专题06 相似与四边形（题型专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 相似与四边形 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 相似与四边形 题型02 四边形的性质与判定 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 相似与四边形 典例引领 【典例01】（2026·北京通州区·一模）如图，在矩形中，平分交于点E，连结，点F为的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】由于平分可得出为等腰直角三角形则可算出，用勾股定理算出，利用直角三角形斜边上中线的性质可得的长． 【详解】解：∵矩形， ∴， 平分， ， 为等腰直角三角形， ∴， 矩形对边相等， ，， ， 在中， ， 为的中点且为直角三角形， ． 【典例02】（2026·北京西城区·一模）如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质及勾股定理求出，设，根据利用勾股定理列方程求出，然后求出，则面积可得. 【详解】解：连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴即：， 解得：， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴. 方法透视 考向解读 以平行四边形、矩形、菱形、正方形为主要图形，常结合折叠、旋转、平移等图形变换，搭配相似综合命题；主要为填空中档题，侧重几何直观与定量计算，不出现复杂证明，以求值、求范围、求线段长为主。 方法技能 1.熟记特殊四边形边、角、对角线的性质，快速出等量关系； 2.折叠、旋转优先找全等、等线段、等角，利用不变量解题； 3.遇直角、线段长度，优先构造直角三角形，使用勾股定理； 4.巧用中位线、斜边中线出相似简化计算。 变式演练 【变式01】（2026·北京海淀区·一模）如图，在矩形中，，．点E在的延长线上，连接，交于点F．若的面积为15，则的面积为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，，，结合的面积为15，得出，求出，再证明，求出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵的面积为15， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【变式02】（2026·北京第八中学·月考）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则______ 【答案】 【分析】过点作的平行线，分别交于点，先根据矩形的性质与判定可得四边形和四边形都是矩形，设，则，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的值，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， ∵四边形是矩形，， ， ∴四边形是矩形， ， 同理可得：四边形是矩形， ， 设，则， ∵， ， ，即， 解得：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，即， 解得：或， 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意；不是所列分式方程的根，舍去， ， ． 【变式03】（2026·北京师范大学附属中学·月考）如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 题型02 四边形的性质与判定 典例引领 【典例01】（2026·北京通州区·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 【典例02】（2026·北京西城区·一模）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）证明，得到，进而利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：∵点F是的中点， ， ∵平分， ， ，， ， ， 在中，， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ． 方法透视 考向解读 四边形解答题分为两问，第一要熟记特殊四边形的判定，第二要熟练应用解直角三角形的思路求出线段的长度。 方法技能 解直角三角形的辅助线以垂线为主。 正弦值sin的值为对边/斜边；余弦值cos的值为邻边/斜边；正切值tan的值为对边/邻边。 变式演练 【变式01】（2026·北京海淀区·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作于，利用勾股定理及平行四边形的性质、矩形的性质及判定得出的值，进而求出的长. 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【变式02】（2026·北京昌平区·一模）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 【变式03】（2026·北京通州潞河中学·月考）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，关键是灵活应用这些知识点解题； （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行论证； （2）根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 题●型●训●练 1．（2026·北京大兴第七中学·月考）如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由正方形的性质求得，，由勾股定理求得，可证明，得，则，再证明，，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵点E是的中点，交对角线于点F， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（2026·北京朝阳区·月考）如图，正方形的边长为3，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为________． 【答案】9 【分析】本题可通过连接辅助线，利用三角形与矩形、正方形的面积关系来求解．关键在于发现矩形的面积与正方形的面积相等，借助三角形面积作为中间桥梁建立联系． 【详解】 解： 连接， 四边形是矩形，且经过点， 矩形的面积等于． 在正方形中，边长为，，．． ； 3．（2026·北京德胜中学·零模）如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，取的中点，连接，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ， ， ， ， ∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点， ， ∴是的中位线， ． 4．（2025·北京密云区·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 5．（2025·北京朝阳区·一模）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据矩形的性质可得，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ，，即， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 6．（2025·北京平谷区·一模）在菱形中，，于点E，，连接交于点F，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质等初中知识，解题的关键在于利用菱形对边平行且相等的性质确定线段长度．先通过勾股定理求出高的长度，再利用平行线构造相似三角形，根据相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， ∴， ， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（2025·北京第二中学·零模）如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，正方形的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，进而得出四边形是正方形；设正方形的边长为，利用，得到，得出比例式，列出方程即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设这个正方形的边长为， 则， ， ， ， ， ． ，， ． 解得：． 正方形的边长为． ， 故答案为：． 8．（2025·北京海淀区·一模）如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出，，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据等腰直角三角形的判定和性质求出，根据勾股定理求出，则，根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是四边形的对角线， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， 即， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（2025·北京大兴区·一模）如图，在中，，．当时，正方形恰好有三个顶点落在的边上，则正方形的面积为__________． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设，则：，结合图形及各边之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故答案为：5． 10．（2025·北京朝阳区·一模）如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解直角三角形． （1）证明是的中位线，得，，再由得，即可得，即可得出结论； （2）根据角平分线定义求出，由平行四边形的性质得，即可得，，，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵延长至点E，使， 为中点， 为中点， ∴是的中位线， ，， ∵延长至点F，使， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，． 11．（2025·北京平谷区·一模）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，由，推导出，则，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由，，推导出，则，所以，因为四边形是矩形，所以． 【详解】（1）解：∵过点A作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵ ∴． 12．（2025·北京丰台区·一模）如图，在四边形中，，为中点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形判定及直角三角形相关知识，解题关键是利用直角三角形斜边中线定理证边相等以判定平行四边形，借助三角函数与勾股定理求边长． （1）由，是中点，根据直角三角形斜边中线定理得 ，再结合 ，从而得出 ，从而满足平行四边形判定条件解答即可． （2）由（1）知四边形是平行四边形，可得．在中，已知，利用正切函数的定义求出的长，再根据勾股定理求出$BD$的长，最后由，求出答案． 【详解】（1）∵，为中点， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴四边形为平行四边形； （2）∵四边形为平行四边形，， ∴． 在中，，， 则， 解得． ∵， 把，代入可得 ． ∴． 13．（2025·北京西城区·一模）如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若点F是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）先说明，再结合即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即；再结合平行四边形的性质可得，再根据可设，则，即，然后求出k的即可。 【详解】（1）证明：，于点E， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵在中，，点F是的中点， ． , ． ∵在中， ∴． ∵在中，，， ∴设，则，． ． 14．（2025·北京第二中学·零模）如图，菱形的对角线，交于点O，点F是的中点，连接并延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可得证； （2）证明为等边三角形，进而得到，进而求出的长，根据菱形的面积公式，对角线乘积的一半，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线，交于点O， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵菱形的对角线，交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 15．（2025·北京海淀区·一模）如图，在中，，点在上，．过点，分别作，的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形外角定理，锐角三角函数比，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并作辅助线构造直角三角形． （1）根据条件先证明四边形是平行四边形，再利用等角对等边证明即可； （2）过点作于点，利用三线合一和锐角三角函数比求得，进而利用勾股定理可求和的长度． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ，，且， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 在中，由勾股定理得． 16．（2025·北京一零一中学·零模）如图，在四边形中，，，点E在对角线的延长线上，，交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据，得到，即可得得证； （2）过点作，利用正切值和勾股定理求出的长，三线合一求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：过点作与点，      在中，， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质．熟练掌握矩形的判定方法，以及正切的定义，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 17．（2025·北京大兴区·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）由菱形的性质得，，得为中位线，得；再证明，从而可得结论； （2）由菱形的性质得，由得，设，则，由勾股定理得，，设斜边上的高为h，根据等积关系得，由可求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴为的中点， 又M是中点， ∴为中位线， ∴； 在中，， ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 设斜边上的高为h，则有： ， ∴， ∴， ∴． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似与四边形 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 相似与四边形 题型02 四边形的性质与判定 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 相似与四边形 典例引领 【典例01】（2026·北京通州区·一模）如图，在矩形中，平分交于点E，连结，点F为的中点，连接，若，，则的长为______． 【典例02】（2026·北京西城区·一模）如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 方法透视 考向解读 以平行四边形、矩形、菱形、正方形为主要图形，常结合折叠、旋转、平移等图形变换，搭配相似综合命题；主要为填空中档题，侧重几何直观与定量计算，不出现复杂证明，以求值、求范围、求线段长为主。 方法技能 1.熟记特殊四边形边、角、对角线的性质，快速出等量关系； 2.折叠、旋转优先找全等、等线段、等角，利用不变量解题； 3.遇直角、线段长度，优先构造直角三角形，使用勾股定理； 4.巧用中位线、斜边中线出相似简化计算。 变式演练 【变式01】（2026·北京海淀区·一模）如图，在矩形中，，．点E在的延长线上，连接，交于点F．若的面积为15，则的面积为______． 【变式02】（2026·北京第八中学·月考）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则______ 【变式03】（2026·北京师范大学附属中学·月考）如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 题型02 四边形的性质与判定 典例引领 【典例01】（2026·北京通州区·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【典例02】（2026·北京西城区·一模）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 方法透视 考向解读 四边形解答题分为两问，第一要熟记特殊四边形的判定，第二要熟练应用解直角三角形的思路求出线段的长度。 方法技能 解直角三角形的辅助线以垂线为主。 正弦值sin的值为对边/斜边；余弦值cos的值为邻边/斜边；正切值tan的值为对边/邻边。 变式演练 【变式01】（2026·北京海淀区·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式02】（2026·北京昌平区·一模）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式03】（2026·北京通州潞河中学·月考）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 题●型●训●练 1．（2026·北京大兴第七中学·月考）如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________． 2．（2026·北京朝阳区·月考）如图，正方形的边长为3，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为________． 3．（2026·北京德胜中学·零模）如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 4．（2025·北京密云区·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 5．（2025·北京朝阳区·一模）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为___________． 6．（2025·北京平谷区·一模）在菱形中，，于点E，，连接交于点F，则的长为_______． 7．（2025·北京第二中学·零模）如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为__________． 8．（2025·北京海淀区·一模）如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 9．（2025·北京大兴区·一模）如图，在中，，．当时，正方形恰好有三个顶点落在的边上，则正方形的面积为__________． 10．（2025·北京朝阳区·一模）如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 11．（2025·北京平谷区·一模）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 12．（2025·北京丰台区·一模）如图，在四边形中，，为中点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 13．（2025·北京西城区·一模）如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若点F是的中点，，，求的长． 14．（2025·北京第二中学·零模）如图，菱形的对角线，交于点O，点F是的中点，连接并延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 15．（2025·北京海淀区·一模）如图，在中，，点在上，．过点，分别作，的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 16．（2025·北京一零一中学·零模）如图，在四边形中，，，点E在对角线的延长线上，，交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 17．（2025·北京大兴区·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $