通。 4、看清横轴、纵轴 横轴：分类（项目、组别、时间） 纵轴：数量、人数、频数 题型三 扇形统计图 （2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 解题妙法 1、 找突破口：扇形图只有百分比，一定要找：已知具体人数 + 对应百分比，先算出总数量。 2、求未知百分比：所有部分百分比相加 = 100%；未知百分比 =1 - 其他所有百分比之和 3、求圆心角：算出占比后，直接 × 360°，大题必考题 4、求具体人数：总人数 × 对应百分比 = 该部分人数 5、样本估计总体：全校/全市总数 × 样本里的百分比 = 估算人数 题型四 折线统计图 （2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）． (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． 题型五 选择合适的统计图 （2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 题型六 频数分布直方图 （2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 解题妙法 妙法1：百分比互补法：整圆是100%，缺的那一块百分比，直接用减法算，不用复杂列式。 妙法2：角度快速判断：一半：180°占50%；四分之一：90度占25%；看角度大小，就能快速判断占比多少。 妙法3：扇形+条形 联动绝招：条形图→给具体人数；扇形图→给百分比 先总数，后一切，只要算出总人数，求角度、求人数、补全图表全部搞定。 妙法4：无具体数，绝不单独算 单独一个扇形图，算不出具体多少人，题目一定搭配条形图、表格给数据。 题型七 加权平均数 （2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 题型八 数据的集中趋势 （2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 题型九 方差 （2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 题型十 极差 （2025·四川成都·中考真题）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； (2)求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 题型十一 随机事件与概率 （2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 题型十二 用列举法求概率 （2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． (1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； (2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 题型十三 用频率估计概率 （2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东深圳·一模）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）甲、乙两名射击运动员在一次训练中各射击5次，成绩统计如下：已知乙成绩的方差为，则对甲、乙射击成绩的稳定性判断正确的是（   ） A．甲的射击成绩更稳定 B．乙的射击成绩更稳定 C．甲、乙射击成绩稳定性相同 D．无法比较两人的射击成绩稳定性 3．（2026·安徽阜阳·二模）在如图所示的电路中，有4个开关，，，，3个灯泡，，和电源以及导线若干，已知该电路所示元件都能正常工作，任意闭合两个开关，灯泡能正常发光的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·一模）在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)请通过计算把频数分布直方图补充完整； (3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 6．（2026·辽宁·模拟预测）暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位里参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级里的部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩（成绩均为整数）进行分析比较，并决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 【信息一】甲班本次考试成绩统计图如下： 【信息二】乙班本次考试情况统计如下表： 平均分 中位数 众数 最高分 90 89.5 94 98 【信息三】甲、乙两班方差如下表： 12.1 35.4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次考试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，选取的甲班学生成绩的中位数是 分，并补全条形统计图； (2)本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为多少分？ (3)通过本次考试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 7．（2026·江苏泰州·模拟预测）为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． (1)小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； (2)若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 8．（2026·江苏泰州·一模）“苏超冠军城”是泰州最新的亮眼名片，2026年春节期间，溱湖国家湿地公园、梅兰芳纪念馆、凤栖湖冰雪乐园等多处景点备受游客追捧．小林，小凯两人分别从这3个景点中选择景点游玩． (1)若每人选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为 ； (2)若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率． 9．（2026·上海宝山·二模）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． (1)扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； (2)本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； (3)才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 10．（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 2 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $