题号猜押07 湖南中考数学23～24题（解答题）（湖南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 湖南中考数学23~24题（解答题） 考点1 函数的新定义问题（新考法） 1．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． (3)已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． 【答案】(1)√，×，× (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）先判断函数与轴交点坐标，进而由“点函数”定义判断即可； （2）由题意可知，整理得，进而得到无论取何值，该函数一定经过点，据此得证； （3）由题可得，再根据，以及可得点，，进而得出函数解析式为，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证，得到相关线段长度，设，则，由勾股定理列方程求解得到点的坐标，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：① 图象与轴交于点， ∴是“点函数”； ②图象与轴交于点， ∴不是“点函数”； ③图象与轴无交点， ∴不是“点函数”； （2）证明：若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，则， 整理得， 令，即时，， ∴无论取何值，该函数一定经过点， ∵点在第三象限， ∴无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限； （3）解：∵二次函数是“点函数”， ， ， ∵该函数的图象与轴相交于点，两点， 则， ∴，， ， ∴， ∴点，，， ， ∴函数解析式为， 连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： 则， ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在等腰中，，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， ， 则 解得或， 又，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式， 得，解得 ∴直线的解析式为， 联立得， 消去得，则， 解得或， 则或， 点是该函数图象在第一象限内的动点， ∴点的坐标为． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． (1)已知点为“镜像点”，求的值； (2)根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． (3)关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ (3) 【分析】（1）根据“镜像点”的定义将点关于直线的对称点代入即可求出的值； （2）设点是“镜像点”，将关于直线的对称点代入，即可判断①；通过函数图象的翻折变换，函数图象的平移变换，即可判断②；由“镜像点”的定义可求出直线，即可判断③； （3）由“镜像点”的定义可求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数的最值可求出，代入可求出，最后利用不等式的性质可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点为“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把代入，得， 解得． （2）解：①设点是“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把点代入，得， ∵， ∴， ∴点在函数的图象上，即符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， ∴①错误； ②由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 由函数图象的平移变换可得：函数可由向右平移个单位长度得到， ∵的图象与的图象关于轴对称，即将函数的图象沿轴翻折后即是函数的图象， ∴②正确； ③由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 把点代入，得， 把代入直线，得，解得：， 令，则；令，则，解得：， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为， ∴③正确． （3）解：由题意知，点为“镜像点”，其横坐标为， ∴关于直线的对称点横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为，即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 由（2）得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上，且， 令， 整理得，， ∴， 解得或或， ∵，且点异于点， ∴，都舍去， 将，代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ①当时，抛物线开口向上， ， ∴当时，有最小值，即；当时，有最大值，即， ∵， ∴， ∴， ∴与是矛盾的，故不符合题意，舍去， ②当时，抛物线开口向下， ， ∴当时，有最大值，即；时，有最小值，即， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 综上所述，的取值范围是． 3．（2026·湖南邵阳·二模）某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数（为常数，且）上任意一点到点的距离与到直线的距离相等； (2)将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到抛物线．若点，点是上的一个动点，试求的最小值； (3)在（2）的条件下，设与轴相交于A，B（点在点的右边）两点，顶点为点，点为的对称轴上的一点且平分，点是线段上的动点（点与A，C不重合），连接，将沿折叠得到，记与的重叠部分为．若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）在上任取点，计算出点到点的距离与到直线的距离即可证明结论； （2）根据平移可得抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等，可得的最小值即为点到直线的垂线段的长度，即可求解； （3）分，，三种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）证明：在上任取点， 则， ∵， ∴， ∵点到的距离， ∴上任意点到定点的距离与到定直线的距离相等． （2）解：由（1）知函数的图象上的任意点到点的距离与到直线的距离相等， ∵抛物线是由的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到， ∴点平移到点，直线平移到直线， ∴抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等， 过点作直线的垂线段，垂线段的长即为的最小值， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， 令时，， 解得，， ∴， ∴， 分三种情形讨论： 第一种情况：， ①如图（一）， ∵， ∴， 取点，则在中，，， ∴， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点为的中点，即． ②如图（二）， 当点在上从点到点的运动中，时， 由可知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， 由可知，， ∴， ∴． 第二种情况：， 如图（三）， 由可知，， ∴将沿折叠得到时，点与点重合， ∴此时与重合，即；   第三种情况：， ∵， ∴， 当将沿折叠得到， 若点在上，则， ∴， ∴， 若点在上，则， ∴，即， ∴不存在． 综上所述，满足题意的点的坐标为． 4．（2026·湖南·模拟预测）我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 【答案】(1)直线是抛物线的亲密线，亲密点为． (2) (3)①；② 【分析】（1）联立函数表达式，求解交点坐标即可判断是否为“亲密线”，得出“亲密点”； （2）设直线为，由交点问题得出方程，转成一元二次方程后由得出与的关系，再计算出面积表达式，代入求解即可； （3）①由交点假设出与的函数表达式，由“亲密线”概念得出、的表达式，结合方程的概念以及韦达定理得出，再代入求解即可；②设直线，故得方程，由韦达定理得，，结合①中，得，把，代入，化简后得方程，把，，代入方程，可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：联立，得， ∴， 方程有两个相等解为， ∴直线是抛物线的“亲密线”，“亲密点”为． （2）解：可设直线为， 变形为， 由题知，， 即， 直线分别与轴、轴交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：①设，， 令， 得方程， ∵，，， 由“亲密线”可知：， 即， ∴方程的解，（ⅰ） 同理可得：， 且，（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）知，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 当时，； ②由抛物线知， 设直线， 令， 即， 由韦达定理得，， 又知， ∴， 即， 把，代入， 得， 即， 把，，代入上式中， 得， 整理可得：． 5．（2026·湖南张家界·一模）定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“湖湘对偶函数”． (1)判断函数是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； (3)已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)函数不是“湖湘对偶函数”，见解析 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且，得到方程组，求解即可判断； （2）由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组，化简得，继续化简得，再代入， 整理为，再由求解即可； （3）点的“对偶点”为，代入，求出函数解析式为，然后求出，，，则，则，那么．设，则，得，求出，再代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且． 联立方程组 解得 此时，不满足． 故函数不是“湖湘对偶函数”． （2）解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组 化简得． 因为，两边除以，化简得 代入， 整理为， 因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解， 故判别式， 所以； （3）解：点的“对偶点”为，代入， 得，解得， 故函数解析式为． 令，得， 解得或． 故，， 所以． 令，得，故， 故， 由题意得． 设，则，得． 当时，，，无实根． 当时，，即， 解得， 所以点P的坐标为或． 6．（2026·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线 ，，是常数， 图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 【答案】(1)； ； (2)直线过定点 (3)最小值为 【分析】（1）根据“失衡点”和“平衡点”的定义进行判断； （2）设，，可得方程组：，整理得，由韦达定理得：，根据“失衡点”的定义可知：、中一个点坐标为，所以可知，可得直线过定点； （3）根据“失衡点”的定义，可知，根据、是抛物线上的一对“平衡点”，可得，所以当时，取得最小值为． 【详解】（1）解：①中，，无论取何值，都有， ， 不存在一对“失衡点”， 函数不是“完备函数”， 故①错误； ②函数中， 整理可得：， ， ， ， 整理得：， 当时，取任何值都有， 函数上存在无数对“失衡点”， 故②正确； ③若点与点是一对“平衡点”， 则有， 整理得：， 则有， 点与点一定不是一对“失衡点”， 故③错误； （2）解：设，， 根据题意可得：， 消整理得：， 由韦达定理得：， 又， ，， 、是抛物线上的一对“失衡点”， ， 解得：、中一个点坐标为， 将代入， 可得：， ， 直线过定点； （3）解：是等边三角形， 可得：， ， 函数是完备函数， ， 整理得：， 又， 解得：， 、是抛物线上的一对“平衡点”， 令， 整理得：， ， 又， ， ， ， 当时，取得最小值为． 7．（2026·湖南·一模）我们约定：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“和合之美”函数．例如：函数与关于原点O互为“和合之美”函数． (1)函数关于原点O的“和合之美”函数的解析式为 ．函数关于原点O的“和合之美”函数的解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“和合之美”函数，若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“和合之美”函数，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据“和合之美”函数的定义，设函数的“和合之美”函数上一点为，则T关于原点的对称点在原函数上，把的坐标代入原函数解析式即可； （2）由（1）的解答可先求出函数G的表达式，根据二次函数的性质，求出函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大时m需要满足的条件，再求交集即可； （3）先求出函数N的表达式，分别讨论两个函数与线段有几个公共点，再讨论两个函数何时与线段恰有2个公共点即可． 【详解】（1）解：设函数的“和合之美”函数上一点为， 则T关于原点的对称点在函数上， 即，， ∴函数的“和合之美”函数为； 设函数的“和合之美”上一点为， 则T关于原点的对称点在函数上， 即，， ∴函数的“和合之美”函数为； （2）设函数的“和合之美”函数上一点为， 由中点坐标公式可得T关于点的对称点的坐标为，则在函数上， 即，， 若函数在上递增， ∵函数开口向上，对称轴为， ∴， ∵， ∴， 若函数在上递增， ∵函数开口向下，对称轴为， ∴，， ∵， ∴， ∴函数与其“和合之美”函数在上都递增时； （3）二次函数，由（2）解答可得其关于点“和合之美”函数为：，； 如图，函数的图象为M，函数的图象为N， 由图可得：对于函数， ∵令，解得或， ∴函数过、两点， 当处的函数值时，与有一个交点，此时，解得， 当处的函数值时，与没有交点，此时，解得， 对于函数，顶点坐标为， ∵令，解得或， ∴函数过、两点， 当时，与没有交点，此时， 当时，与有一个交点，此时， 当时，且处的函数值时，与有两个交点，此时且，解得， 当两函数与的交点重合时：， 解得或（舍去）； ∴； 当时，且处的函数值时，与有一个交点，此时且，解得， M与没有交点，N与有两个交点时，无解，舍去； M、N分别与有一个交点时，或，即或； M、N与有一个交点重合时，； 综上所述，两函数与恰有两个交点时，或或． 8．（2026·湖南长沙·一模）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，， 都是“等距点”. (1)求反比例函数. 图象上的“等距点”坐标； (2) A、B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； (3)二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 求 的值或取值范围. 【答案】(1) (2)或； (3)当时，；当时， 【分析】（1）设“等距点”的坐标为，根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案； （2）设，，根据函数解析式得出，，求出，，求出直线与x轴交点C的坐标为，根据，求出m的值即可得出答案． （3）根据二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 ，求出，，根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，得出，，求出或，比较大小得出，分三种情况：当时，当时，当时，确定、，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数. 图象在第一象限， ∴设“等距点”的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴反比例函数. 图象上的“等距点”坐标为； （2）解：设，，则： ，， 解得：，， ∴，， 把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交点C的坐标为， 即， 解得：， ∴一次函数解析式为：或； （3）解：∵二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 ， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴二次函数解析式为：， 当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，， 整理得：， 此时， 当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，， 整理得：， 此时， ∵， ∴， ∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”， ∴，， ∴， ∴， ∴方程的解为： 或， 方程的解为： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 当时，，即， 此时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意； 当时，，即， 此时，， ， ∴当时，； 综上分析可知：当时，；当时，． 9．（2026·湖南长沙·一模）已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， (1)若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； (2)若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； (3)已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 【答案】(1) (2)，详见解析； (3)，详见解析 【分析】（1）分别将，代入对应抛物线解析式，解方程组即可得解； （2）根据“和谐抛物线”的定义，结合抛物线的“和谐抛物线”过点，可得，设，得出，进而即可得解， （3）根据“和谐抛物线”的定义，抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，求出点的坐标，根据矩形的性质可得，得出，将，，代入得出，再将代入上式，可得方程，解方程即可求解． 【详解】（1）设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，分别将，代入对应抛物线解析式，得， 解得； （2）由题意可得，抛物线：的“和谐抛物线”为：，将点代入中，得， ∴, ∴, 设， ∵ ∴，即， ∴， ∴时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）∵抛物线的“和谐抛物线”的解析式为， ∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，， ∴，, ∵, ∴， ∴, ∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称， ∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是矩形时，， 如图，过点P作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴代入，得 ∴再将代入上式得，解得（舍去），（舍去），， ∴将代入得， ∴当四边形为矩形时，，． 10．（2026·湖南·一模）阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①②③ (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，正确理解“友好对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据“友好对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“友好对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“友好对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“友好对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“友好对称二次函数”为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 考点2 二次函数与几何综合问题 1．（2026·湖南张家界·一模）如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为__________（直接填写答案）； (3)如图2，连接，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线经过点和点，可得即可求解； （2）当三点共线时，的值最大，据此即可求解； （3）根据等腰三角形两边相等分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴抛物线解析式为： ∴ ∴顶点D的坐标为 （2）解：如图所示： 当三点共线时，的值最大 此时， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点P坐标为， 故答案为： （3）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得： 时， 则， ∴ 时： 则 ∴ ∴ 即： ∴ ∴ ∴ 时： ∵，而 ∴ ∴此种情况不成立 综上所述：或， 2．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)①；②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可； （2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上， 即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得； （3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可； ②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴直线与对称轴交点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴关于对称轴对称， ∴， 当在轴上方时， ∵，， ∴点在直线上， 即为直线与抛物线的交点， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 当在轴下方时， ∵， ∴， ∵直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∵， ∴， ①过作轴于，过作轴于，则， ∵点F恰好与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上任取一点D，直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理由可得， 当在、之间时，， ∴； 当在右边时，， ∴； 当在左边时，， ∴． 3．（2026·湖南·模拟预测）如图，已知抛物线，过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上一动点． a．当，求点的坐标． b．连接线段，设直线交线段于点的面积为的面积为，求最大值． 【答案】(1) (2)a．；b． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、几何图形的旋转变换、相似三角形的判定与性质，以及利用二次函数求最值，解题关键是熟练掌握待定系数法、坐标旋转规律、相似三角形的比例关系，并结合二次函数的性质求解． （1）利用待定系数法，将已知点，代入抛物线解析式，解方程组求出系数，即可得到抛物线解析式； （2）a．利用“构造旋转全等”的方法，将线段绕点顺时针旋转得到，通过求直线的解析式，与抛物线联立求解，得到点的坐标； b．通过作平行线构造相似三角形，将面积比转化为线段比，再结合点的坐标表示出比例式，转化为二次函数，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：把点，代入中， ， 解得 抛物线的解析式为． （2）a．把绕点顺时针旋转90度得， 连接，交抛物线于点，作，交轴于点， ， ， 又 ， ， 在和中： ， ， 令代入，得，即， ，， ， 由待定系数法求出的表达式为． 由， 解得（舍去）， ∴． b．作轴，轴，分别交直线于点． ， ，， ． ． 设． ，, ∴． ∴ ． 当时，有最大值为． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，以及点的坐标得出与的值，即可求出抛物线解析式； （2）由抛物线的对称轴及的长，确定出与两点的横坐标，代入抛物线解析式求出与两点的纵坐标，得出与两点的坐标，再作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D，则点D即为所求，最后利用待定系数法求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S，则，，进一步得；由已知面积之比求出的长，确定出点的横坐标，代入直线的解析式求出点的纵坐标，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，且两点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 把代入抛物线解析式得：， ∴，． 如图，作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D， 则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小． 设直线解析式为，（）， 把代入得，， 解得，， 即直线解析式为， 令得，， 解得，， 即点D的坐标为； （3）解：由（2）得，，， 设直线解析式为，（）， 将代入得，， 解得，， ∴直线解析式为． 如图，设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S， 则，， ∴， ∴． ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或． ∵， ∴或， ∴或， ∴点P的横坐标为或． 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或． 5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）对于平面内任意一点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点．若点是线段的中点，则称为点关于这条抛物线的共轭点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点关于抛物线的共轭点的纵坐标（用含的代数式表示）； (3)设点为平面内任意一点，其共轭点为．已知点在直线上运动，记点的横坐标为． ①当点落在轴上时，求此时的值； ②在①的条件下，若线段上存在一点，使得最小，直接写出点关于抛物线的共轭点的坐标． 【答案】(1) (2)点关于抛物线的共轭点的纵坐标为； (3)①或；②或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据共轭点的定义求解即可； （3）①由题意得，求得，再根据共轭点的定义求解即可； ②要两种情况讨论，根据共轭点的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作平行于y轴的直线， ∴， ∴点M的坐标为， ∵M是的中点， 设，根据中点坐标公式得， ∴， ∴点关于抛物线的共轭点的纵坐标为； （3）解：①∵点P在直线上，横坐标为n， ∴，过P作平行于y轴的直线， ∴， ∵M是的中点，且在x轴上， 根据中点坐标公式得， 整理得， 解得或； ②令，则， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为； 当时， ∴，即， 根据中点坐标公式得； ∵和，直线与轴交于点，此时最小， ∴点关于抛物线的共轭点； 当时， ∴，，根据中点坐标公式得； 作关于直线的对称点， 连接与交于点， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，解得， ∴点， 当时，， ∴， 由中点坐标公式得， 解得， ∴， 综上，点关于抛物线的共轭点的坐标为或． 6．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法，求得二次函数解析式即可解答； （2）表示出平移后的抛物线解析式，将代入求解，再两种情况讨论即可； （3）过点作于点，作交于点，可得，求得点，再将沿翻折得到，延长交与点，求出另一个点即可． 【详解】（1）证明：把点代入，得， ， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点； （2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得或， 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意； ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在， 令， 解得， ， ， ∴直线l为直线， 作点关于直线l的对称点B， ， 如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 此时， 如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点， 根据翻折可得， 过点作于点，延长交于点， 根据翻折可得，，， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则，，，， 可得， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 综上，点或时，． 7．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，作直线． (1)求点B和点C的坐标； (2)如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E．设点D的横坐标为m．请探究如下问题： ①当点E是线段的中点时，求线段的长； ②当四边形是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结交y轴于点P，若平分，求P点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键． （1）分别令和进行计算即可； （2）①由题意求出直线解析式为，设，即可得到，根据点E是线段的中点得到，将代入，解得，即可得到答案； ②只需要，由①知，，得到，即可得到答案； ③根据角平分线定理，得到，设，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：令，， 解得， 点B在点A的右侧， ， 当时， ； （2）解：① ，， 设直线解析式为：， 将，代入，得； ， 解得， ， ， 由题意可设， 过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E， ， 点E是线段的中点， ， ， 将代入， ∴， 解得， ， ， ； ②根据平行四边形的性质，， 只需要， 由①知，， ，四边形是平行四边形， 解得； ③ ，， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， 根据角平分线定理，得到， 设，则， ， 解得， 8．（2026·湖南常德·一模）如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 9．（2026·湖南·模拟预测）已知二次函数的图象如图. （1）求它的对称轴与轴交点D的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由. 【答案】（1） Ｄ（3，0）;（2）抛物线的解析式为；（3）直线CM与⊙D相切，理由见解析. 【分析】（1）根据对称轴公式求出x=﹣，求出即可； （2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可； （3）由抛物线的解析式可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明． 【详解】解: （1）由得 ∴Ｄ（3，0） （2）如图1, 设平移后的抛物线的解析式为 则COC= 令即 得 ∴A，B ∴ ∵ 即: 得 (舍去) ∴抛物线的解析式为 （3）如图2,由抛物线的解析式可得 A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M 过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H, 则 ∴ 在Rt△COD中,CD==AD ∴点C在⊙D上 ∵ ∴ ∴△CDM是直角三角形， ∴CD⊥CM ∴直线CM与⊙D相切 10．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 考点3 几何探究综合 1．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)的长为或 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【详解】（1）解： 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （2）， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 （3）的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． (2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 (3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (4)若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相似，相似比为 (3) (4)或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，结合勾股定理得出，最后再由相似三角形的性质即可得出结果； （2）由等腰直角三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，求出，得到为等腰直角三角形，设，则，结合题意求出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （3）延长交于点，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （4）由（1）可得，由相似三角形的性质可得，分两种情况：当在直线右侧时；在直线左侧时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵点A在对角线上，， ∴，即相似比为； （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∵经过的中点F， ∴， ∵，， ∴， ∴，即相似比为； （3）解：如图，延长交于点，交的延长线于点， ∵、为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即，所在直线的夹角（锐角）的度数为； （4）解：由（1）可得：， ∴， ∴， ∵A，D，E三点在同一条直线上， ∴分两种情况：如图，当在直线右侧时， 设，则，， 作于，于， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在直线左侧时，作于， 则， 设，则， ∴， 作于， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图1，在中，点是边的一点，连接．若． (1)【初步感知】直接写出的值． (2)【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【变式探究】如图3，连接与交于点，连接． ①若，求证：； ②当时，与之间的关系是，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①见解析；②． 【分析】（1）先求得，，即可得到，据此求解即可； （2）连接交于点，证明，求得，推出四边形为平行四边形，再证明，求得，再证明，据此计算即可求解； （3）①证明是斜边上的中线，据此证明即可； ②证明，求得，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：线段与线段之间的数量关系为：， 理由如下： 连接交于点，如下图： ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①延长和相交于点， ∵， ∴， 同理得， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长和相交于点， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·湖南岳阳·一模）【问题提出】 数学课上，李老师提出问题：在四边形中，对角线与相交于点E，，，．试探究： ①若，用含有α的式子表示； ②若，与满足关系式，求k的值． 【方法探究】 九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图： 方法1：延长到点F，使，连接，根据“边角边”容易证得； 方法2：将绕点A逆时针旋转，使与重合，点C的对应点为F，则． 【问题解决】 (1)用含有α的式子表示 ， ； 【应用提升】 (2)借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题： 如图，在四边形中，平分，，，求线段的长． 【拓展应用】 (3)如图，在中，，，点P为内一点，分别连接，，．若，，且．直接写出的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，即可求得；再证明为等腰直角三角形，即可求得，即可解答； （2）可得点四点共圆，作交于点，作交于点，过点作交于点，过点作交于点，求得，利用角平分线的性质求得，再求出，利用相似三角形的判定和性质即可解答； （3）延长，过点作交的延长线于点，连接，证明，可得，再求得，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， ； 方法一：， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，即； 方法二：根据旋转可得， ，，，， ， ，即三点共线， ， 是等腰直角三角形， ，即； （2）解： ， ， ， 四点共圆， 如图，作交于点，作交于点，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， ，， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长，过点作交的延长线于点，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 作交于点， ，， ． 5．（2026·湖南株洲·一模）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 6．（2026·湖南郴州·一模）【问题背景】 如图1，在菱形纸片中，，沿对角线将纸片剪开，得到和，如图2所示． 将按图3摆放，使得点与的中点重合．现将绕点顺时针旋转，旋转到线段与射线无交点时停止．边与相交于点M，边与射线相交于点N． (1)如图3，当点M与A重合时，则______； (2)如图4，当N为边与的延长线的交点时，求证：； (3)如图5，当N为边与线段的交点时，且．设菱形纸片的边长为a，探究线段，之间的数量关系（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）证明，即可得到； （3）作于点，求得，证明，得到，设，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形纸片中，，沿对角线将纸片剪开，得到和， ∴，， 当点M与A重合时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴． 7．（2026·湖南株洲·一模）综合与实践 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 转一转：如图①，在矩形中，点、、分别为边、、的中点，连接、，为的中点，连接．将绕点旋转，线段、和的位置和长度也随之变化． 当绕点顺时针旋转90°时，请解决下列问题： (1)图②中，，此时点落在的延长线上，点落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)图③中，，，求； (3)剪一剪、折一折：在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得（如图④）．点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，求长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可； （2）连接，先证明，得到的比，再根据中位线性质得，等量代换即可； （3）过M作于H，根据折叠性质得，根据角平分线证明出，设，，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用，得到，代入解方程即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∵E、F为，中点， ∴， ∴， ∴， ∵H为中点，G为中点， ∴， ∴； （2）解：， 连接，如图所示， 由题意知，，， ∴， 由矩形性质及旋转知，， ∴， ∴， ∵H为中点，G为中点， ∴， ∴； （3）解：过M作于H，如图所示， 由折叠知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，， 由知，， 即，，   ∵， ∴， ∴， 即，， ∴， 解得：， ∴． 8．（2026·湖南邵阳·一模）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）． 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 考点4 几何的新定义问题（新考法） 1．（2026·湖南长沙·二模）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线． (1)①判断：平行四边形______和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：； (2)如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系； (3)如图4，中，，以为直径的分别交于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接交于点D，求的面积． 【答案】(1)①是；②见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）①根据和谐四边形的定义进行判断即可； ②过点作于点，过点作于点，根据，得到，证明，即可得证； （2）在上取一点T，使得，连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，得到，推出，得到，再利用外角的性质，可得结论； （3）连接，，，设交于，由，得，故，可知和谐四边形中，和谐对角线，即，而，，有，从而，知，，设，由，有，可得，，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形是和谐四边形； ②证明：过点作于点，过点作于点， 则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图中，在上取一点T，使得，连接． ∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线， 由（2）可知：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，，，设交于，如图： 为的直径， ， ， ， ， 和谐四边形中，是和谐对角线，即， ，， ， ， ，， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 同理， ∴， ∴的面积． 2．（2026·湖南怀化·一模）除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，线段相交于点O，若， 证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在线段上，且． ①求的长； ②在第一象限内，是否存在点D，使得四边形为“双直四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，②存在，点的坐标为或 【分析】（1）证，，进而倒角即可得证； （2）①在中，直接利用勾股定理求解即可； ②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，设、的交点为H，先证H是中点，得到点H坐标，再求直线解析式，然后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：四边形是正方形， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形为“双直四边形”； （2）解： ， 设为， 则， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得 ． ②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”． 如图，设的交点为， 是的中点， ． 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 直线的解析式为， 设， （i）当时，， 点的坐标为； （ii）当时， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 此时点的坐标为； （iii）当时， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得或12， 当时，，此时在第四象限，不符合题意． 当时，，此时在第一象限，符合题意． 综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或． 3．（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】（1）①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换，得到，再通过勾股定理解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到． 【详解】（1）解：①根据新定义的意义，得答案为； ②根据旋转相似变换，得到，， 是边长为的等边三角形， ，， ． （2）证明：∵经过得到， ∴． ∴，； ∵经过得到， ∴． ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 4．（2025·湖南衡阳·一模）在中，点是平面内任意一点（不同于A、B、C），若点P与A、B、C中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点 (1)如图，若点是内一点，，，，试说明点是的一个勾股点． (2)如图，已知点是的一个勾股点，且，若，，求的长； (3)如图，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点是的勾股点时，的长为或或 【分析】（1）延长交于，根据三角形的外角得，即可得，即可得； （2）根据勾股定理求出，根据角之间的关系得，根据勾股定理即可得； （3）在中，根据勾股定理求出的长度，分情况讨论：①，②，③，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：如图1所示，延长交于， 是的外角， ∴， ∴， ∴点是的一个勾股点； （2）解：在中，，， 由勾股定理得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，，， 则， ∴； ①如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ②如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ③如图，当时，点为的中点， ， ， 综上所述，点是的勾股点时，的长为或或． 5．（2025·湖南张家界·一模）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，平分，连接，．显然、是半直角三角形． (1)判断：_______半直角三角形（填“是”或“不是”）； (2)求证：； (3)若点D的坐标为，求的长； (4)在（3）的条件下，设交于点F，求与的面积之比． 【答案】(1)是 (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据题中所给“半直角三角形”的定义可直接进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据四点共圆可知，进而问题可求解； （3）连接，设的半径为r，然后根据勾股定理可建立方程，则有，最后根据勾股定理可进行求解； （4）由题意易得，则有，然后可得，延长交于点G，过点A作于H，如图2，进而通过证明，即根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∴是半直角三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D、B、A、E四点共圆， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图1，连接，设的半径为r， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点G，过点A作于H，如图2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 6．（2024·湖南邵阳·模拟预测）我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． （1）下面是某数学小组思考如何证明该命题的部分过程，填写其中的空格： 分析：设的高所在直线交于点H，直线交与点F，只要证明______，就可以证明三角形的三条高所在直线交于同一点． 思路：当时，如图①． 分别取的中点O，P， 易证， 所以点E在的外接圆O上． 同理，点E在的外接圆P上． 连接， 可得______ ______ ____________ ． ……． 我们把三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心． （2）点H是的垂心， ①若，，则的度数是______°； ②若，，求的周长． （3）如图②，M是内部一点，且，均垂直于，垂足分别为D，E，点H在上，且．求证：点H是的垂心． 【答案】（1），，，，；（2）①；②；（3）见解析 【分析】（1）根据圆的性质、四边形外接圆的性质等知识分析即可解得； （2）①由圆周角定理可得，同理可得：，然后根据三角形内角和定理即可解答；②如图，H是的垂心，延长分别交于点D，E，F，先说明是的垂直平分线可得；设，则①；证明可得①，再证明可得②，①②联立解得（舍去），进而得到，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）如图，以M为圆心，为半径作圆，由题意得点B，C在上，延长交 于点N，连接，延长交于点F.，先说明是的中位线可得，进而得到，再证明四边形是平行四边形可得，即是边上的高，进而证明结论． 【详解】解：（1）分析：设的高所在直线交于点H，直线交与点F，只要证明，就可以证明三角形的三条高所在直线交于同一点． 思路：当时，如图①． 分别取的中点O，P， 易证， 所以点E在的外接圆O上． 同理，点E在的外接圆P上． 如图：连接， 可得 ． 故答案为：，，，，； （2）①∵是的直径， ∴， ∵， ∴； 同理可得：， ∴； 故答案为：100； ②如图，H是的垂心，延长分别交于点D，E，F， 由题意得， ∵， ∴.， ∴是的垂直平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：①， ∴， ∵， ∴， ∴，即：，即②， ①②联立解得（舍去）， ∴， ， ∴, :∴的周长； （3）如图，以M为圆心，为半径作圆，由题意得点B，C在上，延长交 于点N，连接，延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线. ∴， ∵， ∴, ∵是直径， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∴是边上的高. ∴点H是的垂心． 7．（2026·湖南张家界·一模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)2 【分析】（1）连接，记交于点K，在上取点Q，使得，可知矩形是正方形，为等边三角形，求出，则，设，则，，故，即可证明； （2）当时，则，则正边形中心角为，而中心角与外角相等，故外角，故每一个内角为钝角，画出正边形的局部，设内角，外角，则，故，设正边形的半径为，由题意得：，过点A作，，解直角三角形得，则，，故，化简得：，故，当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式； （3）连接，过点作于点，由旋转得，，设，则以线段为边的正多边形边数为，故以线段为边的正多边形同中心点C，同边数，因此以线段为边的正多边形是双同正多边形，可证明，则，设，由勾股定理得，，则，故，因此双同正多边形的边数为，则该正多边形为正六边形，故特征值为：． 【详解】（1）解：连接，记交于点K，在上取点Q，使得， 对于矩形，由题意得，最长，或最短， ∵四边形的特征值为， ∴或， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是直径， ∴矩形是正方形， ∴中心角： ∵的特征值为1， ∴或或， ∴为等腰三角形， 若底边不与腰相等，则则不满足特征值为1， ∴为等边三角形， ∴中心角：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴ ∴； （2）解：当时，则， ∴正边形中心角为， 而中心角与外角相等，故外角， ∴每一个内角为钝角， 画出正边形的局部，如图： 设内角，外角， ∵， ∴， 设正边形的半径为， 由题意得：， 过点A作，， 由中心角等于外角得，， ∴， 则， 而， ∴， 化简得：， ∴， 当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式， ∴综上，y关于x的函数解析式为：； （3）解：连接，过点作于点， 由旋转得，， 设， ∴以线段为边的正多边形边数为， ∴以线段为边的正多边形同中心点C，同边数， ∴以线段为边的正多边形是双同正多边形， 当两个正多边形面积比为时， 则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 设， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴双同正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形，如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴则最长距离为，最短距离为， ∴特征值为：． 考点5 几何综合问题 1．（2026·湖南张家界·一模）如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，相交于点F，G是上一点，交于点H，且，． (1)请直接写出与，的数量关系：_________； (2)求证：； (3)若，，，求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明 ． （2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得 ． （3）利用（2）结论将周长转化为，通过相似三角形及、勾股定理求出的长，即周长为 ． 【详解】（1）解：， ， ． ， ， ． ， ； （2）证明：， ． ， ， ， ， ，， ， ， ． ． ， ． ， ， ， ， ． ， ． （3）解：连接并延长交于点M，如图， ， ， ，， ． 设，则，， ． ， 设，则， ． ，， ， ， ， ， ， ， ，． 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 由（2）知，， 周长 ． 2．（2026·湖南长沙·一模）在矩形中，E是边上一点（不与端点重合），以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． (1)如图1，当时，求的值； (2)如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接，当时，求的值； (3)如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D、G、F三点共线．若，，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）连接、，延长交于点，证明矩形和矩形是正方形，从而得出、、三点共线，再利用特殊角的正弦值求解即可； （2）连接、，利用特殊角的三角函数值得出，，从而证明，即可得解； （3）设，，利用矩形的性质求出，，证明，得出，，再结合求出的值，利用锐角三角函数，推出，利用对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接、，延长交于点， 当时，， ，， 矩形和矩形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 、是正方形和正方形的对角线， ， 、、三点共线， ， 在中，， ； （2）解：如图，连接、， 矩形和矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 又， ， ； （3）解：，， ， 设，， 矩形和矩形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ，，，， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·湖南张家界·一模）在△EFG中，∠EFG=90°，EF=FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB=8，AD=6． (1)如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值； (2)如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN=AE+DN； (3)如图3，EG，FG分别交CD于点M,N，当MG2=MN·MD时，求AE的值． 【答案】(1)6； (2)见解析； (3)6． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，利用各角之间的数量关系可得，利用全等三角形的判定和性质可得，，，结合图中线段间的数量关系即可得； （2）延长NF，EA相交于H，得出，，利用角平分线得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，继续利用全等三角形的判定和性质可得，，结合图中各线段间的数量关系即可证明； （3）过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，由已知条件可得，结合相似三角形的判定及性质可得，，，得出是等腰直角三角形，，利用各角之间的数量关系可得，结合全等三角形的判定和性质可得，，，由线段间的数量关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：如图所示：延长NF，EA相交于H， ∴，， ∵EF平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 4．（2026·湖南永州·一模）如图，在中，已知是的切线，A为切点，连接并延长与交于C，D两点，B是上一点，弦与交于点E，．连接并延长，交的延长线于点Q． (1)当时，______； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径对应的圆周角等于得，，即可求解； （2）连接，由得，则结合已知可推出，再根据得，即可得出结论； （3）设交于，连接，，由切线长定理得到垂直平分，则，则，设，则，，根据，解得，再根据是中位线，得到，最后证明，，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：设交于，连接，， ∵、是的切线， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∴是中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 5．（2026·湖南·模拟预测）在矩形中，，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以，为边作矩形，连接线段，线段与对角线交于点． (1)求证； (2)求； (3)当时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明点在矩形的外接圆上，利用圆周角定理即可证明； （2）利用等角的余角相等求得，再利用正切函数的定义求解即可； （3）证明点为的中点，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接和，交点为， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴点在矩形的外接圆上，且是直径， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)将，，的面积分别记为，，，若，求的值； (3)若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，即可证明； （2）先证明，根据相似三角形的性质得，再由、求解出、的等量关系，然后代入计算即可； （3）①先证明，得到点与点重合，根据垂径定理得到，设，则，由勾股定理得，根据得到； ②在中，，在中，，由①知，，则，代入整理得，由得，，结合，即可求出． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， ， ， 为公共角， ， 根据已知得， ， ， 解得或（舍）， ； （3）解：①， ， ， ， 为直径， ， ，即点与点重合， 如图， ， ∴， ，设，则， 由勾股定理得， ， ， ， ； ②在中，， 在中，， 由①知，， ， ， 整理得， ， ， ， 又， ． 7．（2026·湖南邵阳·二模）如图1，已知为的直径，弦交于点（点与点不重合），连接． (1)求证：； (2)如图2，在线段上取点，使得，延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，在直径上取点，使得．若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)25 【分析】（1）如图，连接，证明，利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再结合圆周角定理可得，即可证明结论； （3）如图，连接，过点作于点，先说明．设的半径为，易证；再利用相似三角形的性质可得，易得即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 设的半径为， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∴的半径长为25． 8．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接， 可得，由圆周角定理得，可得，再等量代换证明即可； （2）先证明，则，求出，，那么，再由求解即可； （3）过点E作于点G，当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距离最大，点F是的中点，可得是等腰直角三角形，再由圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，则，而，则由勾股定理得，即再由求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点G，则， 当四边形面积最大时，面积最大，此时点F到的距离最大，即点F是的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·湖南常德·一模）如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点）．    (1)求证：平分； (2)若点恰好是的中点，求扇形的面积； (3)若的长为，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2或 【分析】（1）连接，以此可得，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得，进而得到，由可得，因此，以此即可证明； （2）连接、、，易得，根据直角三角形中线的性质的，因此为等边三角形，则，根据平行线的性质得，于是可证明为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可； （3）连接，过点作于点，则四边为矩形，根据垂径定理可得，设的半径为，则，，，易证 ，根据相似三角形的性质可得出方程，求解即可． 【详解】（1）连接，如图，    与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）连接、、，如图，    ，是的中点， ， 在中，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ； （3）连接，过点作于点，如图，    则，四边为矩形， ， 设的半径为，则，， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：或， 的半径长为或， 10．（2026·湖南·模拟预测）如图1所示，已知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为直径作，交于点F，过点F作于点H，直线交于点G． (1)如图2所示，当点E为的中点时，求证：为的切线； (2)当，求的长； (3)在点E的运动过程中，当时，能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或． (3)能， 【分析】（1）连接，证明为的中位线，得出．证出，即可得出为的切线； （2）作于点M，连接，先证明∽，得出，求出或； ①当时，证明，得出比例式，求出，根据勾股定理求出，即可得出； ②当时，同①得出，得出，求出，得出，由勾股定理求出，即可得出； （3）连接，由圆周角定理得出，设，则，，，由已知条件得出点G在点F上方，连接，设交于点K，得出和都是等腰直角三角形，得出，，，，，证明∽，得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：如图2，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：如图3，作于点M，连接， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或． ①当时，，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，，， ∴同理可得，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的长为：或． （3）解：连接，如图所示，则， 设，则，，， 若是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴点G在点F上方， 连接，设交于点K， ∴， ∵是直径， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， 在等腰直角中，根据勾股定理得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴． 1．（2024·湖南长沙·一模）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．    (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）①连接，由圆心角、弦的关系及全等三角形的判定和性质可得，由圆周角定理可得，，可得结论； ②连接并双向延长交于点F，交于点G，根据题意得出为等腰直角三角形，再由垂直平分线的判定和性质得出，利用平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是的等垂弦，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，是的等垂弦， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形是正方形； （2）①证明：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、是的等垂弦． ②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示：    由①得，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 2．（2026·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； (3)已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或 (3) 【分析】（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①当时，，求得，由（1）可知，顶点C的坐标为，根据抛物线的对称性和等腰直角三角形的性质可求出边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； ②当时，根据题意，画出图形，．根据为等边三角形，可得，即可求解；当时，同理求解即可； （3）将平移后抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为4列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 由（1）可知，顶点C的坐标为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 设对称轴与x轴的交点为D， 则， ∴的面积为； ②当时，依照题意，画出图形，如图所示． ∵， ∴． ∵为等边三角形，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴， ∴； 当时，同理可求， 综上，a的值为或； （3）解：∵抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， ∵的最大值与最小值之差为4， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·湖南娄底·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为2 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； （3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 4．（2026·湖南娄底·一模）在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°， (1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长． (2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长． (3)如图3，当时，求的值 【答案】(1)； (2)1； (3) 【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，由正方形的性质，得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解； （2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，即可求得FG＝0.6，然后由FB＝BG－FG求解即可； （3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，得＝，由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3  ，解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解． 【详解】（1）解：∵四边形AOBC是的正方形， ∴DEBC， ∴AE：AC＝DE：BC 设正方形的边长为x，则AE＝3－x， ∴（3－x）：3＝x：4， 解得 x＝， 即这个正方形的边长为； （2）解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2， ∵tan∠DCF＝， ∴DG：CG＝1：2 设DG＝y，则CG＝2y， ∴BG＝4－2y， ∵DGAC， ∴DG：AC＝BG：BC， ∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ， BG＝4－2y＝1.6， ∵∠EDF＝， ∴∠CDG＋∠GDF＝， ∵DG⊥BC， ∴∠CDG＋∠DCG＝， ∴∠GDF＝∠DCG， ∵tan∠DCF＝， ∴tan∠GDF＝， ∴， ∵DG＝1.2， ∴FG＝0.6， ∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1； （3）解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3， ∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， ∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝， ∴∠MDN＝， ∴∠MDE＋∠EDN＝， ∵∠EDF＝， ∴∠FDN＋∠EDN＝， ∴∠MDE＝∠FDN， ∴Rt△DME∽Rt△DNF， ∴＝， ∵=， ∴=， 设DM＝z，则DN＝2z， ∵DMBC ， ∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB， ∴z：4＝（3－2z）：3  ，解得 z＝， ∴：4＝AD：5 ， ∴AD＝，BD＝5－＝， ∴＝． 5．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 6．（2026·湖南邵阳·一模）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·湖南邵阳·二模）综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象． 纸片和满足，． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现 （1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程． 问题解决 （2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由． 拓展延伸 （3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．    【答案】（1），见解析；（2）2，见解析；（3）或 【分析】（1）根据题意证明，得出关系式，进而求得，代入比例式，即可求解； （2）方法一：勾股定理求得，将将（1）中代入得，进而根据三角形的周长公式，即可求解； 方法二：证明，，过作交于点，作交于点，作交于点．证明，，得出，得出，进而根据三角形的周长公式可得的周长． 方法三：过作交于点，作交于点，在上截取一点，使，连接．得出，，则，同方法二求得，进而即可求解； （3）分两种情况讨论，于的夹角；①过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，由勾股定理得，，进而根据正确的定义，即可求解；②过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，同①即可求解．． 【详解】操作发现 解：（1）∵，且． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∵是的中点，点与点重合， ∴， ∴， ∴．    问题解决 （2）方法一： 解：的周长定值为2． 理由如下：∵，，， ∴，， 在中，∴ ． 将（1）中代入得： ∴． ∵，又∵， ∴， ∴． ∵的周长， ∴的周长． 方法二： 解：的周长定值为2． 理由如下：∵和是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵O为AB的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∴过作交于点，作交于点，作交于点． ∴． 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． ∵的周长． 又∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， 点是的中点，同理点是的中点． ∴， ∴的周长．    方法三： 解：的周长定值为2． 理由如下：过作交于点，作交于点，在上截取一点，使，连接． ∵是等腰直角三角形，为的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 又∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵是的中点，点是的中点，同理点是的中点． ∴， ∴的周长．    拓展延伸 （3）或   ①解：∵，， ∴， 过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，设， ∴，由勾股定理得， ， ∴， ∴在中，．    ②解：∵，， ∴， 过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接． ∵， ∴， ∴， 在中，设， ∴，由勾股定理得，， ∴， ∴在中，． ∴或．    8．（2026·湖南邵阳·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有最大值为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）由可得，则，利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案； （3）过作轴交于点，交轴于点，作于，可得，则，设，则，则，由点在第一象限得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 点坐标为， 又抛物线 与轴交于，两点， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为， 即， 点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得，解得， 直线解析式为； （2）解：设，则， ， ，函数图像开口向下， 当时，有最大值为； （3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，    设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当中边上的高为时，即， ， 点在第一象限， ， 解得或， 或， 综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或． 9．（2026·湖南衡阳·一模）我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)直角三角形面积的最小值为 【分析】（1）①根据提供信息进行解答即可； ②先求出点的“3倍位似点”，然后得出函数的“3 倍位似函数”即可； （2）先求出函数的“2倍位似函数”关系式，然后联立，根据一元二次方程根的判别式得出，整理得出答案即可； （3）先求出、、，然后分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出三角形面积的最小值，再得出答案即可． 【详解】（1）解：①点的“3倍位似点”为； ②∵点的“3倍位似点”为， 又∵点在函数的图象上， ∴函数的“3 倍位似函数”为； （2）解：由题可知点为函数 图象上一点， ∴点A 的“2倍位似点”为 即 ， 消去m得， 联立， 整理得， ∵两个函数图象只有一个公共点， ∴， ∴， ∴． （3）解：在函数图象上任取一点， 则点的“2倍位似点”为， 即， 消去m得：， 联立， 整理得：， 解得：， 令，， ∴ ， 联立， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 联立 ， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 由题意知：，，或，，， 设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S， ①当时， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ②当时， ， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ③当时， ， 解得：，此时，舍去． 综上所述：直角三角形面积的最小值为． 10．（2026·湖南衡阳·一模）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据矩形的性质、余角的定义以及等量代换得到即可证明结论； （2）如图：延长交于点G，证明得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为a，如图：延长交于点G，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可解答． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长交于点G， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为a，则， 如图：延长交于点G， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． (1)求点B、点C的坐标； (2)的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； (3)在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点A的坐标为 (3)存在，符合条件的t值为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定、轴对称的性质，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，，根据即可证明； （3）分2种情况讨论：①点N在上；②点N在轴负半轴上，利用轴对称的性质列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点N在上时，， ∴， ∵关于x轴对称， ∴， ， 解得； ②当点N在轴负半轴上时，， ∵关于y轴对称， ∴， ， 解得； ∴综上所述，存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形，符合条件的t值为或． 12．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】(1)；， (2)①对称轴为；②过定点， (3)6 【分析】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①根据点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系，然后写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据题意先求得，设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，从而得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 13．（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 【答案】(1) (2)2 (3)①；② 【分析】（1）先由圆周角定理得到，然后证明，再由勾股定理可得，，则；证明，则，证明，则，即可求解和； （2）先证明，则，设，，则，则，解得在中，，在中，，再由即可得到答案； （3）①设点到的距离为，边上的高为，先证明，则①，然后在中由勾股定理得到②．联立①②解得，，再证明，则得到； ②连接，先证明，由，求出．在中有，在中有，那么，由，求出，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 为的平分线， ， ，， ∴， ； ，， ，， ； ，， ， ， ，， ， ， ，． 故答案为： ； （2）解：，， ， ∵， ， ， ， ， 设，，则， ， 整理得：， 解得：或（负数舍去）， 在中，， 在中，， 即； （3）解：①设点到的距离为，边上的高为， 在中，平分， ， ∴， ①， ， 在中，②． 联立①②解得，， 又，， ， ， 即； ②连接， 点I是的内心， ，， ， 即， ． ，，， ， ． 在中，， 在中，， ． ∵， ∴， ， ， ． 14．（2026·湖南湘潭·一模）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积 ，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2）①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点，    ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 15．（2026·湖南湘潭·一模）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝； (2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）． 【答案】(1)详见解析 (2)①DE=；② 【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果； （2）利用（1）中的结论进行求解表示即可． 【详解】（1）解：∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠DEC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠CAD=∠DEC， ∴AC=EC， ∵∠BDA=∠CDE， ∴， ∴， 即， ∴； （2）①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE， 由（1）得，， ∵AC＝1，AB＝2， ∴， ∴， 解得：CD=， ∴DE= CD=； ②由折叠可知∠AED＝∠C=， ∴， 由①可知， ∴， ∴， 即：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 湖南中考数学23~24题（解答题） 考点1 函数的新定义问题（新考法） 1．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． (3)已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． (1)已知点为“镜像点”，求的值； (2)根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． (3)关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 3．（2026·湖南邵阳·二模）某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数（为常数，且）上任意一点到点的距离与到直线的距离相等； (2)将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到抛物线．若点，点是上的一个动点，试求的最小值； (3)在（2）的条件下，设与轴相交于A，B（点在点的右边）两点，顶点为点，点为的对称轴上的一点且平分，点是线段上的动点（点与A，C不重合），连接，将沿折叠得到，记与的重叠部分为．若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 4．（2026·湖南·模拟预测）我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 5．（2026·湖南张家界·一模）定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“湖湘对偶函数”． (1)判断函数是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； (3)已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 6．（2026·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线 ，，是常数， 图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 7．（2026·湖南·一模）我们约定：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“和合之美”函数．例如：函数与关于原点O互为“和合之美”函数． (1)函数关于原点O的“和合之美”函数的解析式为 ．函数关于原点O的“和合之美”函数的解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“和合之美”函数，若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“和合之美”函数，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 8．（2026·湖南长沙·一模）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，， 都是“等距点”. (1)求反比例函数. 图象上的“等距点”坐标； (2) A、B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； (3)二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 求 的值或取值范围. 9．（2026·湖南长沙·一模）已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， (1)若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； (2)若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； (3)已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 10．（2026·湖南·一模）阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 考点2 二次函数与几何综合问题 1．（2026·湖南张家界·一模）如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为__________（直接填写答案）； (3)如图2，连接，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 2．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 3．（2026·湖南·模拟预测）如图，已知抛物线，过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上一动点． a．当，求点的坐标． b．连接线段，设直线交线段于点的面积为的面积为，求最大值． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）对于平面内任意一点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点．若点是线段的中点，则称为点关于这条抛物线的共轭点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点关于抛物线的共轭点的纵坐标（用含的代数式表示）； (3)设点为平面内任意一点，其共轭点为．已知点在直线上运动，记点的横坐标为． ①当点落在轴上时，求此时的值； ②在①的条件下，若线段上存在一点，使得最小，直接写出点关于抛物线的共轭点的坐标． 6．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，作直线． (1)求点B和点C的坐标； (2)如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E．设点D的横坐标为m．请探究如下问题： ①当点E是线段的中点时，求线段的长； ②当四边形是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结交y轴于点P，若平分，求P点的坐标． 8．（2026·湖南常德·一模）如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 9．（2026·湖南·模拟预测）已知二次函数的图象如图. （1）求它的对称轴与轴交点D的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由. 10．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 考点3 几何探究综合 1．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． (2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 (3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (4)若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图1，在中，点是边的一点，连接．若． (1)【初步感知】直接写出的值． (2)【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【变式探究】如图3，连接与交于点，连接． ①若，求证：； ②当时，与之间的关系是，求的值． 4．（2026·湖南岳阳·一模）【问题提出】 数学课上，李老师提出问题：在四边形中，对角线与相交于点E，，，．试探究： ①若，用含有α的式子表示； ②若，与满足关系式，求k的值． 【方法探究】 九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图： 方法1：延长到点F，使，连接，根据“边角边”容易证得； 方法2：将绕点A逆时针旋转，使与重合，点C的对应点为F，则． 【问题解决】 (1)用含有α的式子表示 ， ； 【应用提升】 (2)借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题： 如图，在四边形中，平分，，，求线段的长． 【拓展应用】 (3)如图，在中，，，点P为内一点，分别连接，，．若，，且．直接写出的面积． 5．（2026·湖南株洲·一模）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 6．（2026·湖南郴州·一模）【问题背景】 如图1，在菱形纸片中，，沿对角线将纸片剪开，得到和，如图2所示． 将按图3摆放，使得点与的中点重合．现将绕点顺时针旋转，旋转到线段与射线无交点时停止．边与相交于点M，边与射线相交于点N． (1)如图3，当点M与A重合时，则______； (2)如图4，当N为边与的延长线的交点时，求证：； (3)如图5，当N为边与线段的交点时，且．设菱形纸片的边长为a，探究线段，之间的数量关系（用含a的式子表示）． 7．（2026·湖南株洲·一模）综合与实践 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 转一转：如图①，在矩形中，点、、分别为边、、的中点，连接、，为的中点，连接．将绕点旋转，线段、和的位置和长度也随之变化． 当绕点顺时针旋转90°时，请解决下列问题： (1)图②中，，此时点落在的延长线上，点落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)图③中，，，求； (3)剪一剪、折一折：在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得（如图④）．点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，求长． 8．（2026·湖南邵阳·一模）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 考点4 几何的新定义问题（新考法） 1．（2026·湖南长沙·二模）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线． (1)①判断：平行四边形______和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：； (2)如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系； (3)如图4，中，，以为直径的分别交于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接交于点D，求的面积． 2．（2026·湖南怀化·一模）除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，线段相交于点O，若， 证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在线段上，且． ①求的长； ②在第一象限内，是否存在点D，使得四边形为“双直四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 5．（2025·湖南张家界·一模）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，平分，连接，．显然、是半直角三角形． (1)判断：_______半直角三角形（填“是”或“不是”）； (2)求证：； (3)若点D的坐标为，求的长； (4)在（3）的条件下，设交于点F，求与的面积之比． 6．（2024·湖南邵阳·模拟预测）我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． （1）下面是某数学小组思考如何证明该命题的部分过程，填写其中的空格： 分析：设的高所在直线交于点H，直线交与点F，只要证明______，就可以证明三角形的三条高所在直线交于同一点． 思路：当时，如图①． 分别取的中点O，P， 易证， 所以点E在的外接圆O上． 同理，点E在的外接圆P上． 连接， 可得______ ______ ____________ ． ……． 我们把三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心． （2）点H是的垂心， ①若，，则的度数是______°； ②若，，求的周长． （3）如图②，M是内部一点，且，均垂直于，垂足分别为D，E，点H在上，且．求证：点H是的垂心． 7．（2026·湖南张家界·一模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 考点5 几何综合问题 1．（2026·湖南张家界·一模）如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，相交于点F，G是上一点，交于点H，且，． (1)请直接写出与，的数量关系：_________； (2)求证：； (3)若，，，求的周长． 2．（2026·湖南长沙·一模）在矩形中，E是边上一点（不与端点重合），以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． (1)如图1，当时，求的值； (2)如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接，当时，求的值； (3)如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D、G、F三点共线．若，，求的长． 3．（2026·湖南张家界·一模）在△EFG中，∠EFG=90°，EF=FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB=8，AD=6． (1)如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值； (2)如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN=AE+DN； (3)如图3，EG，FG分别交CD于点M,N，当MG2=MN·MD时，求AE的值． 4．（2026·湖南永州·一模）如图，在中，已知是的切线，A为切点，连接并延长与交于C，D两点，B是上一点，弦与交于点E，．连接并延长，交的延长线于点Q． (1)当时，______； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 5．（2026·湖南·模拟预测）在矩形中，，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以，为边作矩形，连接线段，线段与对角线交于点． (1)求证； (2)求； (3)当时，求的长度． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)将，，的面积分别记为，，，若，求的值； (3)若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 7．（2026·湖南邵阳·二模）如图1，已知为的直径，弦交于点（点与点不重合），连接． (1)求证：； (2)如图2，在线段上取点，使得，延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，在直径上取点，使得．若，求的半径． 8．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 9．（2026·湖南常德·一模）如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点）．    (1)求证：平分； (2)若点恰好是的中点，求扇形的面积； (3)若的长为，求的半径长． 10．（2026·湖南·模拟预测）如图1所示，已知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为直径作，交于点F，过点F作于点H，直线交于点G． (1)如图2所示，当点E为的中点时，求证：为的切线； (2)当，求的长； (3)在点E的运动过程中，当时，能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，说明理由． 1．（2024·湖南长沙·一模）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．    (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 2．（2026·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； (3)已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 3．（2026·湖南娄底·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 4．（2026·湖南娄底·一模）在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°， (1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长． (2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长． (3)如图3，当时，求的值 5．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 6．（2026·湖南邵阳·一模）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 7．（2026·湖南邵阳·二模）综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象． 纸片和满足，． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现 （1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程． 问题解决 （2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由． 拓展延伸 （3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．    8．（2026·湖南邵阳·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2026·湖南衡阳·一模）我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 10．（2026·湖南衡阳·一模）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 11．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． (1)求点B、点C的坐标； (2)的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； (3)在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 12．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 13．（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 14．（2026·湖南湘潭·一模）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2026·湖南湘潭·一模）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝； (2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $