专题03 圆综合（填空压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题03 圆综合（填空压轴题） 命题预测 常规显圆 + 隐圆结合考查，贴合北京中考 “条件隐蔽、模型核心” 的命题特点。常依托垂径定理、圆周角、切线性质、定点定长构造隐圆，搭配直角三角形、三角函数综合设问，题型精简、逻辑链条长，区分度极高 高频考法 1.隐圆构造线段最值 2.切线性质 + 角度综合计算 3.圆内接图形边长比值 4.定点定长轨迹类填空压轴 典例·靶向·突破 题型01 定点定长隐圆最值问题 1．（2025·北京·二模）如图，在矩形中，，，延长AD至点F，使得，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，P为上一动点，连接FP并延长交AB于点G，当BG的长度最短时，阴影部分的周长为____________． 2．（25-26·北京·一模）如图，在中，、，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1）____________； （2）当线段最短时，的面积为____________． 题型02 切线与圆周角综合压轴 1．（25-26·北京·一模）如图，在中，的长为定值，，点在射线上运动，连接，过点三点的圆交于点，当的最小值为时，则的长为_____． 2．（25-26·北京·一模）如图，在圆中，为直径，与圆相切于点，点在的延长线上，点为弧的中点，连接，交于点，点为中点，连接，，则_________，若，则_________． 题型03 垂径定理结合勾股定理计算 1．（25-26·北京丰台·一模）如图，、是以为直径的上的两个动点（点、不与、重合），在运动过程中，弦的长度始终保持不变，是的中点，过点作弦于点．若，，则面积的最大值是__________． 2．（25-26·北京·一模）如图，在四边形中，为对角线，，，，过、两点的⊙与相切于点．为中点，连接并延长，交于点，则的长度为_____________________；⊙的半径为_________． 题型04圆与特殊三角形综合多结论判断 1．如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是______． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，是圆的内接三角形，且，是圆直径．在圆外，且．，． （1）的长为______；（2）的长为______． 1．如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是______． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，是圆的内接三角形，且，是圆直径．在圆外，且．，． （1）的长为______；（2）的长为______． 3．如图，是的外接圆，是边上的高，且，过点作交于点，若，则的最小值为___________． 4．（25-26·北京·模拟测）如图，在等腰直角三角形中，，点在以其斜边为直径的半圆上，连接，点为上一点，且．当点沿半圆从点运动至点时，的面积最大值是__________． 5．（25-26·北京海淀·一模）如图，为的外接圆，直径交于点，作关于的对称图形，与交于点且是中点，连接．若，则的半径_____，_____， 6．如图，为的直径，点为上一动点，的平分线与的平分线交于点，点E、F均在上，当点从点运动到点（仅运动一个半圆）时，记点运动路径长为，点运动路径长为，则的值为__________． 7．如图，是的直径，点是半圆的中点，且，点是上的一个动点，连接，过点作于点，连接，在点的运动过程中，长度的最小值是__________． 8．（24-25·北京·三模）已知如图，是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点，若是直角三角形，则____． 9．如图所示，与y轴交于点，，与x轴的正半轴交于点C．若，则点C的坐标为________． 10．（24-25·北京·二模）如图，已知平面直角坐标系内，为x轴上两点，以为直径的交y轴于两点，C为的中点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为平分时，则________． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆综合（填空压轴题） 命题预测 常规显圆 + 隐圆结合考查，贴合北京中考 “条件隐蔽、模型核心” 的命题特点。常依托垂径定理、圆周角、切线性质、定点定长构造隐圆，搭配直角三角形、三角函数综合设问，题型精简、逻辑链条长，区分度极高 高频考法 1.隐圆构造线段最值 2.切线性质 + 角度综合计算 3.圆内接图形边长比值 4.定点定长轨迹类填空压轴 典例·靶向·突破 题型01 定点定长隐圆最值问题 1．（2025·北京·二模）如图，在矩形中，，，延长AD至点F，使得，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，P为上一动点，连接FP并延长交AB于点G，当BG的长度最短时，阴影部分的周长为____________． 【答案】 【分析】只有当FG与A相切时，BG长度最短，故可作图，根据切线的性质及弧长公式求出，再根据矩形的性质及勾股定理求出各边的长，故可求解． 【详解】如图，只有当FG与A相切时，BG长度最短 连接AP，则AP⊥FG ∵AD=1 ∴DF=AD=1 ∴AF=2 ∵AP=AD=1=AF ∴∠F=30°，∠FAP=60° ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠FAB=90° ∴∠PAE=30° ∴ ∵，AE=AP=1 ∴BE= 作MNAB ∴四边形ABMN是矩形，∠AMN=90°，MN=，∠APM=∠PAE=30° ∴AM=AP=， ∴MP= ∴PN= ∵DP=AD-AM= ∴CN=DM= ∴PC= ∵BC=AD=1 ∴阴影部分的周长为+BE+BC+PC== 故答案为：． 【点睛】此题主要考查切线与弧长公式的综合运用，解题的关键是根据题意找到BG最短时P点位置． 2．（25-26·北京·一模）如图，在中，、，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1）____________； （2）当线段最短时，的面积为____________． 【答案】 /90度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理．确定点的运动轨迹是解题的关键． 由题意得，，则点在以为直径的圆上运动，如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，由题意知，，由勾股定理得，，则，证明，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短， 由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：，． 题型02 切线与圆周角综合压轴 1．（25-26·北京·一模）如图，在中，的长为定值，，点在射线上运动，连接，过点三点的圆交于点，当的最小值为时，则的长为_____． 【答案】 【分析】要求的长，需要搞清楚是怎么取到的最小值，当、的长为定值时，由定弦对定角模型可知点在以为弦的上运动，作出图形，从而得到当三点共线时，有最小值，设的半径为，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后在等腰中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， ∵， ， ， ∵、的长为定值，则由定弦对定角模型可知点在以为弦的上运动，如图所示： 由圆外一定点与圆周上动点连线长度变化情况可知，当三点共线时，即运动到图中位置时，有最小值，为，表示为， ∵在中，， ， ， ， ， ， 设的半径为，则 在中，，， 则由勾股定理可得， 解得， ， 在等腰中，，，则． 【点睛】掌握定弦对定角模型得到辅助圆、圆外一定点与圆周上动点连线长度变化情况是解决问题最重要的内容． 2．（25-26·北京·一模）如图，在圆中，为直径，与圆相切于点，点在的延长线上，点为弧的中点，连接，交于点，点为中点，连接，，则_________，若，则_________． 【答案】 4 / 【分析】本题主要考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，作中位线构造，得到直角三角形是解题的关键． 根据点为弧的中点，可得，由是圆的切线，可得，进而根据等角的余角相等证明，由等角对等边即可得出，根据切线和是直径证明，从而可得，进而可得，由此求出圆的直径和半径，再利用中位线性质得出，是直角三角形，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：连接、， ∵点为弧的中点， ∴，， ∴， ∵是圆的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即： ∴，， ∴，， ∴，， 取的中点，即， ∴ ∵是中点， ∴，， 又∵ ∴， ∴ 故答案为：4； 题型03 垂径定理结合勾股定理计算 1．（25-26·北京丰台·一模）如图，、是以为直径的上的两个动点（点、不与、重合），在运动过程中，弦的长度始终保持不变，是的中点，过点作弦于点．若，，则面积的最大值是__________． 【答案】16 【分析】连接，作于，根据已知条件利用垂径定理可得为的中点，再由为中点，得出为的中位线，从而证得，由相似比的平方等于面积比得到，进而得到当最大时，有最大值，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得，当点、、三点共线时，取最大值，从而求得的面积最大值． 【详解】解：如图，连接，作于，连接、、、， ∵，为圆的直径， 由垂径定理可知，为的中点， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，有最大值， ∵点是的中点，过圆心，， ∴，， ∴ 根据两点之间线段最短及垂线段最短可得，当点、、三点共线时，取最大值， ∴， ∴，即的面积最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角形中位线定理,两点之间线段最短．熟练掌握相似三角形的判定与性质解题的关键． 2．（25-26·北京·一模）如图，在四边形中，为对角线，，，，过、两点的⊙与相切于点．为中点，连接并延长，交于点，则的长度为_____________________；⊙的半径为_________． 【答案】 【分析】本题综合考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、解直角三角形及等腰三角形的性质等知识点．首先连接、，设与交于点，利用垂径定理可得，通过三角函数可求得、，并得到．在等腰三角形中求出腰长．随后在中求出，从而得到．最后设，结合切线性质推出，用含的式子表示半径，再在中通过勾股定理建立方程，从而求解得出圆的半径． 【详解】解：如图，连接、，设与交于点，过点作． ∵是中点， ∴，且， ∴， 在中，，，， ∴， ， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，在中，， ∴． 设，则， ∴． ∵是切线， ∴，即． ∵， ∴． 又， ∴在中，，即， 解方程得(取正根)， 代入得半径：． 故答案为：；． 【点睛】解决圆与直角三角形结合的问题，核心在于灵活运用辅助线与几何性质的联动：遇到弦的中点时，连接圆心与弦中点可触发垂径定理，遇到切线时连接圆心与切点可得到垂直关系，这是打开解题突破口的关键．解题过程中要善于利用平行线、等腰三角形等条件传递角度，将已知角转化到目标三角形中，从而简化三角函数或边长的计算．当半径等关键线段未知时，可通过设未知数，结合勾股定理或三角函数建立方程求解，这是处理此类几何计算的常用思路． 题型04圆与特殊三角形综合多结论判断 1．如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是旋转， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，为等边三角形， 有，从而，当点D、E、共线时取得最小值；由易得，则点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动，则，当且仅当三点共线时取等号；连接，过O作于点M，在中，由勾股定理得求得，即可求得结果． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴； ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴, 当且仅当点D、E、共线时取等号， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等号， ∵， ∴； 如图，连接，过O作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，一点到圆上点距离的最值等知识，利用旋转变换、构造辅助圆是解题的关键． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，是圆的内接三角形，且，是圆直径．在圆外，且．，． （1）的长为______；（2）的长为______． 【答案】 【分析】设与圆相交于点E，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，解直角三角形求出，，然后在中根据勾股定理即可求出；在右侧，过C作，并截取，连接，，过D作于G，证明，得出，，则可求出，进而求出，解直角三角形求出，，根据勾股定理求出，最后在中，根据余弦的定义求出即可． 【详解】解：设与圆相交于点E，连接， ∵是圆直径， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴； 在右侧，过C作，并截取，连接，，过D作于G， 则，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1．如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是旋转， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，为等边三角形， 有，从而，当点D、E、共线时取得最小值；由易得，则点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动，则，当且仅当三点共线时取等号；连接，过O作于点M，在中，由勾股定理得求得，即可求得结果． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴； ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴, 当且仅当点D、E、共线时取等号， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等号， ∵， ∴； 如图，连接，过O作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，一点到圆上点距离的最值等知识，利用旋转变换、构造辅助圆是解题的关键． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，是圆的内接三角形，且，是圆直径．在圆外，且．，． （1）的长为______；（2）的长为______． 【答案】 【分析】设与圆相交于点E，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，解直角三角形求出，，然后在中根据勾股定理即可求出；在右侧，过C作，并截取，连接，，过D作于G，证明，得出，，则可求出，进而求出，解直角三角形求出，，根据勾股定理求出，最后在中，根据余弦的定义求出即可． 【详解】解：设与圆相交于点E，连接， ∵是圆直径， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴； 在右侧，过C作，并截取，连接，，过D作于G， 则，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1．如图，是的外接圆，是边上的高，且，过点作交于点，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】连接，过点作的垂线，交于点，交于点，设的半径为，容易判断出为的直径，进而判断出是等腰直角三角形，则，只需求出半径的最小值即可．利用垂径定理可计算出弓形的高为，结合，可求出半径的最小值，进而得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，设的半径为， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理的应用，由弓形高推测出半径的最小值是解题关键． 2．（25-26·北京·模拟测）如图，在等腰直角三角形中，，点在以其斜边为直径的半圆上，连接，点为上一点，且．当点沿半圆从点运动至点时，的面积最大值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，由题意可得，，取的中点，连接、，在上取点，使得，连接，则，，，证明，得出，由题意可得，从而得出，点在以点为圆心，为半径的半圆上，由图可得，当点运动到点时，点到的距离最大，为，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，， ∴，， 如图，取的中点，连接、，在上取点，使得，连接，则，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在以其斜边为直径的半圆上， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的半圆上， 由图可得，当点运动到点时，点到的距离最大，为， ∴的面积最大值是， 故答案为：． 3．（25-26·北京海淀·一模）如图，为的外接圆，直径交于点，作关于的对称图形，与交于点且是中点，连接．若，则的半径_____，_____， 【答案】 【分析】连接，由题意可知是的垂直平分线，即，进而证明是等边三角形，即，根据圆周角定理得到，设，根据勾股定理即可求出x的值；连接，作交于N，作交于P，求出，根据圆周角定理得到，即，则，根据轴对称的性质得到，，可知是等边三角形，进而求出，根据三角函数求出，，根据勾股定理求出，证明，得到，设，则，根据三角函数求出，进而求出，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ∵且是中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是直径， ∴， 设， 则， 解得：， 即； 连接，作交于N，作交于P， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 即， 设，则， ∵， ∴， 即 解得： ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．如图，为的直径，点为上一动点，的平分线与的平分线交于点，点E、F均在上，当点从点运动到点（仅运动一个半圆）时，记点运动路径长为，点运动路径长为，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】连接、、，由题意可得点为的内心，即平分，从而得出，，由圆周角定理可得，求出，得出点在某个圆上运动，证明，作的外接圆，在上取点，连接、，由圆周角定理可得,再结合，得出点在的上，即当点从点向点运动时，点的路径长的长，设的半径为，则，由勾股定理可得，求出，由平分，可得当点从点向点运动时，点也从点向点运动，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵平分，平分， ∴点为的内心，即平分， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定弦，为定角， ∴点在某个圆上运动， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，在上取点，连接、， 由圆周角定理可得, ∵， ∴， ∴点在的上， 即当点从点向点运动时，点的路径长的长， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴当点从点向点运动时，点也从点向点运动， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、角平分线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5．如图，是的直径，点是半圆的中点，且，点是上的一个动点，连接，过点作于点，连接，在点的运动过程中，长度的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的最值，涉及垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是确定动点H的轨迹；连接，取的中点M，连接，过M作于N，根据直角所对的弦是直径可得H是以M为圆心，以为直径的圆上上的动点，当三点共线时，长度最小，最小值为的值，再根据勾股定理和等腰三角形的性质和判定分别求出，即可得解． 【详解】解：连接，取的中点M，连接，过M作于N， ， ， 又点是上的一个动点， H是以M为圆心，以为直径的圆上上的动点， 当三点共线时，长度最小，最小值为的值， 点是半圆的中点， ， ， ， ， ， ， ， M是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 6．（24-25·北京·三模）已知如图，是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点，若是直角三角形，则____． 【答案】或/或 【分析】先根据得到弧与弧相等，再结合得到等腰．题目要求为直角三角形，因此需要分、、三种情况，利用圆周角定理、等腰三角形性质和三角形内角和定理分别计算的度数，并结合是锐角三角形的条件进行筛选． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 情况1：当时， ∴， 设，则， ∵， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵是锐角三角形，满足条件， ∴； 情况2：时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是锐角三角形，满足条件， ∴； 情况3：时，连接， ∵，， ∴， ∴在中，，这与三角形的内角和矛盾，故此情况不成立； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理以及分类讨论思想，熟练掌握圆周角与圆心角的关系、等腰三角形的性质，并结合锐角三角形的条件对结果进行筛选是解题的关键． 7．如图所示，与y轴交于点，，与x轴的正半轴交于点C．若，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，，，作于点M，于点N，构造矩形，由圆周角定理得出，进而可得是等腰直角三角形，利用勾股定理解求出，进而求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，作于点M，于点N， 则， 四边形是矩形， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，等腰直角三角形，坐标与图形的性质，关键是由圆周角定理判定是等腰直角三角形． 8．（24-25·北京·二模）如图，已知平面直角坐标系内，为x轴上两点，以为直径的交y轴于两点，C为的中点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为平分时，则________． 【答案】 【分析】连接，设圆的半径为r，在中，可得即可求得半径；连接和，由平分得和，进一步得到，再得出和均为等腰直角三角形，设，在中，，代入求解即可求出b，再利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：连接． ∵， ∴， 设， 在中，， ∴，解得， ∴的半径为5． ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 过P点作，连接、． ∵平分， ∴，为等腰直角三角形 ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∵，， ∴， 设，在中，， 即：， 解得：，(舍去)． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用垂径定理求值，等腰直角三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角相等以及勾股定理，掌握这些知识是解题的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $