数学终极押题猜想（广州专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以考情分析为基础，通过13个专项模块构建“猜想-精练-总结”体系，融合解题技巧与知识逻辑，强化核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形选填|3道综合题|无图分类讨论、多解验证|圆与四边形性质→动态几何应用| |函数综合|5道解答题|待定系数法、割补法求面积|一次函数与反比例函数→数形结合| |新定义问题|4道创新题|概念转化、模型构建|几何/函数新概念→性质探究与应用|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 目录 押题猜想一 几何图形选填综合小压轴 1 押题猜想二 几何图形与函数选填综合小压轴 9 押题猜想三 整式和分式化简求值 19 押题猜想四 方程（组）与不等式及其应用 22 押题猜想五 统计和概率问题 26 押题猜想六 一次函数与反比例函数的综合问题 32 押题猜想七 二次函数的综合问题 43 押题猜想八 三角形的综合问题 62 押题猜想九 特殊四边形的综合问题 75 押题猜想十 圆中的综合问题 93 押题猜想十一 尺规作图与计算证明综合问题 108 押题猜想十二 几何图形中的新定义型问题 116 押题猜想十三 函数中的新定义型问题 129 押题猜想一 几何图形选填综合小压轴 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，且．再结合线段的和差可知、；①易得， 如图：过B作交延长线于G，利用平行线等分线段定理以及平行线的性质可得，，进而得到，即，从而得到，即可判断①；②利用等腰三角形三线合一的性质可得，再结合可得，即可判断②；③如图：连接，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可判断③；由、，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可判断④． 【详解】解：∵的对角线，交于点，， ∴，且． ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ①∵，，，， ∴， 如图：过B作交延长线于G， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即为的角平分线，故①正确； ②∵， ∴是等腰三角形， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即②正确； ③ 如图：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即③正确； ④∵在中，， ∴，即④错误． 综上，正确结论有①、②、③，共3个，即选项 C符合题意． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，几何图形选填小压轴呈现出鲜明的“去套路化”趋势，严格遵循新课标要求，淡化解题技巧，回归数学本质。考点高度聚焦于圆与特殊四边形的核心性质考查，如圆周角定理与圆心角定理的灵活运用、菱形与正方形的判定与性质、切线长定理及其在动态几何中的应用。押题理由在于该板块能有效考查学生的逻辑推理能力与空间观念，是区分度的关键所在。押题依据是近两年真题及2026年官方适应性测试延续了这一稳定规律。押题秘笈强调：一是无图题务必自行画图并分类讨论；二是警惕等腰三角形腰与底不确定产生的多解情形；三是几何多解需严格验证合理性。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·模拟预测）如图，点P为的边上一动点（点P与点B，C不重合），，，与关于边成轴对称，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． （1）若，则的度数为________； （2）点P在运动的过程中，的最小值为________． 【答案】 /30度 【分析】（1）解直角三角形得出，由旋转的性质可得，即可得出结果； （2）由轴对称的性质可得，，，作，交的延长线于点，则，由旋转的性质可得，，证明，得出，，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∴， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴， ∴； （2）∵与关于边成轴对称， ∴，，， 如图，作，交的延长线于点， 则， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最小，为． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有______个．（填正确结论的个数） 【答案】4 【分析】先证，再证，再由，即可判断（1）；故（1）正确；过点P作直线分别交于M，交于N，作直线分别交于G，交于H，证明，得到，则四边形是正方形，再证明得到，同理可证四边形是正方形，得到，即可证明得到即可判断（3）；则垂直平分，连接，，得到，即可证明即可判断（2）；，，而不一定等于，则不一定等于，即可判断（4）；证明得到，由此即可判断（5）． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴，故（1）正确； 如图所示，过点P作直线分别交于M，交于N，作直线分别交于G，交于H，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 同理可证四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故（3）正确； 又∵， ∴垂直平分． 连接，， ∴． 又∵，， ∴， ∴，故（2）正确； ∵，． 又∵不一定等于， ∴不一定等于，故（4）错误； 如图所示，过点作于， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，故（5）正确， ∴正确的结论有4个， 故答案为：4． 3．（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】由正方形的性质得，，，，，则，所以，由折叠得，，，则，，可判断正确；所以，则，所以，则四边形是菱形，可判断正确；可证明，，则，求得，，则，可判断正确；再证明，则，所以，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，对角线、交于点， ，，，，， ，， ， 由折叠得，，， ，， 故正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， 故正确， 故答案为：． 押题猜想二 几何图形与函数选填综合小压轴 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可得，然后分两段讨论：当点P在上时，当点P在上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴在中，， 根据点P的运动，需要分段讨论： ①当点P在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，； ∴，即， ∵点P在上， ∴ ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象是开口向上的一段抛物线； 当点P在上时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， ∴， ∵点P在上， ∴， ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象开口向下的一段抛物线． 综上所述，选项A的图象符合题意． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，几何图形与函数选填综合小压轴呈现出鲜明的“去套路化”趋势，严格遵循新课标素养立意要求，淡化机械技巧，回归数学本质。考点趋势高度聚焦于二次函数图像性质与几何图形（三角形、四边形）的融合应用，如2024年真题中抛物线与线段交点、周长比问题充分体现了数形结合思想。押题理由在于此板块占比高（约35%-40%），能有效考查逻辑推理与建模能力，是区分度的关键。押题依据是近五年真题及2026年官方适应性测试均延续此稳定规律。押题秘笈强调：一是熟练掌握顶点式与一般式的灵活转换；二是遇到动点问题严格分类讨论并验证解的合理性；三是无图时必先构造标准图形辅助分析。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·一模）均匀地向下面左图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据水面上升高度的快慢进行判断函数图象即可． 【详解】解：根据立体图形可知，底部圆柱的半径较小，增加较快； 中部圆柱的半径较大，增加较慢； 上部圆柱的半径较小，增加较快； ∴对应的函数图象为． 2．（2026·广东广州·一模）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出，，然后通过函数图象可得当时，，即可判断；通过二次函数的性质即可判断；当时，有最小值，可得时，，从而判断；先画出图象，再结合图象即可判断． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 3．（2025·广东广州·一模）如图，是等腰直角三角形，，，为线段上一动点，过点作直线，垂足为，设，当点从点开始运动至点过程中，记直线扫过的面积为．当与满足关系式时，取值范围为___________． 【答案】 【分析】两种情况，分别表示出S与x的函数关系式，再根据列出不等式求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴ 过点A作于点H ， ∵， ∴， 当时，直线l与AB相交，扫过的图形为等腰直角三角形 ， ∴ ． 由得 ． 解得或 ． ∵，∴或均不合题意； 当时，直线l与相交，扫过的图形为四边形（或减去右侧小三角形） 此时，右侧小三角形为等腰直角三角形， 面积为 ， 由得 ， 解得 ， ∴ 符合题意， 综上所述，x的取值范围为． 4．（2025·广东广州·三模）如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号 【答案】 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数的代数式表示出来，并找出点坐标，根据，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论；根据（1）得出、的坐标，由轴确定点的坐标，由此即可得出、的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；证明即可；假设，根据相似三角形的性质，构建方程求出即可判断． 【详解】解：如图，连接，， ，且在反比例函数的图象上， ， ∵轴，且在反比例函数的图象上， ， 又， ，即， ，故正确． ，， ∵轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的函数图象上， ，解得， 点， ，， ， 在点运动过程中，面积不变，始终等于，故错误； ， ，， ， ∴， ∴， ∴，故正确， 若， ∴， ， ∵， ， 在点的运动过程中，当时，，故正确， 故答案为：． 5．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，，，分别以点，为圆心，1为半径作，，点，分别在，上，点在直线上，连接，．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接，连接，可知当、、、四点共线时，有最小值，进而求解． 【详解】解：如图，作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接， 则有， 连接，可知当、、、四点共线时，有最小值； 如图， 对于直线，当时，；当时，； ∴，， 设，则有，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是______；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为______． 【答案】 【分析】由题意可得点在外，从而得出，再由切线长定理可得，，，又，则，所以，可得，故有，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵过点可以引的两条切线，， ∴点在外， ∴， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 押题猜想三 整式和分式化简求值 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】计算：． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质，乘方，零次幂，特殊角的三角函数值进行化简，再计算即可． 【详解】解：原式． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，整式与分式化简求值是“数与代数”板块的核心基础得分题，分值占比约25%-30%。考点趋势上呈现“选择填空重概念辨析、解答题重规范运算”的格局：选择题每年必考幂运算、整式乘除等基本法则的辨析；填空题常涉及因式分解及分式有意义的条件；解答题第18题左右位置几乎每年必考分式化简求值，常结合方程或条件等式代入求值，如2021年真题要求化简后代入m+n-2=0求解。押题理由在于该题型位置稳定、细节陷阱多（分式方程增根检验、不等式解集规范等），是基础题丢分的主要原因，确保基础题满分是冲刺高分的前提。押题秘笈强调：一是在化简过程中注意多项式先因式分解、通分时分子整体加括号；二是代入求值前务必检验所选值是否使原分式分母为零；三是结果必须化为最简分式或整式。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·一模）计算：． 【答案】． 【分析】分别利用零指数幂的性质，二次根式的化简方法，特殊角的三角函数值计算每一项，再合并得到最终结果． 【详解】解： ． 2．（2026·广东广州·模拟预测）求代数式的值，其中， 【答案】 【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，合并同类项，再利用单项式的除法法则化简得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 3．（2026·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再代入x的值，根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 4．（2026·广东广州·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】， 【分析】先把所给的分式化简，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件确定的值，代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：原式 ， 由，则， 解得，， ∵，，， ∴， ∴原式． 5．（2026·广东广州·一模）已知 (1)化简P； (2)若，且点在第二象限，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算括号里面的，然后再把除法转化成乘法，最后约分即可． （2）根据点在第二象限得出，即可得出，然后化简绝对值，最后代入式子计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ 押题猜想四 方程（组）与不等式及其应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】解不等式组，并在数轴上表示解集． 【答案】，画图见解析 【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 则不等式组解集为． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，方程(组)与不等式及其应用是“数与代数”板块的核心主干知识，呈现“一元二次方程为重、实际应用融合不等式”的鲜明趋势。考点高度聚焦于一元二次方程根的判别式与解法、分式方程的增根检验、以及不等式(组)的解集表示，实际应用题常将方程与不等式融合考查，如“方程定值+不等式定范围”的两步递进结构。押题理由在于该板块考查形式稳定，能够有效检测学生的建模能力与运算素养。押题依据是近五年真题与官方适应性测试均保持这一考查传统，且2025年广州中考数学明确体现“回归教材、夯基固本”导向。押题秘笈：一是审题时圈画“至少”“不超过”等关键词快速判定不等关系；二是列分式方程后务必检验根的合理性(分母不为零且符合实际)；三是注意一元二次方程判别式的应用场景，做到不漏解、不增解。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·一模）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】；解集在数轴上表示见解析 【分析】先去括号，移项，合并同类项，求得不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解集在数轴上表示如下： 2．（2026·广东广州·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】根据题意，先去分母，再解一元一次方程，检验根即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 3．（2026·广东广州·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】利用解不等式组的步骤进行求解． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为． 4．（2025·广东广州·模拟预测）编题训练，其中小明同学编的练习题是：设，方程的两个实数根是、，求的值． 小明同学对这道题的解答过程是：解：∵，∴已知方程是， 又∵，， ∴， ∴． (1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由． (2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求的值． 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)当时，原式或当时，原式 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据使用根与系数的关系的前提条件为，而当时，，即可判断； （2）根据题意，分别计算，时，根据根与系数的关系进行计算即可求解． 【详解】（1）解：以上练习题的解答是错误的，时，． 故方程无实数根； （2）解：∵方程的两个实数根是、， ∴， ∴， 故可取或， 当时，方程为，则，， 原式； 当时，方程为，则，， 原式． 故当时，原式，或当时，原式． 5．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 6．（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 【答案】(1)单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量 (2)9个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，根据题意列出方程组，解方程，即可求解； （2）设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”，根据5个小时至少产生450单位能量，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量， 根据题意得：， 解得： 答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量； （2）解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为9， 答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界． 押题猜想五 统计和概率问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】某校开展党史知识进校园活动，随机抽取了部分学生进行党史知识测试，并将测试结果分为：A 优秀，B良好，C 合格，D 不合格．将测试的结果绘制成如图所示不完整的统计图． 请根据图中信息回答下列问题： (1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； (2)该校共有800名学生，请你估计成绩为“良好”及以上的学生有多少名？ (3)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生满分，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50人，图见解析； (2)估计成绩为“良好”及以上的学生有400名； (3)． 【分析】（1）由优秀的人数除以所占百分比即可；求出C合格的人数，补全条形统计图即可； （2）由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人）， ∴C合格的人数为（人）， 补全条形统计图如图： （2）（名）. 答：估计成绩为“良好”及以上的学生有400名； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种， ∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，统计与概率是每年必考的基础得分板块，分值约8-10分，选择题、填空题和解答题第21题左右均有涉及。考点趋势上呈现“统计量计算为主、概率求值为辅”的格局，统计部分重点关注众数、中位数、平均数、方差的辨析与计算，如2023年以读书活动为背景考查了众数与方差的综合判断；概率部分则固定考查两步试验的概率计算，多以画树状图或列表法求解，如2021年党史竞赛抽取学生问题。押题理由在于该题型位置稳定、与实际生活联系紧密（如人工智能、航天科技等背景），能综合考查数据观念与应用意识。押题秘笈：一是审图时抓住频数分布直方图、扇形统计图的关键信息；二是求中位数前务必将数据排序，众数可能不唯一；三是用列表或树状图时务必列出所有等可能结果，并注意“放回”与“不放回”的区别；四是方差比较大小可直接判断稳定性，无需计算具体数值。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)同意小明的说法，理由见解析 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． （2）解：同意小明的说法，理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 2．（2026·广东广州·一模）2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． (1)①此次共调查了_____人； ②扇形统计图（图2）中C类对应的圆心角度数为_____°． (2)将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】(1)①50；②72 (2) 【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可得到结论；②利用圆心角的意义解答即可； （2）利用画树状图法解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得（人）； ②C类所占圆心角为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为． 3．（2026·广东广州·一模）某校为了解学生对“航天知识”的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将成绩（满分10分）分为A（10分），B（9分），C（8分），D（7分及以下）四个等级，绘制了如下统计图 (1)本次共调查了_________名学生，扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角是________度； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有1500名学生，请估计成绩在A等级的学生有多少人？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）由A等级学生人数除以A等级学生所占比例可得到被调查的总人数，用C等级学生所占比例乘以即可得到C等级所在扇形的圆心角的度数； （2）用被调查的总人数乘以B类学生所占比例，得到B等级学生人数即可补全图形； （3）根据被调查A类学生所占比例，乘以1500即可得到结论． 【详解】（1）解：被调查的人数为（人）， 扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角为． （2）被调查B等级学生数为：（人） 补全图形如下： （3）解：（人） 答：估计成绩在A等级的学生有300名． 4．（2025·广东广州·三模）2025年，是中国共产党成立第104周年，意义非凡．阳光中学为了解本校学生党史知识的掌握情况，组织了有关党史知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，解答下列问题： 课题 阳光中学学生对党史知识掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 阳光中学学生 数据的整理与描述 分组 成绩（分） 频数 各组总分（分）    A 5 325 7 525 n 950 7 660 调查结论 … （1）上述表格中，_____，所抽取学生成绩的中位数落在_____组； （2）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，估计成绩不低于90分的学生有_____名； （3）若此次活动共有4名同学满分，其中3名女生，1名男生，从中随机抽取两位同学参加市级比赛，求抽到的学生正好是一男一女的概率． 【答案】（1），（2）名（3） 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，频数分布直方图，求个体，中位数，用样本估计总体等相关知识，掌握数据分析能力是解题的关键． （1）用总体减去，，组的人，即可求出组的人，再根据中位数的定义求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意知， 一共名同学，从小到大排列后，中位数为第位和第位数的平均数， ，， 所抽取学生成绩的中位数落在组， （2）（名）， 答：估计成绩不低于分的学生有名； （3）依题意，男同学用表示，女同学用、、表示．故列表法如图所示： 由表知，共有种等可能结果，其中抽取的名同学，恰好是一男一女的有种结果， 所以抽取的名同学，恰好是一男一女的概率为． 押题猜想六 一次函数与反比例函数的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于，    对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， ， 解得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，一次函数与反比例函数的综合问题是函数模块的核心考查内容，分值占比约35%-40%，通常在解答题第21题左右位置出现。考点趋势上呈现“双函数联立求交点坐标、结合几何图形面积计算”的鲜明特征，如通过求交点坐标确定三角形顶点，再利用面积公式求解。押题理由在于该板块能有效考查数形结合思想与方程思想，是区分中等及以上学生的关键题型。押题依据是近五年真题及2026年押题试卷均延续此考查模式，且明确融入“跨学科情境”与“实际应用”要素。押题秘笈：一是熟练掌握待定系数法求解析式；二是联立方程求交点坐标时注意判别式验证；三是面积问题灵活运用割补法转化为规则图形。 终极猜想·精练通关 1．（2025·广东广州·二模）如图，双曲线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，过作轴于点，． (1)当，时，求的值； (2)连接，若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握反比例数的性质是解题的关键； （1），时，，设，进而表示出梯形的面积，建立方程，解方程，即可求解； （2）根据得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，表示出，同（1）的方法，表示出梯形的面积，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当，时， 反比例函数为： 设其中，代入 ∴ ∴ ∴     解得：（负值舍去） ∴ （2）解：如图， ∵轴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴, ∴, 将，代入 得 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 2．（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比. (1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 【答案】(1)， (2)有效制冷时间是9分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可； （2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解． 【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为， 由图象可知，点在函数图象上， ， 解得，， 当时的反比例函数关系式为． 当时，， 解得，； （2）解：当时，， 解得：， 设当时的一次函数关系式为， 由图象可知，点，点在函数图象上， 则， 解得： 当时的一次函数关系式为， 当时，， 解得，， （分钟）． 答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟． 3．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)； (3)的面积为． 【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由与关于原点对称得到，然后根据图象即可求解； （3）由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵射线与反比例函数的图象交于点， ∴与关于原点对称， ∴， ∴根据图象可得，不等式的解集为； （3）解：由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 4．（2025·广东深圳·二模）综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】任务1：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷；任务2：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数是解题的关键． 任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，列分式方程求解即可； 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题意得 ，求出；，当，（万元），此时B型无人机（台）． 【详解】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷 由题意可得： 解得： 经检验：是原分式方程的根， 答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷． 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元， 由题意可知： 解得： ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当，（万元） 此时B型无人机（台）． 答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元． 5．（2025·广东广州·一模）如图，中，，，其中，．    (1)直接写出线段的中点的坐标； (2)反比例函数的图象过点，与交于点，求的值； (3)点为（2）中反比例函数图象上一动点(点在，之间运动，不与，重合)，过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用数形结合思想解题． （1）先求出B的坐标，再用中点坐标公式求解即可； （2）将代入即可的解； （3）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ． 又， ． ， 点． 又∵线段的中点是点，， ∴； （2）解：将代入，得． （3）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 押题猜想七 二次函数的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】在平面直角坐标系中，点为抛物线（a，b为常数且）上一点，抛物线G与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)用含a的代数式表示b； (2)若，求a的值； (3)连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段（点D为点A的对应点），若线段与抛物线G有交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点M的坐标代入抛物线的解析式中即可得到答案； （2）根据抛物线的解析式，可求出点A，点B和点C的坐标，进而得到和的长，根据建立方程求解即可； （3）当时，可推出点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的正半轴上，且，当时，可推出点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的负半轴上，据此分类讨论可得答案． 【详解】（1）解：∵点为抛物线（a，b为常数且）上一点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴抛物线G的解析式为， 在中，当时，，则， ∴， 当时，则，即， ∵， ∴或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知， 当时，则， ∴此时点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上， 由旋转的性质可得， ∴点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的正半轴上； 如图1所示，当点C在点D下方时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 当点C与点D重合时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 如图2所示，当点C在点D上方，且点E在点B左侧时，则， ∴， 此时线段与抛物线G一定没有交点； 当点C在点D上方，且点E与点B重合时，则，解得， 此时线段与抛物线一定有交点，故符合题意； 如图3所示，当点C在点D上方，且点E在点B右侧时，则， ∴， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； ∴当或时，线段与抛物线G一定有交点； 当时，则， ∴此时点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上， 由旋转的性质可得， ∴点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的负半轴上； 如图4所示，当点E在点A右侧时，则，解得， ∴当时，线段与抛物线G一定没有交点； 当点E与点A重合时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 如图5所示，当点E在点A左侧时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； ∴当时，线段与抛物线G一定有交点； 综上所述，或或． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，二次函数综合问题是每年压轴题的核心考查内容，分值占比最高（约35%-40%），通常在解答题第24-25题位置出现。考点趋势呈现鲜明的“去套路化”特征，摒弃机械刷题模式，回归数学本质。重点考查含参二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、最值）、与几何图形的存在性问题（平行四边形、等腰三角形、相似三角形），以及动点背景下的最值探究。如2025年真题以隧道为背景，将二次函数融入实际情境考查。押题理由在于该板块综合性强、区分度高，能有效考查数形结合思想与分类讨论能力。押题依据是近六年真题中二次函数“4年必考”的稳定规律，且2025年考查方向与2026年适应性测试保持一致。押题秘笈：一是求解析式时灵活选择顶点式或一般式；二是动点问题中设参数表示坐标，根据几何条件列方程；三是分类讨论时做到不重不漏，验证解的合理性；四是含参最值问题需依据自变量取值范围分段讨论。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 2．（2025·广东广州·一模）居民接种流感疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条生产线生产一次性注射器，开工第一天日生产量400万个．经调查发现，1条生产线的日最大生产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大日生产量将减少20万个/天． (1)1条生产线的日生产量从开工第一天起，按日平均增长率50%增加，到开工第三天达到最大日生产量，求1条生产线的最大日产量； (2)该厂要求每天生产一次性注射器的数量应达到10900万个，是否能够完成该任务？如果能，应该增加几条生产线？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)1条生产线的最大产量是900万个； (2)不能完成该任务，理由见解析 【分析】（1）根据“按日平均增长率增加”解答即可； （2）设增加x条生产线，每天生产一次性注射器y万个，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵（万个）， ∴1条生产线的最大产量是900万个； （2）解：不能完成该任务，理由如下： 设增加x条生产线，每天生产一次性注射器y万个， 根据题意得： ． ∵， ∴当时，y取最大值10580，即每天生产一次性注射器最多10580万个． ∵， ∴每天生产一次性注射器不能达到10900万个． 3．（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【分析】（1）设，则，然后利用两点距离公式得到关于a的一元二次方程，解方程即可； （2）①设，，利用待定系数法表示出直线的函数表达式为，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，分别与抛物线联立，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，，从而求得，即可解答； ②根据①中所求，可得，，然后利用完全平方公式的变形求得，，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 4．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，为线段的中点，记点所在的曲线为． (1)求曲线的解析式； (2)直线，与曲线的两支交于点，，设直线与轴正半轴的夹角为（为锐角）． ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见详解，② 【分析】本题考查了反比例函数的性质、矩形的性质、中点坐标公式、两点间距离公式及三角函数的应用，解题的关键是利用中点坐标公式求出点的轨迹方程，掌握两点间距离与坐标差的关系． （1）中由矩形的顶点坐标，用中点坐标公式求点坐标，消去参数得曲线的解析式； （2）①中由直线与轴正半轴夹角为，过分别作轴、轴垂线，利用三角函数定义，，变形即得；②中当时，联立直线与反比例函数，用韦达定理求，代入，由，在直角三角形中，设角的邻边为，对边为，由勾股定理求斜边为，得，再求的范围． 【详解】（1）解：四边形为矩形， 对角线的中点的坐标为， 设，则， ， ， ，即， ， 曲线的解析式为； （2）解：①过点作轴于，过点作轴于，过点作于点， 则，轴， 直线与轴正半轴的夹角为（为锐角）， ， 在中， 由三角函数定义：， ； ②当时，直线， 联立与 ， ， 由， 由韦达定理：， ， 为锐角， 在直角三角形中，设角的邻边为，则对边为， 由勾股定理，斜边， ， 直线与曲线的两支都相交， 方程的两根异号，即恒成立， 又恒成立， 可取任意实数， 当时，， 的取值范围为． 5．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 6．（2025·广东广州·模拟预测）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点P为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，E、F为直线上两点（点在点左方），且，当最大时，求出这个最大值，并求出点E的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)，最大值为 【分析】本题考查了二次函数及其图象性质，正方形判定和性质，轴对称性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）令，求出一元二次方程的根即横坐标，进而题目可解； （2），根据，坐标，求出的函数关系式，过点作轴平行线交于，设点坐标，表示出点坐标，进而求得长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得； （3）作点关于的对称点，将沿着方向移动个单位得，连接并延长交于，发现是正方形，可得出点和重合，进一步得出结果． 【详解】（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）解：如图1，过点P作轴的平行线交于点D， 设点， 点，， 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ∴； （3）解：如图2， 作于，延长至，使， 将沿着方向移动单位至，连接交于，将沿着方向移动至， 则最大， ，， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， 是正方形， ，，， ， ∵， ， 当时，， ∴， 最大． 7．（2025·广东广州·一模）已知抛物线的顶点为，点在抛物线上，直线过点和． (1)求直线的解析式； (2)点为抛物线与直线的唯一交点，连接，记的长度为，若给定一实数，满足恒成立，求的取值范围； (3)已知：任意两正数，，有不等式恒成立． ①若与的乘积为定值，求证：的最小值为，当时，的值最小； ②在（2）的条件下，为直线上的一动点，，连接，．若，运用（3）①证明的结论，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①见详解，② 【分析】（1）直线过和两点，用待定系数法设代入两点坐标解方程组即可； （2）由抛物线与直线有唯一交点，联立方程得，从而用表示将顶点的坐标代入，转化为关于的二次函数，求其最小值即可得到的最小值，进而确定的取值范围； （3）①由展开得，即，当且仅当时取等号；②设在直线上，由， 利用勾股定理展开化简，得，因为，所以，将代入化简得，与相乘后开方得，设，换元后得，由(3)①的结论知，当时取等号，故最小值为． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 直线过点和， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：联立抛物线与直线， ， 整理得①， 抛物线与直线有唯一交点， 方程①的判别式， ， ， ② 将②代入抛物线解析式， ， ， ，， ， ， 而， ， ， 当时，； 恒成立， ； （3）解：①， ， 即， ， ， 当且仅当，即时取等号； ②设， ， 由勾股定理， ， 展开化简得， ， ， ， ， 将代入， ， ， ， ， ， 且， ， 解得， ，故， ， 设， 则， ， ， 设， ，，即 ． 由(3)①知， 取， ， 当且仅当，即时取等号，此时，满足条件． 的最小值为． 押题猜想八 三角形的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒．    (1)求的长度； (2)当的长度最小时，求的值； (3)连接，当点在的内部（包括边界）时，求点在上的运动长度． 【答案】(1) (2) (3)点的运动路径长为 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查三角函数，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论是解题的关键； （1）根据三角函数求出，再根据勾股定理进行计算即可； （2）根据题意证明是等腰直角三角形，当的长度最小时，的长度最小．当时，的长度最小，再根据三角函数计算结果即可； （3）分当点在上时，当点在上时两种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，， 根据勾股定理可得； （2）解：是的中点，， ，， 线段绕点逆时针旋转得线段， 是等腰直角三角形， ， ， 当的长度最小时，的长度最小． 当时，的长度最小， 此时， ， 解得； （3）解：点的运动路径长为． 如图，当点在上时，   是的中点，， ， ， 又， ， ， 解得， ， 当点在上时，，   ， 又， ， ， 解得， 由图可知，当点在的内部（包括边界）时，点在上的运动长度为． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，三角形的综合问题是几何板块的核心考查内容，呈现“基础与压轴并重”的趋势。分值占比高，涵盖三角形基础、全等三角形的判定与性质、特殊三角形（等腰、直角）、折叠变换及与四边形、圆的综合应用。如2024年真题结合等腰直角三角形考查三角形全等与面积转化。押题理由在于三角形是几何推理的基石，能有效考查逻辑思维与综合运用能力。押题依据是近五年真题及2025年压轴题均以三角形为背景，结合动点、相似及最值问题进行探究。押题秘笈：一是夯实全等及特殊三角形性质，规范证明步骤；二是无图时动手画图，对等腰、直角三角形的多解情况分类讨论；三是综合题中善于将复杂图形分解为基本三角形模型，利用相似或勾股列方程求解。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，为线段上一点． (1)尺规作图，作点关于的对称点，连接，，并证明； (2)如图，当由点运动到点过程中， 若线段与线段交于点，当取最大值时，求的值； 在上取一点，使得，连接，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)；最小值为． 【分析】（）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，然后通过全等三角形的判定方法即可求证； （）先证明，所以，则，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接，由勾股定理得，则，设，则，可证，所以证明，则，所以点在与夹角为的直线上运动，再得出，，即点在垂直平分线上运动，，则，故当点三点共线时，有最小值的长，即的最小值为． 【详解】（1）解：如图，分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点即为所求， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此时； 如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴， ∴， ∴，即点在垂直平分线上运动， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值的长， 即的最小值为． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可解决本小题； （2）延长至F，使，连接、，证明．从而，．再根据斜边中线定理可证得； （3）过点作直线于点F，由题意可知．由旋转可知，，，证明．得，即F为中点，从而证得点在的中垂线上运动．作的中垂线l，则的外心必在直线l上，设外心为点G，连接、，，当时，最小，即外接圆半径r最小，此时，，，，设，则，，故，在中，由勾股定理得，解得，（不合题意，舍去）． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴是等边三角形， ∴，即的长为6． （2）证明：延长至F，使，连接、，如图所示： ∵， ∴为的中垂线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 又∵为斜边的中线为斜边的中线， ∴． （3）解：过点作直线于点，如图所示： ∵，，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴． 由旋转可知，． ∴ ∴， 在和中， ， ∴． ∴，即F为中点， 故在的中垂线上运动． 作的中垂线l，则的外心必在直线l上， 设外心为点G，连接、，， 当时，最小，即外接圆半径r最小， 此时，，，， 设， 则，， 故， 在中，由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去）， 故的外接圆的半径r的最小值为． 3．（2025·广东广州·二模）已知线段，． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，作，与交于点D，求的最小值； (3)如图3，当时，点E是线段上，关于对称线段为，延长交的延长线于点G，求当点E线段上运动时，点G的运动路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解； （2）作，于点，设中点为Q，证明，再推出，求得，当点三点共线，且点在下方时，取得最大值，据此可求得的最小值； （3）连接，设，，利用三角形的外角和以及内角和定理求得，推出点在的外接圆上，得到点的路径为以2为半径，为圆心角的弧上，利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：作，于点，，连接，设中点为Q， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上， ∴当点三点共线，且点在下方时，取得最大值，即有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， （3）解：连接， ∵， ∴， 设，， 则，，， ∵， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴点在的外接圆上， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点的路径为以2为半径，为圆心角的弧上， ∴点G的运动路径长为． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 押题猜想九 特殊四边形的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，边长为4的正方形的对角线，相交于点，点在对角线上运动（不与点，重合），连接． (1)连接，求的取值范围； (2)为边外侧一点，连接，，，且． ①求证：； ②设外接圆的半径为，连接，，当点在线段上运动时，求与之间的函数关系式（为自变量）． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】（1）利用正方形的性质结合勾股定理求解即可； （2）①在线段上取点，使，连接，证明，推出，，再证明，据此计算即可得到； ②先证明点在边上，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当点与点重合时，的长最短， ∵边长为4的正方形， ∴，， ∴， ∴； （2）①证明：在线段上取点，使，连接， ∵， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； ②作线段和的垂直平分线，相交于点，连接，，，此时点为外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∵， ∴点在边上， ∵，，， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，特殊四边形的综合问题是每年必考的核心几何板块，通常在解答题第22题左右位置出现，分值约8-12分，且呈现与三角形、折叠、旋转及二次函数深度融合的趋势。考点高度聚焦于矩形、菱形、正方形的性质判定与存在性问题，如2023年真题结合翻折考查平行四边形判定、2024年真题融入“新定义”探究正方形背景下的“神奇四边形”。押题理由在于该板块能有效考查逻辑推理与几何建模能力，是区分度的关键。押题依据是近两年真题及二轮专项复习均重点强化存在性问题探究。押题秘笈：一是牢记矩形、菱形、正方形的性质与判定，规范证明步骤；二是折叠问题抓住对应边角相等，利用勾股列方程；三是新定义型问题需精读定义，转化为熟悉的几何模型；四是无图时动手画图，对动点位置分类讨论并验证解的合理性。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在菱形中，，点为边上一点，且，，点为上动点，且． (1)求的度数； (2)连接，若，，三点共线，求的长； (3)连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质即可求解； （2）延长至点使得，连接，根据菱形的性质得到，，进而推出是等边三角形，通过证明，得到，根据E，G，C三点共线得出，再证明得到，设，列出方程并求解，即可得出答案； （3）延长至，使得，连接，，证明，得出，进而可得得出四点共圆，则，证明，结合（2）可得得出，根据得出点在圆弧上运动，设外心为，连接，得出的半径为，同理可得，在上取点，使得，连接，得可得在以为圆心为半径的圆上运动，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至点使得，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，即， ∴， ∴， ∵E，G，C三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：∵，， ∴， 如图，延长至，使得，连接，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴ 又∵ ∴四点共圆 ∴， ∵， ∴，，即 ∴ ∴ 由（2）可得 ∴ ∴ 又∵ ∴点在圆弧上运动 设外心为，连接， 如图，过点作于点， ∵ ∴，则 ∴，且在上（）， ∴ 即的半径为，即， 同理可得， 在上取点，使得，连接， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴在以为圆心为半径的圆上运动， ∵ 连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，则， 在中，， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴． 2．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)四边形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 3．（2025·广东广州·模拟预测）综合与探究 问题情境： 在正方形中，E是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点B的对应点落在正方形内． 猜想证明： （1）如图1，连接并延长，交边于点F．求证：． （2）如图2，当E是边的中点时，连接并延长，交边于点H，将沿直线翻折，点D恰好落在直线上的点处，交于点M，交于点N．试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： （3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形是矩形；理由见解析（3） 【分析】（1）设和相交于点O，证明，即可得到； （2）根据折叠的性质证明，即可证明四边形是矩形； （3）连接交于点G，求出，证明，得到，，由等积法求出，由，求出，即可求出，得到四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，设和相交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是边的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：连接交于点G，如图2， ∵四边形是正方形， ∴， ∵E是边的中点， ∴， 由（2）得，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可证，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知：，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 4．（2025·广东广州·模拟预测）（1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由正方形的性质先证，得出，再证，得出，然后由平行线的性质得，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，先证，得出，，再证是等边三角形，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的长为． 5．（2026·广东广州·一模）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． (1)【知识技能】 如图1，在正方形中，E、F分别是边上的点，连接，且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． (2)【教学理解】 如图2，在正方形中，E、F分别是边上的点，．连接，M、N分别是线段上的点，连接，且（点E、F、M、N均不与端点重合）．请猜想线段的数量关系，并说明理由． (3)【拓展研究】 如图3，是正方形的对角线，P、Q分别为线段上的点，且．将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点E，连接，求的值． 【答案】(1)①详见解析，成立，详见解析；②60 (2)，详见解析 (3) 【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）将绕点逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解； （3）先利用正方形的性质，结合，可得同为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转至， ∴，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为． （2）解：，理由如下： 将绕点逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：过作于，连接，设交于，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为中点，是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的值为． 押题猜想十 圆中的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，在中，，以为直径的交于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得，于是可得出结论是的切线； （2）利用正切求得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． ∵(半径)，， ∴． ∴， ∴． ∴是的切线． （2）解：∵半径为3，为直径， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，圆的综合问题是每年必考的几何核心板块，通常在解答题第22-23题位置出现，分值约10-12分。考点趋势呈现鲜明的“切线与相似三角形深度融合”特征，如2021年圆与一次函数结合考查外接圆最值问题，2023年圆与平面直角坐标系结合考查弧长计算。押题理由在于该题型综合性强，能有效考查数形结合思想，是区分度的关键。押题依据是近五年真题中圆的切线证明与相似比计算从未缺席，如2022年真题结合尺规作图考查垂径定理与三角函数。押题秘笈：一是切线证明牢记“连半径证垂直”两大思路；二是见到直径立即联想圆周角90°构造直角三角形；三是圆中求线段长常借助相似三角形对应边成比例列方程求解；四是涉及动点或位置不确定时要分类讨论并验证解的合理性。 终极猜想·精练通关 1．（2025·广东广州·二模）如图，中，，，，点是线段上的一个动点，点在的延长线上且满足连接，以为直径作，交于点，交于点． (1)证明：； (2)连接，若和相切，求线段的长； (3)点在线段上运动的过程中，当线段长度最小时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)四边形的面积为． 【分析】（1）利用圆周角定理求得，推出，再利用30度角的直角三角形的性质即可证明； （2）设，则，在中，求得，在中，求得，推出，得到，求得，再证明是的中位线，利用三角形中位线定理求解即可； （3）过点作于点，设，用表示出和的长，利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得当时， 有最小值，利用勾股定理求得，连接，作于点，利用垂径定理和勾股定理求得，推出，得到四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵和相切， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （3）解：过点作于点， 设， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，开口向上， ∴当时，有最小值，即有最小值， 此时，，，，，，， ∴， 连接，作于点， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 2．（2025·广东广州·二模）已知抛物线经过点，与轴另一个交点为，交轴于点，的外接圆，与抛物线的第四个交点为点，切内切圆于点． (1)抛物线的对称轴是直线______；解析式是______． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点在轴上，当时，则______． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据对称轴方程代入化简即可得对称轴，代入点坐标可解得的值，故而可得解析式； （2）先判断在的中垂线上，从而也在抛物线的对称轴上．设，，根据，即，解得，故由圆周角定理可知，且点在对称轴上，故，利用对称性可得另一个点； （3）由，，利用对称性质，可得，由为直角三角形，可得内切圆半径，故，由点在轴上，可得为直角三角形，当∽时，有，故，即，解得． 【详解】（1）解：由可知,对称轴为直线， 把代入中， 得， 解得， 故解析式为． 故答案为：，． （2）解：存在，理由如下： ， 在的中垂线上，从而也在抛物线的对称轴上． 设， ∵， ， 即， 解得， 故 由圆周角定理可知，且点在对称轴上， 故或 （3）解：，，对称轴为直线， ，． ． 为直角三角形， 内切圆半径， 故，． 由点在轴上，可得为直角三角形， 当∽时，有， 故， 即， 解得， 故答案为：． 3．（2025·广东广州·二模）已知，．是的外接圆，点D在上（），连接． (1)如图，，点D在优弧上． ①证明：平分； ②若的半径为，求四边形面积的最大值． (2)若，，判断之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)或，理由见解析 【分析】（1）①根据等边对等角，圆周角定理证明即可； ②②解：取的中点G，连接，并延长交于点E，连接，过点D作于点H， 得四边形的面积为：，根据题意，得到都是定值，是动值，根据圆的性质，得当点D与点E重合时，取得最大值，此时四边形的面积也取得最大值，解答即可． （2）分两种情况，利用三角函数，等腰三角形得性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②解：取的中点G，连接，并延长交于点E，连接，过点D作于点H， ∵， ∴，， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 根据题意，得到都是定值，是动值， 根据圆的性质，得当点D与点E重合时，取得最大值，此时四边形的面积也取得最大值， ∴四边形面积的最大值为：， ∵，的半径为， ∴，， ， ∴四边形面积的最大值为：； （2）解：（i）当点D在优弧上时，如图，延长到点E，使得, ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点C作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （ii）当点D在劣弧上时，如图，延长到点F，使得, ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作，交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 4．（2025·广东广州·二模）已知等边三角形边长为6，点P为平面内一点，连接． (1)如图1．若点P在内部，，请作出的外接圆，并找出圆心O． (2)如图1，求证：为的切线． (3)如图2，若点P在内部，以边作等边三角形，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点的性质解答即可； （2）连接并延长，交于点M，连接，利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的性质得到，利用等边三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）过点A作于点F，过点D作于点G，过点E作于点H，利用等边三角形的性质和三角形的面积公式分别求得三个三角形的面积，利用已知条件化简得到，则为直角三角形，，利用点的轨迹的性质得到点P的运动轨迹为以为直径的圆中在的内部的一段弧，当三点共线时的值最小，即可得出结论． 【详解】（1）解：1．作的垂直平分线， 2．作的垂直平分线，与交于点O， 3．以点O为圆心，以为半径画圆O，如图， 则为的外接圆，点O为圆心； （2）证明：连接并延长，交于点M，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵为圆的直径， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴为的切线． （3）解：过点A作于点F，过点D作于点G，过点E作于点H，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，， ∴点P的运动轨迹为以为直径的圆中在的内部的一段弧，如图， 当三点共线时的值最小， 由题意得：， ∵， ∴． ∴的最小值为． 5．（2025·广东广州·二模）甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）． 【答案】[任务一] ；[任务二] ；[任务三] ， 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解； 任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为，结合扇形面积公式即可求解； 任务三：由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接交于点N，连接， 由题意知，，由上得，可得，则，，由勾股定理得，那么，即，同理：，则，即． 【详解】任务一：解：过点O作，交于点，   ，， ， ， ，， ； 任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为 ； 任务三：解：如图 由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接，连接交于点N，交于点， 由题意知，， 由上得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 同理：， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴． 押题猜想十一 尺规作图与计算证明综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）根据线段垂直平分线的性质得，设，则，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图； （2）连接，如图， 为的中垂线， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ， ， ． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，尺规作图与计算证明综合问题呈现出鲜明的“融合化”与“无套路化”趋势。2025年中考将尺规作图融入压轴大题作为第一小问，而非再单独设题，这一模式在2024年真题中已有体现，充分说明该题型正从独立作图向“作图+证明+计算”三位一体格局转变。考点高度聚焦于五种基本作图与几何核心知识的融合，如作角平分线结合菱形、矩形判定，作垂直平分线结合切线证明，或作旋转对称图形结合全等相似计算。押题理由在于此题型能有效打破机械刷题模式，通过动手操作考查几何直观与逻辑推理的协同能力，已成为区分中等及以上学生的关键题型。押题依据是近两年真题及2026年押题卷均延续“融合性”考查，预计2026年仍会将尺规作图嵌入几何综合题第一问。押题秘笈：一是牢记五种基本作图的原理与步骤，不依赖直尺刻度；二是作图后立即联想“作图给出了哪些等量关系”（如角平分线得等角、垂直平分线得等边）；三是将作图痕迹转化为几何条件，无缝衔接后续证明与计算，实现“作、证、算”一体化。 终极猜想·精练通关 1．（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在上． (1)尺规作图：在直径下方半圆上，作点，使，连接，交于点，连接，；（保留痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中， ①若，求与的面积之比． ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】过点作的垂线交于点，连接，，即可． 利用相似三角形的性质求解； 解直角三角形求出，即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）解：是直径， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 与的面积之比； 过点作于点． ， ， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ， ． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上取点，以为圆心画圆，使得与边、相切（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，尺规作图---角平分线，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确作出圆的切线是解题的关键． （1）作的角平分线，射线与交点为点，再以点为圆心为半径作圆，即为所求； （2）设与相切于点，连接，则，根据角平分线性质定理可得，由可得，设，则，由勾股定理求出，求出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：设与相切于点，连接，则， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·广东广州·一模）如图，四边形为平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)10 【分析】（1）①以为圆心，适当长为半径画弧，交于，于，②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，③作射线，交于即可； （2）延长交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，求得，于是得到． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：延长交的延长线于， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（2025·广东广州·三模）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆与边相切于点D．    (1)尺规作图：作交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)连接并延长交于点F．若，求的长． 【答案】(1)见解答． (2)． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质定理、勾股定理和基本作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的性质定理是关键． （1）在的上方作，交于点E，则即为所求． （2）连接，由切线的性质可得，则，.可证明，得，即，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，在AB的上方作∠BAE＝∠B，交⊙O于点E， 则即为所求．    （2）解：连接， ∵以点O为圆心，长为半径的圆与边相切于点D， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 5．（2025·广东广州·二模）如图，四边形中，，，于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，四边形的形状，并证明你的结论； (3)连接，若，求长． 【答案】(1)见解析； (2)是菱形，见解析； (3)． 【分析】本题考查了基本作图—作角平分线，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （）利用基本作图作角平分线即可； （）由平分，则，再根据平行线的性质得出，故有，然后利用菱形的判定方法证明即可； （）根据菱形的性质和勾股定理求出长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：四边形是菱形，理由如下， 如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； （3）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 押题猜想十二 几何图形中的新定义型问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】综合与实践． 【了解定义】如图1，在和中，，，点，在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【探究性质】小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小明利用图1给出如下已知、求证，请帮助小明完成证明． 已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． (2)【探究运用】如图 2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用同位等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； 【详解】（1）证明：和是同位等腰三角形， ． ， 即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是同位等腰三角形． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，几何图形中的“新定义型问题”呈现出鲜明的创新趋势，已成为选填压轴的热门方向。命题强调“摒弃套路”，回归数学本质，着重考查学生对核心概念的深度理解与灵活迁移能力。押题理由在于此类问题能有效打破机械刷题模式，通过定义新概念考查学生即时学习与运用知识的能力，是区分思维层次的关键题型。押题依据是近5年真题中“新定义”多次出现，且2025年试卷明确强化了开放性与探究性，如“黄金矩形”折叠问题引导自主探究。押题秘笈：一是精读定义，准确把握新概念的本质特征；二是化归转化，将新定义转化为熟悉的几何模型或性质；三是无图需动手画图，分类讨论，并严格验证解的合理性。 终极猜想·精练通关 1．（2025·广东广州·模拟预测）数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点作的一条切线． 甲同学的方法是：连接，作的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径画个圆，交于点，连接，即为切线； 乙同学的方法是：连接交于点，延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径，画弧，两弧交于点，连接交于点，连接，即为切线； (1)甲同学作图的依据是：______； (2)请在图①中，用乙同学的方法作出图形，并证明为切线； (3)请在图②中，用不同于甲，乙同学的方法，尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹），简单说明作法不需证明． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了切线的判定，尺规作图等知识； （1）根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据切线的性质即可得证； （2）按照乙同学的作图步骤作图，然后根据等腰三角形的三线合一性质和切线的判定即可得证； （3）连接，交圆与点 M，过点M作的垂线，以O为圆心，为半径，画弧，交垂线于点G，连接交于点Q，连接即可． 【详解】（1）解：根据作图知：是的直径， ∴，即， ∴为的切线， 故答案为：直径所对的圆周角是直角； （2）解：作图如下： 由作图：，， ∴， ∴为的切线； （3）解：如图，即为所求； 由作图知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线． 2．（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 3．（2024·广东广州·模拟预测）我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，且相似比为，则原三角形叫做“友好三角形”； (1)如图1，已知在中，，，求证：是“友好三角形”； (2)如图2，在的网格图中，点A、B在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”，要求点在格点上； (3)如图3，在（1）的条件中，作的外接圆，点是上的一点，，连接DE； ①设，，求关于的函数关系式； ②当时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）先求出，再证明，再由，即可证明； （2）如图所示，取与格线的交点D，易证明，再由，则可证明； （3）①由相似三角形的性质得到，，则，再证明，得到，接着证明，得到，则，即可得到；②连接，证明是等边三角形，得到，则，解得，（不合题意，舍去），得到， ， ， 过点作于点， ， ∴，， 在中，， ， 的半径为． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， ， 是友好三角形； （2）解：如图所示，即为所求； 易求出， ∴， 再由，则可证明； （3）解：①， ，， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 与的函数关系式为：； ②连接、， ， ， 是等边三角形， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ， ， ， 过点作于点， ， ∴，， 在中，， ， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 4．（2024·广东广州·模拟预测）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”．如图1，在中，点D是边上的一点，连接，若，则称点D是中边的“好点”． AI (1)如图1，在中，，若点D是边的“好点”，且，则线段的长是______； (2)如图2，是的外接圆，点E在边上，连接并延长，交于点D，连接、、，若点E是中边的“好点”， ，求证：； (3)在（2）的条件下，点P是上一点，连接交于点Q，连接、，若，为等腰直角三角形，，求的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据“好点”定义可得出，然后代入数据即可求解； （2）根据“好点”定义可得出，证明可得出，则，由垂径定理可得进而得出，最后根据的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，则，在和中由勾股定理即可证明； （3）由三角形的中位线定理求得，运用勾股定理得，由（2）知：，求出，则，而，故，延长交于，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的判定得出，利用等腰三角形的性质可得，证明，得出，过点作于，过点作于，求出，证明，得出，设，则，，，代入可得出关于的方程，求得，则，代入可得，则，可证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：点是边的“好点”， ， 又，， ， （负数舍去）， 故答案为：； （2）证明：点是△中边的“好点”， ， ，， ， ，即， ， ， ∵经过圆心， ， ， ， 是的直径， ∴， ∴在和中， 由勾股定理得，， ∴； （3）解：，，， ， ，为等腰直角三角形， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴ 而， ∴， 延长交于， ，经过圆心， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 过点作于，过点作于， ， ， ，， △△ ，即， 设，则，， 在中，， ， ， 化简得， ， ，（舍去）， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 押题猜想十三 函数中的新定义型问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点． (1)若点E的坐标为，求抛物线的解析式； (2)设的顶点为，若，求点的坐标； (3)当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的值为或 【分析】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【详解】（1）解： 与y轴交点的坐标为，，解得． 的解析式为； （2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为， ，当时， 的顶点的坐标为，点， 过点作轴于点，连接． ，，， ， ，即． 解得． 点的坐标为； （3）的解析式为， 当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： I．当时，，且当时，函数最大值为；函数的最小值为．，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，的值为或． 分析有理·押题有据 近5年广州中考数学真题中，函数中的“新定义型问题”已成为压轴题的热门方向，呈现鲜明的“去套路化”趋势。命题严格遵循新课标素养立意，通过定义考生从未见过的函数新概念，考查其即时学习、迁移应用与探究能力。押题理由在于此类问题能有效打破机械刷题模式，是区分思维层次的关键。押题依据是近5年真题中“新定义”多次出现在第24-25题，且2026年押题卷明确强化了含参函数与几何结合的探究性试题。押题秘笈：一是精读定义，准确提炼新概念的本质特征与限制条件；二是画图数形结合，将新定义转化为熟悉的函数性质或几何模型；三是含参问题需分类讨论，做到不重不漏并验证解的合理性。 终极猜想·精练通关 1．（2025·广东广州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点．则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是______（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)若将函数的图象绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【答案】(1)③ (2)b的值为或或或0 (3)M不存在 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、新定义、等腰三角形的定义、根的判别式、旋转的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据“平衡点”的定义进行判断即可； （2）根据题意表示出点B，再分三种情况，分别利用勾股定理列方程即可解答； （3）根据题意求出抛物线的顶点，利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， ∴的图象上不存在“平衡点”； 同理可得，的图象上不存在“平衡点”， 的图象上存在“平衡点”． 故答案为：③． （2）解：在中，令，得， 解得或， ∵， ∴； 在中，令，得， 解得， ∴， 当A的坐标为时，C的坐标为， ∴，，， 当，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为或或或0． （3）解：设， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵点关于的对称点为， ∵旋转后的抛物线解析式为， 在中，令，得， ∴， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴方程有两个相等实数根， ∴，即， 解得：， ∴M的坐标为， ∵， ∴M不存在． 2．（2025·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线． (1)抛物线的对称轴为直线且其伴随直线为，求该抛物线的解析式； (2)若抛物线的伴随直线是． ①试用含a的代数式表示b和c； ②抛物线经过定点Q，且与x轴交于点D和点E，若为直角三角形，求m的值； (3)顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，当时，y轴上存在点P，使得取得最大值，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)①，；② (3) 【分析】（1）把伴随直线解析式变形为，再根据定义即可得到答案； （2）①根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，，，则，；根据②所求，可得定点，进而可证明Q为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得点E坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； （3）根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线与x轴的交点，用勾股定理列出关于的方程，求出，先证明当取得最大值，的外接圆与轴相切，根据题意画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且伴随直线． ∴抛物线． （2）解：①依题意得原抛物线解析式为， ∴，，， ∴，． ②由①得抛物线解析式为， ∴时的函数值与m值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点E、D为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点E、D与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点E到对称轴的距离为3， ∴点E坐标为或， 选择其中一点代入，可解得． （3）∵抛物线的解析式为：， ∴其伴随直线为即，顶点坐标为， ∵抛物线顶点在第一象限， ∴， 联立抛物线与伴随直线的解析式为：， 解得：，， ∴，， ，令， 即， 解得：或， ∴， ∴，，， ∵， ∴ 即， 解得：或（舍去）， ∴当时，． 设的外接圆为，当与轴相切时， 在轴上任意取一点，连接交于一点，则， ∵， ∴当取得最大值，的外接圆与轴相切， 当时，则，，如图所示，此时， 设过，，的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴， 设经过的外心的直线解析式为， ∵，， ∴中点坐标为， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∵轴，则， ∴设， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学终极押题猜想 口考情为骨密押为翼门 目录 押题猜想一几何图形选填综合小压轴… 1 押题猜想二几何图形与函数选填综合小压轴 9 押题猜想三整式和分式化简求值… .19 押题猜想四方程（组）与不等式及其应用…。 22 押题猜想五统计和概率问题… .26 押题猜想六一次函数与反比例函数的综合问题。 …32 押题猜想七二次函数的综合问题… .43 押题猜想八三角形的综合问题… .62 押题猜想九特殊四边形的综合问题…。 .75 押题猜想十圆中的综合问题…。 93 押题猜想十一尺规作图与计算证明综合问题… …108 押题猜想十二几何图形中的新定义型问题… .116 押题猜想十三函数中的新定义型问题.。 .129 押题猜想一几何图形选填综合小压轴 试题前瞻能力先查一 限时：10min 【原创题】如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=AC,BD=6,E,F分别为线段BO, OD上两点，连接AE,AF,CE,BE=2,BF=4.下列说法中：①AE为∠BAC的角平分线；② AE⊥AD:③CE=AF:④AF=3,正确的个数是() IO F A.1 B.2 C.3 D.4 —●分析有理押题有据◆一 1/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 近5年广州中考数学真题中，几何图形选填小压轴呈现出鲜明的“去套路化”趋势，严格遵循新课标 要求，淡化解题技巧，回归数学本质。考点高度聚焦于圆与特殊四边形的核心性质考查，如圆周角定理与 圆心角定理的灵活运用、菱形与正方形的判定与性质、切线长定理及其在动态几何中的应用。押题理由在 于该板块能有效考查学生的逻辑推理能力与空间观念，是区分度的关键所在。押题依据是近两年真题及 2026年宫方适应性测试延续了这一稳定规律。押题秘笈强调：一是无图题务必自行画图并分类讨论：二是 警惕等腰三角形腰与底不确定产生的多解情形：三是几何多解需严格验证合理性。 —○终极猜想精练通关。一 1.(2026广东广州模拟预测)如图，点P为Rt△ABC的边BC上一动点（点P与点B,C不重合）， CA=CB=4,∠C=90°，△ADP与△ACP关于边AP成轴对称，将线段PA绕点P逆时针旋转9O°得到线段 PE,连接DE. (1)若PA=2PC,则∠BPE的度数为 (2)点P在运动的过程中，DE的最小值为 2.(2025广东广州模拟预测)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P为BD上的一点，连 接CP,过点P作PF⊥CP交AD的延长线于点F,延长FP交AB于点E,则以下结论：(I) ∠DPF=∠PCA;(2)BE=DF;(3)点P为EF的中点；(4)SPE=SDcP;(5)若OP=2,则 BE=2√2，其中正确的结论有个.（填正确结论的个数） 3.(2025广东广州二模)如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,折叠正方形 纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G, 连接GF,给出下列结论，①∠AED=67.5o: 酒边形1心是发彩：@5m250架-胎共 中正确的是 2/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 押题猜想二几何图形与函数选填综合小压轴 ·试题前瞻·能力先查◆一 限时：10min 【原创题】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.动点P从点A出发，沿A→B→C的路径运动，过 点P向对角线AC作垂线，垂足为Q,设AQ=x,△APQ的面积为y.则y关于x的函数图象大致是 () 个 D 012345 0123453 O12345 012345 ◆分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，几何图形与函数选填综合小压轴呈现出鲜明的“去套路化”趋势，严格 遵循新课标素养立意要求，淡化机械技巧，回归数学本质。考点趋势高度聚焦于二次函数图像性质与几何 图形（三角形、四边形）的融合应用，如2024年真题中抛物线与线段交点、周长比问题充分体现了数形结 合思想。押题理由在于此板块占比高（约35%-40%），能有效考查逻辑推理与建模能力，是区分度的关键： 押题依据是近五年真题及2026年官方适应性测试均延续此稳定规律。押题秘笈强调：一是熟练掌握顶点式 与一般式的灵活转换；二是遇到动点问题严格分类讨论并验证解的合理性；三是无图时必先构造标准图形 辅助分析。 终极猜想·精练通关、 1.(2026广东广州一模)均匀地向下面左图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高 度h随时间t变化的函数图象大致是() 3/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. 2.(2026广东广州一模)二次函数y=a2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于(0，-1)，对称轴为 1 直线=以下结论：①a>3②若(-2，，(0.5，)，(2，在该函数图象上，且⅓<片<y:®对 于任意实数m,都有m(am+b)>a+b成立；④方程ar2+br+c=k(k≥0，k为常数)的所有根的和为 4.其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025广东广州一模)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=2V2,D为线段BC上一动 点，过点D作直线I⊥BC,垂足为D,设BD=x,当点D从点B开始运动至点C过程中，记直线I扫过 △ABC的面积为S.当S与x满足关系式S≥x时，x取值范围为 D 4.（2025广东广州三模)如图，已知点4a,是反比例函数=兰x>0)图象上的动点，ABx轴， ACy轴，分别交反比例函数y-x>0)的图象于点BC,交坐标轴于ED,且4C=3CD,连接BC 4/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 则下列结论：①k=2:②在点4运动过程中，△4BC的面积始终不变，面积为2：③连接DE,则 BC∥DE;④存在点A,使得△ABC∽△OED.其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号） (2025广东广州一模)在平面直角坐标系xOy中，A0,2),B3,3),分别以点4，B为圆心，1为半 径作0AOB:点pQ分别在OAOB上，点M在直线y-分-1上，连接pMQw:则PM+QM 的最小值为 6.(2025广东广州中考真题)已知⊙0的半径为6，⊙0所在平面内有一动点P,过点P可以引⊙0的两 条切线PA,PB,切点分别为A,B.点P与圆心O的距离为d,则d的取值范围是；若过点O作 OC∥PA交直线PB于点C(点C不与点B重合)，线段OC与⊙O交于点D.设PA=x,CD=y,则y关 于x的函数解析式为 ■押题猜想三整式和分式化简求值 试题前瞻·能力先查。一 限时：10min 【原剑题】计算：(-)226+V5-2+2sin60°+（π-3.14° ●分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，整式与分式化简求值是“数与代数”板块的核心基础得分题，分值占比 约25%-30%。考点趋势上呈现“选择填空重概念辨析、解答题重规范运算”的格局：选择题每年必考幂运 算、整式乘除等基本法则的辨析；填空题常涉及因式分解及分式有意义的条件；解答题第18题左右位置几 乎每年必考分式化简求值，常结合方程或条件等式代入求值，如2021年真题要求化简后代入+n-2=0求 解。押题理由在于该题型位置稳定、细节陷阱多（分式方程增根检验、不等式解集规范等），是基础题丢 分的主要原因，确保基础题满分是冲刺高分的前提。押题秘笈强调：一是在化简过程中注意多项式先因式 分解、通分时分子整体加括号：二是代入求值前务必检验所选值是否使原分式分母为零；三是结果必须化 为最简分式或整式。 终极猜想·精练通关、一 5/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026广东广州一模)计算：（π-6）°+V27-2cos60° 2.(2026广东广州-模拟预测)求代数式[a+0a-b+(a+b-2a]÷(-2a)的值，其中g=2025, 2026 21).x2+x 3.(2026广东广州一模)先化简，再求值： x白-2x+1,其中x=5 a-11-2+, 4.(2026广东广州模拟预测)先化简，再求值：a+2a+1a+1十a,其中。是方程。+3a+2=0 的解 5.(2026广东广州一模)已知P=a-b b--2ab +a (1)化简P: (2)若a-b=6,且点(a,b)在第二象限，求P的值 押题猜想四 方程（组）与不等式及其应用 ● 试题前瞻·能力先查。一 限时：10min 2x≥1 【原创题】解不等式组 4x-3<x+9,并在数轴上表示解集. ●分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，方程（组）与不等式及其应用是“数与代数”板块的核心主干知识，呈现 “一元二次方程为重、实际应用融合不等式”的鲜明趋势。考点高度聚焦于一元二次方程根的判别式与解 法、分式方程的增根检验、以及不等式（组）的解集表示，实际应用题常将方程与不等式融合考查，如“方 程定值+不等式定范围”的两步递进结构。押题理由在于该板块考查形式稳定，能够有效检测学生的建模 能力与运算素养。押题依据是近五年真题与官方适应性测试均保持这一考查传统，且2025年广州中考数学 明确体现“回归教材、夯基固本”导向。押题秘笈：一是审题时圈画“至少”“不超过”等关键词快速判 定不等关系；二是列分式方程后务必检验根的合理性（分母不为零且符合实际）：三是注意一元二次方程判 别式的应用场景，做到不漏解、不增解。 ○终极猜想精练通关。— 1.(2026广东广州一模)解不等式：3(x-1<2x+4,并在数轴上表示出它的解集. 6/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026广东广州模拟预测)解方程： 2-3 xx+l 3x-2>1 3.(2026广东广州·一模)解不等式组： 2x+1<5 4.(2025广东广州模拟预测)编题训练，其中小明同学编的练习题是：设k=3，方程x2-3x+k=0的 两个实数根是x,求宁+兰的位。 小明同学对这道题的解答过程是：解：~k=3,已知方程是x2-3x+3=0, 又x+X2=3,xx2=3, 5+当-+-+-2x五-3-2x3=1, X x2 xx2 XX2 3 2+=1 X X2 (1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由. (②)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求三+ X X2 的值。 5.(2025·广东广州中考真题)智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园 引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘， (1)若用人工采摘的成本为α元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%.求用智能机器人采 摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，己 知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千 克 6.(2025·广东广州·模拟预测)陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量： 2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风 火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量. ()单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化.若哪吒一次最多能启动18个法器(“乾坤圈”和“风火轮”)， 法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 押题猜想五统计和概率问题 ·试题前瞻·能力先查◆一 7/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 限时：10min 【原创题】某校开展党史知识进校园活动，随机抽取了部分学生进行党史知识测试，并将测试结果分为： A优秀，B良好，C合格，D不合格.将测试的结果绘制成如图所示不完整的统计图 党史知识测试结果条形统计图 党史知识测试结果扇形统计图 个人数 25 D 2015 30% 15 10 10 B A B C D 等级 请根据图中信息回答下列问题： (1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图： (2)该校共有800名学生，请你估计成绩为“良好”及以上的学生有多少名？ (3)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生满分，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任 选2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率. ●分析有理·押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，统计与概率是每年必考的基础得分板块，分值约8-10分，选择题、填空 题和解答题第21题左右均有涉及。考点趋势上呈现“统计量计算为主、概率求值为辅”的格局，统计部分 重点关注众数、中位数、平均数、方差的辨析与计算，如2023年以读书活动为背景考查了众数与方差的综 合判断：概率部分则固定考查两步试验的概率计算，多以画树状图或列表法求解，如2021年党史竞赛抽取 学生问题。押题理由在于该题型位置稳定、与实际生活联系紧密（如人工智能、航天科技等背景），能综 合考查数据观念与应用意识。押题秘笈：一是审图时抓住频数分布直方图、扇形统计图的关键信息；二是 求中位数前务必将数据排序，众数可能不唯一；三是用列表或树状图时务必列出所有等可能结果，并注意 “放回”与“不放回”的区别；四是方差比较大小可直接判断稳定性，无需计算具体数值。 ●终极猜想·精练通关。一 1.(2026广东广州模拟预测)学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去 逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个.摊主给出了两种销售 方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折.每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、 黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个.如果两次颜色相同，就算“中 奖”，可按五折(10元)买下；否则按原价20元购买.小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2. (I)求小红以五折价格买到笔袋的概率： (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算.”你同意小明的说法吗？请说 明理由. 2.(2026广东广州一模)2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对 人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎.人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类： 8/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A:决策类人工智能；B:人工智能机器人：C:语音类人工智能：D:视觉类人工智能.某公司就“你最 关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图. 人数 20 24% 15 10 B 5 A B C D 类型 图1 图2 (I)①此次共调查了人： ②扇形统计图（图2）中C类对应的圆心角度数为°. (2)将表示四个类型的字母A,B,C,D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗 匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图 的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率. 3.(2026广东广州一模)某校为了解学生对“航天知识”的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试， 并将成绩（满分10分）分为A(10分)，B(9分)，C(8分)，D(7分及以下)四个等级，绘制了如 下统计图 D: 10% 38 A:20% C:40% 15 B:30% 0 A D (1)本次共调查了 名学生，扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角是 度； (2)补全条形统计图： (3)若该校共有1500名学生，请估计成绩在A等级的学生有多少人？ 4.(2025广东广州三模)2025年，是中国共产党成立第104周年，意义非凡.阳光中学为了解本校学生 党史知识的掌握情况，组织了有关党史知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调 查报告.请根据调查报告， 解答下列问题： 课题 阳光中学学生对党史知识掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 阳光中学学生 数据的整理与描 分 各组总分 述 成绩x(分) 频数 组 (分) A 60≤x<70 5 325 9/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 70≤x<80 7 525 12频数 80≤x<90 n 950 98 D 90≤x≤100 7 660 32 0 60708090100 成绩/分 调查结论 (1)上述表格中，n= 所抽取学生成绩的中位数落在组； (2)若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，估计成绩不低于90分的学生有名： (3)若此次活动共有4名同学满分，其中3名女生，1名男生，从中随机抽取两位同学参加市级比赛，求 抽到的学生正好是一男一女的概率. 2 3 4 (1,2 (1,3 (1,4 2 (2,1 (2,3 (2,4 3,1 (3,2 (3,4 (4,1 (4,2) (43 押题猜想六 一次函数与反比例函数的综合问题 ·试题前瞻·能力先查。 限时：10min 【原创题】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=+1的图象与反比例函数y=人k≠0)的图象交于 A,B两点，与y轴交于点C,连接OA,△AOC的面积为1. 10/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 备用图 (I)求反比例函数的解析式： (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线AB下方，过点P作PD⊥x轴交直线AB于点 D,作PE⊥y轴交y轴于点E,若PD+PE=6,求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边 形时，求点N的坐标. ●分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，一次函数与反比例函数的综合问题是函数模块的核心考查内容，分值占 比约35%-40%，通常在解答题第21题左右位置出现。考点趋势上呈现“双函数联立求交点坐标、结合几 何图形面积计算”的鲜明特征，如通过求交点坐标确定三角形顶点，再利用面积公式求解。押题理由在于 该板块能有效考查数形结合思想与方程思想，是区分中等及以上学生的关键题型。押题依据是近五年真题 及2026年押题试卷均延续此考查模式，且明确融入“跨学科情境”与“实际应用”要素。押题秘笈：一是 熟练掌握待定系数法求解析式；二是联立方程求交点坐标时注意判别式验证；三是面积问题灵活运用割补 法转化为规则图形。 ○终极猜想·精练通关。一 1,(2025广东广州二模)如图，双曲线y-上k>0与直线y=x+6在第一象限交于点4直线y=x+b 与y轴交于点B,过A作AC⊥x轴于点C,S四边形AcoB=mk B 0)当k=6’m=3时，求b的值： (2)连接AO,若∠AOB=30°时，求m的值。 2.(2025广东广州·二模)如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作 11/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过程是：当冷柜温度达到-4C时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到-20°C时停止制冷，温度开 始逐渐上升：当温度上升到-4C时，再次开始制冷，…按照以上方式循环工作通过研究发现，当 0≤x≤4时，温度y是时间x的一次函数：当4≤x≤t时，温度y是时间x的反比. Ay/C 4 x/min 4 20 (I)求当4≤x≤t时的反比例函数关系式，并求出t的值： (2)若规定温度不高于一8C的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 3.(2026广东广州一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=-2的图象与x轴 交于点4-10，与反比例函数y=的图象交于点-2,4，射线B0与反比例函数的图象交于点。，连 接AC. B (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 2)根据图象，直接写出不等式”>c-2>0的解集： (3)求△ABC的面积. 4. (2025广东深圳·二模)综合实践 背 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的 景 生活带来了便利 某农业公司预购进A,B两种型号的植保无人机用来喷洒 素 农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A 材 型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田 1 所用时间相等. 素 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架. 12/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 材 2 问题解决 任 务 A,B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 1 任 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型 务 和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本。 2 5. (2025广东广州一模)如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90,其中A-2,0),C(6,0). D P N A M (I)直接写出线段AB的中点D的坐标： 2反比例函数y=k+0,x>0)的图象过点D'与BC交于点E:求k的值： (3)点P为(2)中反比例函数图象上一动点（点P在D,E之间运动，不与D,E重合），过点P作 PM∥AB,交y轴于点M,过点P作PN∥x轴，交BC于点N,连接MN,求△PMN面积的最大值，并 求出此时点P的坐标. 押题猜想七二次函数的综合问题 试题前瞻能力先查。一 限时：10min 【原创题】在平面直角坐标系xO中，点M1,-8a为抛物线G:y=ax2-4ar+b+1(a,b为常数且a≠0 )上一点，抛物线G与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1)用含a的代数式表示b: (2)若AB=OC,求a的值： 13/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)连接AC,将线段AC绕点O顺时针旋转90°得到线段DE(点D为点A的对应点)，若线段DE与抛物 线G有交点，求a的取值范围. ◆分折有理·押题有据。 近5年广州中考数学真题中，二次函数综合问题是每年压轴题的核心考查内容，分值占比最高（约 35%-40%)，通常在解答题第24-25题位置出现。考点趋势呈现鲜明的“去套路化”特征，摒弃机械刷题 模式，回归数学本质。重点考查含参二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、最值）、与几何图形的存 在性问题（平行四边形、等腰三角形、相似三角形），以及动点背景下的最值探究。如2025年真题以隧道 为背景，将二次函数融入实际情境考查。押题理由在于该板块综合性强、区分度高，能有效考查数形结合 思想与分类讨论能力。押题依据是近六年真题中二次函数“4年必考”的稳定规律，且2025年考查方向与 2026年适应性测试保持一致。押题秘笈：一是求解析式时灵活选择顶点式或一般式：二是动点问题中设参 数表示坐标，根据几何条件列方程；三是分类讨论时做到不重不漏，验证解的合理性；四是含参最值问题 需依据自变量取值范围分段讨论。 终极猜想精练通关。一 1.(2026广东广州一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A-l,0),B(3,0),C(0,3). (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标： (2)将抛物线沿Y轴向下平移m(m>0)个单位长度，平移后的抛物线与直线BC恰好只有一个公共点.求 m的值： (3)点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2.(2025·广东广州·一模)居民接种流感疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏.某工厂及时引进了一 条生产线生产一次性注射器，开工第一天日生产量400万个.经调查发现，1条生产线的日最大生产量与 生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大日生产量将减少20万个天 (I)1条生产线的日生产量从开工第一天起，按日平均增长率50%增加，到开工第三天达到最大日生产量， 求1条生产线的最大日产量： (2)该厂要求每天生产一次性注射器的数量应达到10900万个，是否能够完成该任务？如果能，应该增加几 条生产线？如果不能，请说明理由， 3.(2026:广东广州·一模)已知抛物线y=r(a>0),点F04a '4a) 纵坐标为，的点M在抛物线上，且 M 14/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MF=3,过点F作直线AB交抛物线于点Ax,),Bx2,2) (1)求该抛物线的函数表达式. (2)已知点P(O,2),直线AP,BP分别交抛物线于C,D两点. ①求证：直线CD过定点： ②求APAB与△PCD面积和的最小值. 4.(2025广东广州一模)在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，A(x,0),B(x,%), C(0,),x=4,P为线段AC的中点，记点P所在的曲线为C. (1)求曲线C的解析式： (2)直线：y=ax+b(k>0),与曲线C的两支交于点Mx,y),N(x2,),设直线1与x轴正半轴的夹角为 0(0为锐角). ①求证：MN=:-=上- cos0 sin; ②若k=2,求MN的取值范围. 5.(2025·广东广州中考真题)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究 其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认 真阅读，解决问题. 图1 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 隧道入口 隧道， 限高架 侧面 涉水线处 N M 一斜坡隧道及斜 图3为隧道 数学抽象绘制图形 图2 图3 坡的侧面示意图，可近似如图2所 横截面示意图，由抛物线的一部分ACB 示 和矩形ADEB的三边构成， 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时， 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行 (即积水达到涉水线处)，车辆应避 (禁止压线)，且必须保证车辆顶部与 免通行. 隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于 15/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.3米. 隧道的最高点C到地面DE距离为5.4 斜坡的坡角为l10°，并查得： 米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨 sin10°≈0.174， 实地考察数据采集 c0s10°≈0.985， 度DE=10米.车辆行驶方向的右侧车道 tan10°≈0.176 线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1 米 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离MN(精确到0.01米)； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式： (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）. 6.(2025广东广州·模拟预测)已知，如图，抛物线y-=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B左 方)，与y轴相交于点C,直线BC经过点B、C. VA B 备用图1 备用图2 (I)求AB的长度； (2)点P为直线BC下方抛物线上一点，当四边形ACPB面积最大时，求点P的坐标： (G)在(2)的条件下，E、F为直线c上两点（点E在点e左方），且EF=号BC,当PE-OF最大时， 求出这个最大值，并求出点E的坐标。 7.(2025广东广州一模)已知抛物线G:y=x2+br+c的顶点为G×,yo),点A(a+1,2a-2)在抛物线上， 直线1过点(2,0)和(3,2). (1)求直线的解析式： (2)点A为抛物线G与直线I的唯一交点，连接OG,记OG的长度为h,若给定一实数k,满足k≤h恒成立， 求k的取值范围： 3)已知：任意两正数m,n,有不等式√m-≥0恒成立. ①若m与n的乘积为定值t,求证：m+n的最小值为2Wt,当m=n时，m+n的值最小： 16/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②在(2)的条件下，h为直线，=2-4上的动点，0<<分，连接OmG:若c10m运用 (3)①证明的结论，求△OGH面积的最小值. 押题猜想八三角形的综合问题 试题前瞻·能力先查。一 限时：10min 原创题】如图，在A4BC中，∠ABC9,4B=8mA,点D是4C的中点，动点p从点出发 沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90°得线段DQ, 连接PQ.设点P运动的时间为t秒. C 刀 D P B B 备用图 (I)求AC的长度； (2)当PQ的长度最小时，求t的值： (3)连接BD,当点Q在△BCD的内部（包括边界）时，求点P在AB上的运动长度. ◆分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，三角形的综合问题是几何板块的核心考查内容，呈现“基础与压轴并 重”的趋势。分值占比高，涵盖三角形基础、全等三角形的判定与性质、特殊三角形（等腰、直角）、折 叠变换及与四边形、圆的综合应用。如2024年真题结合等腰直角三角形考查三角形全等与面积转化。押题 理由在于三角形是几何推理的基石，能有效考查逻辑思维与综合运用能力。押题依据是近五年真题及2025 年压轴题均以三角形为背景，结合动点、相似及最值问题进行探究。押题秘笈：一是夯实全等及特殊三角 形性质，规范证明步骤；二是无图时动手画图，对等腰、直角三角形的多解情况分类讨论；三是综合题中 善于将复杂图形分解为基本三角形模型，利用相似或勾股列方程求解。 终极猜想·精练通关。一 1.(2026广东广州一模)如图1，在△ABC中，AB=AC=4W3,∠B=30°，D为线段BC上一点. 17/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)尺规作图，作点C关于AD的对称点E,连接DE,AE,并证明△ACD≌△AED: (2)如图2，当D由C点运动到B点过程中， ①若线段DE与线段AB交于点F,当EF·FD取最大值时，求AF的值； ②在DE上取一点G,使得∠GAD=∠E,连接AG,GC,AG+GC是否存在最小值，如存在请求出，若 不存在请说明理由。 2.(2025广东广州·模拟预测)如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC,点D是BC上一点，连接 AD B B D D H 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠BAC=60°，CE=2CD=4,以AD为边在AD的右侧作等边△ADE,连接CE,求AC的长： (2)如图2，若∠BAC=90°，以AD为底边在AD的右侧作等腰直角△ADE,连接CE,求证：AE=CE: (3)如图3，若∠BAC=120°，AB=AC=2,点E为BC中点，将AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AD, 连接D'E,求△AD'E的外接圆半径r的最小值. 3.(2025广东广州·二模)已知线段OA=OB=2,∠AOB=a. G B B D O 图1 图2 图3 (1)如图1，当a=60°时，求∠OAB的度数： ②图2，当a=90时，作C1Og:AC与OB交于点D,求瓷的最小值： (3)如图3，当a=120°时，点E是线段AB上，OA关于OE对称线段为OF,延长FB交OE的延长线于点 G,求当点E线段AB上运动时，点G的运动路径长 4.(2025广东广州中考真题)如图1，AC=4,O为AC中点，点B在AC上方，连接AB,BC. 18/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 图1 图2 (1)尺规作图：作点B关于点O的对称点D(保留作图痕迹，不写作法)，连接AD,DC,并证明：四边 形ABCD为平行四边形： (2)如图2，延长AC至点F,使得CF=AC,当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的 动点E,连接EA,EB,EC,EF,若∠AEC=45°，且△ABC一△FCE. ①求证：△ABC∽△CBE; ②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。 押题猜想九特殊四边形的综合问题 。试题前瞻·能力先查◆一 限时：10min 【原创题】如图，边长为4的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上运动（不 与点B,O重合)，连接CE. (I)连接AE,求AE的取值范围： (2)F为△BEC边CE外侧一点，连接EF,CF,DF,且△BEC∽△CEF. ①求证：DE⊥DF: ②设△CEF外接圆oP的半径为，连接AP,AP=y,当点E在线段OD上运动时，求y与，之间的函数 关系式(r为自变量)· •分析有理押题有据◆一 近5年广州中考数学真题中，特殊四边形的综合问题是每年必考的核心几何板块，通常在解答题第22 题左右位置出现，分值约8-12分，且呈现与三角形、折叠、旋转及二次函数深度融合的趋势。考点高度聚 焦于矩形、菱形、正方形的性质判定与存在性问题，如2023年真题结合翻折考查平行四边形判定、2024 19/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 年真题融入“新定义”探究正方形背景下的“神奇四边形”。押题理由在于该板块能有效考查逻辑推理与 几何建模能力，是区分度的关键。押题依据是近两年真题及二轮专项复习均重点强化存在性问题探究。押 题秘笈：一是牢记矩形、菱形、正方形的性质与判定，规范证明步骤；二是折叠问题抓住对应边角相等， 利用勾股列方程；三是新定义型问题需精读定义，转化为熟悉的几何模型：四是无图时动手画图，对动点 位置分类讨论并验证解的合理性。 ●终极猜想·精练通关、一 1.(2026广东广州·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E为边AB上一点，且AE=2, BE=1,点F为AD上动点，且△FEB∽aFGC. D E (I)求∠D的度数： (2)连接EG,若E,G,C三点共线，求AF的长： (3)连接BG,求BG的最小值， (2025广东广州·中考真题)宽与长的比是，（约为0618）的矩形叫做黄金矩形.现有一张责 2 矩形纸片ABCD,长AD=V5+1.如图I,折叠纸片ABCD,点B落在AD上的点E处，折痕为AF,连接 EF,然后将纸片展开. D G F 图1 图2 (I)求AB的长： (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形； (3)如图2，点G为AE的中点，连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处，折痕为FP，,过点 P作PQ1EF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由. 3.(2025·广东广州·模拟预测)综合与探究 问题情境： 在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，连接CE将△BCE沿直线CE翻折，得到△B'CE,点B的对 应点B落在正方形ABCD内. 20/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 猜想证明： F D H D B B 图1 图2 (1)如图1，连接BB并延长，交AD边于点F.求证：BF=CE. (2)如图2，当E是AB边的中点时，连接AB并延长，交CD边于点H,将△ADH沿直线AH翻折，点D 恰好落在直线CE上的点D处，AD'交BE于点M,D'H交B'C于点N.试判断四边形B'MD'N的形状， 并说明理由。 问题解决： (3)在(2)的条件下，若AB=4,请直接写出四边形B'MD'N的面积. 4.(2025广东广州模拟预测)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上， AE⊥DF,垂足为点G,求证：△ADE△DCF 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使 CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H. 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=10,DE=7,∠AED=60°， 求CF的长. A E F B F C 图1 图2 图3 5.(2026·广东广州·一模)图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法.为了 深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究。 21/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 ()【知识技能】 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，连接BE、BF、EF,且∠EBF=45°.将 △BCE绕点B按逆时针方向旋转9O°至△BAM,则点M在DA的延长线上. ①证明△BFM≌△BFE,并判断AF+EC=EF是否成立： ②若DF=5,DE=I2,请计算正方形ABCD的周长， (2)【教学理解】 如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF.连接AF、CE,M、N分别是线段 AF、CE上的点，连接BM、BN、MN,且∠MBN=45°（点E、F、M、N均不与端点重合）.请猜想线段 AM、MW、NC的数量关系，并说明理由. (3)【拓展研究】 如图3，BD是正方形ABCD的对角线，P、Q分别为线段BD、BC上的点，且∠POB=45°.将△BPQ绕点 B按顺时针方向旋转（旋转角小于45°）至△BMN.连接ND,取线段ND的中点E,连接CE、CM,求 CM CE的值. 押题猜想十圆中的综合问题 ◆试题前瞻能力先查●一 限时：10min 【原创题】如图，在△ABC中，∠ACB=9O°，以BC为直径的⊙O交AB于点D,点E是AC的中点，连接 DE E D 22/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：DE是⊙O的切线： (②)若oo的半径为3，tan∠ABC= 4,求DE的长. ◆分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，圆的综合问题是每年必考的几何核心板块，通常在解答题第22-23题位 置出现，分值约10-12分。考点趋势呈现鲜明的“切线与相似三角形深度融合”特征，如2021年圆与一次 函数结合考查外接圆最值问题，2023年圆与平面直角坐标系结合考查弧长计算。押题理由在于该题型综合 性强，能有效考查数形结合思想，是区分度的关键。押题依据是近五年真题中圆的切线证明与相似比计算 从未缺席，如2022年真题结合尺规作图考查垂径定理与三角函数。押题秘笈：一是切线证明牢记“连半径 证垂直”两大思路；二是见到直径立即联想圆周角90°构造直角三角形；三是圆中求线段长常借助相似三 角形对应边成比例列方程求解；四是涉及动点或位置不确定时要分类讨论并验证解的合理性。 ●终极猜想·精练通关。一 1.(2025广东广州·二模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8,点E是线段AB上的 一个动点，点G在BC的延长线上且满足CG=AE连接EG,以EG为直径作OO,交AC于点N,交BC 于点P. B C 备用图 (I)证明：BE=2BP: (2)连接OC,若⊙0和AB相切，求线段OC的长： (3)点E在线段AB上运动的过程中，当线段OC长度最小时，求四边形AEPN的面积. 2.(2025广东广州二模)已知抛物线y=ax2+4ax+12经过点A(-9,0),与x轴另一个交点为B,交y轴 于点C,△ABC的外接圆⊙M,与抛物线的第四个交点为点D,AB切△BOC内切圆⊙I于点E. 23/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)抛物线的对称轴是直线 解析式是 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使∠APB=2∠ACB,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请 说明理由； (3)点F在y轴上，当△IAE∽△DFC时，则CF= 3.(2025广东广州·二模)已知△ABC,CA=CB.⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上(AD>BD), 连接AD,BD,CD D 备用图 (1)如图，∠ACB=120°，点D在优弧AB上 ①证明：DC平分∠ADB; ②若⊙O的半径为25，求四边形ADBC面积的最大值. (2)若∠ACB=a,90°<a<180°，判断AD,BD,CD之间的数量关系并说明理由. 4.(2025广东广州二模)已知等边三角形ABC边长为6，点P为平面内一点，连接BP、CP, 图1 图2 (I)如图1.若点P在△ABC内部，∠BPC=120°，请作出△BPC的外接圆，并找出圆心O. (2)如图1，求证：AB为⊙O的切线 (3)如图2，若点P在△ABC内部，以BP、CP、BC边作等边三角形BPD、CPE,若S△BPp+S△CPE=S△MBC, 求AP的最小值. 5.(2025广东广州·二模)甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动.请根据活动情境完成以下三个 24/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特 的艺术风格.为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动.如图2 所示，扇面形状为扇环，已知∠AOB=120°，OA=30cm,OD=15cm. 120° D、120 0 图1 图2 图3 图 【任务一】确定弦的长度. (1)如图2，求出弦AB的长度. 【任务二】设计甲组扇面. (2)如图3，己知甲组的圆形卡纸⊙0直径为30W3cm.甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面， 试求出需要剪掉的卡纸面积， 【任务三】确定卡纸大小. (3)如图4，乙组利用矩形卡纸EFGH恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格 (即求EF和EH的长度)· 押题猜想十一尺规作图与计算证明综合问题1 试题前瞻能力先查◆一 限时：10min 【原创题】如图，BD是矩形ABCD的对角线，AB=4,AD=8. D B (I)尺规作图：作BD的中垂线1，垂足为O,1与AD相交于点E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接BE,求线段BE的长。 ◆分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，尺规作图与计算证明综合问题呈现出鲜明的“融合化”与“无套路化” 趋势。2025年中考将尺规作图融入压轴大题作为第一小问，而非再单独设题，这一模式在2024年真题中 己有体现，充分说明该题型正从独立作图向“作图+证明+计算”三位一体格局转变。考点高度聚焦于五种 基本作图与几何核心知识的融合，如作角平分线结合菱形、矩形判定，作垂直平分线结合切线证明，或作 25/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 旋转对称图形结合全等相似计算。押题理由在于此题型能有效打破机械刷题模式，通过动手操作考查几何 直观与逻辑推理的协同能力，已成为区分中等及以上学生的关键题型。押题依据是近两年真题及2026年押 题卷均延续“融合性”考查，预计2026年仍会将尺规作图嵌入几何综合题第一问。押题秘笈：一是牢记五 种基本作图的原理与步骤，不依赖直尺刻度：二是作图后立即联想“作图给出了哪些等量关系”（如角平 分线得等角、垂直平分线得等边)；三是将作图痕迹转化为几何条件，无缝衔接后续证明与计算，实现 “作、证、算”一体化。 终极猜想·精练通关。— 1.(2025广东广州二模)如图，AC是⊙0的直径，点B在⊙0上. B (I)尺规作图：在直径AC下方半圆上，作点D,使AD=CD,连接BD,交AC于点E,连接CD,AD: (保留痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图形中， ①若∠ACB=30°，求△ABE与aCDE的面积之比. ②若AC=I0,AB=6,求BD的长 2.(2025广东广州模拟预测)如图，在△ABC中，∠A=90°. B (1)尺规作图：在边AC上取点O,以O为圆心画圆，使得⊙O与边BC、BA相切（保留作图痕迹，不写作 法)： 2)在(1)所作的图中，若sin∠ACB=3 ,AB=6:求OB的长. 3.(2025广东广州一模)如图，四边形ABCD为平行四边形. B (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线BE,BE交AD于点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，连接CE,若AB=5,∠BEC=90°，求线段BC的长. 26/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2025广东广州三模)如图，在△ABC中，AB=BC,点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径 的圆与BC边相切于点D. 0 B D (I)尺规作图：作AE∥BC交⊙O于点E(不要求写作法，保留作图痕迹)· (2)连接C0并延长交AE于点F.若OA=3,BD=6,求AF的长. 5.(2025广东广州·二模)如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=BC,AD⊥DC于点D. B D (1)尺规作图：作∠ABC的角平分线，交CD于点E,交AC于点O(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接AE,四边形ABCE的形状，并证明你的结论： (3)连接OD,若AB=BE=3,求OD长. 押题猜想十二几何图形中的新定义型问题 ●】 试题前瞻·能力先查◆一 限时：10min 【原创题】综合与实践. 【了解定义】如图1，在△ABC和△DBC中，AB=AC,DB=DC,点A,D在底BC的同侧.我们把具 有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形.在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫 做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线.如图1中∠ABD和∠ACD是腰角，线段AD是轴线， 图1 图2 27/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()【探究性质】小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角 相等，轴线所在的直线垂直平分底边.小明利用图1给出如下已知、求证，请帮助小明完成证明. 己知：如图1，△ABC和△DBC是同位等腰三角形，连接AD.求证：∠ABD=∠ACD,直线AD是线段BC 的垂直平分线。 (2)【探究运用】如图2，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，∠ACD=45,AE⊥CD,垂足为E, AE的延长线与BC交于点F,点G在线段EC上，且EG=EF,连接BG.求证：△ABC和△GBC是同位 等腰三角形. ◆分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，几何图形中的“新定义型问题”呈现出鲜明的创新趋势，已成为选填压 轴的热门方向。命题强调“摒弃套路”，回归数学本质，着重考查学生对核心概念的深度理解与灵活迁移 能力。押题理由在于此类问题能有效打破机械刷题模式，通过定义新概念考查学生即时学习与运用知识的 能力，是区分思维层次的关键题型。押题依据是近5年真题中“新定义”多次出现，且2025年试卷明确强 化了开放性与探究性，如“黄金矩形”折叠问题引导自主探究。押题秘笈：一是精读定义，准确把握新概 念的本质特征；二是化归转化，将新定义转化为熟悉的几何模型或性质；三是无图需动手画图，分类讨论， 并严格验证解的合理性。 终极猜想精练通关。一 1.(2025广东广州模拟预测)数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作⊙0的一 条切线， 图① 图② 甲同学的方法是：连接OP,作OP的垂直平分线，交OP于点M,以M为圆心，MP为半径画个圆，交 ⊙O于点Q,连接P№，PQ即为⊙O切线： 乙同学的方法是：连接OP交⊙O于点M,延长PO交⊙O于点N,以P点为圆心，OP长为半径画弧，以 O为圆心，MN长为半径，画弧，两弧交于点G,连接OG交⊙O于点Q,连接P?,P即为⊙O切线： (1)甲同学作图的依据是：： (2)请在图①中，用乙同学的方法作出图形，并证明PQ为⊙O切线： (3)请在图②中，用不同于甲，乙同学的方法，尺规作图：作⊙O的切线PQ.(保留作图痕迹)，简单说 明作法不需证明。 2.(2024广东广州·模拟预测)【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边 形，其中这个角叫做美角. 28/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 D 图1 图2 【初步应用】(1)如图1，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角. ①∠A的度数为 ②连接BD,若⊙O的半径为5，求线段BD的长： 【拓展提升】 (2)如图2，已知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA,若CA平分∠BCD,若⊙O的 半径为6，求BC+CD的最大值是多少？ 3.(2024广东广州模拟预测)我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一 个三角形与原三角形相似，且相似比为1：2，则原三角形叫做“友好三角形”； D B 图1 图2 图3 D如图1，已知在BC中，B2BD=BC1,求证：A4BC是“友好三角形” (2)如图2，在5×5的网格图中，点A、B在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”△ABC, 要求点C在格点上： (3)如图3，在(1)的条件中，作△ACD的外接圆⊙O,点E是OO上的一点，CE=CA,连接DE: ①设AD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式： ②当CE∥AB时，求⊙O的半径. 4.(2024广东广州·模拟预测)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于 这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”.如图1，在△ABC中， 点D是BC边上的一点，连接AD,若AD=BD·CD,则称点D是△ABC中边BC的“好点”， 29/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC中，BC=4,若点D是边BC的“好点”，且BD=1,则线段AD的长是： (2)如图2，⊙O是△ABC的外接圆，点E在AB边上，连接CE并延长，交⊙O于点D,连接OE、BD、 AD,若点E是△BCD中边CD的“好点”，OE∥BD,求证：AC2+CD=AB+BD: (3)在(2)的条件下，点P是⊙O上一点，连接CP交AD于点Q,连接DP、CO,若OE=V2,△EBD为 等腰直角三角形，CO⊥DP,求AQ的长. 押题猜想十三函数中的新定义型问题 ·试题前瞻能力先查◆一 限时：10min 【原创题】定义：把抛物线y=ax2+bx+c(其中ab≠0)与抛物线y=br2+ax+c称为“关联抛物线”， 例如，抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+1.已知抛物线 C:y=4ax2+ax+4a-3(a>0)的“关联抛物线”为C,C1与y轴交于点E. (1)若点E的坐标为(0，-1)，求抛物线C的解析式： (2)设C2的顶点为F,若OE=EF,求点E的坐标： (3)当a-4≤x≤a-2时，C的最大值与最小值的差为2a,求a的值. 分析有理押题有据。一 近5年广州中考数学真题中，函数中的“新定义型问题”已成为压轴题的热门方向，呈现鲜明的“去 套路化”趋势。命题严格遵循新课标素养立意，通过定义考生从未见过的函数新概念，考查其即时学习、 迁移应用与探究能力。押题理由在于此类问题能有效打破机械刷题模式，是区分思维层次的关键。押题依 据是近5年真题中“新定义”多次出现在第24-25题，且2026年押题卷明确强化了含参函数与几何结合的 探究性试题。押题秘笈：一是精读定义，准确提炼新概念的本质特征与限制条件；二是画图数形结合，将 新定义转化为熟悉的函数性质或几何模型；三是含参问题需分类讨论，做到不重不漏并验证解的合理性。 …终极猜想精练通关、一 1.(2025·广东广州二模)定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点.则称该点为这个函 30/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数图象的“平衡点”.例如，点(-1，)是函数y=x+2的图象的“平衡点” 0)在函数①y=-x+3,②y=3, =x,③y=-x2+2x+1,④y=x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 (填序号) 2)设函数y=三1c>0与v二2x+b的图象的“平衡点”分别为点4、B,过点4作ACL轴，垂足为 C.当△ABC为等腰三角形时，求b的值： (3)若将函数y=x2+4x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在(0，-4)下方，旋转后的图象上恰有1个“平 衡点”时，求M的坐标 2.(2025广东广州一模)定义：在平面直角坐标系中，直线y=a(x-h)+k称为抛物线y=a(x-h)+k 的伴随直线，如直线y=-(x+)-2为抛物线y=-(x+1)2-2的伴随直线. (1)抛物线的对称轴为直线x=2且其伴随直线为y=x+1,求该抛物线的解析式： (2)若抛物线y=ax2+br+c(a≠0)的伴随直线是y=m(x+l-3(m>0)」 ①试用含a的代数式表示b和c; ②抛物线y=ax2+bx+c经过定点Q,且与x轴交于点D和点E,若△DEQ为直角三角形，求m的值： (3)顶点在第一象限的抛物线y=-(x-1)+4a与它的伴随直线交于点A,B(点A在点B的左侧)，与x轴 负半轴交于点C,当∠BAC=90°时，y轴上存在点P,使得∠APB取得最大值，求此时点P的坐标. 命学科网 www.zxx k com 让教与学更高效 31/31