八年级数学下学期期中模拟卷（安徽专用，新教材沪科版第16～18章二次根式、一元二次方程及其应用、勾股定理及其逆定理，高效培优提升卷）

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 5 6 7 8 10 C C B C C C B D B D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.9 12.1 13.2√2 14.±1 x2-7x+12=0(答案不唯一) 三.解答题：（本大题共9题，第15-18每题8分，第19-20每题10分，第21-22题12分第23题14 分，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15.(8分) 【详解】(1)解：原式=2-√6+2√6 =2+√6；…(4分) (2)解：原式=3-2√5+1-3-√5 =1-35.…(8分) 16.(8分) 【详解】(1)解：x2-4x-5=0 (x-5)(x+1)=0 x-5=0或x+1=0 .x=5,x2=-1;…(4分) (2)解：（x+3)2=2x+6 (x+3)2=2x+3 (x+3)2-2(x+3)=0 (x+3)x+3-2)=0 x+3=0或x+1=0 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x1=-3,x2=-1.…(8分) 17.(8分) 1 【详解】(1)解： 1 2+i+5+5+4+5++、 2026+√2025' √2-1 √5-√2 √4-5 √2026-√2025 W2+1(2-15+25-②(4+5]V4-…+2026+V20252026-2025' =V2-1+√5-√2+√4-3+.+√2026-√2025， =-1+√2026；…(4分) (2)解：a= 1一=2+1， 2-1 a-1=V2, (a-1)2=2, 即a2-2a+1=2, a2-2a=1, 3a3-12a2+9a-10 =3aa2-2a-6a2+9a-10 =3a1-6a2+9a-10 =-6a2+12a-10 =-6a2-2a-10 =-6×1-10 =-16.…(8分) 18.(8分) 【详解】(1)证明：“a、b、c为勾股数，且c>a,c>b, .a2+b2=c2,则c2-b2=a2, .(b+c)(c-b)=a2, .b+c=a ac-6:…(4分) (2)证明：根据根与系数的关系得到：x+无=，5- a 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +》%司 8+》 产-号8 .c2-b2=a2,即a2+b2=c2, 则a、b、c一定是一组勾股数.…(8分) 19.(10分) 【详解】(1)解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x, 由题意得：256(1+x)2=400, 解得：x=0.25=25%,2=-2.25(不符合题意，舍去)， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为25%；…(3分) (2)解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为(40+)元， ①由题意得：(40+a-30)(600-10a=11250, 解得41=35，a2=15, 当a=15时，月销售量为600-10×15=450个； 当a=35时，月销售量为600-10×35=250个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以a=15,舍去a=35, 40+a=40+15=55, 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元；…(7分) ②不能实现，理由如下： 由题意得：(40+a-30)(600-10a)=12500, 整理得：a2-50a+650=0, △=(-50)-4×650=2500-2600=-100<0， “方程无实数根， :不能实现利润为12500元.…(10分) 20.(10分) 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：①x=1+下+空2 ,113 1 =二=1+- 1x2 61+1 117 ②x,=1+2交+6 2×3 @- 1 4+521+L x,=1++5201+4x5 …(2分) 113 (2)解：01++交2 1+、1 1×2 11 1.113 1 =1++年=i21+3x4 =1+ +京+m+ n(n+1+nn+切：…(4分) (3)解：由(2)可得，=1+1=1+上L n(n+1) nn+1 x1+x2+x3+…+x2025-2026 +1+1 1 +1+ +…+1+ -2026 1×22×33×4 2025×2026 =2025+1-1+1111 11 1 1.11 -2026 22334 20232024'2024202520252026 =2025+1- 1-2026 2026 …(10分) 2026 21.(12分) 【详解】(1)解：：(25=20,42=16， 又：20>16， 2√5>4；…(2分) 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①平方法：(2+2=6+42，（10=10 :√2>1， 42>4, 6+4V2>10, 则2+√2>10；…(7分) ②如图所示， E EF=2,DF=√2，DE=V32+1P=V10, EF DF>DE, .2+√2>√10.…(12分) 22.(12分) 【详解】(1)在材料一中，大正方形面积可以表示为(2x+10)2,另一方面，它又等于4个小矩形的面积加 上中间小正方形面积，即等于4×39+100，故可得到方程(2x+102=4×39+100;…(3分) (2)由m2+5m-10=0,可得m(m+5)=10, 仿照材料二构图如下： 图2 图3 由图形面积关系可得： 4 m V 2 2 m=6-5或m=-65+5(舍去)， 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :方程的解为m=) 65-5 ;…(8分) 2 (3)一元二次方程x2+bx+c=0,即x(x+b)=-C, 由题意得，-c=6,解得：c=-6, :中间围成的小正方形面积为25， ·小正方形的边长为5， 若矩形的长为x+b,宽为x,则(x+b)-x=5,解得b=5, 若矩形的长为x,宽为x+b,则x-(x+b)=5,解得b=-5, b=5.…(12分) 23.(14分) 【详解】(1)解：如图所示，当CP⊥AB时，PC的值最小， :∠C=90°，AC=8,BC=6, .由勾股定理得AB=√AC2+BC2=10, ·由等面积得PC=AC:BC8×624 AB105 六PC的最小值是4：6分) (2)解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D, B .PC=AC, ·AP=2AD, 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可得CD=2 , 由勾股定理得AD=√AC2-CD2 /64、 57632 251 六=20-g；…（12分) (3)解：如图2所示，射线AB,DE相交于点G,连接BE, E 图2 DC=AC, .BD=CD-BC=8-6=2, :AB⊥DE, .∠BGD=∠ACD=∠DCE=90°，∠PGQ=90°， 又：∠ABC=LDBG, ∠A=∠D, DC=AC, :.△ABC≌△DEC(ASA, .CE BC=6, 由勾股定理得BE2=BC2+CE2=72, .BE2-BG2=GE2=AE2-AG2, 即72-BG2=(8+6)2-(10+BG)2, 解得G一？ 由勾股定理得DG=√BD-BG_8, AP=26 假设4P=D0=x,则P0=25 5， PG=10+6-x=56 5,G0=x-8 5 51 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得PQ=PG2+GQ, 5j 解得x=0 或x=8, 4p长为0或8.…(24分) 8/8 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版八年级下册第16章~第18章二次根式、一元二次方程及其应用、勾股定理及其逆定理。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．“立身以立学为先，立学以读书为本”．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆阅读人次为120，第三个月进馆阅读人次为270，若进馆阅读人次的月增长率相同，设月增长率为x，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积分别为和，均重叠部分的面积为，则满足的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 8．如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为米，与墙平行的边留有米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积为平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米或米 9．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 10．关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．用配方法解方程时，若将方程变形为，则____． 12．已知，则______． 13．如图，已知，点、为内的两个动点，且，，，点、分别是，上的动点，则的最小值为______． 14．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 三．解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）计算： (1) (2) 16．（8分）解方程： (1) (2) 17．（8分）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解答：，，，， ，． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若，求的值． 18．（8分）能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数． (1)已知a、b、c为勾股数，且，，求证：； (2)以正整数a、b、c为系数的方程有两个实数根、，已知存在实数p满足：，，求证：a、b、c一定是一组勾股数． 19.（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 20．（10分）观察下列等式： ①； ②； ③；… (1)写出④__________________； (2)猜想：__________________； (3)由以上规律，计算的值． 21．（12分）在进行二次根式大小比较时，除教材展示的方法外，“平方法”也是一种非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方．，，，．另外，我们也可以在网格中利用构造线段的方法来进行二次根式大小的比较，如图1，，，显然，．根据以上提供的内容，解决以下问题： (1)比较大小：____________4 (2)运用上述两种方法比较与的大小 ①利用平方法，请证明； ②利用构造线段法说明，请在图2的网格中，画出图形，并说明理由． 22．（12分）项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目 背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料1 赵爽构图 可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料2 阿尔·花拉子米构图 用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 【问题解决】 (1)任务1：在材料一中，大正方形面积可以表示为_________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于__________，故可得到方程_______． (2)任务2：根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 【拓展应用】 (3)任务3：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出_______，_______． 23．（14分）如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动． (1)在点移动过程中，的最小值是多少？ (2)在点移动过程中，若，长为多少？ (3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版八年级下册第16章~第18章二次根式、一元二次方程及其应用、勾股定理及其逆定理。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 2．下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【详解】解：①最长边为3，验证 ，而，故不能构成直角三角形，不符合题意； ②最长边为2，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ③最长边为5，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ④最长边为，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； 综上，符合条件的有②③④，共3组． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项 ==，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B选项 ，没有能开得尽方的因数，也不含分母，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； C选项 =，原式不是最简二次根式； D选项 ==，被开方数含分母，不是最简二次根式 4．“立身以立学为先，立学以读书为本”．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆阅读人次为120，第三个月进馆阅读人次为270，若进馆阅读人次的月增长率相同，设月增长率为x，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设月增长率为，则第二个月进馆阅读人次为，第三个月进馆阅读人次为， 又∵第三个月进馆阅读人次为， ∴ ． 5．已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积分别为和，均重叠部分的面积为，则满足的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足， ∴该直角三角形的斜边为c， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 6．已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 7．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 8．如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为米，与墙平行的边留有米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积为平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米或米 【答案】D 【详解】解：设鸡场与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米， 由题意得， ， 解得，， ∴鸡场与墙垂直的边长为米或米． 9．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 10．关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：一元二次方程的判别式为， ，， 故①正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故②正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 故③正确； 有两个不相等的实数根， ， ∵一元二次方程的判别式为： ， ∴方程有两个不相等实数根， 故④正确； 由有两个不相等的实数根， ， 令，得， ， 故有两个不相等的实数根， 故也有两个不相等的实数根； 故⑤正确； 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．用配方法解方程时，若将方程变形为，则____． 【答案】 【详解】解：， 移项，得， 配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理，得， 对比，可得，， ∴． 12．已知，则______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴． 13．如图，已知，点、为内的两个动点，且，，，点、分别是，上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、、四点共线时，取得最小值． 14．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得或， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴， 解得； （2）不妨设， ∵的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根， ∴， ∴，即， ∵是直角三角形，且，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 设符合题意的方程为， 则由根与系数的关系可得， ∴， ∴符合题意的方程为（答案不唯一）． 三．解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）计算： (1) (2) 【详解】（1）解：原式 ；……（4分） （2）解：原式 ．……（8分） 16．（8分）解方程： (1) (2) 【详解】（1）解： 或 ∴，；……（4分） （2）解： 或 ∴，．……（8分） 17．（8分）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解答：，，，， ，． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若，求的值． 【详解】（1）解：， ， ， ；……（4分） （2）解：， ， ， 即， ， ．……（8分） 18．（8分）能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数． (1)已知a、b、c为勾股数，且，，求证：； (2)以正整数a、b、c为系数的方程有两个实数根、，已知存在实数p满足：，，求证：a、b、c一定是一组勾股数． 【详解】（1）证明：∵为勾股数，且，， ∴，则， ∴， ∴；……（4分） （2）证明：根据根与系数的关系得到：，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 则a、b、c一定是一组勾股数．……（8分） 19.（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；……（3分） （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元；……（7分） ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元．……（10分） 20．（10分）观察下列等式： ①； ②； ③；… (1)写出④__________________； (2)猜想：__________________； (3)由以上规律，计算的值． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ；……（2分） （2）解：； ； ； ； ；……（4分） （3）解：由（）可得， ∴ ．……（10分） 21．（12分）在进行二次根式大小比较时，除教材展示的方法外，“平方法”也是一种非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方．，，，．另外，我们也可以在网格中利用构造线段的方法来进行二次根式大小的比较，如图1，，，显然，．根据以上提供的内容，解决以下问题： (1)比较大小：____________4 (2)运用上述两种方法比较与的大小 ①利用平方法，请证明； ②利用构造线段法说明，请在图2的网格中，画出图形，并说明理由． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴；……（2分） （2）解：①平方法：，，    ∵， ∴， ∴， 则；……（7分） ②如图所示， ，，， ∵， ∴．……（12分） 22．（12分）项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目 背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料1 赵爽构图 可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料2 阿尔·花拉子米构图 用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 【问题解决】 (1)任务1：在材料一中，大正方形面积可以表示为_________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于__________，故可得到方程_______． (2)任务2：根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 【拓展应用】 (3)任务3：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出_______，_______． 【详解】（1）在材料一中，大正方形面积可以表示为，另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于，故可得到方程；……（3分） （2）由，可得， 仿照材料二构图如下： 由图形面积关系可得：，即， ， 或（舍去）， 方程的解为；……（8分） （3）一元二次方程，即， 由题意得，，解得：， 中间围成的小正方形面积为， 小正方形的边长为， 若矩形的长为，宽为，则，解得， 若矩形的长为，宽为，则，解得， ．……（12分） 23．（14分）如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动． (1)在点移动过程中，的最小值是多少？ (2)在点移动过程中，若，长为多少？ (3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________． 【详解】（1）解：如图所示，当时，的值最小， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∴由等面积得， ∴的最小值是；……（6分） （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）可得， 由勾股定理得， ∴；……（12分） （3）解：如图2所示，射线相交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即， 解得， 由勾股定理得， 假设，则， ∴，， 由勾股定理得， 即， 解得或， ∴长为或．……（14分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $