专题05 圆解答题综合压轴（解答题压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题05圆解答题综合压轴 (解答题压轴题) 01压轴命题透视 常结合切线判定、圆内几何性质、三角函数、相似三角形综合考查。设问由易到难， 命题预测 基础考查定理应用，拔高问结合线段计算、面积、动态点位置分析，贴合中考几何 综合命题方向，常与几何变换结合跨界出题。 1.切线的判定与性质综合证明 2.垂径定理、圆周角定理综合计算 高频考法 3.圆与直角三角形、三角函数结合 4.圆内接四边形几何综合 5.圆动点线段长度与范围探究 02压轴题型精讲 ·典例靶向突破。 题型01切线判定与性质证明计算题 1.(25-26北京·一模)如图，⊙0内接正方形ABCD,AC与BD交于点O,P是⊙0的劣弧BC上的任意一 点，连接PA,PC,PD,延长BC至E,使LE=∠BDC, B (1)∠APD的度数为 (2)求证：直线DE是⊙0的切线： (3)当BD=√10，PD=2√2时，求线段PC的长度. 【答案】(1)45° (2)见解析 1/51 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)PC=1 【分析】本题考查圆内接正方形的性质、圆周角定理（圆周角等于对应圆心角的一半）、圆周角定理的推论、 切线的判定定理、全等三角形的判定(SAS)与性质等知识. (1)先利用圆内接正方形的性质得到圆心角∠AOD=90°；再根据圆周角定理，直接计算出∠APD的度数； (2)先结合∠BDC+∠DBC=90°与∠E=∠BDC得到∠DBC+∠E=90°，可推出BD⊥DE;又因为OD 是⊙O的半径，满足“直线垂直于半径外端”的切线判定条件，从而证明DE是⊙O的切线； (3)延长PA至Q,使AQ=CP,连接DQ;利用圆内接正方形的性质和圆内接四边形的性质，根据SAS判 定定理可证△OAD=△PCD;由全等三角形的性质得∠QDA=∠PDC、QD=PD,进而推出 ∠QDP=∠QDA+∠PDA=∠PDC+∠PDA=∠ADC=90°，即△PQD是等腰直角三角形，结合等腰直角三 角形斜边与直角边的关系，可算出PA+PC=PQ=4;再根据直径AC所对的圆周角∠APC=90°，在 RtA APC中，设PC=x,则PA=4-x,结合BD=V10,利用勾股定理列方程(4-x)2+x2=(W10)2,解得 x=1或x=3;最后结合P在劣弧BC上的位置特征，以及正方形边长BC=√5（由对角线BD=√0推导），可 知PC≤√5，排除x=3,最终确定PC=1 【详解】(1)解：，：O0内接正方形ABCD, ∴.∠A0D=90°， ∴∠APD=∠AOD=45° 2 故答案为：45°： (2)证明：在正方形ABCD中，∠BCD=90°， ∴，∠BDC+∠DBC=90°. '∠E=∠BDC, ∠DBC+∠E=90°， ∠BDE=90°， BD⊥DE. :0D是00的半径， .DE是OO的切线. (3)解：如图，延长PA至Q,使AQ=CP,连接DQ,则PA+PC=PA+AQ=PQ 2/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O 四边形ABCD是正方形， AD=CD,∠ADC=90°. :四边形APCD是圆内接四边形， .∠PAD+∠PCD=180°. .∠OAD+∠PAD=180°， ∴.∠QAD=∠PCD, ∴△QAD兰△PCD(SAS), ∴∠QDA=∠PDC,QD=PD, ∠QDA+∠PDA=∠PDC+∠PDA=90°， ∴△PQD是等腰直角三角形， :PO =2PD, .PA+PC=√2PD=V2x2√2=4， ·设PC=x,则PA=4-x :AC为00的直径， .∠APC=90°， 在Rt△APC中，AP2+PC2=AC2, 即(4-x2+x2=(而，解得x=1,x=3, BD=√10， :等腰RtABDC中，BC=V5, P是⊙O的劣弧BC上的任意一点， .PC≤V5, PC=1. 2.(2025北京海淀模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，AB=6,P是⊙0上异于点A,B的一动点，连 接PA,PB,过点A作射线.AC⊥PA,C为射线AC上一点，连接PC. 3/51 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C A O 图1 图2 【初步探究】 (1)若PB=4,求PA的长： 【深入探究】若在点P的运动过程中，始终有tan∠PCA=√万· (2)如图1，若AC=√5，求证：直线PC与00相切： (3)如图2，连接0C,设0C=m,求m的取值范围. 【答案】(1)25；(2)见解析；(3)√5≤m≤35 【分析】(1)证明∠APB=90°，再利用勾股定理求解即可； (2)如图1，连接OP,证明∠PCA=60°，PA=AC.tan60°=3，求解∠APC=30°，证明△A0P是等边三角 形，可得∠AP0=60°，再进一步求解即可： (3)如图2，过点A作射线AD⊥AB,作射线OD使得LAOD=60°，射线AD与OD交于点D,连接 OP,DP,则在R1a4OD中，求解HD=V5OA,PA=5AC,证明：CA0nAP4D,可得D-D=5,可 CO AO 得PD=√5OC,结合根据三角形的三边关系，得引OD-OPs PD≤OD+OP,进一步可得答案. 【详解】解：(1)：AB是⊙0的直径，P是⊙0上异于点A,B的一动点， ∠APB=90°， 在Rt△PAB中，由勾股定理，得PA=VAB2-PB2=V6-42=25: (2)证明：如图1，连接OP, 图1 :AC⊥PA,tan∠PCA=V3,AC=V3, ∴.∠PCA=60°，PA=AC.tan60°=3， ∠APC=30°， :AB是⊙O的直径，AB=6, 4/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OA=0P=3, 0A=0P=PA=3, :△AOP是等边三角形， LAP0=60°， ∠AP0+∠APC=60°+30°=90°，即∠CP0=90°， :OP⊥PC,又OP是O0的半径， :.PC是⊙0的切线，即直线PC与⊙0相切； (3)如图2，过点A作射线AD LAB,作射线OD使得LAOD=60°，射线AD与OD交于点D,连接 OP,DP,则在RtA AOD中， D 图2 AD=OA:tan∠A0D=0Atan60°=V30A, :tan∠PCA=√5，AC⊥PA, :PA=3AC, PA AD= AC OA :∠PAC=∠DA0=90°， .∠PAC+∠PAO=∠DAO+∠PAO,即∠CAO=∠PAD, △CAO∽△PAD, PD_AD=3. CO AO :PD=30C, AB=6, 0A=3, 在RtaA0D中，AD=√30A=3V5,0D=VOA2+AD2=V32+(3V32=6, 5/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△POD中，根据三角形的三边关系，得|OD-OP PD≤OD+OP, 6-3≤V30C≤6+3，即3≤V3m≤9， V3≤m≤3V5: 【点睛】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，特殊三角函数值，三角函数，等边三角形的判定与性质， 切线的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，三角形三边关系，作出合适的辅助线是解 本题的关键 题型02圆与三角函数综合解答压轴 1.(2026北京朝阳一模)如图，AB为⊙0的直径，点C在BA的延长线上，D为⊙0上一点，连接AD, BD,E,F分别是AD,BD的中点，连接OE,OF,延长CD,OF交于点P. D (1)求证：四边形0FDE是矩形： (2)若∠ADC=∠E0A,求证：CD是⊙0的切线： 3)在2)的条件下，若amC=,0P=35,00的￥径为_了 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形、圆的切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理，熟 练掌握相关性质定理是解题的关键， (1)根据垂径定理可得OE⊥AD、OF⊥DB,再根据LEDF=90°得出结论即可： (2)连接0D,则0D=0A,进而得到LAD0+LADC=90°，从而得出结论： 3)由amC-咒？、设04=0D=3x,则CD-,正明4D/0P,根据平行线分线段成比状出DP 的长，利用勾股定理列方程求解即可. 6/51 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：E,F分别是AD,BD的中点， .OE⊥AD、OF⊥DB, .∠0ED=∠0FD=90°， :AB为O0的直径， ∠ADB=90°， :四边形OFDE是矩形： (2)证明：连接0D,则0D=0A, ∠AD0=∠DA0, B :∠AE0=90°， ∴∠EA0+∠E0A=90°， .∠ADC=∠EOA, LAD0+∠ADC=90°， 即L0DC=90°， OD⊥CD, :0D是⊙0的半径， CD是OO的切线： (3)解：：L0DC=90°、tanC=OD=3 CD-41 ·设0A=0D=3x,则CD=4x, 在Rt△0DC中，由勾股定理得：OC=V3x2+(4x)2=5x, AC=0C-0A=5x-3r=2x, :四边形OFDE是矩形， LADF=L0FB=90°， ADI OP, 7151 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD CA DPAO 4x_2x DP3x 解得DP=6x, :OD⊥CD, ∠0DP=90°， 在Rta0DP中，由勾股定理得：OP2=DP2+OD2, 即(6x2+(3x2=(35, 解得x=1或x=-1(舍去)， 0D=3×1=3, :00的半径为3. 2.(25-26北京一模)如图，⊙0为ABC的外接圆，AB=AC D 图1 图2 图3 (1)如图1，连接A0并延长，交BC于点H,连接OB、OC,求证：AH⊥BC; (2)如图2，过点B作BF1AC于点E,交A0于点D,连接CO并延长分别交BF、AB于点M、N. ①若AD=√5，BE=4EF,求O0的直径： ②如图3，若OM=MN,求cos∠BAC的值. 【答案】(1)见解析 203V5:②V2 4 【分析】(1)根据垂直平分线的判定与性质即可证明： (2)①延长AO交BC于点H,连接CD,先证明△CDE≌△CFE,得到ED=EF,设ED=EF=x,则 BE=4EF=4x,通过证明△ABE∽△DCE得到AE=√2x,在RtAADE中利用勾股定理列出方程，求出x的 值，得到ED=l,AE=V2,CB=22,BE=4,再证明6 AHCAED得到4=C=4C EDD,求出 AH=23,HC=√6，设OA=OC=r,在Rt△OHC中利用勾股定理列出方程，求出r的值，即可解答； ②延长A0交BC于点H,延长CN交OO于点G,连接BG,根据等腰三角形的性质得到LBAH=LCAH, 8/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AHB=∠AHC=90°，设LBAH=∠CAH=,利用三角形内角和定理求出∠GBM=∠GMB=90°-a,则 GB=GM,进而得到OD=OM,设OD=OM=MN=a,GB=GM=b,通过证明GBNAOAN得到 GB_GN OA ON ,列出关于a,b的方程，求出=1+V2,在RtaGBC中根据余弦的定义求出cosG,即可求解. 【详解】(1)证明：：AB=AC,0B=0C, ∴.AO是BC的垂直平分线， A0⊥BC, 即AH⊥BC; (2)解：①如图2，延长A0交BC于点H,连接CD, 图2 AB=AC, ∠ABC=LACB, 由(1)得，A0是BC的垂直平分线， .DB=DC,∠AHC=90°， .∠DBC=∠DCB, ∴∠ABC-∠DBC=∠ACB-LDCB,即LABD=∠ACD, 又：∠ABD=∠ACF, .∠ACD=∠ACF, :BF⊥AC, ∴∠CED=∠CEF=∠AEB=90°， EC=EC, :△CDE≌ACFE(ASA), ·ED=EF, 设ED=EF=x,则BE=4EF=4x, .DC=DB=BE-ED =3x 9/51 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CE =DC2-ED2=22x :∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠DEC=90°， .△ABEn△DCE, :4E、BE 分话 即4E=4x x2√2x' AE=√2x, 在RtAADE中，AE2+ED2=AD2, 2x+x2=(, 解得x=1(负值已舍去)， ED=1,AE=√2，CE=2V2,BE=4, ·AC=AE+CE=3V2, :∠AHC=LAED=90°，LCAH=∠DAE, △AHC∽△AED, ED6,即北c32 AH HCAC √213 AH=2V5,HC=√6， 设0A=0C=r,则OH=AH-OA=2√5-r, 在Rta0HC中，OH2+HC2=OC2, (23-r+6=r2, 解得，=35 0A=0c=3 2 .O0的直径为2 35=35: ②如图3，延长A0交BC于点H,延长CN交OO于点G,连接BG, G 图3 10/51 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=AC,AH⊥BC, ∴∠BAH=∠CAH,∠AHB=∠AHC=90°， 设∠BAH=∠CAH=a, ∠G=LBAC=2a, :BF⊥AC, .∠AED=90°=∠AHB, :∠ADE=∠BDH, .∠DBH=∠CAH=a, :CG是00的直径， .∠GBC=90°， .∠GBM=∠GBC-∠DBH=90°-a, ∠GMB=180°-∠G-∠GBM=180°-2a-(90°-a=90°-a, ∠GBM=∠GMB, :.GB=GM, :∠GBC=∠AHC=90°， GB∥AH, .∠ODM=∠GBM, :∠OMD=∠GMB, ∠ODM=∠OMD, .0D=0M, OM =MN .0D0M MN, iOD=OM=MN=a,GB=GM =b, .GN =GM-MN =b-a,ON =OM +MN=2a,OA=OC=OG=GM +OM =b+a, :GB∥AH, aGBN∽aOAN, 0A10N即6-b-a GB GN bta 2a 解得=1+反（负值已舍去）， 11/51 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :b=1+2)a, 0C=b+a=2+2)a,GB=b=1+V2)a, GC=20C=(4+22)a, 在RtGBC中，cosG=GB 1+2)a-2 GC (4+2V2)a4 :∠G=LBAC, √2 cos∠BAC=cosG= 【点晴】本题考查了垂直平分线的性质与判定、圆周角定理、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性 质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程的应用，添加适当的辅助 线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键.本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造 能力，适合有能力解决几何难题的学生 题型03垂径定理结合相似几何综合 1.如图，AB为O0直径，C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连接AC,BC,点M为AC中点， 连接BM,与AC相交于点N. M H 图1 图2 图3 (1)如图1，连接0M,求证：OM∥BC; (2)如图2，连接ON,AM,当ON⊥BM时，求tan/BAC的值； (3)如图3，作MH⊥AB于H,∠BMK=∠BAC,与OO交于点K(点K在AB下方)，MK与AB交于点E.若 BC=5,MH=6,求： ①00的直径； ②EK的长 【答案】(1)见解析 2② 4 12/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B)①35：②EK=2 【分析】(1)由垂径定理可得0M⊥AC,再由圆周角定理得出CB⊥AC,即可得证； (2)连接OM交AC于点G,由垂径定理可得OM⊥AC,AG=CG,证明OG为ABC的中位线，得出 BC=2OG,再由垂径定理可得BN=MN,由圆周角定理可得∠ACB=90°，证明△BCN≌△MGN(AAS), 得出MG=BC=20G,求出0A=0M=30G,由勾股定理可得AG=2√20G,即可得出 AC=2AG=4√20G,最后由正切的定义计算即可得出结果： (3)①延长MH交O0于点F,由题意可得AM=MC,由垂径定理可得AM=AF,由圆周角定理可得 ∠ACB=90°，再证明MF=AC,得出AC=MF=2MH=2√6，最后再由勾股定理计算即可得出结果： ②设AH=a,则BH=3V5-a,证明△AMH∽△BMH,求出AH=√3，BH=2V5,由勾股定理可得 4M=3,BM=3N2,求出an∠ABM=5,由①可得4C=26,an∠BMK=an∠BAC=5,过点E作 2 EP⊥BM于点P,设PE=√2b,则BP=2b,MP=4b,求出PE=1,BP=√2，MP=2√2，由勾股定理 可得BE=V5,ME=3,则AE=25,连接BK,则∠MAB=∠MKB,证明AEMKEB,得出EK=BE AE EM 代入计算即可得出结果 【详解】(1)证明：：点M为AC中点， .OM⊥AC, :AB为直径， ∠ACB=90°，即CB⊥AC, .OM∥BC; (2)解：如图，连接0M交AC于点G, M :点M为AC中点， OM⊥AC,AG=CG, :O为AB的中点， OG为ABC的中位线， 13/51 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BC 20G, :ON⊥BM, :BN =MN :AB为直径， ∠ACB=90°， 在△BCN和aMGN中， ∠BCN=∠MGN=90° ∠BNC=∠MNG BN=MN .aBCN≌△MGN(AAS, .MG=BC =20G, .0M=0G+MG=30G, .0A=0M=30G, AG=V0A2-0G2=2√20G, AC=24G=420G, tan∠BAC= BC_2OG√2 AC 420G4 (3)解：①延长MH交⊙0于点F, F :点M为AC中点， AM MC, :MH⊥AB,且AB为直径， AM=AF,LACB=90°， AM+AF=AM+MC, MF=AC, .AC MF =2MH=26, 14/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC2+BC2=33: ②设AH=a,则BH=AB-AH=3V5-a, :AB为直径，MH⊥AB, .∠AMB=∠AHM=∠BHM=90°， .∠AMH+∠MAH=∠AMH+∠BMH=90°， ∴∠MAH=∠BMH, .△AMH∽△MBH, 胆-MH MH BH a 6 633-a 解得：a,=2V3(不符合题意，舍去)，a,=V5, :AH=V5,BH=2√3， AM=AH2+MH2=3,BM=MH2+BH2=32, tan∠ABM=AM-V2 BM 2 由0可得：AC=2V6,am∠BAC-BC-2 AC 4 ZBMK ZBAC ian∠BMK=tan∠BAC=2 4 过点E作EP⊥BM于点P, 设PE=√2b, am∠ABM=Pg=2 Bp=2,tan∠BMK=PE、V2 MP 4 .BP=2b,MP=4b, .BM MP BP 6b, 6b=3√2， 6s2 2 PE=1,BP=√2，MP=2√2， BE=PE2+BP2=3,ME=MP2+PE2=3, 15/51 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AE AB-BE =23, 连接BK,则∠MAB=∠MKB, :∠AEM=∠BEK, .△AEM∽△KEB, EK BE AE EM EK3 233, EK=2. 2.(25-26北京一模)已知：ABC中，己知AB=AC=6,BC=4,点P在射线AB上，△APC的外接圆 的圆心为O,连接OP. A 图1 图2 备用图 备用图 (1)如图1，当点P在线段AB上，且OP∥BC时，求cosLAOP的值： (2)如图2，当P0⊥AC时，求BP的长； (3)如果点O在ABC的某一条边所在的直线上，求BP的长 【答案】g a明 P为号或号 3 3 【分析】(1)如图，过点B作BD⊥AC于点D,证明LABC=LACB=LOPA=LOAP,可得 LBAC=LAOP，设AD=x,则CD=6-x,进一步利用勾股定理与三角函数求解即可： 证明 (2)如图，记P0与AC的交点为K,过点B作BD⊥AC于点D,结合(1)可得：D=14 △APK∽△ABD,进一步可得答案 (3)分情况讨论：如图，当0在边AC上时，过O作0G1AB于G,如图，当O在边AB上时，如图，当 O在直线BC上时，过A作AJ⊥BC于J,过O作OQ⊥AP于Q,再分别画图进一步求解即可. 【详解】(1)解：如图，过点B作BD上AC于点D, 16/51 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC=6, ∠ABC=∠ACB,∠BAC=180°-2∠ABC, 0A=0P, ∠0AP=∠0PA,∠A0P=180°-2L0PA, OP∥BC, ·∠ABC=∠OPA, .∠ABC=∠ACB=∠OPA=∠OAP, ∠BAC=LAOP, 设AD=x,则CD=6-x, 在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2, 在RtABCD中，BD2=BC2-CD2, .AB2-AD2=BC2-CD2, 62-x2=42-(6-x)2, 解得：x=1 3,即AD=4 Cos∠BAC=AD7 :cOsLAOP= 7 (2)解：如图，记PO与AC的交点为K,过点B作BD⊥AC于点D, 结合(1)可得：AD=14, 3 :P0⊥AC,AC=6, AK=CK=3,∠AKP=∠CKP=90°，BD∥PO, 17/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴△APKn△ABD, AP_AK AB AD :AP=48K-6x327 AD =14=7, 3 BP=6-2715 77 (3)解：如图，当0在边AC上时，过0作0G⊥AB于G, .AG=PG, AD B AC=AB=6, .0A=0C=3, :cOs∠BAC= AD 7 AB 9 AGAG 7 A03=9 AG=3 AP=24G=14 ÷BP=6-14=4 33 如图，当O在边AB上时， D P :AP为O0的直径， ∠ACP=90°， ÷cos∠BAC=AC=7 18/51 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AP=54 .BP= 6 7 如图，当O在直线BC上时，过A作AJ⊥BC于J,过O作OQ⊥AP于Q, :AO=PO, .AB=AC=6,BC=4, BJ=CJ=2,∠ABC=LACB, sin∠BAU=B/-1 AB 3' :∠ABJ=∠OBQ, ∠BOQ=∠BAJ, sin∠BOg=Be= OB3' :0A=0C, .ZOAC ZOCA, ∠OAC=∠OCA=LABC, △CBA△CA0, CB CA CA CO c0=36-9, 4 0B=9-4=5, :B0- 5 523 ∴.PQ=AQ=6+。= 33 BP=PQ+B0=23+5-28 333 综：P为号 3 19/51 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型04圆动态动点综合探究题 1.(24-25·北京房山二模)如图，在等边ABC中，点D是边AB上的一动点，点E是射线CB上的一动 点，连接DE、DC. D B E E B 图1 图2 图3 (1)如图1，AB=2,若点D为线段AB的中点，线段DB=DE,求线段EC的长； (2)如图2，若点E在CB延长线上，以DE为边，在DE右侧作等边ADEF;过点F作FG∥AC交BC于点G ,当DE=DC时，求证：BG+2BE=AC; (3)如图3，点E在CB延长线上，DE=DC,将BDE沿直线BD翻折得到aBDE',点E的对应点为点E. ABC内部有一动点P,满足LPAC=∠BCP,若AB=6,当CE'的长度最小时，求EP的最小值 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)√93-2V5 【分析】(1)证明CD1AB,∠BCD=∠ACD=)∠ACB=30,AD=BD=)AB=1,证明BDE是等边 角形，则BE=DE=BD,∠BED=60°，证明∠CDE=∠BCD,即可求解； (2)过点D作DN∥BC,交AC于点N,通过证明△ADN为等边三角形，△DBE≌aCND(AAS),得出 BE=DN=AD,再证明△DBE≌△EGF(ASA),得出BD=EG,根据BD+AD=AB,得出EG+AD=AB, 则BG+BE+AD=AB,即可求证； (3)易证∠APC=120°，以AC为边在AC右边作等边三角形△ACQ,则∠AQC=60°，可得点A、P、C、 Q四点共圆，过点A作OA⊥AB,过点C作OC⊥BC,OA、OB相交于点O,根据圆周角定理推出点A、P、 CQ四点在以点0为随心，0C为半径的圆上，过点0作0H上AC于点H,求出0Cc60.23,当 点E、P、O在同一条直线上时，EP取最小值.根据将BDE沿直线BD翻折得到。BDE',可得点E在与 BC夹角为60°的直线上运动，则当CE'⊥BE'时，CE'取最小值，求出BE=BE'=BC.cos60°=3，连接OE ,于O0相交于点P,根据勾股定理可得：OE=√OC2+CE2=√3，再根据EP=OE-OP求解即可.· 20/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)：ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， :点D为线段AB的中点， :CD⊥AB,∠BCD=∠ACD=∠ACB=30,AD=BD=AB=1, DB=DE, :BDE是等边三角形， ∴BE=DE=BD,∠BED=60°， .LCDE=LBED-∠BCD=30°， ∴∠CDE=∠BCD, 1 .EC=DE BE=BD=-AB=1 (2)解：过点D作DN∥BC,交AC于点N, B :DN∥BC, ∠DNC=180°-∠ACB=120°， DE=CD, .∠DEC=LDCE, :ABC、△DFE为等边三角形， ∴∠EDB+∠DEC=LABC=60°，∠DCN+∠DCE=∠ACB=60°，∠EBD=120°， .∠EDB=LDCN, 在ADBE和△CND中， ∠EDB=∠DCN ∠DNC=∠EBD, DE=CD :.△DBE≌△CND AAS, :BE DN, 21/51 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :DN∥BC,ABC为等边三角形， △ADN为等边三角形， :BE DN AD, :FG∥AC, FGC=∠ACB=60°， .∠FGE=180°-60°=120°， :△DFE为等边三角形， ∴.DE=EF,∠FEG+∠DEC=∠DEF=60°， ∴∠EDB=∠FEG, 在△DBE和△EGF中， ∠EDB=∠FEG ∠EBD=∠FGE=120°， DE=EF .△DBE≌△EGF(ASA, .BD=EG, BD+AD=AB, .EG+AD AB BG BE AD=AB, BE=AD,AB=AC, .BG+2BE =AC. (3)解：：∠PAC=∠BCP,∠BCP+LACP=60°， .∠PAC+∠ACP=60°， .在△ACP中，∠APC=120°， 以AC为边在AC右边作等边三角形△ACQ,则∠AQC=60°， ∠APC+∠AQC=120°+60°=180°， “点A、P、C、Q四点共圆， 过点A作OA⊥AB,过点C作0C⊥BC,OA、OC相交于点O, 22/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ∠0AC=90°-∠BAC=30°，L0CA=90°-LACB=30°， .在△A0C中，∠A0C=120°，0A=0C, :∠AOC=2∠AQC, “点A、P、C、Q四点在以点O为圆心，OC为半径的圆上， 过点O作OH⊥AC于点H, CH=TAC=3 .OC=CH =2V3, c0s30° 0P=0C=2N5, 当点E、P、O在同一条直线上时，EP取最小值. :将BDE沿直线BD翻折得到aBDE', .∠ABE=∠ABE'=120°，则∠CBE'=60°， ∴点E在与BC夹角为60°的直线上运动， :.当CE'⊥BE'时，CE'取最小值， AB=BC=AC=6, 此时BE=BE'=BC·c0s60°=3， .CE=BC+BE=9, 连接OE,于⊙0相交于点P, 根据勾股定理可得：OE=√OC2+CE2=√3， EP=0E-0P=93-25. 【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质， 以及圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用， 2.已知OA是⊙0的半径，OA=1,点P是OA上一动点，过P作弦BC⊥OA,连接AB、AC· 23/51 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B B D 图1 图2 (1)如图1，若P为0A中点，则AC= ,∠ACB= (2)如图2，若移动点P,使AB、CO的延长线交于点D.记△AOC的面积为S,△BOD的面积为S2: △4OD的面积为S,且满足云交， ,S1S2 求：①三的值： S. ②P的值， AP 【答案】(1)1：30,2)0=-1+V5 ②0P=5-1 S2 2 0A4 【分析】(1)由P为OA中点，BC⊥OA,可得OP=AP,BP=CP,可证四边形OCAB为平行四边形，由OB=OC 可得四边形OCAB为菱形，可求AC=OB=1,由OA=OB=AB,可证△ABO为等边三角形，可得∠AOB=60°，由圆 周角性质∠ACB=∠AOB=30°； 2)①由BC⊥OA,可得PB=PC,SAOA0:PB=AO:PC=SS,可得3=SS,由3-片，可春 2 =S。可得52+5S,5,=0△=b4c=3,+45,=59,可得=1+5即可， S,S+S, S22 ②to作oFLA8于FoD交00于E,54B-0F,sBD-0f,由=lh5- S22 ,可得 BD BD_2-5-,由CE为直径，可得∠EBC=90,BC10A,由BEAO,可证△DBE-△DA0,由性质 AD 1+5 2 DB-BE-5-l,由0为CE中点，p为cB中点，可得BE=20P,可求OP=5-1 DA OA 2 0A4 计算即可 【详解】解：(1)：P为OA中点，BC⊥OA, ..OP=AP,BP=CP, 24/51 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形OCAB为平行四边形， .OB=OC, .四边形OCAB为菱形， ..AC=OB=1, 又OA=OB=AB, △AB0为等边三角形， .∠AOB=60°， ÷∠ACB=∠AOB=30°， 故答案为：1；30°； A B (2)①：BC⊥0A, .PB-PC.SA-AO.PB-1AO-PC-Suoc-S,. 2 B D E .'.S3=SAAOD=SABOD+SAAOB=S2+S1, SS S,S,' : S2 S,+S,, S12+S,S2-S,2=0, △=b2-4ac=S22+4S,2=5S22, 25/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S=-S±V5S, 2 -1+5,(S-1-5 S2 2 S22 舍去)， ②过O作OF⊥AB于F,OD交00于E, S=1AB.OF,S2=BD.OF, :S--1+V5AB S,2 BD BD 2 V5-1 D1+52, CE为直径， .∠EBC=90°，BC⊥0A, ∴.BElAO, A B ∴∠DBE=∠DAO,∠DEB=∠DOA, ∴△DBE-△DAO, .DB_BE_5-1 DA OA 2 :O为CE中点，P为CB中点， ∴.BE=2OP, BE_20P-5-1, OA OA 2 0P=5-1 OA 4 【点晴】本题考查垂径定理，菱形的判定与性质，等边三角形，圆周角定理，一元二次方程，相似三角形 的判定与性质，中位线性质，掌握垂径定理，菱形的判定与性质，等边三角形，圆周角定理，一元二次方程， 相似三角形的判定与性质，中位线性质是解题关键 26/51 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03压轴强化训练 1.(25-26北京·模拟测试)ABC内接于O0,直径AD交BC于点E,连接OB,∠B0D=∠BAC. D D D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AD1BC; (2)如图2，点F在弧CD上，连接DF,若DF=2OE,求证：DF∥OB; (3)如图3，在(2)的条件下，连接BF,过点A作AG⊥BF于点G,交半径OB于点H,若BC=4V3, FG=8,求线段AH的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3)AH=26 【分析】(1)连接0C,设∠B0D=∠BAC=2a,由圆周角定理可得∠BAD=∠BOD=a,再证明 BD=CD,即可得证； (2)过点O作0J1DF于，由垂径定理可得D1=F-DP,再证明R6D0≌R1a0E8HL,得出 ∠BOE=∠ODJ,即可得证； (3)连接AF,先证明AB=BF,设BG=m,则BF=AB=m+8,再证明△ABF≌aCAB(SAS),得出 9三43.由勾股定理计算得出4G=2,BG=5,B=BF=3,解直角三角形得出HG 可得出结果 【详解】(1)证明：连接0C,如图： 27/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E D 图1 :∠BOD=∠BAC, 设∠B0D=∠BAC=2a. BD=BD :∠BAD=∠BOD=a, 2 ∠CAD=∠ABC-∠BAD=2a-a=a, .∠BAD=∠CAD, .BD=CD, AD⊥BC. (2)证明：过点O作0J1DF于J,如图： A B D 图2 :OJ过圆心O,DF为弦非直径， :.DJ=JF=IDF. 2 DF =20E, ∴DJ=÷×2OE=OE. 2 OJ⊥DF, ∠DJ0=90°. 28/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△DJ0与Rt△OEB中， OD=OB QJ=OE :RtaDJO≌RtAOEB(HL, ∠BOE=∠ODJ, .DF∥OB. (3)解：如图：连接AF, B D 图3 BD=BD .∠BFD=LBAD=a, DF∥OB, ∴∠0DF=LB0E=2a,L0BG=∠BFD=a, AF=AF, ∠ADF=∠ABF=2a. AE L BC, ∴∠AEB=LAEC=90°， ∠ABC=∠ACB=90°-a, AB=AB ∴∠AFB=∠ACB=90°-a. :AG⊥BF, ∠GAF=90°-∠AFB=a=∠0BG. 在△ABF中，∠BAF=180°-2a-(90°-a=90°-a=∠BFA, AB=BF. 设BG=m, 29/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BF AB=BG +FG m+8. :∠ABC=LACB, :AB AC, AB=AC BF. 在△ABF与△CAB中， AB=CA ∠ABF=∠CAB=2a, BF=AB △ABF≌△CAB(SAS, .AF CB=4v13. 在Rt△AGF中，AG2+FG=AF2, ·AG=VAF2-GF2=12, 在Rt△ABG中，BG2+AG2=AB2, m2+122=(8+m)2, 解得m=5, .BG=5,AB=BF =13. 在Rt△AGF中，tan∠GAF=tana=GF=8_2 AG123' ∴.在Rt△BGH中，tan∠HBG=tana= HG_2_HG-2, BG353' HG=10 AH=AG-HG, AH=12-10=26 33 2.按要求解答下列问题： G 图① 图② 图③ (1)问题提出：如图①，在ABC中，请用尺规作图的方法，作出AB边上的高. 30/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)问题发现：如图②，在等边ABC中，点E、F分别是边AC和边BC上的动点，且CE=BF,连接AF和 BE交于点G,求证：SHBG=Sg达形CEGF· (3)问题解决：“全民健身，同心同行”，某运动公园示意图如图③，四边形4ABDC中，AC=20,∠D=60°， 为促进全民健身，计划将四边形ABDC分为两个部分，ABC为健身区，△BCD为休闲区，经过调研发现， 最可行的方案是要满足BC=CD,且AB⊥BC,是否存在面积最大的四边形ABDC？若存在，请求出四边 形ABDC的面积最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 (B)存在，四边形ABDC的面积最大值为50√7+50√3 【分析】(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； (2)根据等边三角形的性质，结合题意证明△ABF≌△BCE(SAS),得到SMBr=SCE,由 S。ABG=S。ABF-S。BFG,S四t边形CEGF=S。BCE-S.BFG,即可求解； (3)过点D作DE⊥AB的延长线于点E,连接CE,根据同底等高可知S.cBD=S.CBE,从而得到 S四边形ABDc=SAACE;然后易证△BCD是等边三角形，得到LDBE=30°，再利用勾股定理求得 sin∠BEC E品。)，即在△4CE巾，(4EC是定角，对边4C=20,接若作△45C的外接0， BC-2a=27 过点O作OH⊥AC于点H,延长HO交OO于点E,过点E作EF⊥AC于点F,易知当O、E、H三点共 线，且垂直于AC时，△ACE的高有最大值，最大值为EH,即可根据sin∠BEC=2Y万、勾股定理、圆周 7 角定理以及垂径定理，求得E'H,从而求得S。ACE· 【详解】(1)解：如图①所示，CD即为所求： 图① (2)证明：：ABC是等边三角形， :.AB=BC,∠ABC=∠BCA=60°， 31/51 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：CE=BF, △ABF≌△BCE(SAS), .S。ABF=SBCE, :S.ABG=S.4Br-S.BFG,S四边形cEGF=SBCE-SBFG, “SABG=Sg这形CEGP; (3)解：如图，过点D作DE⊥AB的延长线于点E,连接CE, A :AB⊥BC, .∠ABC=∠BED=90°， BC∥DE, :根据同底等高可知ScBD=S.cBE, S四边形ABDc=S4Bc+S,BCD=S.4Bc+ScBE=S.4CE, 即当S。4CE取得最大值时，S四边形ABDc取得最大值； :BC=CD,∠D=60°， :.△BCD是等边三角形， ∴.∠CBD=60°，BC=CD=BD .∠DBE=180°-∠ABC-∠CBD=30°， 在RtABED中，设DE=a,则BD=2a,BE=√5a, .BC=CD =BD=2a, 在RtaBCE中，CE=V5a)'+2aj-万a, sin∠BEC=BC=2a-2V5 CE√7a7 ∴∠BEC是定角， :在△ACE中，∠AEC是定角，对边AC=20, “点E在以AC为弦的一段弧上运动， 32/51 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图所示，作△AEC的外接圆O, D 过点O作OH⊥AC于点H,延长HO交OO于点E,过点E作EF⊥AC于点F, :OE'+OH=OE+OH≥EF, 当O、E、H三点共线，且垂直于AC时，△ACE的高有最大值，最大值为E'H, :∠ABC=∠AEC=)∠A0C=∠AOH=a,sin∠AEC-25 7 sin∠A0H=l_=2V万 OA T 又：AH=CH=三AC=10, 2 0A=10 =5V万 2√7 0H=6-AH=5万-102=55， .E'H=0E'+0H=5√7+5V5, 5w=4C-EH=x20x57+5同)=507+505， 2 :.四边形ABDC的面积最大值为507+50V3. 3.(25-26北京一模)如图1，⊙0的半径为r,AC和BD是⊙0的两条弦，且AC1BD. D D ·O F B B E 图1 图2 (1)若r=4,BC的长度为3π，求∠ABD的度数： (2)如图2，若AC是OO的直径，E是BC上一点，连接BE和DE,CF⊥DE于点F,若DE=10,BE=4 ,求DF的长 33/51 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)22.5 (2)DF=7 【分析】(1)如图1中，连接OB,0C,设∠B0C=n,AC交BD于J,利用弧长公式求出∠BOC,可得 结论。 (2)如图2中，连接CD,AE,设AE交BD于T,BD交AC于K,连接FK,过点T作TM⊥DE于M, N上B交3的延长线于N,首先证明g距-号收7：5站，万-，则0：献-，可得 kT=15,0r=,再证明太r∥5T,可得能-S兴石·由此即可解决何题， 【详解】(1)解：如图1中，连接OB,0C,设LBOC=n,AC交BD于J, D 图1 ”EB的长=3π， .mx4 =3元， 180 .n=135°， AB0C=6.59 :AC⊥BD, ∠AJB=90°， .∠ABD=90°-67.5°=22.5°. (2)解：如图2中，连接CD,AE,设AE交BD于T,BD交AC于K,连接FK,过点T作TM⊥DE于 M,TN⊥EB交EB的延长线于N, D C :AC⊥BD, NB E 图2 34/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=AB, ∠AED=∠AEB, :TM⊥ED,TN⊥EB, ∴TM=TN, DE.TM S.EDL =2 DT SBET BE·TN BT' :D7-DE-105 TB BE 42' 设DT=5k,TB=2k,则DK=BK=3.5k, .KT=1.5k,DT=5k, :CF⊥DE, .∠DKC=LDFC=90°， C,D,K,F四点共圆， .∠ACK=∠KFD, :∠ACD=∠AED, ∠KFD=∠AED, KF∥ET, :DF=DK_3.5k7 DE DT 5k 10' :DE=10, .:DF =7. 【点晴】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，弧长公式，角平分线的性质等知识，解题的 关键是证明 g距-居于中考压维题 4.(2026北京·一模)如图，点D是ABC外接圆⊙0上的一点，AC1BD于G,连接AD,CD,OD.过点 B作直线BF∥AD交AC于E,交OO于F.若点F是CD的中点. 35/51 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 G E (1)求证：AB=CF; (2)当CD=3时，求00的半径； B若AG=6GE,连接0G.请价你探究∠G0D与∠4DC之间的数量关系，并证明。 【答案】(1)见解析 (2)√3 (3)2LG0D+∠ADC=240°，理由见详解 【分析】(1)根据弧中点得到CF=DF,根据平行线夹弧得到AB-DP,即可得证； (2)作0M1nC于点AM,连接0C,则DM-,根据CP=DF=7B,得到∠AC8=∠CBF=∠DBF, 根据AC⊥BD,得到LACB=LCBF=∠DBF=30°，得到LDBC=60°，得到LDOC=2LDBC=I20°，得 到∠0DM=30°，得到0D=5,即可； 3》作01DC于点M差接0C,设GE=,则G=5,根据∠BGC=∠AGD=90 ∠4C84D8=0,得到DG=3,8G=5x,得到CG=3,由句股定理得到0C-36, 2 2,得到 DM=31 x,得到0D=32 ,得到DG=OD,得到2∠G0D+∠0DG=180°，根据LADB+L0DC=60° 4 ,即得2∠G0D+∠ADC=240°. 【详解】(1)证明：：点F是弧CD的中点， CF DF, :AD∥BF, AB DF, AB=CF: (2)解：作0M⊥DC于点M,连接0C,如图， :CD=3, 3 .DM=-CD= 2 2 36/51 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可知：CF=DF=AB, ∠ACB=∠CBF=∠DBF, :AC⊥BD, ∠BGC=90°， .∠DBF+∠CBF+∠ACB=90°， ∠ACB=∠CBF=∠DBF=30°， .∠DBC=60°， .∠D0C=2∠DBC=120°， :0D=0C, .∠0DM=30°， :OM=T0D, :OM2+DM2=OD2, 0D=23 DM=√5， 3 :00的半径√3； 0 F G B (3)解：2∠G0D+∠ADC=240°.理由如下： 同(2)，作0M⊥DC于点M,连接0C, 由(2)知，∠BGC=∠AGD=90°，∠ACB=30°，∠0DM=30°， LADB=LACB=30°， 设GE=x,则AG=6 DG=5aG39,80-5EG-6 CG=3BG=3x, ÷DC=DG2+cG=36 x, 37/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DM=1CD=3 2 4x, 0D=2 DM=3 3 2, ÷DG=OD, 2∠G0D+∠0DG=180°， :∠ADB+∠0DC=60°， .2∠G0D+∠0DG+∠ADB+∠0DC=240°， 即2∠G0D+∠ADC=240°. 【点晴】本题主要考查了圆与三角形综合.熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆 周角定理，等腰三角形性质，含30的直角三角形性质，是解决问题的关键 5.(25-26北京·一模)如图，AB为O0的直径，弦DE⊥AB于点C(C为线段OB上一点)，F为CD上 点（点C,F均不与端点重合)，连接BD,BE,射线AF交BD于点H,与射线EB交于点G,且 ∠EAF=∠ADE. H B G (1)求证：AF=EF. 2若AC=3,CE=2,求C5的值 DE (3)当点B为EG中点时， ①求证：△DHF∽△GHB; ②求u的值。 SGBH 【答案】(1)见解析 2)CF-5 DF3 30证明见解析；② 38/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】此题考查了垂径定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定 (1)首先由垂径定理得到AB垂直平分DE,得到AD=AE,∠ADE=∠AED,然后结合∠EAF=∠ADE等 量代换得到∠EAF=∠AED,即可求出AF=EF; (2)首先求出DC=CE=2,设FC=x,则AF=FE=FC+CE=x+2,然后根据勾股定理求出FC= 4 得到DF=DC-FC=2二子=4，进而求解即可： (3)①连接FB,根据题意证明出FB是aAGE的中位线，得到FB‖AE,FB=AE,证明出 21 △FCB∽△ECA,得到 FC FB1 CE-AE-2,设FC=a,则DC=CE=2a,表示出AC=√AP-FC=2a,进而 得到CB=√2a,DB=VDC2+CB2=√6a,然后证明出△HFAGHB; ②根据△DHF∽aGHB求解即可. 【详解】(1)解：弦DE1AB于点C, :CD=CE, ·AB垂直平分DE, .AD=AE, ∠ADE=∠AED, :∠EAF=∠ADE, .∠EAF=∠AED, :AF =EF; (2)解：：CE=2, .:DC=CE=2, 设FC=x,则AF=FE=FC+CE=x+2, .在Rt△AFC中，AF2=FC2+AC2, (x+22=x2+32, 5 ”x= 4 :FC=4 5 DF=DC-FC=2-5=3 44 39/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 CF-4-5 DF3-3 4 (3)①证明：如图所示，连接FB, F B G :AB为O0的直径， .∠AEB=90°， ∠AEF+∠FEB=90°，∠FAE+∠G=90°， :∠FAE=LFEA, ∴.LG=LFEG, .FG=FE AF, :点B为EG中点， FB是△AGE的中位线， 六8E,FB-号4， ∴△FCBn△ECA, FC FB1 CE AE2 设FC=a,则DC=CE=2a, .AF FE=FC+CE=3a,DF=DC-FC=a, :AB⊥DE, AC=√AF2-FC2=2V2a, tan∠CAE=CE=2aV5 AC 22a 2 :BE=BE· 40/51 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :an∠FDB=tan∠CAE=Y2 :CB-2,即CB-2, CD 2 2a2 .CB=√2a, DB=DC2+CB2=6a, DB=BE, ∴∠BDE=∠BED=LG, 又：∠DHF=∠GHB, ∴△DHF∽△GHB, ②解：= s-)-6-j6 6.如图，已知AB是⊙0的直径，点C,D在O0上，∠D=60°且AB=6,过圆心0作OE⊥AC,垂足为 E. D (1)求0E的长. (2)若OE的延长线交O0于点F,求弦AF,AC和CF所围成的图形（阴影部分）的面积S. 【答案】四 a努 【分析】（①）由垂径定理得点E是4C的中点、进而由三角形中位线定理得OE-BC,再由含30度角直 角三角形伯性质得8C一号48，可求得0E的长， (2)连接OC,易得△OAF是等边三角形，则可得S。4r=S.oE,从而阴影部分的面积等于扇形OCF的面 积，利用扇形面积公式即可求解 【详解】(1)解：：0E⊥AC, 41/51 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点E是AC的中点， :O是AB的中点， ..OE =-BC, 2 :AB是直径， .∠ACB=90°， :∠B=∠D=60°， ∠BAC=90°-∠B=30°， 8c-40-3 E-C 3 (2)解：连接0C,如图， :0A=0F=0C,∠BAC=30°， .∠A0E=90°-∠BAC=60°， ∴△OAF是等边三角形， :OE⊥AC, .OE=FE, S.AEF =SAEO :0A=0C,0E⊥AC, .AE=CE,∠COF=∠A0E=60°， SAEO=SOCE S.AEF =SOCE S=S.HEr+S偏形ocF-S0cE =S扇形0cF1 :AB=6, 0C= 483 :5=60元×32 360 3π 2 42/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【点晴】本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质， 三角形中位线定理、含30度角直角三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练并灵活运用这些知识是关键， 7.(24-25北京通州二模)如图，已知AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,点M是线段DC延长线上 的一点，连结MA交OO于点F,连结DF交AB于点G,连结AD,BD,CF, M 0 (1)求证：△MAD∽△DAF. (2)若AD=2√5BE,求tanZAFD的值. )在(2)的条件下，设an∠MEx,6 =y· ①求y关于x的函数表达式： ②若E为BG的中点，求m的值. SAAFD 【答案】(1)见解析 (2)2 2-3 3)①y=2x; 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及垂径定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定以及解直角三角 形相关的内容，需要学生对这些知识点都熟悉的情况下进行综合分析思考解题. (1)利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可； (2)设BE=a,则AD=2√5a,利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得AB,AE,DE,利用直 43/51 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 角三角形的边角关系定理和(1)的结论解答即可； (3)①过点G作GH⊥AD于点H,由(1)的结论得到∠M=∠ADF,利用直角三角形的边角关系定理得 到GH=xHD,设GH=m,则AH=2m,则AG=√AH2+HG=√5m,利用已知条件得到m与x的关系，进而 得到AG,BG的长度，利用已知条件化简即可得出结论； ②过点A作AM⊥DF于点M,过点C作CN⊥DF于点N,利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形 的判定与性质用a的代数式表示出AM,CN,利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论. 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E, AC=AD, ∠AFD=∠ADC, :∠FAD=∠DAM, △MAD∽△DAF; (2)解：：AD=2V5BE, .设BE=a,则AD=2V5a. :AB是O0的直径， ∠ADB=90°， :CD⊥AB, .△AED∽△ADB, 片AE、AD AD AB AB-a 25a 25a AB .AB =5a. .AE AB BE 4a, DE=VAD2-AE2=2a· :tan∠ADC=4g=4e=2. DE 2a 由(1)知：∠AFD=∠ADC, .tan∠AFD=tan∠ADC=2; (3)解：①过点G作GH⊥AD于点H,如图， 44/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 则tanZADF=GH HD 由(1)知：△MAD△DAF, .∠M=∠ADF, tanM =x, tanLADF=GH =X, .GH=xHD Ftan∠EAD=DE-1 AE 2' GH 1 .tan/GAH= AH 2 设GH=m,则AH=2m, AG=√AH2+HG2=V5m· .xHD =m, .HD=m :GH⊥AD,AD⊥BD, ∴GH∥BD, AG AH 2m :.GB HD m, y=2x. ②过点A作AK⊥DF于点K,过点C作CN⊥DF于点N,如图， 45/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M F E B :E为BG的中点，DE⊥BG, .DE垂直平分BG,BE=EG=a, AG AB-BE EG=3a DG=EG2 +DE2=5a, :AB是⊙O的直径，AB⊥CD, ∴DE=EC=2a, .CD =4a. :sin∠EDG= GE CN DG CD 5a4如' .CN= 45 a, :∠AKG=∠DEG=90°，∠AGK=∠DGE, .△AKG∽△DEG, AK DE AG DG' AK 2a 305a’ ÷AK=6 5, F.CN 45 S.CED=2 2 = SAFD IDF:AK 615 a 3 2 s a 8.如图，CD为⊙O的直径，P是线段OC上一点，过点P作AB⊥OC(点A在直径CD上方)，连结AC ,DB并延长交于点F,过点A作AE⊥BD于点E,交直径CD于点G. 46/51 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D E 备用图 (1)求证：PC=PG. 1 (2)当OG=二PG,且4C=25时，求⊙0的半径. (3)当CF=CD时， S四边形BPGE= SACP 【答案】(1)证明见解析 (2)5或√15 3)2 【分析】(1)证明∠AGP=∠ACG,得到AC=AG,即可证明结论： (2)连接AD,分点G在线段OC上和点G在线段OD上两种情况，设OG=x,用x分别表示出CP、AP长， 利用勾股定理及4C=2√5求出x,即可解答本题； (3)设∠CAP=a,利用PC=PG、CF=CD求出∠ACG=∠AGC=20,得到△AGC是等边三角形，设 5。,通过证明△AG△MBE,得@ AG 2 AC=CG=AG=a SAACP=SAAGP=- 利用垂径定 8 SAABE AB 理AP=BP,得AB=2AP=V5a,继而得到S△MBE=3S△AGP,S西边形PGE=2:S4GP=2·S4CP,即可解答本题. 【详解】(1)证明：：AB10C, ·∠APG=90°， ·∠PAG+∠AGP=90°， :AE⊥BD, :∠BEA=90°， ·LBAE+LABE=90°， ·LAGP=∠ABE, ZACG ZABE, .∠AGP=∠ACG, 47/51 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AC=AG, :AB⊥OC, ·PC=PG; (2)连接AD,分点G在线段OC上和点G在线段0D上两种情况， 第一种情况，如图所示，当点G在线段0C上时， D 设0G=x, OG=,PG :PG=2x, 由(1)得，PC=PG=2x, :.OC=PC+PG+0G=5x, ·0D=0C=5x, ·PD=PG+0G+OD=8x, :CD为O0的直径， ·∠CAD=90°， .∠CAP+∠PAD=90°， :AB⊥OC, ·LAPC=90°， ·∠CAP+∠PCA=90°， ·PCA=∠PAD, 又：∠APD=∠CPA=90°， ·△PCA∽△PAD, PA PD PC PA 48/51 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PA2=PC.PD=2x.8x=16x2, PA=4x, 在Rt△APC中，PA+PC2=AC, (4x2+2x2=(25, 解得：x=1, ·0D=0C=5x=5; 第二种情况，如图所示，当点G在线段OD上时， G P D E B 设0G=x, :0G=1PG. 2 :.PG=2x, 由(1)得，PC=PG=2x, :.OC=PC+PG-0G=3x, ·0D=0C=3x, PD=PG-OG+OD=4x, :CD为O0的直径， ·∠CAD=90°， ·∠CAP+∠PAD=90°， :AB⊥OC, ∠APC=90°， 49/51 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠CAP+∠PCA=90°， :∠PCA=∠PAD, 又：∠APD=∠CPA=90°， ·△PCA∽△PAD, PA PD PC PA' :PA2=PC.PD=2x.4x=8x2, ·PA=2V2x, 在Rt△APC中，PA+PC2=AC2, 22x+2x2=(25, 解得：x= 3 :0D=0C=3x=V15: 综上所述，⊙0的半径为5或√5； (3)如图所示， 4 0 D E B 设∠CAP=a, 由(1)得，∠GAP=∠CAP=0, ·LCAG=2a, :∠CAB=∠CDB, ∠CDB=∠GAP=∠CAP=a, CF=CD, :∠CFB=∠CDB=O, :∠ACG=∠AGC=2a, 50/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACG=∠AGC=∠CAG, :△AGC是等边三角形， 设AC=CG=AG=a, 2 AP=-4 , SAACP=S△AGP= Cp.AP=1a.a- 2228 :AE⊥BD, ·∠BEA=90°， ∠BEA=∠GPA=90°， ∠PAG=∠EAB, ·△AGP∽△ABE, SAAGP 4G SAABE AB) :CD为O0的直径，AB⊥OC, ·AP=BP, :AB=2AP=3a. SAAGP= 4G)2 a21 SAABE AB 3a :S△ABE=3S△A6P, :S图边形BPGE=2·S.AGP=2·SACP, S四边形BPGE=2 SACP 【点晴】本题是一道几何综合题，考查了等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、圆周角的 性质、垂径定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、能发现原题图中 没有的另一种情况是解题的关键. 51/51 专题05圆解答题综合压轴（解答题压轴题） 命题预测 常结合切线判定、圆内几何性质、三角函数、相似三角形综合考查。设问由易到难，基础考查定理应用，拔高问结合线段计算、面积、动态点位置分析，贴合中考几何综合命题方向，常与几何变换结合跨界出题。 高频考法 1.切线的判定与性质综合证明 2.垂径定理、圆周角定理综合计算 3.圆与直角三角形、三角函数结合 4.圆内接四边形几何综合 5.圆动点线段长度与范围探究 典例·靶向·突破 题型01切线判定与性质证明计算题 1．（25-26·北京·一模）如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． (1)的度数为___________； (2)求证：直线是的切线； (3)当，时，求线段的长度． 2．（2025·北京海淀·模拟预测） 如图， 是的直径， 是上异于点A，B的一动点， 连接， ， 过点A 作射线．为射线上一点，连接． 【初步探究】 （1） 若，求的长； 【深入探究】若在点 P 的运动过程中，始终有 （2） 如图1， 若，求证：直线与相切； （3） 如图2， 连接， 设，求m的取值范围． 题型02圆与三角函数综合解答压轴 1．（2026·北京朝阳·一模）如图，为的直径，点C在的延长线上，D为上一点，连接，，E，F分别是，的中点，连接，，延长，交于点P． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若，，的半径为 ． 2．（25-26·北京·一模）如图，为的外接圆，． (1)如图1，连接并延长，交于点，连接、，求证：； (2)如图2，过点作于点，交于点，连接并延长分别交、于点、． ①若，，求的直径； ②如图3，若，求的值． 题型03垂径定理结合相似几何综合 1．如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，，当时，求的值； (3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求： ①的直径； ②的长． 2．（25-26·北京·一模）已知：中，已知，点在射线上，的外接圆的圆心为，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，求的值； (2)如图2，当时，求的长； (3)如果点在的某一条边所在的直线上，求的长． 题型04圆动态动点综合探究题 1．（24-25·北京房山·二模）如图，在等边中，点D 是边上的一动点，点E是射线上的一动点，连接． (1)如图1，，若点D为线段的中点，线段，求线段的长； (2)如图2，若点E在延长线上，以为边，在右侧作等边；过点F作交于点G，当时，求证∶； (3)如图3，点E在延长线上，，将沿直线翻折得到，点E的对应点为点．内部有一动点 P，满足，若，当的长度最小时，求的最小值． 2．已知是的半径，，点P是上一动点，过P作弦，连接、． （1）如图1，若P为中点，则________，_______； （2）如图2，若移动点P，使、的延长线交于点D．记的面积为，的面积为．的面积为，且满足， 求：①的值； ②的值． 1．（25-26·北京·模拟测试）内接于，直径交于点E，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在弧上，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点A作于点G，交半径于点H，若，，求线段的长． 2．按要求解答下列问题： (1)问题提出：如图①，在中，请用尺规作图的方法，作出边上的高． (2)问题发现：如图②，在等边中，点E、F分别是边和边上的动点，且，连接和交于点G，求证：． (3)问题解决：“全民健身，同心同行”，某运动公园示意图如图③，四边形中，，，为促进全民健身，计划将四边形分为两个部分，为健身区，为休闲区，经过调研发现，最可行的方案是要满足，且，是否存在面积最大的四边形？若存在，请求出四边形的面积最大值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26·北京·一模）如图，的半径为，和是的两条弦，且． (1)若，的长度为，求的度数； (2)如图，若是的直径，是上一点，连接和，于点，若，，求的长． 4．（2026·北京·一模）如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点． (1)求证：； (2)当时，求的半径； (3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 5．（25-26·北京·一模）如图，为的直径，弦于点C（C为线段上一点），F为上一点（点C，F均不与端点重合），连接，，射线交于点H，与射线交于点G，且． (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)当点B为中点时， ①求证：； ②求的值． 6．如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． (1)求的长． (2)若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 7．（24-25·北京通州·二模）如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 8．如图，为的直径，P是线段上一点，过点P作（点A在直径上方），连结，并延长交于点，过点作于点，交直径于点． (1)求证：． (2)当，且时，求的半径． (3)当时，_______________． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $