专题06立方根、实数及其简单运算期中复习讲义（14大题型+重点知识梳理）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

专题06立方根、实数及其简单运算期中复习讲义 期中复习◆重点 定义：立方根的定义为，若=a，则x=，其中根指数3不可省略；实数是有理数与无理数的统称，且实数与数轴上的点一一对应。 性质：任意实数都有且只有一个立方根，其符号与被开方数保持一致；实数具备相反数、绝对值、非负性等基本性质，其中无理数常见类型包括含π的数、开方开不尽的数等。 应用：核心应用为区分立方根与平方根的差异，准确识别无理数，以及运用实数的非负性解决相关问题。 运算：实数运算需遵循“先算方根，再算乘除，最后算加减”的顺序，熟练掌握立方根的求解及实数混合运算，规避符号判断、绝对值化简等常见易错点。 核心题型◆归纳 题型1立方根的概念 题型2已知一个数的立方根，求这个数 题型3与立方根有关的规律探索 题型4立方根的实际应用 题型5算术平方根和立方根综合应用 题型6实数的概念、分类 题型7实数的性质 题型8实数与数轴 题型9实数的大小 题型10实数的混合运算 题型11新定义下的实数运算 题型12实数运算的实际应用 题型13与实数运算相关的规律题 题型14提升测试 重点知识◆梳理 知识点01、立方根的概念与性质 1.概念：若 = a，则x=（三次根号，根指数3不可省略）。 2.性质：① 任意实数有且只有一个立方根，符号与被开方数一致； ②=-（任意实数a均成立）；③(==a(任意实数a均成立) 知识点02、开立方 开立方是求立方根的运算，是立方的逆运算。 核心：根指数3不可省；正数开立方得正，负数得负，0得0； 小数、分数可转化为整数立方简化计算。 知识点03利用立方根解方程 核心：将方程化为 = k（k为常数），两边同时开立方得x=. 例如：解方程 - 8 = 0，移项得 = 8，解得x ==2 知识点04无理数 1.概念：无限不循环小数，不能化成分数（a、b为整数，b≠0）。 2.常见类型：含π的数、开方开不尽的数、特殊构造的无限不循环小数（如0.1010010001…）。 知识点05实数概念及分类 1.概念：有理数和无理数的统称，与数轴上的点一一对应。 2.分类：① 按定义：实数 ； ② 按符号：实数 知识点06实数的性质 1.相反数：a的相反数为-a，互为相反数则a + b = 0； 2.绝对值：|a| =，具有非负性； 3.倒数：非0实数a的倒数为，互为倒数则a×b = 1； 4.大小比较：正数>0>负数，无理数可通过估算比较。 知识点07易错点提醒（重点） 1.立方根：勿省略根指数3，勿误判负数无立方根，牢记= - 2.无理数：无限循环小数是有理数，开方开尽的带根号数是有理数，含π的数是无理数； 3.运算：遵循“方根→乘除→加减”顺序，正确化简绝对值； 4.性质：牢记实数非负性，勿认为0有倒数，不混淆相反数与倒数。 知识点08常考题型 1.立方根相关：求立方根、利用立方根性质求值、区分立方根与平方根（选择题）； 2.解方程：如 + 27 = 0、2(x - 1)3 - 16 = 0； 3.无理数识别：判断所给的数是否为无理数（选择题）； 4.实数分类与性质：实数分类、利用非负性等性质求值. 题型解析◆精准备考 题型1立方根的概念 1．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 2．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 3．已知与互为相反数，求a的值． 题型2已知一个数的立方根，求这个数 1．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 2．已知，则的算术平方根为______． 3．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的算术平方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 题型3与立方根有关的规律探索 1．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 2．观察．推测：若，则_____． 3．观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 题型4立方根的实际应用 1．体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 2．有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 3．一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 题型5算术平方根和立方根综合应用 1．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 2．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 3．已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 题型6实数的概念、分类 1．下列实数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D．3.141592 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是______． 3．将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 题型7实数的性质 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．的相反数是_______，绝对值是_______；若，则_______． 3．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 题型8实数与数轴 1．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是：（    ） A． B． C． D． 2．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为_____ ． 3．先化简，再求值：，其中实数、在数轴上的位置如图所示． 题型9实数的大小 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．3 D． 2．比较大小：______（填“”或“”或“<”） 3．在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”连接起来． 题型10实数的混合运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若实数，满足，求________． 3．计算：． 题型11新定义下的实数运算 1．、、、为实数，现规定一种新的运算：那么时，等于（   ） A．1 B．2 C．3 D． 2．对于a，b有，如．根据定义的新运算，计算：的值______． 3．定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． (1)求4⊕的值； (2)若⊕，求x的值． (3)若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 题型12实数运算的实际应用 1．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 2．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 3．已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 题型13与实数运算相关的规律题 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，…，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算________________． 3．发现与探索规律： (1)用“”“”或“”填空： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； (2)观察以上各式，请你用一个含有字母a，b的式子表示上述的规律 ． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 2．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 5．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 二、填空题 6．实数的相反数是______． 7．比较大小：___________． 8．计算：______． 9．如图，正方形的面积是10，点A在数轴上表示的数为1，如果点P是数轴上在点A右侧的一点，并且，则点P在数轴上对应的点是__________． 10．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如，那么_____． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 12．已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 13．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 14．对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 15．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 16．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06立方根、实数及其简单运算期中复习讲义 期中复习◆重点 定义：立方根的定义为，若=a，则x=，其中根指数3不可省略；实数是有理数与无理数的统称，且实数与数轴上的点一一对应。 性质：任意实数都有且只有一个立方根，其符号与被开方数保持一致；实数具备相反数、绝对值、非负性等基本性质，其中无理数常见类型包括含π的数、开方开不尽的数等。 应用：核心应用为区分立方根与平方根的差异，准确识别无理数，以及运用实数的非负性解决相关问题。 运算：实数运算需遵循“先算方根，再算乘除，最后算加减”的顺序，熟练掌握立方根的求解及实数混合运算，规避符号判断、绝对值化简等常见易错点。 核心题型◆归纳 题型1立方根的概念 题型2已知一个数的立方根，求这个数 题型3与立方根有关的规律探索 题型4立方根的实际应用 题型5算术平方根和立方根综合应用 题型6实数的概念、分类 题型7实数的性质 题型8实数与数轴 题型9实数的大小 题型10实数的混合运算 题型11新定义下的实数运算 题型12实数运算的实际应用 题型13与实数运算相关的规律题 题型14提升测试 重点知识◆梳理 知识点01立方根的概念与性质 1.概念：若 = a，则x=（三次根号，根指数3不可省略）。 2.性质：① 任意实数有且只有一个立方根，符号与被开方数一致； ②=-（任意实数a均成立）。③(==a(任意实数a均成立) 知识点02开立方 开立方是求立方根的运算，是立方的逆运算。 核心：根指数3不可省；正数开立方得正，负数得负，0得0； 小数、分数可转化为整数立方简化计算。 知识点03利用立方根解方程 核心：将方程化为 = k（k为常数），两边同时开立方得x=. 例如：解方程 - 8 = 0，移项得 = 8，解得x ==2 知识点04无理数 1.概念：无限不循环小数，不能化成分数（a、b为整数，b≠0）。 2.常见类型：含π的数、开方开不尽的数、特殊构造的无限不循环小数（如0.1010010001…）。 知识点05实数概念及分类 1.概念：有理数和无理数的统称，与数轴上的点一一对应。 2.分类：① 按定义：实数 ； ② 按符号：实数 知识点06实数的性质 1.相反数：a的相反数为-a，互为相反数则a + b = 0； 2.绝对值：|a| =，具有非负性； 3.倒数：非0实数a的倒数为，互为倒数则a×b = 1； 4.大小比较：正数>0>负数，无理数可通过估算比较。 知识点07易错点提醒（重点） 1.立方根：勿省略根指数3，勿误判负数无立方根，牢记= - 2.无理数：无限循环小数是有理数，开方开尽的带根号数是有理数，含π的数是无理数； 3.运算：遵循“方根→乘除→加减”顺序，正确化简绝对值； 4.性质：牢记实数非负性，勿认为0有倒数，不混淆相反数与倒数。 知识点08常考题型 1.立方根相关：求立方根、利用立方根性质求值、区分立方根与平方根（选择题）； 2.解方程：如 + 27 = 0、2(x - 1)3 - 16 = 0； 3.无理数识别：判断所给的数是否为无理数（选择题）； 4.实数分类与性质：实数分类、利用非负性等性质求值. 题型解析◆精准备考 题型1立方根的概念 1．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 【答案】D 【详解】解：0，的立方根等于本身． 2．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 3．已知与互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 题型2已知一个数的立方根，求这个数 1．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据立方根的性质可得：， 又∵， ∴． 2．已知，则的算术平方根为______． 【答案】7 【分析】根据立方根和算术平方根的定义进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根为. 3．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的算术平方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义列出关于的方程，解方程求出的值，再根据算术平方根的定义即可求出的值； （2）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴，即， 解得， ∵是的算术平方根，， ∴， 综上，，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 题型3与立方根有关的规律探索 1．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2．观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 3．观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 题型4立方根的实际应用 1．体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：体积为27立方分米的正方体的棱长为． 故选：A． 2．有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 【答案】2 【分析】先根据正方体的体积求出原棱长和扩容后的棱长，再计算棱长的差值即可得到结果． 【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为． 原正方体体积为． ． 设扩容后正方体的棱长为，扩容后体积为． ． 棱长增加量为． 3．一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与立方体棱长的大小． 【详解】解：能． 理由：设铅球的半径为， 根据题意，得 ， 即， ． 设立方体容器从里面测量棱长为， 则， ． ， 铅球能被装到容积为的立方体容器中． 题型5算术平方根和立方根综合应用 1．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 2．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 3．已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根的计算，掌握平方根，立方根和算术平方根的计算方法是解题的关键． 根据的平方根是可得，根据的立方根是可得，将m和n代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴ 解得， ∵的立方根是， ∴ 将，代入得，， ∴， ∴的算术平方根为4． 题型6实数的概念、分类 1．下列实数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D．3.141592 【答案】B 【分析】本题根据无理数和有理数的定义判断，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数， ∴ 选项A：0是整数，属于有理数； 选项B：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 选项C：，2是整数，属于有理数； 选项D：是有限小数，属于有理数． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 3．将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 题型7实数的性质 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．的相反数是_______，绝对值是_______；若，则_______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 3．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 题型8实数与数轴 1．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上实数的大小比较、绝对值的意义．解题关键是根据数轴确定的范围，再利用有理数的运算法则和绝对值的性质判断各选项．根据数轴可得的范围：，逐个判断选项． 【详解】解：选项A：，错误，在右侧，； 选项B：，错误，是正数，； 选项C：，错误，，因此； 选项D：，正确； ·是到原点的距离， ， ． 故选：D． 2．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为_____ ． 【答案】/ 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 3．先化简，再求值：，其中实数、在数轴上的位置如图所示． 【答案】； 【分析】先利用整式的加减法则化简，再利用数轴得出、的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 由数轴可知，， ∴原式． 题型9实数的大小 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：∵正数大于，大于所有负数， ∴和都大于两个负数，可排除， ∴剩余两个负数和，计算绝对值：，， ∵，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”， ∴， 因此四个数中最小的数是：． 2．比较大小：______（填“”或“”或“<”） 【答案】< 【分析】先利用无理数的估算判断两个式子的正负性，再根据实数的大小比较方法判断大小即可． 解题的关键在于正确估算出与的正负． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据负数小于正数，可得． 3．在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查实数大小比较、算术平方根、绝对值、实数与数轴，首先将各数在数轴上表示，再比较大小． 【详解】解：；；， 如图， 所以，． 题型10实数的混合运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 2．若实数，满足，求________． 【答案】5 【分析】本题考查了平方项和算术平方根的非负性，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确计算． 利用非负数的性质，平方项和算术平方根均非负，和为零则每个部分为零，解出x和y的值后代入表达式计算． 【详解】由和，且， 得和， 即， 解得，． ． 故答案为：5． 3．计算：． 【答案】 【分析】先计算立方根、乘方、绝对值和算术平方根，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 题型11新定义下的实数运算 1．、、、为实数，现规定一种新的运算：那么时，等于（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据新定义列出一元一次方程，进而求解即可． 【详解】解：根据题中新运算的定义， ∵， ∴， 解得：． 2．对于a，b有，如．根据定义的新运算，计算：的值______． 【答案】 【分析】直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 3．定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． (1)求4⊕的值； (2)若⊕，求x的值． (3)若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 【答案】(1) (2) (3)1，2，3，6 【分析】本题主要考查新定义，有理数的运算以及解一元一次方程，准确理解新定义是解题的关键． （1）根据定义得到4⊕，即可得到答案； （2）根据定义得到⊕，解一元一次方程即可得到答案； （3）2 ⊕，根据解为正整数且为整数即可求出答案． 【详解】（1）解：4⊕； （2）解：⊕， 解得； （3）解：2 ⊕， ， ， 由于方程的解为正整数，即x为正整数，且为整数， 故当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故整数的值为1，2，3，6． 题型12实数运算的实际应用 1．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 2．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 3．已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 综上所述：的值为或1． 题型13与实数运算相关的规律题 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 2．观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算________________． 【答案】 【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴ ； 故答案为： ． 3．发现与探索规律： (1)用“”“”或“”填空： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； (2)观察以上各式，请你用一个含有字母a，b的式子表示上述的规律 ． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤ (2) 【分析】此题考查了实数的运算规律，准确计算是关键． （1）分别计算左边两数的平方和与右边两数乘积的2倍即可得； （2）由（1）中计算结果知． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤； 故答案为：，，，，； （2）观察以上各式，知：． 故答案为：． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 2．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根与被开方数的关系，掌握这个是解题的关键． 根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 4．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 5．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．实数的相反数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 7．比较大小：___________． 【答案】 【分析】本题使用作差法比较两个实数的大小，通过判断差的正负即可得到结果． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ． 8．计算：______． 【答案】/ 【分析】先根据绝对值的性质化简绝对值，再计算有理数的乘方，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解： ． 9．如图，正方形的面积是10，点A在数轴上表示的数为1，如果点P是数轴上在点A右侧的一点，并且，则点P在数轴上对应的点是__________． 【答案】 【详解】解：正方形的面积是10， ∴， ∵点A在数轴上表示的数为1， ∴点P在数轴上对应的点是 ． 10．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如，那么_____． 【答案】/ 【分析】先求，再求即可． 【详解】解：， ∴． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）首先根据的平方根是，的立方根为2可得，，从而即可求出a与b的值； （2）把（1）中的a与b的值代入，求出它的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴，解得； ∵的立方根为2， ∴， 解得：． （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是：． 13．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 14．对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（）按照给出的方法进行计算即可； （）按照给的方法进行整理后，再整体代入进行求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：, ∵, ∴原式， 故的值为． 15．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 16．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $