八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：第15章 分式～第18章 矩形、菱形与正方形）

八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第15章 分式~第18章 矩形、菱形与正方形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·福建福州·月考）在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若双曲线在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（25-26八年级上·河南南阳·月考）已知点都在直线上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 9．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·湖北十堰·月考）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·上海·期末）已知是关于的正比例函数，且图象在第一、三象限，则的值为___________． 12．（25-26七年级上·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 13．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是___________，使四边形是平行四边形． 14．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴相交于点，且与函数的图象只有一个公共点．若，则的值为______． 15．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 16．（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为____________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·广东东莞·期末）已知． (1)化简； (2)当满足方程时，求的值． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 19．（8分）（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求的面积． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 20．（8分）（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 21．（10分）（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 22．（10分）（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 23．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）下表是一次函数（k，b为常数，）中y与x的几组对应值． x 0 1 y 3 m (1)求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； (2)画出这个函数的图象，并直接写出它与x轴的交点坐标； (3)当时，y的取值范围是________； (4)已知点A的坐标为，点B的坐标为，问：x轴上是否存在点P使得的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）（25-26九年级上·广东佛山·月考）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·福建福州·月考）在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质与四边形内角和定理，利用平行四边形对角相等的性质，结合四边形内角和为，即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且四边形内角和满足， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若双曲线在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数在象限内的增减性与比例系数的关系求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每一个象限内，y随x的增大而减小 ∴ ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 5．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 6．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 7．（25-26八年级上·河南南阳·月考）已知点都在直线上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可得到对应y值的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵三个点的横坐标分别为，且， ∴． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，先根据和均为正三角形可知，故可得出，可得，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，如下图所示： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·湖北十堰·月考）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质．分别连接，结合四边形是平行四边形，可得，，再由，从而，进而结合等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解． 【详解】解：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵E是的中点， ∴． 又∵G是的中点， ∴． 又∵与不一定相等， ∴①不正确． ∵E，F分别是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形． ∴平分． ∵， ∴不平分，即③不正确． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确． 综上，正确的有②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·上海·期末）已知是关于的正比例函数，且图象在第一、三象限，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的概念、图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 根据正比例函数的形式为，且当时，图象经过第一、三象限，则函数中x的指数必须为1，且比例系数． 【详解】解：由正比例函数的定义，得，即， 解得， 又因图象在第一、三象限， 故比例系数， 因此． 故答案为：2． 12．（25-26七年级上·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 13．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是___________，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴相交于点，且与函数的图象只有一个公共点．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用、根的判别式、勾股定理，关键是利用勾股定理表示；根据直线与函数只有一个公共点可得的值，继而求得的坐标，结合，求出点坐标，则值可求． 【详解】解：∵直线与函数只有一个公共点， ∴仅有一个解， 整理得， ∴，解得（舍）， ∴直线， ∴点， 当时，，即： 设点的坐标为 ∵， ∴ ∴， 解得（舍）， ∴， ∵在函数的图象上， ∴. 故答案为： ． 15．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为____________． 【答案】15 【分析】先结合矩形的性质得，，，运用勾股定理算出，再根据与的平分线分别交于点，点，得，，则都是等腰直角三角形，故，又因为点是中点，证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是正方形，再把数值代入四边形的面积为进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线分别交于点，点． ∴，， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·广东东莞·期末）已知． (1)化简； (2)当满足方程时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，掌握分式的加减运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式的加减法则，进行计算即可； （2）先解分式方程，然后再把的值代入（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 则． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 19．（8分）（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求的面积． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）； （3）根据函数图象即可求得答案． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 反比例函数的解析式为． 因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 点的坐标为． 因为一次函数的图象过点，， 所以，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，， 所以点的坐标为． ． （3）解：将不等式变形，得， 根据函数图象可知或． 20．（8分）（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 21．（10分）（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22．（10分）（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 【答案】(1)y＝，自变量x的取值范围是 (2)救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是求出反比例函数的关系式． （1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）求出时，对应的反比例函数的函数值，然后减去7即可求解． 【详解】（1）解：因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为， 由图像知过点，则． 解得：， 所以，此时自变量x的取值范围是； （2）当时，由，得 解得：， （小时）， 故救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井． 23．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）下表是一次函数（k，b为常数，）中y与x的几组对应值． x 0 1 y 3 m (1)求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； (2)画出这个函数的图象，并直接写出它与x轴的交点坐标； (3)当时，y的取值范围是________； (4)已知点A的坐标为，点B的坐标为，问：x轴上是否存在点P使得的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)图见解析， (3) (4)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）描出两个点，连线即可； （3）根据x的取值范围，结合函数解析式得出y的最大值与最小值即可； （4）设函数图象与x轴交于点C，由（2）得 ，设，则， 根据即可求解． 【详解】（1）解：将，，以及，代入， 得：， 解得， 一次函数的表达式为， 将代入， 得：． （2）解：函数图象如下图所示， 令，得， 所以它与x轴的交点坐标为； （3）解：由（2）可知，y随x的增大而减小， ， 当时，y取最大值，最大值为， 当时，y取最小值，最小值为， 当时，y的取值范围是； （4）解：存在，点P的坐标为或． 如图，设函数图象与x轴交于点C， 由（2）得 ， 设，则， ， ， 解得或， 点P的坐标为或． 24．（12分）（25-26九年级上·广东佛山·月考）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长 【答案】(1)是 (2)若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③. (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定和性质，证明四边形是正方形是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可判断答案； （2）连接，，证明，即可得得出结论； （3）根据翻折和已知证明四边形是正方形，可得，再在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形， ，， 四边形是筝形； 故答案为：是． （2）解：若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③， 证明：如图所示，连接，， 四边形是筝形， ，， ∴垂直平分， 又， ， ，，， 平分和； （3）解：由翻折可知：， ，， 四边形是矩形， 又∵由翻折可知：， ∴矩形是正方形， ∴，， 设，则， 由翻折可知：，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：． 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $