山东淄博市张店区2025-2026学年度第二学期阶段性学业水平测试九年级数学试题

2025—2026学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 数 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上) 脚 1在-号，-7，-5，-巨这四个数中，最小的无理数是 22 (A)- 7 (B)-327 (c)-5 (D)-√2 2.米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器。如图1是一种 无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图为 毁 正 图1 图2 杯 (第2题图) (A) (B) (C) (D) 3.2026年，农历丙午年，也是马年。中国邮政于2026年 120: 1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的 骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先” 的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量。此 次计划发行套票26680000套，将26680000用科学 中国邮酸CHINA 《丙午年》邮票 记数法表示应为 (第3题图) 荞 知 (A)2668×104 (B)2.668×107 (C)2.668×108 (D)0.2668×108 初四数学试题第1页共8页 4.如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD,将ABCD沿EF折叠，A,D两点分别与 A',D'对应。若∠I=∠2，则∠AEF的度数为 (A)55° (B)60° (C)65° (第4题图) (D)70° 5.4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近 一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图。 人数 16 10 9 10 时间 (第5题图) 则在本次调查的这组数据中，众数和中位数分别是 (A)8,8 (B)8,8.5 (c)9,8.5 (D)9,9 6.如图，四边形AOBC的顶点A,B,C在⊙O上，点E在BC的延长线上，若∠ACE=68°， 则∠AOB的度数为 (A)112° (B)126° (C)136° (第7题图) (D)158° (第6题图) 7.小颖同学早晨出门跑步时，离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间大致的函数图 象如图所示。若用点A表示小颖家的位置，则小颖跑步的路线有可能是 (A) (B) (C) (D) 8. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著。该著作记载 了“买橡多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株橡。每株脚钱三文足，无钱准 初四数学试题第2页共8页 与一株椽”。大意是：现请人代买一批椽，这批橡的价钱为6210文。如果每株椽的 运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210 文能买多少株橡（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）？设这批橡有x株，则符 合题意的方程是 6210 6210 6210 6210 (A) =3(x-1)(B) -=3x (C) =3 (D) =3(x-1) x-1 x-1 9.爱思考的小明同学在学习了“反比例函数”与“二次函数”之后，利用数学绘图软件 琛究了函数y二+加 是一(k,a,b是常数)的图象，小 明在输入k=5及a,b的一组值后得到如右图所示的函数 图象。则下列关于小明输入的a,b的值，判断正确的是 (A)a>0,b>0 (B)a>0,b<0 (C)a<0,b<0 (第9题图) (D)a<0,b>0 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：y=1与直线l2:x=2相交于点A,以点 P(m,1)为圆心m(m>0)为半径的⊙P交直线l,于点B,C(点C在点B右 边)，连接OC，交⊙P于点D,在x轴上方的直线l2上取点2，连接O2,D0。 现有以下结论： ①OC2+AC2的最小值是3； ②DQ的最小值是号 ③02+Dg的最小值是V65-1, (第10题图) 2 ④当00+D0取得最小值时，m的值恰好为V65+!。 16 则其中正确的结论有 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 初四数学试题第3页共8页 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分.不需写出解答过程，请把最后 结果直接填写在答题纸的相应位置上) 1,写出使分式2有意义的x的一个值 x-3 12.因式分解：x2+2x+1= , D 13。如图，已知点A（-3,2),B(1,-2),连接AB, B 将线段AB平移得到线段CD。若点B的对应点是D(5, (第13题图) 0),则点A的对应点C的坐标是 14.如图，在△ABC中，∠ABC=105°，AC=√3+1，将△ABC 绕点C顺时针旋转90°得到△FEC（点A的对应点是点 F),连接AF,BE,并延长BE交AF于点D,则AD C 的长为 (第14题图) 15.在平面直角坐标系x0y中，对于点A（1,),B（x2,y2),若1-y2=2(:-x2), 则称点A和点B互为“和谐点”。已知C是以O为圆心1为半径的⊙O上的一点，若 反比例函数y=上(k≠O)的图象上存在点C的和谐点D,则k的取值范围是」 些 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把相应题目的解答过程写在答题纸的相应位 置上) 2 16.先化简，再求值：1-x x2-4 ,其中x=3。 x2+4x+4 17.如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD,取边BC的中点E,连接DE并延长交AB的 延长线于点F。 (1)求证：△CED≌△BEF; (2)如图2，连结AE,当AE=3,DE=4,AD=5时，求四边形ABCD的面积。 蠕 图1 (第17题图) 图2 初四数学试题第4页共8页 18.已知二次函数y=x2+4x-6。 (1)利用配方法将y=x2+4x-6化成y=a(x-h)2+k的形式，并直接写出该二次 函数的顶点坐标和对称轴； 数 (2)如果在该二次函数的图象上有两点A（m,),B（m+1,y2),其中 y+y2=5,求m的值。 黜 19.为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文体育观 念，营造浓厚体育氛围，强健学生体魄，砥砺学生意志。该校对七、八年级部分学 生每周的锻炼时间（单位：h)进行统计，按照每周锻炼时间分成四组，A:0≤x<3; B:3≤x<6;C:6≤x<9;D:9≤x≤12，并绘制了如图1、2两幅不完整 的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆 心角的度数为。，并补全条形统计图； 杯 (2)若该校八年级共800名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的 学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从 黛 这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年 级各1名同学的概率。 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 人数 ■七年级 口八年级 抽取学生每周锻炼时间的扇形统计图 14 0 A 20% 荞 相 208642 B D 组别 图1 图2 (第19题图) 初四数学试题第5页共8页 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=《(>0)的 图象相交于A（2,m),B两点，过点A作AC⊥x轴于点C,连接BC。 (1)求该反比例函数的表达式并直接写出 点B的坐标； (2)若点D在该反比例函数的图象上，当 SaMm一c时，求点D的坐标 (3)请直接写出关于x的不等式2x>上的解集。 (第20题图) 21.如图1，是某地某河段上的斜拉桥。该地某校九年级一数学实践小组计划运用所学知 识，测量该斜拉桥桥面上桥塔的高度，该数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识 后，制定了如下方案： B 图1 (第21题图) 图2 【数据采集】 如图2，EF是水平的斜拉桥桥面，点A是竖直桥塔顶部一点，AB即为桥塔的高度。 无人机在桥塔上方点C处时，测得桥塔顶部A处的俯角∠DCA=37°，底部B处的俯 角∠DCB=59°，无人机沿水平方向由点C向前飞行56米到达点D处，在D处测得A 处的俯角∠CDA=45°，已知图中各点均在同一竖直平面内。 【数据应用】 请根据以上数据求桥塔AB的高度。（结果精确到1米） 参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75。 初四数学试题第6页共8页 22.小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究。如图1，在菱形ABCD 和等腰三角形CEF（CF=EF)中，∠ABC=2a,∠FCE=,连接AE,取AE的 中点M,并连接DM,FM。 【初步探究】 (1)小强发现：如图2，当α=45°时，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一周， 线段DM与FM之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不 变的数量关系和位置关系； 【再次探究】 (2)小强又发现：如图3，当=30°时，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一 周，线段DM与FM之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个 不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明； 【深入探究】 (3)小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一周，线段 DM与FM之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变 的数量关系和位置关系。（其中的数量关系用含“的式子表示） M 2a B60 图1 图2 图3 (第22题图) 初四数学试题第7页共8页 23.如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象经过边 长为4的等边三角形AOB的三个顶点，已知等边三角形AOB的边OB在x轴的正半 轴上，P,Q分别是边OB,AB上的动点，且AQ=2OP,连接Pg。 (1)求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的表达式： 路 (2)如图2，C是x轴上方二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象上的一个动点， 连接CP,CQ。问当OP=1时，△CPQ的面积是否存在最大值，若存在，请 求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形AOB的边A0上取中点D,连接DP.间DP+5PQ的 3 值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由。 牌 图 图2 图3 (第23题图) 烯 初四数学试题第8页共8页 2025一2026学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学答题卡 注意事项： 1- 考号和选择题必须使用2B铅笔 考号（班号）填涂区 填涂，修改时用橡皮擦干净： ! 2、 非选择题必须使用黑色墨水的钢 笔或签字笔，超出答题区域书写 回 o 的答案无效： 回 3、 保持答题纸面清洁，不要折叠、 回 回 ② 2 回 2 不要弄皱。 回 3 回 回 4 缺考标记 口 回 回 回 国 回 5 ⑧ 6☐ 回 7 回 回 8 9 9 9 可 9 9 9 第一卷 选择题 （满分：40 分) 回 4 回 回 7 A 8 回 回 10囚回 回 D 2 回 回 5 回 o 回 因 8 ©☑ 回 囚 回 a 6 四 ☑ D 9 A 8 回 第二卷 主观题（满分： 110分) 如装 11. 12. 白 14. 15. (每题4分，共20分) 16.(10分) 17.(10分) 林还 初四数学答题 18.(10分) 19. (10分) 抽取学生每周锻炼时间的条形统图 个人数 四七年级 1 口八年级 抽取学生每调锻炼知时间的扇形统计图 108642 D B 组别 图1 图2 20.(12分) 1而 21.(12分) C5 45D A E B F 22.(13分) 2a 图1 图2 D M B4 60 图3 初四数学答题卡共2页 23.（13分) 图1 图2 图3 (第23题图) 2页 第2页 2025一2026学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题答案及评分标准 (仅供参考) 一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 及 B B D D 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.5（不唯一，不是3的任何实数)； 12.(x+102; 13.(1,4)；.14.6; 15.-各≤k<0或k>0. 三、解答题（共8小题，共90分） 16.（本题共10分) 解：1-x)÷ x2-4 x+2x2+4x+4 =x+2-x (x+2)2 …4分 x+2 (+2)(x-2) 、2 …8分 x-2 将x=3代入得，原式=2三2 x-23-2 =2。…10分 17.（本题共10分) （1)证明：AB∥CD, 。∠CDE=∠BFE,∠DCE=∠FBE,…2分 E是边BC的中点， °.CE=BE,… 3分 在△CED和△BEF中 ∠CDE=∠BFE ∠DCE=∠FBE, CE=BE 初四数学试题答案及评分标准第1页（共8页) ∴.△CED≌△BEF;…5分 (2)△CED≌△BEF, ∴.DE=EF，SACED=SABEF' S△ADF=S四边形MBCD’7分 AE=3,DE=4,AD=5, 图1 图2 ∴.△AED是直角三角形， .AE⊥DF,…8分 DF=DE+EF=2DE=2×4=8, 5or-4,DF-3X8=12,…9分 2 2 S四边形ABCD=12, 即，四边形ABCD的面积为12。…10分 18.(本题共10分) 解：（1)y=x2+4x-6 =x2+4x+4-4-6…1分 =(x+2)2-10…3分 顶点坐标为（-2，-10)，对称轴为直线x=-2;…5分 (2)因为，点A（m,h),B(m+1,y2)在该二次函数的图象上， 所以，=m2+4m-6,…6分 y2=(m+1)2+4(m+1)-6, =m2+6m-1…7分 因为，y+y2=5, 所以，m2+4m-6+m2+6m-1=5, 即，m2+5m-6=0,…8分 解得，m1=1，m2=-6, 所以，m的值为1或-6。…10分 初四数学试题答案及评分标准第2页（共8页） 19.(本题共10分) 解：（1)80,162，…4分 人致 20 翻七年级 18 口八年级 614 12 10 4……6分 6 2 0 A B D 组别 (2)八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为： 800× 14 =280人； …8分 40 (3) 开始 七年级学1 七年级月为 八年级同学1 八年级阿学2 七年级同学八年级同学1八年级同学七年学1八年级1八年级网为 七年级同1七年级同学2八年级同学 七年缓同州七年级同的八年级同学： 恰好透中七年级和八年级各1名同学的概率为：P(七年级年级和八年级各学)=8=2 1239 …10分 20.(本题共12分) 解：(1)因为，正比例函数y=2x与反比例函数y=(>0)的图象相交于A(2,m), B两点， 所以，将A（2,m)代入y=2x中得，m=2×2=4, 所以，点A的坐标为（2,4)，…1分 所以，将A(2,4)代入y=中得，k=2×4=8, 8 所以，该反比例函数的表达式为y=°， …2分 x 初四数学试题答案及评分标准 第3页（共8页) 点B的坐标为(-2，-4)；…4分 (2)因为，A（2,4),B(-2,-4), 所以，了c=4C--2=41-=4×,-2到=8，…6分 2 2 2 因为，点D在反比例函数y=8的图象上， 所以，设点D的坐标为(xD, 8), XD 所以，S%40=4C-=9---21=2引n-21,8分 2 2 2 3 因为，S△ACD=S△ABC, 4 所以，21x0-22×8,解得，=-1或0=5， 4 所以，y0=8=8 xp -1 =-8或yo=8=8 XD 5 所以，点D的坐标为（-1，-8)或(5,8)；…10分 (第20题图) 5 (3)x>2或-2<x<0。…12分 21.（本题共12分) 解：延长BA交CD于点M,由题意知BM⊥CD, 设DM=x(米)，则CM=56-x（米)， C 37 D .'∠CDA=45°， 45 ∴.AM=DM=x（米)，3分 .∠DCA=37°， ∴.tan37°= 56-x 56二≈0.75，解得，x≈24（米，…7互 ∴.AM≈24（米)，CM≈56-24=32（米)，…8分 .∠DCB=59°， 初四数学试题答案及评分标准第4页（共8页） tan59°≈AB+24 32 :4B+24≈1.66，解得，AB≈29（米）， 32 答：桥塔AB的高度约为29（米)。…12分 22.（本题共13分) 解：（1)DM=FM,DM⊥FM;…2分 (2)线段DM与FM之间的数量关系是FM=巨DM,位置关系是FM⊥DN. …4分 证明：延长DM至点N,使NM=DM,连接NE并延长交直线CD于点G, 点M是AE的中点， .AM=EM, 在△ADM和△ENM中 「AM=EM ∠AMD=∠EMN, DM=NM ∴.△ADM≌△ENM, ∴.AD=EN,∠ADM=∠ENM, ∴.AD∥EN,即AD∥NG,…5分 菱形ABCD,=30°， ∴.AD=CD,∠ABC=2=2×30°=60°， ∴.EN=CD,∠ADC=∠ABC=60°， .∠EGC=60°，…6分 等腰三角形CEF中CF=EF, ∴.∠CFE=120°， .∠CFE+∠EGC=120°+60°=180°， ,∴.在四边形CFEG中，∠FCG+∠FEG=180°， 即，∠FCD+∠FEG=180°，… …7分 .∠FEN+∠FEG=180°， 初四数学试题答案及评分标准第5页（共8页） ∴。∠FEN=∠FCD,…8分 在△ENF和△CDF中 EN=CD ∠FEN=∠FCD, EF=CF ∴.△EWF≌△CDF, ∴.NF=DF,∠EFN=∠CFD, ∴.FM⊥DN,∠EFN+∠EFD=∠CFD+∠EFD=∠CFE=120°，9分 即，∠DFN=120°， .∠FDM=∠FWM=30°，…10分 .Fu DM F-tan∠FDM=tan30=5 3 即，M=5DM, 3 :线段DM与M之间的数量关系是FM=5DM,位置关系是FM1DN; 3 …11分 (3)线段DM与FM之间的数量关系是FM=tana·DM,位置关系是FM⊥DW。 …13分 23.(本题共13分) 解：（1)因为，等边三角形AOB, 所以，点A是二次函数y=a+bx+c(a≠0)的顶点，…1分 因为，OB=OA=4,∠AOB=60°， 所以，x4=2,y4=im60°.0A= ×4=2W3,点B的坐标为(4,0)， 2 所以，顶点A的坐标为（2,25)，3分 所以，二次函数y=am2+bx+c=a(x-2)2+2√5，…4分 将点B的坐标(4,0)代入y=c-22+25中，得a=-5 初四数学试题答案及评分标准第6页（共8页) 以该二次函数的表达式为y=-c-2+2W3=-x2+2以 2 5分 (2)过点C作CM∥y轴，交PQ于点M, 设点C的坐标为(m,-5m2+25m），…6分 2 因为，OP=1,AQ=2OP, 所以，点P的坐标为(1,0)，A2=2, 因为，等边三角形AOB,AB=4, 所以，B2=AB-AQ=4-2=2, 所以，2=0B-os600.B0=4-×2=3, 2 2=sm60°，82=5x2=5, 2 所以，点2的坐标为（3，√5)，…7分 设直线P2的表达式为y=c+n, 将P(1,0),9(3,√3)代入y=c+n中得， [k+n=0 3k+n=V5, 解得， 2 n=- 2 所以，直线PQ的表达式为y=5x-5, -X- 2 2 则，点M的坐标为（m,5m-5),…8分 -m- 2 2 所以，S△Pce=S△PCM+Sac2M =CM-(e-p）+CM-(g-o 2 2 初四数学试题答案及评分标准第7页（共8页） =e-yw)(2-xp） 2 ，32士23m一27十2“3② 2 2 m-多+135 、3 …10分 21 8 所以，当m时，△CPQ的面积存在最大值为 8 …11分 (3)DP+5P2的值存在最小值，这个最小值为2万. …13分 3 初四数学试题答案及评分标准第8页（共8页）