专题10不等式、一元一次不等式复习讲义（12大题型+重点知识梳理）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学复习讲义通过表格梳理和要点解析系统构建不等式知识体系，涵盖不等式定义、性质、一元一次不等式定义及解法、解集表示等核心内容，突出性质3变号规则、解法规范步骤、数轴表示等重难点，呈现知识内在逻辑与易错点。 讲义亮点是分层题型设计，从基础定义判断到实际问题解决，如行程问题（题型10）培养模型意识，性质正误判断（题型3）发展推理意识，每个题型配步骤指导和易错提醒，助力不同学生掌握方法，支持教师实施精准化复习教学。

专题10不等式、一元一次不等式复习讲义 高效复习◆重点 1.熟练掌握不等式的定义、性质，熟练运用性质进行不等式变形，规避变形误区； 2.掌握一元一次不等式的定义、标准形式，能精准判断一元一次不等式； 3.熟练掌握一元一次不等式的解法，规范书写解题步骤，精准求解并表示解集； 4.熟练掌握一元一次不等式的解集表示方法（符号、数轴），能规范呈现解题结果； 核心题型◆归纳 题型1不等式的定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式的定义 题型5求一元一次不等式的解集 题型6求一元一次不等式的整式解 题型7在数轴上表示不等式的解集 题型8求一元一次不等式解的最值 题型9列一元一次不等式 题型10用一元一次不等式解决实际问题 题型11用一元一次不等式解决几何问题 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01不等式 ★定义：用不等号>、<、≥、≤、≠表示两个数或代数式之间大小关系的式子，叫做不等式。 关键要点：不等号包括5种：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥，表示“不小于”）、小于等于（≤，表示“不大于”）、不等于（≠）； 不等式与等式的区别：等式用“=”连接，不等式用不等号连接，二者性质、解法均不同。 知识点02不等式的基本性质 性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变。 用字母表示：若a > b，则a ± c > b ± c（c为任意数或整式）。 性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 用字母表示：若a > b，c > 0，则ac > bc（或> ）。 性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 用字母表示：若a > b，c < 0，则ac < bc（或）。 易错提醒：性质3为高频易错点，切记变号。 知识点03一元一次不等式的定义 ★定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：ax + b > 0（或< 0、≥ 0、≤ 0），其中a ≠ 0（a、b为常数）。 关键要点（缺一不可）：只含一个未知数（通常用x表示）； 未知数的次数为1； 不等号两边都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数）； 未知数的系数a ≠ 0（否则未知数会消去，不再是一元一次不等式）。 知识点04一元一次不等式的解法 ★核心思想：类比一元一次方程的解法，利用不等式的性质，将不等式逐步化为“x > a”“x < a”“x ≥ a”“x ≤ a”的最简形式（注意：乘除负数变号）。 规范解题步骤： （1）去分母：在不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母（注意：最小公倍数为负数时，不等号方向改变；不含分母的项也要乘）； （2）去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），去掉括号； （3）移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边（移项要变号，与方程移项规则一致）； （4）合并同类项：分别合并含未知数的项和常数项，化为“ax > b”（或其他不等号）的形式； （5）系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数a（注意：a > 0，不等号方向不变；a < 0，不等号方向改变）； （6）检验（可选，推荐）：将解得的解集代入原不等式，验证是否成立； （7）表示解集：用文字、符号或数轴表示解集）。 知识点05一元一次不等式的解集 ★定义：使不等式成立的所有未知数的值，叫做这个一元一次不等式的解集 解集的表示方法： 1.符号表示：直接用不等号表示，例如x > 5、x ≤ -2、-3 < x ≤ 4； 2.数轴表示（步骤、图例如下） ： （1）画数轴：标出原点、正方向、单位长度； （2）定边界：不等号为“>”“<”时，边界点画空心圆圈（表示不包含该点）；不等号为“≥”“≤”时，边界点画实心圆点（表示包含该点） 题型解析◆精准备考 题型1不等式的定义 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式是用不等号(，，，，)连接，表示不等关系的式子判断即可． 【详解】解：A、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 2．用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【答案】 【分析】根据非负数的定义，非负数是大于或等于的数，据此列出不等式即可. 【详解】解：因为非负数是指大于或等于的数，是非负数，所以可得. 3．根据下列数量关系写出不等式． (1)x与5的和的不大于； (2)m除以4的商加上3至多为5； (3)a与b两数和的平方不小于3． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式．抓住题目中的“至多”、“不大于”、“非正数”等关键词是解题关键． （1）根据“不大于” 即可列出不等式； （2）根据“至多为5” 即可列出不等式； （3）根据“不小于3” 即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得： （3）解：由题意得：． 题型2不等式的解集 1．设，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解、绝对值的意义、算术平方根和不等式的解，掌握以上知识的计算是关键．根据题意，把代入计算，再辨析即可． 【详解】解：A、把代入得到左边，右边，不成立； B、把代入得到，右边，故不成立； C、把代入得到左边，右边，故成立； D、把代入得到，故不成立． 故选：C． 2．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意确定车辆行驶的车道，观察对应的交通标志牌，读出最高限速和最低限速，即可确定车速的取值范围． 【详解】解：由题意可知，爸爸开小型车走中间车道，观察图片可知，中间车道为“小型车道”，其对应的限速标志显示：最高限速为千米/时，最低限速为千米/时， ∴车速的取值范围是． 3．已知点在第一象限，且到轴的距离为，求点到轴的距离． 【答案】14 【分析】本题主要考查点所在的象限，点到坐标轴的距离，不等式求解集，掌握平面直角坐标系象限的特点，点到轴的距离的计算是解题的关键． 根据点所在象限得到，由此求出的取值，再根据到轴的距离为，得到点的坐标，根据点到横轴的距离为，到纵轴的距离为，由此即可求解． 【详解】解：点在第一象限， ∴， 解得，， ∵点到轴的距离为， ∴， 解得，， ∴， ∴点到轴的距离为． 题型3不等式的性质 1．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可，注意特殊值的情况． 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，∴，故A错误； B、∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，故B正确； C、当时，，，此时，故不等式不一定成立，C错误； D、∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，∴，故D错误． 2．比较大小：____________；___________ ，(填“”“”“”） 【答案】 【分析】利用平方法比较①，两个正数比较大小，平方较大的数更大；利用作差法比较②． 【详解】解：①比较与的大小： ∵，，，且，， ∴； ②比较与的大小： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．下列式子是否正确？为什么？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 (3)不正确，理由见解析 【分析】（）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； （）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； （）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； 本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都减去，不等号的方向不变， 所以，故（）正确； （2）解：不正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都乘，不等号的方向不变， 所以，故（）不正确； （3）解：不正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都乘，不等号的方向改变， 所以，故（）不正确． 题型4一元一次不等式的定义 1．下列哪项是一元一次不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、是代数式，不是不等式，该选项不符合题意； 、是等式，该选项不符合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，该选项不符合题意． 2．已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义及绝对值的性质即可确定出m的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 则 ∴． 3．已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：1． 题型5求一元一次不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， 在数轴上表示为： ， 故选项符合题意． 2．不等式的解集为______． 【答案】 【详解】解： 移项得， 系数化为得，． 3．解不等式：． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母（不等式两边同乘）得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 题型6求一元一次不等式的整式解 1．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴满足的非负整数为，共个． 2．不等式的正整数解为______． 【答案】，2 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的正整数即可． 【详解】解： 移项，得， 系数化为，得， ∴原不等式的正整数解为． 3．按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【答案】(1) (2)，负整数解：，， 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴负整数解有：，，． 题型7在数轴上表示不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后判断即可． 【详解】解：， ， ， 观察各选项，只有C符合题意． 2．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据数轴上表示不等式的解集的方法即可得出结果． 【详解】解：由图可得，这个不等式的解集是． 3．解不等式，并将解集在数轴上表示． (1) (2) 【答案】(1)，解集在数轴上的表示见解析 (2)，解集在数轴上的表示见解析 【详解】（1）解： 去括号得， ∴ 解得： 解集在数轴上的表示： （2）解： 不等式两边同时乘以去分母得 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 系数化为1时改变不等号方向得 解集在数轴上的表示： 题型8求一元一次不等式解的最值 1．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 2．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 3．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 题型9列一元一次不等式 1．2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得． 2．与的和的3倍与4的差是一个非负数，列不等式为______． 【答案】 【分析】与的和的3倍表示为，非负数用表示，据此列不等式即可． 【详解】解：由题意，得． 3．用适当的符号表示下列不等关系： (1)的一半小于5； (2)的与的2倍的和是非正数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出x的一半，再结合小于5即可列出不等式； （2）先表示出x的与x的2倍的和，再结合非正数为小于等于零的数即可列出不等式． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型10用一元一次不等式解决实际问题 1．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 【答案】B 【分析】先计算出剩余需要走的路程，再根据8秒内通过马路的要求列不等式，求解得到最小倍数，进而结合实际情况作答即可． 【详解】解：设小华的速度要提高到原来的倍， ∵人行横道全长24米，小华行至离起点处， ∴剩余路程为米， 要在红灯亮起前也就是8秒内通过马路，可得不等式： 化简得， 解得， ∴他的速度至少要提高到原来的倍． 2．某商品的进价为元，售价为元，“五一”期间打折促销，但要保证利润率不低于，则最多可打_____折． 【答案】 【分析】设该商品打折，根据“利润率不低于”确定不等关系，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设该商品打折， 由题意得， 化简，得， 解得， ∴最多可打折． 3．为进一步落实“乡村振兴”工程，临川区某乡镇在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，A种蔬菜至少种植多少亩？ 【答案】(1)种植种蔬菜平均每亩收入万元，种植种蔬菜平均每亩收入万元； (2)种蔬菜至少种植亩 【分析】（1）设出两种蔬菜的平均每亩收入，根据题干给出的两种种植情况的总收入，列出二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）设种蔬菜的种植面积，根据种蔬菜种植面积不少于种蔬菜种植面积的倍的条件，列出一元一次不等式，解不等式即可得到种蔬菜的最小种植面积． 【详解】（1）解：设种植种蔬菜平均每亩收入万元，种植种蔬菜平均每亩收入万元 根据题意得： ， 解得： ， 答：种植种蔬菜平均每亩收入万元，种植种蔬菜平均每亩收入万元． （2）解：设种蔬菜种植亩，则种蔬菜种植 亩 根据题意得： ， ∴， 解得：， 答：种蔬菜至少种植亩． 题型11用一元一次不等式解决几何问题 1．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 2．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 3．在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【分析】（1）可求，，可得A、B纵坐标相同，故线段轴，即可求解； （2）①由得，则可得，，由平移的性质可得，，则可得，，进而可求出c的值 ②分四种情况讨论：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ），先列出S与b的关系式，再根据列不等式求出b的范围即可． 【详解】（1）解：若，， 则，， 则轴， ． （2）解：①若， 则， ∴，， ∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点． ∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，， ∴，， ∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点． ，， 解得，． ②由①得，． （ⅰ）如图，当时， ， ∵， ， 解得， 时，成立； （ⅱ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅲ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅳ）如图，当时， ， ， ， 解得， ∴当时，成立； 综上，当时，b的取值范围是：且． 【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的线段长、平移变换、动点三角形面积问题、一元一次不等式的应用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 过关检测◆提升 一、单选题 1．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 3．若，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：不等式两边同时减10，得，故A错误． 选项B：的值不确定，无法确定与的大小关系，例如取，此时，不等式不成立，故B错误． 选项C：两边同时乘，不等号方向改变，得，两边同时加1，不等号方向不变，得，故C正确． 选项D：不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得，故D错误． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再结合不等式的解、解集的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：解不等式得， A、该不等式解集为，不是，A错误； B、把代入不等式，得，不满足不等式，因此不是该不等式的解，B错误； C、不等式解集为，小于的整数有无数个，因此不等式的整数解有无数个，C正确； D、所有正整数都大于，且，因此不等式没有正整数解，D错误． 5．已知一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则该不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴上的表示，空心点表示不包含该点，向右的射线表示大于该点，由此可直接确定不等式的解集． 【详解】解：A、在数轴上用实心圆点表示，且方向向右，此选项不符合题意； B、在数轴上用空心圆圈表示，且方向向右，与题图一致，此选项符合题意； C、在数轴上用实心圆点表示，且方向向左，此选项不符合题意； D、在数轴上用空心圆圈表示，且方向向左，此选项不符合题意． 6．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 二、填空题 7．根据“x的3倍与8的和不小于x的4倍”，可列不等式为_________． 【答案】 【分析】根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意，可列不等式为． 8．如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴， ． 9．写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先观察数轴确定不等式的解集，再根据解集构造一个一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知，空心圆圈在 处，且折线向右延伸， 不等式的解集为 ， 解集是 的一元一次不等式可以为 （答案不唯一）． 10．写出不等式的一个整数解：___________． 【答案】 4 （答案不唯一） 【详解】解： 移项得 所以不等式的整数解为所有大于的整数，任写一个即可，例如． 11．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 三、解答题 12．已知． (1)判断不等式是否成立？并说明理由； (2)若成立，则应满足的条件是______． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质得出，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴不等式成立． （2）解：∵，成立， ∴， 解得：． 13．列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 【答案】(1) (2) 不等式的解集为，所有符合条件的正整数解为 【分析】（1）根据x的3倍即，x的3倍与9的差即，然后可得不等式； （2）先求出不等式的解集，然后写出该不等式的正整数解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， ∴满足条件的正整数解为：． 14．某加工车间有名工人，全部生产螺钉或螺母，已知每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母． (1)为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺母，多少名工人生产螺钉？ (2)在（1）的条件下，若一个螺钉的销售利润是元，一个螺母的销售利润是元，工厂规定该车间每月所生产产品的销售利润不少于万元，则名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？(天数取整数) 【答案】(1)应分配名工人生产螺母，分配名工人生产螺钉； (2)名工人每月至少加工天才能完成车间任务 【分析】（1）设分配名工人生产螺母，则分配 名工人生产螺钉，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设名工人每月加工天，根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设分配名工人生产螺母，则分配名工人生产螺钉． 根据题意，得． 解得． ． 答：应分配名工人生产螺母，分配名工人生产螺钉． （2）解：设名工人每月加工天． 根据题意，得． 解得 为整数， 的最小值为． 答：名工人每月至少加工天才能完成车间任务． 15．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10不等式、一元一次不等式复习讲义 高效复习◆重点 1.熟练掌握不等式的定义、性质，熟练运用性质进行不等式变形，规避变形误区； 2.掌握一元一次不等式的定义、标准形式，能精准判断一元一次不等式； 3.熟练掌握一元一次不等式的解法，规范书写解题步骤，精准求解并表示解集； 4.熟练掌握一元一次不等式的解集表示方法（符号、数轴），能规范呈现解题结果； 核心题型◆归纳 题型1不等式的定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式的定义 题型5求一元一次不等式的解集 题型6求一元一次不等式的整式解 题型7在数轴上表示不等式的解集 题型8求一元一次不等式解的最值 题型9列一元一次不等式 题型10用一元一次不等式解决实际问题 题型11用一元一次不等式解决几何问题 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01不等式★ ★定义：用不等号>、<、≥、≤、≠表示两个数或代数式之间大小关系的式子，叫做不等式。 关键要点：不等号包括5种：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥，表示“不小于”）、小于等于（≤，表示“不大于”）、不等于（≠）； 不等式与等式的区别：等式用“=”连接，不等式用不等号连接，二者性质、解法均不同。 知识点02不等式的基本性质★★★ 性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变。 用字母表示：若a > b，则a ± c > b ± c（c为任意数或整式）。 性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 用字母表示：若a > b，c > 0，则ac > bc（或> ）。 性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 用字母表示：若a > b，c < 0，则ac < bc（或）。 易错提醒：性质3为高频易错点，切记变号。 知识点03一元一次不等式的定义★ ★定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：ax + b > 0（或< 0、≥ 0、≤ 0），其中a ≠ 0（a、b为常数）。 关键要点（缺一不可）：只含一个未知数（通常用x表示）； 未知数的次数为1； 不等号两边都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数）； 未知数的系数a ≠ 0（否则未知数会消去，不再是一元一次不等式）。 知识点04一元一次不等式的解法 ★核心思想：类比一元一次方程的解法，利用不等式的性质，将不等式逐步化为“x > a”“x < a”“x ≥ a”“x ≤ a”的最简形式（注意：乘除负数变号）。 规范解题步骤： （1）去分母：在不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母（注意：最小公倍数为负数时，不等号方向改变；不含分母的项也要乘）； （2）去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），去掉括号； （3）移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边（移项要变号，与方程移项规则一致）； （4）合并同类项：分别合并含未知数的项和常数项，化为“ax > b”（或其他不等号）的形式； （5）系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数a（注意：a > 0，不等号方向不变；a < 0，不等号方向改变）； （6）检验（可选，推荐）：将解得的解集代入原不等式，验证是否成立； （7）表示解集：用文字、符号或数轴表示解集）。 知识点05一元一次不等式的解集★★ ★定义：使不等式成立的所有未知数的值，叫做这个一元一次不等式的解集 解集的表示方法： 1.符号表示：直接用不等号表示，例如x > 5、x ≤ -2、-3 < x ≤ 4； 2.数轴表示（步骤、图例如下） ： （1）画数轴：标出原点、正方向、单位长度； （2）定边界：不等号为“>”“<”时，边界点画空心圆圈（表示不包含该点）；不等号为“≥”“≤”时，边界点画实心圆点（表示包含该点） 题型解析◆精准备考 题型1不等式的定义 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 3．根据下列数量关系写出不等式． (1)x与5的和的不大于； (2)m除以4的商加上3至多为5； (3)a与b两数和的平方不小于3． 题型2不等式的解集 1．设，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 3．已知点在第一象限，且到轴的距离为，求点到轴的距离． 题型3不等式的性质 1．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．比较大小：____________；___________ ，(填“”“”“”） 3．下列式子是否正确？为什么？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则． 题型4一元一次不等式的定义 1．下列哪项是一元一次不等式（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 3．已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 题型5求一元一次不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为______． 3．解不等式：． 题型6求一元一次不等式的整式解 1．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．不等式的正整数解为______． 3．按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 题型7在数轴上表示不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是________． 3．解不等式，并将解集在数轴上表示． (1) (2) 题型8求一元一次不等式解的最值 1．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A．B．C． D． 2．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 3．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 题型9列一元一次不等式 1．2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 2．与的和的3倍与4的差是一个非负数，列不等式为______． 3．用适当的符号表示下列不等关系： (1)的一半小于5； (2)的与的2倍的和是非正数． 题型10用一元一次不等式解决实际问题 1．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 2．某商品的进价为元，售价为元，“五一”期间打折促销，但要保证利润率不低于，则最多可打_____折． 3．为进一步落实“乡村振兴”工程，临川区某乡镇在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，A种蔬菜至少种植多少亩？ 题型11用一元一次不等式解决几何问题 1．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    3．在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 过关检测◆提升 一、单选题 1．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 3．若，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 5．已知一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则该不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 7．根据“x的3倍与8的和不小于x的4倍”，可列不等式为_________． 8．如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 9．写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 10．写出不等式的一个整数解：___________． 11．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 三、解答题 12．已知． (1)判断不等式是否成立？并说明理由； (2)若成立，则应满足的条件是______． 13．列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 14．某加工车间有名工人，全部生产螺钉或螺母，已知每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母． (1)为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺母，多少名工人生产螺钉？ (2)在（1）的条件下，若一个螺钉的销售利润是元，一个螺母的销售利润是元，工厂规定该车间每月所生产产品的销售利润不少于万元，则名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？(天数取整数) 15．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $