八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：第16章 二次根式～第19章 四边形）

八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南商丘·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C正确． D．，故D错误． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列各组数中，是勾股数的为（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．6，8，9 【答案】C 【分析】若三个正整数满足较小的两个数的平方之和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； D、∵， ∴6，8，9不是勾股数，不符合题意． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，根据根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，即． 解得且． 4．（25-26八年级上·云南西双版纳·月考）在边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】剩余部分面积等于正方形面积减去长方形面积，利用正方形、长方形面积公式结合完全平方公式，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】∵ 剩余部分面积 = 正方形面积 - 长方形面积 正方形边长为 ∴ 正方形面积 ∵ 长方形长为，宽为 ∴ 长方形面积 ∴ 剩余部分面积． 5．（25-26八年级上·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 6．（25-26七年级上·湖南·期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和定理，设这个多边形的边数为n，根据n边形的内角和为得到方程，解方程求出，再根据多边形外角和为360度即可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的一个外角等于， 故选：B． 7．（25-26九年级上·广东韶关·月考）韶关市新华书店对外开放的第一个月共进书店600人次，进书店人次逐月增加，到第三个月月末为止累计进书店2850人次．若设进书店人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程—增长率问题，分别表示出三个月的进书店人数，再结合三个月累计进书店人数列出方程即可． 【详解】解：设进书店人次的月平均增长率为x，根据题意得： ． 故选：C 8．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积是()， 故选：B． 9．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 10．（25-26八年级上·湖北十堰·月考）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质．分别连接，结合四边形是平行四边形，可得，，再由，从而，进而结合等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解． 【详解】解：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵E是的中点， ∴． 又∵G是的中点， ∴． 又∵与不一定相等， ∴①不正确． ∵E，F分别是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形． ∴平分． ∵， ∴不平分，即③不正确． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确． 综上，正确的有②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 12．（25-26九年级·重庆渝中·开学考试）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________． 【答案】48 【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值． 【详解】解：∵三角形的周长为24，斜边长为10， ∴a＋b＋10＝24， ∴a＋b＝14， ∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2＋b2＝102， 则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102， 即142−2ab＝102， ∴ab＝48． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 16．（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为____________． 【答案】15 【分析】先结合矩形的性质得，，，运用勾股定理算出，再根据与的平分线分别交于点，点，得，，则都是等腰直角三角形，故，又因为点是中点，证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是正方形，再把数值代入四边形的面积为进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线分别交于点，点． ∴，， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（25-26九年级上·四川达州·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先移项，再用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得； （2）解：， ， ， 或， 解得． 19．（8分）（25-26七年级上·贵州遵义·月考）已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度； （2）根据勾股定理的逆定理可知，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在中，，，， 根据勾股定理得，； （2）在中，，，， ， ∴为直角三角形，且， ． 20．（8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 21．（10分）（25-26九年级上·四川成都·期中）今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． (1)原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ (2)经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款电视机每次降价的百分率是x，根据原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据商家所获的总利润为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是x， 由题意得： 解得：， 不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：，. 尽可能让利于顾客， . 答：m的值为 22．（10分）（25-26七年级上·贵州遵义·月考）风筝起源于中国，又名“纸鸢”，深受人们喜爱．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，，． 在中，， ． （2）解：不能成功．假设能上升12m，如图，延长至点，连接，则， ． 在中，． ． ，余线仅剩7.5m， ， ∴不能上升12m，即不能成功． 23．（12分）（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 24．（12分）（25-26九年级上·河南郑州·月考）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【答案】(1) (2) (3)8或4 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； 故答案为： （2）解：结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为8或4； 故答案为：8或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第16章 二次根式~第19章 四边形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南商丘·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列各组数中，是勾股数的为（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．6，8，9 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4．（25-26八年级上·云南西双版纳·月考）在边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（25-26七年级上·湖南·期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东韶关·月考）韶关市新华书店对外开放的第一个月共进书店600人次，进书店人次逐月增加，到第三个月月末为止累计进书店2850人次．若设进书店人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 10．（25-26八年级上·湖北十堰·月考）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是__________． 12．（25-26九年级·重庆渝中·开学考试）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 15．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 16．（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为____________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26九年级上·四川达州·期末）解方程： (1)． (2)． 19．（8分）（25-26七年级上·贵州遵义·月考）已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 20．（8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 21．（10分）（25-26九年级上·四川成都·期中）今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． (1)原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ (2)经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 22．（10分）（25-26七年级上·贵州遵义·月考）风筝起源于中国，又名“纸鸢”，深受人们喜爱．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 23．（12分）（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 24．（12分）（25-26九年级上·河南郑州·月考）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $