专题06 一元二次方程（5大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06一元二次方程 ☆5大考点概览 考点01由一元二次方的解球参数 考点02解一元二次方程 考点03根据判别试判断一元二次方程根的情况 考点04根据一元二次方程根的情况求参数 考点05实际问题与一元二次方程 考点01 由一元二次方程的解求参数 1.(2026江苏扬州一模)若m是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2m一m2的值为 2.(2026江苏宿迁·一模)设a是方程x2-2x-2026=0的一个实数根，则(a-1)2= 3.(2026江苏扬州一模)若x=1是关于x的一元二次方程2x2一5x+a=0的一个解，则a的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 4.(2026福建漳州一模)若m是方程x2+3x-1=0的一个解，则3m2+9m的值是 5.(2026河南商丘一模)若关于x的一元二次方程(x-2)(2x+m)=0有两个相等的实数根，则m的 值为() A.2 B.4 C.-4 D.-克 6.(2026·安徽淮南一模)关于x的一元二次方程3x2+2x一m=0有两实数根，其中一根为x=1,则这 两根之积为() A.-月 B.- c.- D.号 7.(2026四川宜宾一模)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0,则 a的值为 8.(2026新疆乌鲁木齐.一模)若x=4是方程x2-6x+m+1=0的一个根，则m为() A.7 B.8 C.4 D.7或8 9.(2026湖北黄石·一模)己知m、n是一元二次方程x2+1011x一2026=0的两个实数根，则代数式 m2+1012m+n的值等于() A.1015 B.1014 C.1013 D.1011 10.(2026江西九江一模)一元二次方程x2一x-1=0的两根分别为x1x2,则x+X2= 11.(2026贵州黔南一模)若a是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根，则a2-2a+2026的值为 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026湖南湘潭.一模)己知x=2是关于x的一元二次方程x2一mx-2=0的一个根，则m= 13.(2026四川成都.一模)已知a是一元二次方程2x2+5x-1=0的一个根，则(a+31-2a的值为 14.(2026山东枣庄一模)已知a是方程x2-2x-2=0的解，则代数式2a2-4a+2022的值为() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 15.(2026河北石家庄.一模)己知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是-1和2，则这个关于x的一 元二次方程是 16.（2026安徽池州一模)已知1，m是方程2x2+ax-1=0的两个实数根，则m-1的值为() A.-3 B.- C.-1 D. 17.(2026青海西宁.一模)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的其中一根为x=2028, 则关于x的方程a(x+2)2+bx+2b+c=0的其中一个根为 18.(2026安徽阜阳一模)设a、b是一元二次方程2x2+4x-5=0的两个根，则2a2+5a+b的值为() A.-3 B.5 C.3 D.易 考点02 解一元二次方程 19.(2026广东东莞一模)方程x2-4=0的根为 20.(2026江苏南京.一模)解方程： (1)4x2-1=0 (2)x(x-7)=8(7-x (3)3x2=4x-2 21.（2026广西柳州一模)解方程， (1)x2-3=0: (2)x2-4x-5=0 22.(2026安徽准南一模)解方程：x2=4x+1. 23.(2026江苏常州一模)解方程、解不等式组： (1)x2-2x-2=0; 2x<6 (213x-1≥x+1· 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.(2026江苏无锡一模)计算： (1)解方程：x2-4x-1=0: x<4x+9 (2)解不等式组 55s≤10-4x ↓2 25.(2026江苏徐州一模)解方程、解不等式组： (1)解方程：x2-4x+2=0: I2x+3>3x-7 (2)解不等式组： 号≤2x-5 · 26.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)解方程：3xx-5=10-2x 27.(2026江苏徐州一模)解方程及解不等式组： (1)解方程：3x2-x-1=0; (2x-1<3 (②)解不等式组-号<2 28.(2026江苏徐州一模)解方程和不等式组 (1)解方程：x2-4x十3=0； (2x-3<1 (2)解不等式组： 安>8 2 29.(2026辽宁抚顺一模)一元二次方程x2+5x=3(x+5)的根是· 30.(2026贵州六盘水一模)若x1,X2是一元二次方程x(x一1)=0的两个实数根，则x1十X2的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 31.(2026安徽合肥一模)解方程：x2一4x=5. 32.(2026辽宁铁岭.一模)解方程： 00=1-六 (2)(x-2)2=4-2x. 33.(2026江苏无锡一模)解方程或解不等式组. (1)解方程：x2-4x+3=0 2x-3<X (2)解不等式组：{3x+5>2x-1 34.(2026广西一模)计算、解方程 (1)计算：|-2引-V4+32. (2)解方程：x2-5x十6=0 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 35.(2026广东佛山一模)不解方程，判断一元二次方程2x2+5=7x的根的情况是 36.(2026福建泉州一模)下列一元二次方程中没有实数根的是() A.x2-2x=0B.x2-4x+4=0C.x2+x+1=0D.x2-5x-1=0 37.(2026广西南宁.一模)关于x的方程(k2+1)x2+2kx+1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 38.(2026山西.一模)一元二次方程x2一4x+3=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 39.(2026河南濮阳.一模)一元二次方程x(x-1)=2x的根的情况是() A.只有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 40.(2026安徽滁州一模)下列方程中，有两个相等实数根的是() A.x2-2x-1=0 B.x2-2x=0 C.x2-1=0D. x2-2x+1=0 41.（2026河南许昌.一模)一元二次方程x(x-1)=-2的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 42.(2026河南周口一模)一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况是() A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 43.(2026河南一模)一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 44.(2026河南信阳一模)一元二次方程-x2+5x=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 45.（2026河南信阳一模)下列四个方程中，有两个相等的实数根的是() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.x2+3x-2=0 B.x2+x+8=0 C.x2-4x+4=0 D.x2-9=0 46.(2026安徽准南·一模)下列方程中有两个不相等的实数根的是() A.2x2+1=0 B.4x2+1=-4x C.x2+6=3x D.7x2-4x-1=0 47.(2026山东聊城一模)下列一元二次方程有两个相等实数根的是（) A.x2-3x=0 B.x2-16=0 C.x2-6x+5=0 D.x2-6x+9=0 考点04 根据一元二次方程根的情况求参数 48.(2026广东江门一模)已知关于x的一元二次方程(x+6)2-a=0有两个不相等的实数根，则a的值 可以是 (写出一个即可). 49.(2026广东东莞一模)若关于x的方程x2+3x+c=0有实数根，则c的值可以是 (写出一 个即可) 50.(2026江苏扬州一模)如果关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，那么k的取值范围是 51.(2026浙江杭州一模)若关于x的一元二次方程x2-3x一c=0有实数根，则最小整数c= 52.(2026湖南长沙.一模)若关于x的一元二次方程x2一2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值 范围是() A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1 53.(2026山东淄博.一模)若关于x的方程x2一x一n=0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是 54.（2026安徽阜阳一模)关于x的一元二次方程x2+mx+2=0有两个不同的实数根，则m的值可以是 () A.-1 B.0 C.2 D.3 55.(2026甘肃平凉一模)对于实数m、n定义运算*”为m*n=n2-2m,例如：1*3=32-2×1=7 ,若关于x的方程k*x=2x有两个相等的实数根，则k的值为 56.(2026北京通州一模)已知关于x的方程x2+2x-c=0有两个相等的实数根，则c的值为() A.-1 B.0 C. D.1 57.(2026辽宁.一模)若关于x的一元二次方程mx2一x一1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取 值范围是() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.m<- B.m>-寺 C.m>-寺且m≠0D.m>-4且m≠0 58.(2026北京平谷.一模)若关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2-1=0有实数根，则m的取 值范围为() A.m>-1B.m≥-1 C.m<-1 D.m≤-1 59.(2026山东滨州一模)若关于x的方程x2-2x+4k一1=0(k为常数)有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 60.(2026黑龙江佳木斯·一模)己知关于x的一元二次方程x2一2x+k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 61.(2026山东德州一模)已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-1=0有实数根，则m的取值 范围是 62.(2026湖南岳阳·一模)关于x的一元二次方程x2一2x十k=0有两个相等的实数根，则k的值是() A.1 B.0 C.-1 D.-2 考点05 实际问题与一元二次方程 63.(2026广东佛山一模)商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时， 平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这 种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价 元 64.(2026广东汕头一模)2025年4月8日美国对中国输美产品加征的“对等关税”从34%提升至84%，4 月10日，这一税率进一步提高至125%.假设从4月8日到4月10日这两天关税日平均增长率为x,则可 列出方程() A.34%(1+2x)=1256 B.34%(1+x)2=125% C.84%(1+x)2=125% D.84%(1+2x)=125% 65.(2026广东珠海一模)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.我市92#汽油价格一月 底是7.66元/升，三月底92#汽油价格调整为8.58元/升.假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长 率为x,根据题意列出方程，正确的是() A.7.66(1+x)2=8.58 B.8.58(1+x)2=7.66 C.7.66(1+x2)=8.58 D.7.66(1+x)+7.66(1+x)2=8.58 66.(2026广东中山一模)亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红.据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销 售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)若增长率不变，则该吉祥物江南忆”公仔11月份的销售量是多少？ 67.(2026广东中山一模)某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销 售量的月增长率相同。 ()求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个， 则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 68.(2026广东佛山一模)某校901班学生初一时有2人次获市级荣誉，之后逐年增加，到初三毕业时， 三年累计获奖共23人次.若设该班在初二、初三年级获得市级荣誉人次的平均年增长率为x,则下列方程 正确的是() A.2(1+x)=23 B.2(1+x)2=23 C.2(1+x)3=23 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=23 69.(2026江苏泰州一模)某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元， 若月均增长率为x,则根据题意可列方程为 70.(2026江苏无锡一模)某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级.已知原 电极材料的能量密度为a,经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达 到8a,则可列方程为() A.ax2=8a B.a(1+x)2=8a C.a+2x=8a D.2ax=8a 71.(2026浙江湖州一模)【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解 一元二次方程的方法.以解方程x2+2x-35=0为例：将原方程整理可得：X(x+2)=35,可视为一 个矩形的面积为35，构造如图所示的图形.此时大正方形的面积是(x+x+2)2,同时它又等于四个矩形 的面积加中间小正方形的面积的和.由此得：(x+x+2)2=4x(x+2)+22=4×35+4=144,得 正整数解为x=5. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x+2 x+2 x+2 x+2 X 【应用体验】小明用此方法解关于x的方程x2+5x一n=0.己知在他构造的图形中，大正方形的面积为81， 则该方程的正整数解为 72.(2026福建漳州一模)中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”.某型号笔记本电脑发 售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同， 现在每台售价为7828元，设每次降价的百分率为x,则可以列出相关的方程() A.9860(1-2x)=7828 B.9860(1-x)2=7828 C.9860(2-x)=7828 D.9860(x-2)2=7828 73.(2026福建厦门一模)某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级， 生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的 平均下降率为x,则可列方程为() A.450(1-x)=370 B.450(1-x2)=370 C.450(1-2x)=370 D.450(1-x)2=370 74.（2026云南保山一模)云南省是我国优质小粒咖啡的核心产区，某基地2023年咖啡产量为100吨，随 着市场认可度提升，2025年产量达到144吨.设该基地咖啡产量的年平均增长率为x,则下列方程正确的是 () A.100(1+x)=144 B.100(1+2x)=144 C.100(1+x)2=144 D.100(1-x)2=144 75.(2026山西忻州一模)数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏.AI智能体给出规则： 游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学， 但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播.经过两轮完整传播后，场上 共有114名同学持有通关密码.求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学， 76.(2026黑龙江一模)2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈 判.贸易商先将原价上涨，增长率为x,又下调，下调的百分率也为x,最终以每吨3240元成交，若原价为 每吨3400元，则可列方程为() 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3400(1-x2)=3240 B.3400(1-x)2=3240 C.3400(1+x)2=3240 D.3400(1-x)=3240 77.(2026安徽合肥一模)近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快 速发展，已成为全国重要的机器人产业高地.某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过 连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元.请根据以上信息求出这两年该公司机器人项 目营业收入的年平均增长率. 78.(2026辽宁.一模)2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化P便 在消费市场上掀起了一股热潮.“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题.随 着“哪吒TP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿.某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙 扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨 2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为 多少？ 79.(2026云南文山一模)2023年云南省地区生产总值约为3万亿元，这两年呈稳定增长趋势，2025年云 南省地区生产总值约为3.27万亿元，设云南省每年的地区生产总值的平均增长率为x,根据题意，下列方程 正确的是() A.3(1+x)2=3.27 B.3(1-x)2=3.27 C.3(1+x2)=3.27 D.3(1+2x)=3.27 80.(2026辽宁沈阳.一模)我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW,经过两年努力，我国2021 年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW,求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率. 1/6 专题06 一元二次方程 5大考点概览 考点01由一元二次方程的解求参数 考点02解一元二次方程 考点03根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点04根据一元二次方程根的情况求参数 考点05实际问题与一元二次方程 由一元二次方程的解求参数 考点01 1．（2026·江苏扬州·一模）若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】运用整体思想求解，将代入原方程可得对应关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入方程， 可得：， 整理得， 因此． 2．（2026·江苏宿迁·一模）设a是方程的一个实数根，则__________． 【答案】2027 【分析】将看作一个整体，再将a代入方程中化简求解即可 ． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴，即， ∵ ． 3．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 4．（2026·福建漳州·一模）若是方程的一个解，则的值是___________． 【答案】 【分析】先将方程的解代入方程得到，再将原代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴ ∴， ∴． 5．（2026·河南商丘·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】用因式分解法解方程得出或，再根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得出，进而可求出m的值． 【详解】解：， 解得或． 由题可知， ． 6．（2026·安徽淮南·一模）关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，先将已知根代入方程求出参数的值，再由根与系数的关系计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， 解得， 关于的一元二次方程为， ∴两根之积为． 7．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 8．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若是方程的一个根，则m为（    ） A．7 B．8 C．4 D．7或8 【答案】A 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到结果 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴把代入原方程，得 计算得 整理得 ∴ 9．（2026·湖北黄石·一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的意义与根与系数的关系，先利用根的定义得到的值，再利用根与系数的关系得到的值，对所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：根据题意，是一元二次方程的实数根 是该一元二次方程的两个实数根 对所求代数式变形得： 代入得：原式 10．（2026·江西九江·一模）一元二次方程的两根分别为，则_____ 【答案】 2 【分析】本题先利用一元二次方程根的定义，对所求代数式进行降次，再利用根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∴， ∵是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系可得， 将代入得， 原式． 11．（2026·贵州黔南·一模）若是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】2029 【详解】解：由是一元二次方程的一个根，可知：， ∴． 12．（2026·湖南湘潭·一模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求解参数． 【详解】解∶将代入原方程得∶， 解得 ． 13．（2026·四川成都·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】用a代替一元二次方程中的x，可得，把展开，化成，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 14．（2026·山东枣庄·一模）已知a是方程的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由一元二次方程解的定义，推出的值，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ 15．（2026·河北石家庄·一模）已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，即可构造出所求的一元二次方程． 【详解】设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系可得：，， 当二次项系数为时，一元二次方程的形式为， 即． 16．（2026·安徽池州·一模）已知1，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义求解，先将已知根代入原方程求出参数，再解一元二次方程得到另一个根，最后计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， 解得， ∴原方程为， 因式分解得， 解得， ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 17．（2026·青海西宁·一模）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________． 【答案】2026 【分析】将方程整理为，再利用已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：由方程得到：， 由于方程的其中一根为， 则， 解得， 因此，关于x的方程的其中一个根为2026． 18．（2026·安徽阜阳·一模）设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得： 原式， ∵，是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得， ∴原式． 解一元二次方程 考点02 19．（2026·广东东莞·一模）方程的根为_______． 【答案】， 【分析】将原方程移项变形为，根据直接开平方法求出方程的根即可． 【详解】解：移项得， 开平方得， 即，． 20．（2026·江苏南京·一模）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)，； (2)，； (3)无实数解 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）先移项，再系数化为1，最后直接开平方即可． （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． （3）利用根的判别式可确定该方程无实数解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， ∴； （3）解：， 整理得， ，，， ∵， ∴该方程无实数解． 21．（2026·广西柳州·一模）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．熟悉利用因式分解法（十字相乘法）和直接开平方法解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）直接开平方法解一元二次方程：通过变形将常数项移项至等式右边，等式两边直接开平方，进而求解． （2）因式分解法（十字相乘法）解一元二次方程：用十字相乘法分解为的形式，进而求解． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）解：， 因式分解，得：， 解得：，． 22．（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 解得，． 23．（2026·江苏常州·一模）解方程、解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)不等式组的解集为 【分析】（1）把方程化为，再进一步解方程即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ， ， ，即， ， ∴，； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 24．（2026·江苏无锡·一模）计算： (1)解方程：； (2)解不等式组． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）采用配方法求解：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方求解； （2）对于一元一次不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，即， ∴， ∴，； （2） 解①，得， 解②，得， 则不等式组的解集为． 25．（2026·江苏徐州·一模）解方程、解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴，； （2）解： 由①得， 解得； 由②得， ， 解得， ∴不等式组的解集为． 26．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【答案】， 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 27．（2026·江苏徐州·一模）解方程及解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用求根公式进行求解； （2）利用解不等式组的步骤进行求解． 【详解】（1）解：， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 28．（2026·江苏徐州·一模）解方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：. 29．（2026·辽宁抚顺·一模）一元二次方程的根是____． 【答案】 【详解】解： 或 解得． 30．（2026·贵州六盘水·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先通过因式分解法求出一元二次方程的两个根，再计算两根之和即可得到答案． 【详解】解：， 或， 解得：， ． 31．（2026·安徽合肥·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 32．（2026·辽宁铁岭·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 经检验：是分式方程的解． （2）解： 移项得，， ∴ 提取公因式得，， ∴或， 解得：，． 33．（2026·江苏无锡·一模）解方程或解不等式组． (1)解方程： (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 34．（2026·广西·一模）计算、解方程 (1)计算：． (2)解方程： 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， 则或， 解得，． 根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点03 35．（2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 36．（2026·福建泉州·一模）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B 选项，， ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C 选项，， ， 方程没有实数根，符合题意； D 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 37．（2026·广西南宁·一模）关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】利用根的判别式即可求解． 【详解】解：∵的方程， ∴， ∴的方程无实数解． 故选：D． 38．（2026·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】计算判别式的值后与0比较大小，即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， 计算根的判别式得， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 39．（2026·河南濮阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据的符号判断方程根的情况． 【详解】解： 展开得 移项整理得 这里 ∴ ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 40．（2026·安徽滁州·一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【详解】选项A：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项C：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D：∵，，，， ∴， 方程有两个相等的实数根，符合题意． 41．（2026·河南许昌·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再计算判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：将方程化为一般形式，得， ，，， ， 该一元二次方程没有实数根． 42．（2026·河南周口·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 43．（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是(    ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，根的情况由判别式判断，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，计算判别式的值即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，， ∴． ∴该一元二次方程有两个相等的实数根． 44．（2026·河南信阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根，代入方程系数计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴，，， ∵ ∴ 原一元二次方程有两个不相等的实数根． 45．（2026·河南信阳·一模）下列四个方程中，有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A．对于方程，，，， ∵， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．对于方程，，，， ∵， 方程没有实数根，不符合题意； C．对于方程，，，， ∵， 方程有两个相等的实数根，符合题意； D．对于方程，， ∵， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 46．（2026·安徽淮南·一模）下列方程中有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，整理各方程为标准形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A、方程为，则，，，故，方程无实数根，不符合题意； B、整理方程得，则，，，故，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、整理方程得，则，，，故，方程无实数根，不符合题意； D、方程为，则，，，故，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 47．（2026·山东聊城·一模）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得出答案. 【详解】解：A选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D选项， ，方程有两个相等的实数根，符合题意. 根据一元二次方程根的情况求参数 考点04 48．（2026·广东江门·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】 1(答案不唯一) 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，据此将原方程整理为一般形式，求出的取值范围，即可得到符合条件的的值． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 化简得， 解得， 的值可以是． 49．（2026·广东东莞·一模）若关于的方程有实数根，则的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键，根据方程有实数根可得根的判别式大于等于0，求出的取值范围即可得到符合要求的的值． 【详解】解：因为关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得． 所以的值可以为0． 50．（2026·江苏扬州·一模）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题需分情况讨论方程的类型，当时方程为一元一次方程，当时方程为一元二次方程，结合判别式与根的关系求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程化为，该方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以根的判别式， 即， 解得，此时． 综上，的取值范围为． 51．（2026·浙江杭州·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根的条件：一元二次方程根的判别式大于或等于0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴最小整数． 52．（2026·湖南长沙·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 53．（2026·山东淄博·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到结论． 牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 54．（2026·安徽阜阳·一模）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的值可以是（） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 整理得， A．，不符合题意， B．，不符合题意， C．，不符合题意， D．，符合题意， 故D选项符合题意． 55．（2026·甘肃平凉·一模）对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】/ 【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 56．（2026·北京通州·一模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【详解】解：由关于x的方程有两个相等的实数根，可知：， ∴． 57．（2026·辽宁·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 且 解得 且. 58．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得： 59．（2026·山东滨州·一模）若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 60．（2026·黑龙江佳木斯·一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得：． 61．（2026·山东德州·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】利用一元二次方程根的判别式以及一元二次方程定义即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且． 62．（2026·湖南岳阳·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，据此列出方程求解k即可得到答案． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得． 实际问题与一元二次方程 考点05 63．（2026·广东佛山·一模）商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元． 【答案】375 【分析】设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，最后根据“总利润=每台利润×销售数量”列出方程求解． 【详解】解：设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，根据题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以，每台冰箱应降价375元． 64．（2026·广东汕头·一模）2025年4月8日美国对中国输美产品加征的“对等关税”从提升至，4月10日，这一税率进一步提高至．假设从4月8日到4月10日这两天关税日平均增长率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：4月8日的关税为，4月10日的关税为，然后根据均增长率的规律列出方程即可． 【详解】解：设这两天关税日平均增长率为， 由题意得：． 65．（2026·广东珠海·一模）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市汽油价格一月底是7.66元/升，三月底汽油价格调整为8.58元/升．假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，从一月底到三月底共经过两次增长，利用增长率关系即可推导． 【详解】解：假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x， 根据题意得，． 66．（2026·广东中山·一模）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？ 【答案】(1)月平均增长率为. (2)11月份的销售量是万件. 【分析】本题考查了一元二次方程的应用一增长率问题，解题的关键是根据8月份和10月份的销售量建立方程求增长率； （1）中设月平均增长率为，月份到10月份经过2个月，由列方程求解； （2）中利用（1）求出的增长率，计算11月份销售量． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，得， （舍去） 答：月平均增长率为； （2）解：（万件）， 答：11月份的销售量是8.64万件． 67．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 68．（2026·广东佛山·一模）某校901班学生初一时有2人次获市级荣誉，之后逐年增加，到初三毕业时，三年累计获奖共23人次．若设该班在初二、初三年级获得市级荣誉人次的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出三年各年的获奖人次，再根据累计总人次列方程即可． 【详解】解：∵初一获奖人次为2，平均年增长率为x， ∴初二获奖人次为， ∴初三获奖人次为， ∵三年累计获奖共23人次，即三年获奖人次总和为23， ∴可列方程． 69．（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】根据 二月份的营业额为万元，月均增长率为，得到 三月份的营业额为万元，四月份的营业额为万元，结合 四月份的营业额为万元，即可列得方程． 【详解】解：根据题意， 可列方程为． 70．（2026·江苏无锡·一模）某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程，解题思路是依次推出两次升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， 第二次升级后的能量密度为 ， ∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 71．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【答案】 【分析】根据示例中赵爽弦图的构造方法，将方程变形为，可知矩形的长为，宽为，进而表示出大正方形的边长，利用大正方形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：由方程 移项得，即． 根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为． 大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即． 因为大正方形的面积为， 所以． 因为为正整数， 所以， 所以． 解得． 72．（2026·福建漳州·一模）中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵每次降价的百分率为 ∴第一次降价后的售价为 元 ∴第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降，售价为元 又∵现在每台售价为 元 ∴可列方程为 ． 73．（2026·福建厦门·一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均下降率问题，从第一个月到第三个月经过两个月下降，成本按倍变化． 【详解】解：∵ 第一个月成本为450万元，第三个月成本为370万元，且平均每月下降率为x， ∴ 经过两个月下降，第三个月成本第一个月成本， 即． 故选：D． 74．（2026·云南保山·一模）云南省是我国优质小粒咖啡的核心产区，某基地2023年咖啡产量为100吨，随着市场认可度提升，2025年产量达到144吨．设该基地咖啡产量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵年平均增长率为，2023年产量为100吨， ∴2024年的产量为吨， ∴2025年的产量为吨， 又已知2025年产量为144吨， ∴列方程得：． 75．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 76．（2026·黑龙江·一模）2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原价为每吨3400元，先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得，即. 77．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 【答案】 【分析】由平均增长率问题列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值，舍去）， ∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 答：该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为． 78．（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？ 【答案】这种钥匙扣的售价应定为30元/个或25元/个 【分析】通过设钥匙扣的售价应定为x元/个，建立利润与销售量的一元二次方程，求解符合条件的售价． 【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个， 根据题意，得：， 解得：，， ∴这种钥匙扣的售价应定为 30元/个或25元/个． 79．（2026·云南文山·一模）2023年云南省地区生产总值约为3万亿元，这两年呈稳定增长趋势，2025年云南省地区生产总值约为3.27万亿元，设云南省每年的地区生产总值的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设云南省每年的地区生产总值的平均增长率为x，可知2024年生产总值为万亿元，2025年生产总值为万亿元，然后根据“2025年云南省地区生产总值约为3.27万亿元”列方程即可． 【详解】解：设云南省每年的地区生产总值的平均增长率为x，根据题意， 可得． 80．（2026·辽宁沈阳·一模）我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 【答案】年均增长率为 【详解】解：设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为， 根据题意得：， ， ， ，， 增长率不能为负数， 不合题意，舍去， ． ∴年均增长率为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $