专题07 一元一次不等式（组）（6大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦一元一次不等式（组）6大核心考点，精选2026年多地区一模真题，融合智能机器人、电子竞技等科技热点与中秋月饼包装等生活情境，梯度覆盖基础运算、参数求解及综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|30|不等式性质、解集表示|结合母子对话考性质（题4），科技情境考应用（题24）| |填空|10|解不等式（组）、整数解|直接求解与参数范围结合（题32、50）| |解答|37|实际应用、方案设计|跨学科（直饮机温度计算，题71）、图表分析（月饼包装，题65）|

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07一元一次不等式（组） ☆6大考点概览 考点01不等式的性质 考点02解一元一次不等式 考点03一元一次不等式的应用 考点04解一元一次不等式组 考点05由不等式组解集的情况求参数 考点06一元一次不等式组的应用 考点01 不等式的性质 1.(2026广东佛山一模)若实数a、b满足a<b,则下列式子成立的是() A.a-1<b-1B.-a<-b C.<1 D.a2<b2 2.(2026安徽合肥一模)已知实数a,b,c满足a+b十c=0,4a+3b+c<0,则下列判断错误的是() A.a<2c B.b+3c<0 C.3a+2b<0 D.2a+b-c<0 3.(2026浙江嘉兴.一模)若x>y,则下列不等式一定成立的是() A.x+3<y+3B.x-3<y-3C.3x<3y D.-等<-号 4.(2026湖南岳阳·一模)在我们的生活中，不等关系随处可见.小明与妈妈今年分别是x岁与y岁.他们 母子对话包含的数学依据是() 5年后我还 是比你大， 你现在 北我大 A.若x<y,则x-5<y-5 B.若x<y,则x+5<y+5 C.若x<y,则5x<5y D.若x<y,则< 5.(2026江苏盐城一模)判断命题“如果a<b,c<d,那么a+c<b十d的真假性？并证明你的结论， 6.(2026四川达州一模)设a>b,则下列不等关系正确的是() A.a+5<b+5B.a-2<b-2C.-3a>-3bD.}>号 7.(2026安微滁州一模)己知a一1<b+1,则下列不等式一定成立的是() A.2a>a+bB.a2>b2 C.a+1<b+2D.-a>-b-2 8.(2026安徽合肥一模)已知两个非负实数a,b满足3a+b=a+3=c+1,则下列结论正确的是() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a-c=2 B.2≤c≤3.5 C.0≤a≤3 D.b+2c=8 9.(2026广西玉林.一模)若a>b,则下列不等式成立的是() A.a+3<b+3B.-3a>-3b C.a-3<b-3D.号>号 10.(2026安徽安庆.一模)己知实数a,b满足b=一a+3,-2<2a-b<2,则下列结论不正确的是 () A.寺<a< B.青<b<号 C.b-a<0 D.2b-a<5 考点02 解一元一次不等式 11.(2026广东广州一模)不等式2x-3>1的解集为() A.x>-1 B.x<-1 C.x>2 D.x<2 12.(2026广东佛山一模)阅读小明解不等式x+3>-麦(x-2)的过程： 解：不等号左右两边同乘以（一2），得： -2(x+3)>x-2第一步 去括号，得：-2x+3>x-2 第二步 移项，得：-2x-x>-3-2 第三步 合并同类项，得：-3x>-5 第四步 系数化为1，得：x< 第五步 请判断小明的解答过程是否正确.若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的 解答过程， (3(x-1)<x+1 13.(2026福建泉州一模)解不等式组3>x-3 ，并将解集用数轴表示出来。 3 14.(2026广东广州一模)解不等式：3(x一1)<2x+4,并在数轴上表示出它的解集. 15.(2026浙江丽水.一模)解不等式：x-2(x-1)≤5 |5x+3>2x-6 16.(2026浙江温州一模)解不等式组x≤2(3-x),并把解集表示在数轴上· -4-3-2-101234 í3x-2<x 17.(2026浙江金华.一模)不等式组2(x-1)≥x一4的解集在数轴上表示正确的是（） B.0 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .10 D. 3-x<4① 18.(2026浙江舟山一模)解不等式组号≥多-1@ 并在数轴上表示这个不等式组的解集。 -4-3-2-1012341 5x-2<3(x-1)① 19.(2026宁夏一模)解不等式组 等≤1+号 ② 并写出它的所有整数解. 20.(2026安徽准南一模)不等式昝>2的解集是 21.(2026辽宁一模)关于x的不等式号>号+1的解集为 x+3<5 22.(2026山西阳泉一模)不等式组2(x+1)≥x-1的解集是（) A.x<2 B.x2-3 C.-3≤x<2 D.无解 23.(2026吉林.一模)不等式x-2>1的解集为(). A.x>3 B.x<3 C.x<-1 D.x>-1 考点03 一元一次不等式的应用 24.（2026广东汕头·一模)2025年首届奥林匹克电子竞技运动会在沙特阿拉伯举行，需招募100名志愿者， 要求男生人数多于女生人数的2倍，则男生最少为 人 25.(2026广东深圳一模)随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品.某体育用品 商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以24000元购进一批该款运动器材.商品上市后迅速售罄，商场 随即又用52000元购进第二批同款运动器材.第二批购进的数量是第一批的2倍，每套器材的进价比第一批 多出20元. ()该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于30%，那么每套器材售价至少是多 少元〈结果取整数)？（利润率-勰×109%） 26.（2026广东深圳一模)某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17。C的山坡.己知某山区山脚下的平 均气温为20°C,并且海拔每上升100m,气温下降0.6°C.要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的 海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高x的山坡上，则列出的不等式为() A.20-10×0.6≥17 B.20-00×0.6≤17 C.20-10成06≥17 D.20-10成06≤17 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.(2025·山东东营，中考真题)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒玩偶 的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个， A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍， (I)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (②)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个， B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进货方案？ 28.(2026浙江台州一模)一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不 计分割损耗).已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克.若分割 销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为() A.25% B.30% C.35% D.40% 29.(2026浙江湖州一模)2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台.为普及相关科技知识，某校 举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分.设答对了x道题， 若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是() A.5x-3(20-x)≤80 B.5x-3(20-x)≥80 C.5x-3(20-x)<80 D.5x-3(20-x)>80 30.（2026辽宁沈阳·一模)某学校决定购买A,B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，己知 A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同. (1)求A,B两种产品的单价； (2)在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A,B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？ 31.(2026内蒙古包头一模)某农资店为满足春耕需求，购进甲、乙两种化肥.2023年甲、乙两种化肥每 件的进价均为100元，随着生产技术的优化，到2025年，甲种化肥每件的进价年平均下降20元，乙种化肥 每件的进价降至64元。 ()经过两年调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降百分之多少： (2)2025年该农资店一次性购进甲、乙两种化肥共100件供应农户，总资金不超过6200元，则至少购进甲 种化肥多少件。 考点04 解一元一次不等式组 I2x+4>0 32.(2026广东东莞.一模)不等式组x-1≤0的解集是 2x-2>0 3.(2026广东佛山一模)一元一次不等式组{3二x<一1的解集为（） A.1<x<4B.x>1 C.x>4 D.-4<x<-1 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x+1<5 34.(2026广东惠州一模)不等式组 2x-1≥5的整数解是() A.3 B.4 C.5 D.6 3x-2>1 35.(2026广东广州一模)解不等式组： (2x+1<5 3x≤x+4 36.(2026广东佛山一模)解不等式组： 12(x+5)>6· （x-3(x-2)≥4 37.（2026广东珠海一模)不等式组 号<跸 的解集是。 2 ∫2x-3≤0 38.(2026江苏宿迁一模)不等式组 x+2>0 的整数解之和为 -3x2x-4 39.(2026江苏扬州：一模)解不等式组4-x>2(1-x)，并写出它的所有整数解的和， 3(x-1)>2x+1① 40.(2026江苏扬州一模)解不等式组： 2≥x-1② 并求出它的所有整数解的和. 学>1 41.(2026江苏连云港.一模)解不等式组： 9x≤7x+8' 42.(2026江苏无锡一模)解方程与不等式组 (1)x2-5x+2=0; 3x>-6 (2)12x+2<5-x x-2≥0 43.(2026浙江绍兴一模)解不等式组：{2(x-1)-3<1· 3x+2>4x 44.(2026浙江一模)不等式组5-2(x+1)<x 的解集为 5x+2>3x-2① 45.(2026浙江衢州一模)解不等式组： 号21@ x≤4 46.(2026浙江嘉兴一模)不等式组2x-1>3的解集是 x+4≥0 47.(2026浙江丽水一模)不等式组3-2x<1 的解集是 2x-1≤3 48.（2026浙江舟山 模)不等式组3x十7>-2的解集为 考点05 由不等式组解集的情况求参数 学≤1 49.(2026河南周口一模)关于x的不等式组 的解集如图所示，请写出一个符合条件的a的值： x<a 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32102之 X+a<1 50.(2026黑龙江一模)若关于x的不等式组1-2x≤5有4个整数解，则α的取值范围为 (x-2>0 51.(2026江西萍乡：一模)若关于x的不等式组x-a≤0有解，则a的取值范围为 52.(2026四川宜宾一模)已知不等式 2x-a<1 x+2>3 无解，则a的取值范围是 53.(2026四川达州一模)关于x的方程芝+袋=3解为非负数，则k的取值范围是（) A.k≤2 B.k22 C.k≤2且k≠号 D.k≥2且k≠-号 x+2≥3 54.(2026黑龙江佳木斯一模)若关于x的不等式组{2X十a≤1只有3个整数解，则a的取值范围是 2x+3<15 55.(2026山东聊城一模)若关于x的不等式组 x<m 的解集是x<6,则P(3-m,m+1)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 56.(2026安微合肥一模)若关于x的方程|ax2+2ax-3|=3(a≠0的正数根只有一个，则a的取值范 围是() A.a>0 B.a>-1 C.a<-3 D.-3<a<-1 57.(2026河南三门峡一模)请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式3x+2<5组成的不等式组 无解，则应该选择() A.x>2 B.X<1 C.x>0 D.x<3 |学>x-3 58.(2026黑龙江一模)若关于x的不等式组 牛<x十a只有3个整数解，则实数a的取值范围是 4 ∫x>2 59.(2026河南郑州一模)不等式组x>a 的解集为x>a,请你写出一个符合条件的a的值： ∫-x+1<0 60.(2026河南郑州一模)已知关于x的不等式组2x一m<0无解，则m的值可能为（） A.2 B.3 C.4 D.5 x+y=3-m 61.(2026河南商丘一模)若关于x,y的二元一次方程组 x-y=1一3m的解都为正数，则m的取值 范围为 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∫x<1 62.(2026河南周口·一模)关于x的不等式组x≥a,恰好有两个整数解，则a的取值范围是 考点06 一元一次不等式组的应用 63.(2026广东江门一模)2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术 技巧，成为社交媒体热议焦点.某公司计划购买甲、乙两种机器人，己知甲种机器人单价是乙种机器人单 价的号，用500万元购买甲种机器人的数量比用450万元购买乙种机器人的数量多5个. ()求甲、乙两种机器人的单价分别是多少： (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共20个，要求购买的总费用不超过550万元，且甲种机器人的数量不 超过乙种机器人数量的2倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 64.(2026云南一模)请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A,B两种品牌的笔袋 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元 请完成下列任务： (I)求A,B两种品牌笔袋的每个进价： (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半， 求共有几种进货方案。 65.(2026安徽准南·一模)综合与实践月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满.某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践.实 践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共 9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼， 方案1 方案2 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “长长久久”盒数 2 3 “八方来福”盒数 8 6 大月饼/个 19 18 17 16 小月饼/个 62 64 66 68 表格中a= b= 若“长长久久”系列的月饼有n(n≤10)盒，则需要从制作车 间领取大月饼(20一n)个，小月饼 个（用含n的式子表示）. (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 领货单 我车间计划包装刀饼50盒， 需从你车间领取大月饼一共 计领取月饼453个. 领取人：××× 2026×× 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”，你认为小明的说法正确吗？请说明理 由. 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月 饼).现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给 出所有的用工方案。 66.(2026湖北武汉一模)学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动.收集信息如下： 信息1：客运公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型 客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人。 信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆，B型客 车租车单价减少50元. 信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A,B两种型号客车共20辆，其中A型客车不少于9辆. 问题解决： (I)求A,B两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用B型客车x(单位：辆)，本次实践活动的租车总费用是W(单位：元)，求W与x的函数关系式； (租车总费用=租用A型客车的费用+租用B型客车的费用) (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 67.(2026云南文山一模)仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二. 背 某学校计划购入A,B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息 景 如下： 信息 一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元. 口任务一 ()求每台A款学习机，每台B款学习机的价格： 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数 量不超过A款的1.5倍。 口任务二 (②)请为该校提供最省钱的购买方案 68.(2026江西九江一模)某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍.店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种 球拍15副，一共花费1700元.每副甲球拍比乙球拍贵20元 ()甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元， 求甲、乙球拍分别进了多少副？ 69.(2026黑龙江佳木斯一模)为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知 购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元. (I)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设 备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 70.(2026黑龙江佳木斯·一模)某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的 进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同，文具店将A种文具每 件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45元， (1)A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元？ (2)文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货 方案？ 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在(2)的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大。 71.(2026江苏连云港一模)某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温 水再接开水，打算接500L的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积×开水降低的温度=温 生活经验：饮水适宜温度是37℃-44℃（包括37℃与44℃）. 温水 开水 水流速度 ◎ ◎ 水流速度 20ml/s 30 100 15ml/s 出水口 (1)若小明先接温水10s,则还需再接开水的时间为s; (②)设小明接温水的时间为xS, ①若最终杯子中水的温度是58℃，求x的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求x的取值范围. 72.(2026湖北黄石一模)为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加 体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼， 增强身体素质.已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相 同. ()每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍. ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用， 73.(2026湖北随州一模)国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2 件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元. (1)求甲、乙两种纪念品的单价： (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品： 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的90%出 售) 某游客想购买m(m为整数，且10≤m<20)件纪念品返程后送给亲朋好友， ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足 表示有但又少于)4元，试确定m的值. 74.(2026四川南充一模)某超市购进一种时令商品，每件进价40元，规划每件售价不少于50元，日销 量不低于350件.根据以往销售经验发现，当每件售价为50元时，日销量为500件；每件售价每提高1元， 日销量减少10件. ()求此商品每件售价x(元)的取值范围： (②)求此商品日销售利润w(元)最大时的日销量p(件)： (3)求此商品日销售额y(元)最大时的日销售利润w(元). 75.(2026云南红河一模)根据以下素材，完成探究学习任务 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背 东风知春意，万亩梨花开.3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓·万亩梨花赏花季”群众 景 活动如火如茶地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售， 素 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元， 材 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (②)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比 梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用. 76.(2026黑龙江佳木斯一模)某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫，购进甲品牌的T恤衫100件、 乙品牌的T恤衫50件共需6000元；购进甲品牌的T恤衫50件、乙品牌的T恤衫100件共需7500元. (1)这两种品牌的T恤衫的进价各多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫共100件，总资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件， 该商场有哪几种进货方案？ (3)若商场决定将甲品牌T恤衫以每件58元出售，乙品牌T恤衫以每件80元出售，则全部售出后，(2)中 的进货方案哪种利润最大？最大利润是多少？ 77.(2026山西吕梁一模)2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周 为全民阅读活动周.为迎接首个全民阅读活动周，持续改善阅读环境，某图书馆花60000元购置阅读桌和 阅读椅，已知阅读桌的单价为600元/张，阅读椅的单价为120元/把，且要求购置的阅读椅的数量不少于阅 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 读桌的4倍，则最多可购置多少张阅读桌？ 2/6 专题07 一元一次不等式（组） 6大考点概览 考点01不等式的性质 考点02解一元一次不等式 考点03一元一次不等式的应用 考点04解一元一次不等式组 考点05由不等式组解集的情况求参数 考点06一元一次不等式组的应用 不等式的性质 考点01 1．（2026·广东佛山·一模）若实数a、b满足，则下列式子成立的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式性质判断，结合举反例排除错误选项即可得到结果． 【详解】解：A．∵， ∴，故A选项成立； B．∵， ∴，故B不成立； C．举反例：取，，满足，此时，故C不成立； D．举反例：取，，满足，此时，，，故D不成立． 2．（2026·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，对变形，逐一推导各选项的结论，即可判断正误． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； 将代入得：， 整理得，即，故选项A正确，不符合题意； ， 即，故选项D正确，不符合题意； ∵，且， ∴， 移项得， ∴，故选项B错误，符合题意． 3．（2026·浙江嘉兴·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质为：不等式两边加或减同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵已知， ∴对A选项：不等式两边同时加3，不等号方向不变，可得，故A错误； 对B选项：不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，故B错误； 对C选项：不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得，故C错误； 对D选项：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故D正确． 4．（2026·湖南岳阳·一模）在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案． 【详解】根据题意，，B选项符合条件． 5．（2026·江苏盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【答案】真命题，证明见解析 【分析】根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变 ,可得， ，由此即可判断命题的真假性． 【详解】证明： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 因此原命题是真命题． 6．（2026·四川达州·一模）设，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、若，则，故选项不符合题意； B、若，则，故选项不符合题意； C、若，则，故选项不符合题意； D、若，则，故选项符合题意． 7．（2026·安徽滁州·一模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简已知不等式，再根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：， ∴， A、不等式两边加得，即，故选项A错误； B、当，时，满足，但不满足，故选项B错误； C、不等式两边加1得，故选项C错误； D、不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故D选项一定成立． 8．（2026·安徽合肥·一模）已知两个非负实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质可判断A、D；根据a，b为非负实数，可知，，可判断C；根据，可判断B． 【详解】解：∵， ∴，A错误； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，D错误； ∵a，b为非负实数， ∴，，C错误； ∵ ∴， ∵， ∴ 即，B正确． 9．（2026·广西玉林·一模）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确； 10．（2026·安徽安庆·一模）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入已知不等式求出的取值范围，再根据不等式的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴将代入不等式得， 整理得， 解得，故A选项正确； ∵， ∴， ∴， 即，故B选项正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 可以取正值，因此不成立，故C选项错误，符合题意. 又， ∵， ∴， ∴，即，故D选项正确． 解一元一次不等式 考点02 11．（2026·广东广州·一模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤计算即可得到解集． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 两边同除以得， ∴不等式的解集为． 12．（2026·广东佛山·一模）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程不正确，第一步首先出错，错误原因和正确解答过程见详解 【分析】先根据不等式的基本性质和去括号法则，逐步检查小明的解题过程找出错误，再按照解一元一次不等式的正确步骤，求出原不等式的解集． 【详解】解：小明的解答过程不正确，第一步首先出错， 错误原因：不等式两边同乘负数时，不等号方向未发生改变， 正确解答过程：不等号左右两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 13．（2026·福建泉州·一模）解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集用数轴表示出来，如图： 14．（2026·广东广州·一模）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】；解集在数轴上表示见解析 【分析】先去括号，移项，合并同类项，求得不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解集在数轴上表示如下： 15．（2026·浙江丽水·一模）解不等式：． 【答案】 【详解】解：去括号得， 移项合并得， 解得． 16．（2026·浙江温州·一模）解不等式组,并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 由①,得,∴． 由②,得,, ∴． ∴原不等式组的解集为． 把不等式组的解集表示在数轴上如图所示： 17．（2026·浙江金华·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再结合“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，并在数轴上表示出来，即可解题． 熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： ． 18．（2026·浙江舟山·一模）解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 【答案】，图见解析 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上画出两个解集，确定其公共部分即可． 【详解】解： 由①得： 解得； 由②得： 解得， ∴在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集为：． 19．（2026·宁夏·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】；整数解为，， 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为，整数解为，，． 20．（2026·安徽淮南·一模）不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解： 去分母得， 移项，得 合并同类项，得． 21．（2026·辽宁·一模）关于x的不等式的解集为_______． 【答案】 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 22．（2026·山西阳泉·一模）不等式组的解集是（） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到最终结果． 【详解】解： 解 得 解 得 移项整理得 不等式组的解集是． 23．（2026·吉林·一模）不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质移项计算即可得到解集． 【详解】解：由题意得， 解得． 一元一次不等式的应用 考点03 24．（2026·广东汕头·一模）2025年首届奥林匹克电子竞技运动会在沙特阿拉伯举行，需招募100名志愿者，要求男生人数多于女生人数的2倍，则男生最少为_______人． 【答案】67 【分析】设男生有人，根据男生人数多于女生人数的2倍，列出不等式进行求解即可. 【详解】解：设男生有人， 由题意，得，解得， ∴的最小整数解为67，即男生最少为67人. 25．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【分析】（）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，根据题意可得，然后解分式方程并检验即可； （）设每套器材售价为元，由总利润率不低于可得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 26．（2026·广东深圳·一模）某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列出不等式，先找出气温与海拔高度的关系，再结合杜鹃花适宜生长的气温条件列出不等式即可． 【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，那么海拔上升了， 则气温下降的度数为，此时的气温为， 由于杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡， 因此，可列出的不等式为：． 27．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 28．（2026·浙江台州·一模）一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为.，根据题意列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为， ∵分割销售的总额不少于整鱼销售额， ∴可得不等式 ， ∵，两边同时除以得 ， 展开整理得 ， 解得 ， 因此鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为． 29．（2026·浙江湖州·一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意得． 30．（2026·辽宁沈阳·一模）某学校决定购买A，B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，已知A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同． (1)求A，B两种产品的单价； (2)在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A，B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？ 【答案】(1) A种产品单价为45元，B种产品单价为25元 (2) 最多购买A种产品5件 【分析】(1)设B种产品的单价为元，则A种产品的单价为元，根据总价相等的等量关系，列一元一次方程求解单价； (2)设购买A种产品件，则购买B种产品件，根据总预算不超过1600元的不等关系，列一元一次不等式，取最大整数解得到结果． 【详解】（1）解：设B种产品的单价为元，则A种产品的单价为元， 根据题意得：， 解得， 则， 答：A种产品单价为45元，B种产品单价为25元； （2）解：设购买A种产品件，则购买B种产品件， 根据题意得：， 解得， 所以的最大值为5； 答：最多购买A种产品5件． 31．（2026·内蒙古包头·一模）某农资店为满足春耕需求，购进甲、乙两种化肥．年甲、乙两种化肥每件的进价均为元，随着生产技术的优化，到年，甲种化肥每件的进价年平均下降元，乙种化肥每件的进价降至元． (1)经过两年调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降百分之多少； (2)年该农资店一次性购进甲、乙两种化肥共件供应农户，总资金不超过元，则至少购进甲种化肥多少件． 【答案】(1)乙种化肥每件的进价平均每年下降 (2)至少购进甲种化肥件 【分析】（1）设乙种化肥每件的进价平均每年下降的百分率为，根据题意可得，即可求解； （2）设购进甲种化肥件，则购进乙种化肥件，根据题意列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设乙种化肥每件的进价平均每年下降的百分率为， 根据题意可得， 解得，（舍去）， 答：乙种化肥每件的进价平均每年下降； （2）解：设购进甲种化肥件，则购进乙种化肥件， 年甲种化肥每件的进价为（元）， 根据题意可得， 解得， 答：至少购进甲种化肥件． 解一元一次不等式组 考点04 32．（2026·广东东莞·一模）不等式组的解集是________ 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定原则，得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得； 解不等式 ， 移项得； 可得不等式组的解集为． 33．（2026·广东佛山·一模）一元一次不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题关键是掌握解一元一次不等式的步骤，先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 ，即 不等式两边同乘，不等号方向改变 根据同大取大，两个不等式解集的公共部分为 不等式组的解集为． 34．（2026·广东惠州·一模）不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，其中整数解为． 35．（2026·广东广州·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】利用解不等式组的步骤进行求解． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为． 36．（2026·广东佛山·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 37．（2026·广东珠海·一模）不等式组的解集是_____． 【答案】 【分析】分别解出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得 ． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 38．（2026·江苏宿迁·一模）不等式组的整数解之和为______． 【答案】0 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数解，计算整数解的和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为，，， ∴整数解之和为． 39．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 【答案】，不等式组整数解的和为0 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解：， 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解是：，， ∴不等式组整数解的和为． 40．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，11 【分析】先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，再在解集中找出整数解，最后求和即可． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 这个不等式组的解集是，它所有的整数解为5，6， 这个不等式组的所有整数解的和． 41．（2026·江苏连云港·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】依次解不等式，最后取公共部分得不等式组的解集． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①， 去分母得， 解得， 解不等式②， 移项得， 即， 解得， 综上，可得不等式组的解集为． 42．（2026·江苏无锡·一模）解方程与不等式组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算根的判别式，再代入求根公式即可得到方程的解； （2）先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 这里， ， ∴， ∴； （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以，不等式组的解集为：． 43．（2026·浙江绍兴·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可． 【详解】解： 由①可得， 由②可得， 所以原不等式组的解集为． 44．（2026·浙江·一模）不等式组的解集为______． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 45．（2026·浙江衢州·一模）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 46．（2026·浙江嘉兴·一模）不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 47．（2026·浙江丽水·一模）不等式组的解集是__________ ． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为． 48．（2026·浙江舟山·一模）不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】分别求出每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集. 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为. 由不等式组解集的情况求参数 考点05 49．（2026·河南周口·一模）关于的不等式组的解集如图所示，请写出一个符合条件的的值：__________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】由数轴得不等式组的解集为，判断出，选取符合的值即可． 【详解】 解：解不等式①得， 由数轴得不等式组的解集为， 由②得， （答案不唯一）． 50．（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 51．（2026·江西萍乡·一模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求解参数的取值范围，先分别解出两个一元一次不等式，再结合不等式组有解的条件，推导参数的取值范围即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： 关于的不等式组有解 即． 52．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ∵不等式无解, ∴ ∴． 53．（2026·四川达州·一模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为，列不等式求解得到的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同乘去分母得：， 整理得，， 移项合并得，， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴的取值范围是且． 54．（2026·黑龙江佳木斯·一模）若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式组只有3个整数解，确定出a的范围即可. 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式， ， ， 因此不等式组的解集为， ∵不等式组只有3个整数解， ∴整数解为1， 2，3， 可得， 解得． 55．（2026·山东聊城·一模）若关于的不等式组的解集是，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集是，可知，进而可得，，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，即可获得答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得， 由不等式②，可知， ∵该不等式组的解集为， ∴， ∴，， ∴， ∴点在第二象限． 56．（2026·安徽合肥·一模）若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简绝对值，分两种情况当和分别求解，当时，解出x， 不满足题意，当时，则，然后再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则，即， ∵， ∴或，不满足题意， 当时，则， ∴， ∵方程有实数根， ∴当时，即， 解得（舍去）或， 把代入， 得，即， 解得：（不是正数，舍去）， 当时，即， 解得或， 设和为的两根， ，， ∴两根不可能同时为正，只有一个正根， ∴，， 解得：， 综上：． 57．（2026·河南三门峡·一模）请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知不等式的解集，再根据一元一次不等式组无解的条件，即两个不等式的解集没有公共部分，判断选项即可． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴， ∵不等式组无解，即：另一个不等式的解集需要和没有公共部分， A、 与没有公共部分，不等式组无解，符合题意； B、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； C、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； D、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意． 58．（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组只有3个整数解，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的不等式组只有3个整数解， ∴， 解得． 59．（2026·河南郑州·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据求不等式组解集的规律：同大取大，可确定a的取值范围，在这个范围任取一个数即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴得， 取满足题意． 60．（2026·河南郑州·一模）已知关于x的不等式组无解，则m的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先分别解两个不等式，再根据“大大小小无解”确定m的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∵不等式组无解， ∴， ∴． 结合选项，只有A选项满足． 61．（2026·河南商丘·一模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，得出，，根据方程组的解都为正数，得出关于的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解： 得：，解得 得：，解得 因为、都为正数，所以： 解得： 62．（2026·河南周口·一模）关于的不等式组，恰好有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：关于的不等式组的解集为， 不等式组恰好有两个整数解， 这两个整数解为、， 一元一次不等式组的应用 考点06 63．（2026·广东江门·一模）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元 (2)购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元，根据题意，列出分式方程，求解即可得出结果； （2）设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个，根据题意得出不等式组，求解得出的取值范围，由费用最少，得出对应结果． 【详解】（1）解：假设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元， 根据题意，得出方程， 解得， 经检验，是方程的解，则， 故甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元． （2）解：设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个， 根据题意，列出不等式组， 解得， 由于m取正整数，则m取10，11，12，13， ∵总费用表达式为， 若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好， 故应购买甲种机器人个，乙种机器人个， 此时费用为（万元）， 答：购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元． 64．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 65．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2)小明的说法是正确的，理由见解析 (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 66．（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人． 信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆． 问题解决： (1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 【答案】(1)型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人 (2) （，且为整数）． (3)租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少． 【分析】（1）根据题干给出的载客数量关系列二元一次方程组求解， （2）根据租车费用规则，结合载客要求和型客车数量限制，推导总费用与的函数关系式及自变量取值范围， （3）利用二次函数的性质，结合的整数取值，计算得到总费用最少的租车方案． 【详解】（1）解：设型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人． 根据题意得 解得 答：型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人． （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车 辆． 根据总载客量不小于人，得 解得 ∵A型客车不少于9辆 ∴ ，解得 ∵为正整数， ∴，且为整数 根据租车总费用规则，得 整理得 即与的函数关系式为 （，且为整数）． （3）解： ∵， ∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小 ∵ ∴时，取得最小值 此时A型客车数量为 （辆），满足 的要求 答：租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少． 67．（2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【答案】(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【分析】（1）根据购买两款学习机的两组总价条件，列二元一次方程组，求解两款的单价； （2）先设购买款的数量，用它表示款数量和总费用；再根据款数量不超过 款倍的约束条件，求费用函数的最小值，得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 68．（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【答案】(1)甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元 (2)甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副 【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可； （2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量． 【详解】（1）解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元 根据题意可得 解得， 答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元； （2）解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得： ， 解得， 因为是正整数，所以， 则， 答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副． 69．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 (2)有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱 【分析】（1）设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，根据“购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元”列方程组求解即可； （2）设购进A型设备m台，则购进B型设备台，根据“总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半”列不等式组求出m的值，得出方案；再列出总费用的函数关系，根据一次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． （2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 70．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同．文具店将A种文具每件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45 元． (1)A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元? (2)文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货方案? (3)在（2）的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大． 【答案】(1)A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元 (2)该文具店共有3种进货方案 (3)购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大 【分析】（1）设A种文具每件的进价为x元，根据“用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同”列分式方程，求解即可； （2）设购进A种文具a件，则购进B种文具件，根据资金的范围列出一元一次不等式，求出a的取值范围，取正整数即可得到进货方案数； （3）表示出总利润与a的关系式，根据一次函数的增减性，即可求出利润最大对应的进货方案． 【详解】（1）解：设A种文具每件的进价为元，则B种文具每件的进价为元． 由题意得， 解得， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元； （2）解：设购进A种文具a件，则购进B种文具件． 由题意得： ， 整理得 ， 解得：， ∵a为正整数， ∴a的取值为18，19，20，共3种情况， 答：该文具店共有3种进货方案； （3）解：设总利润为W元，A种文具每件的利润为（元），B种文具每件的利润为（元）， 则：， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，此时． 答：购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大． 71．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． （2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 72．（2026·湖北黄石·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】(1)每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元 (2)①一共有20种购买方案；②最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元 【分析】（1）每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意易得不等式组，进而求解即可； ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得易得，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元． （2）解：①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m的值可以为10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29，共20个； 答：一共有20种购买方案． ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得： ， ∵，且， ∴当时，w有最小值，最小值为； 答：最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元． 73．（2026·湖北随州·一模）国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 74．（2026·四川南充·一模）某超市购进一种时令商品，每件进价40元，规划每件售价不少于50元，日销量不低于350件．根据以往销售经验发现，当每件售价为50元时，日销量为500件；每件售价每提高1元，日销量减少10件． (1)求此商品每件售价x（元）的取值范围； (2)求此商品日销售利润w（元）最大时的日销量p（件）； (3)求此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润w（元）． 【答案】(1) (2)（件） (3)（元） 【分析】（1）根据每件售价不少于50元，日销量不低于350件建立不等式组求解即可； （2）根据日销售利润（售价进价）销售量表示出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据日销售额售价销售量表示出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得， ， ∵，且， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴此时， 答：此商品日销售利润w（元）最大时的日销量为350件； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴此时， 答：此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润为5000元． 75．（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务． 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元 (2)购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元 【分析】（1）设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．根据题意列方程得．解方程组求解即可； （2）设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．由题意得，，整理得．根据函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元． 根据题意列方程得． 解得． 答：购进的每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元． （2）解：设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元． 由题意得，解得． ，整理得． 随的增大而增大， 当时，有最小值． 此时． 答：购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元． 76．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫，购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元；购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元． (1)这两种品牌的T恤衫的进价各多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫共件，总资金不少于元，且购进甲品牌T恤衫至少件，该商场有哪几种进货方案？ (3)若商场决定将甲品牌T恤衫以每件元出售，乙品牌T恤衫以每件元出售，则全部售出后，（）中的进货方案哪种利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元 (2)方案1：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件 (3)购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件利润最大，最大利润是元 【分析】（）通过设甲、乙品牌T恤衫的进价为未知数，根据两种进货方案的总费用列出二元一次方程组，求解得出两种T恤的进价； （）设购进甲品牌T恤衫的数量为未知数，结合甲的数量限制和总进价不低于元的条件列出不等式组，求解得到符合条件的正整数解，进而确定所有进货方案； （）根据两种T恤的单件利润列出总利润关于甲品牌数量的一次函数，利用一次函数的单调性，结合（）中的取值范围，求出利润的最大值及对应的进货方案． 【详解】（1）解：设甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元 由题意，得， 解得：， 答：甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元； （2）解：设购进甲品牌T恤衫件，则购进乙品牌T恤衫件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴，，， ∴，， ∴有种方案 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； （3）解：设总利润为元 ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，（元）， 答：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件利润最大，最大利润是元． 77．（2026·山西吕梁·一模）2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，持续改善阅读环境，某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，已知阅读桌的单价为600元/张，阅读椅的单价为120元/把，且要求购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍，则最多可购置多少张阅读桌？ 【答案】最多可购置55张阅读桌． 【分析】设购置阅读桌的数量为张，购置阅读椅的数量为张，根据“某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购置阅读桌的数量为张，购置阅读椅的数量为张， 由题意得， 整理得， 解得， 答：最多可购置55张阅读桌． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $