专题11 相似与四边形（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

· 专题11 相似与四边形 · · 考情概览 · 考点1 四边形 · 考点2 相似 · 考点1 四边形 1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 2．（2021·北京·中考真题）如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 考点2 相似 3．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ． 4．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    5．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 1．（2025•通州区一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，其中四边形是正方形．如果，四边形的面积为25，那么的长为　 　 ． 2．（2025•石景山区一模）如图，等边△中，于点，点在上，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则四边形的周长为　　 ． 3．（2025•石景山区一模）如图，将△沿边向右平移2个单位长度得到△．若，阴影部分的面积为6，则△的面积为 　 　 ． 4．（2025·北京顺义·一模）如图，在正方形中，点E在上，连接交对角线于点F．若，，则_____________． 5．（2025·北京朝阳·一模）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为_________． 6．（2025·北京大兴·一模）如图，在中，，．当时，正方形恰好有三个顶点落在的边上，则正方形的面积为_________． 7．（2025·北京西城·一模）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为_________． 8．（2025·北京平谷·一模）在菱形中，于点，连接交于点，则的长为_________．    9．（2025·北京·一模）如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为_________． 10．（2025·北京海淀·一模）如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点，连接．若，，则的长为_________． 11．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_________． 12．（2025·北京东城·一模）如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则_________． 13．（2025·北京西城·二模）如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为 ． 14．（2025·北京朝阳·二模）如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ． 15．（2025·北京海淀·二模）如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为 ． 16．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为 ． 17．（2025·北京丰台·二模）如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为 ． 18．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 19．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 20．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为 ． 6/7 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题11 相似与四边形 · · 考情概览 · 考点1 四边形 · 考点2 相似 · 考点1 四边形 1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2021·北京·中考真题）如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意易得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键． 考点2 相似 3．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可. 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键. 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴, ， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 4．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 5．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 1．（2025•通州区一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，其中四边形是正方形．如果，四边形的面积为25，那么的长为　 　 ． 【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以求得和的长，然后即可得到和的长，再计算的长即可． 【解答】解：由已知可得， △△△△，，， 则，， 设，则， ， ， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ，， ， 故答案为：7． 2．（2025•石景山区一模）如图，等边△中，于点，点在上，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则四边形的周长为　　 ． 【分析】先利用等边三角形的性质可得，，从而可得，，然后在△中，利用含30度角的直角三角形可得，再利用线段垂直平分线的性质可得：，最后利用四边形的周长公式进行计算，即可解答． 【解答】解：△是等边三角形， ，， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， 四边形的周长 ， 故答案为：． 3．（2025•石景山区一模）如图，将△沿边向右平移2个单位长度得到△．若，阴影部分的面积为6，则△的面积为 　 　 ． 【分析】设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算△的面积即可． 【解答】解：如图，设与交于点． 将△沿边向右平移2个单位长度得到△， ，， ，△△， ， ，即， ． 故答案为：24． 4．（2025·北京顺义·一模）如图，在正方形中，点E在上，连接交对角线于点F．若，，则_____________． 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形和相似三角形的性质是解题的关键．根据正方形的性质得到，推出，得出，再代入数据即可求解． 【详解】解：正方形， ，，， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 5．（2025·北京朝阳·一模）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为_________． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据矩形的性质可得，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ，，即， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 6．（2025·北京大兴·一模）如图，在中，，．当时，正方形恰好有三个顶点落在的边上，则正方形的面积为_________． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设，则：，结合图形及各边之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故答案为：5． 7．（2025·北京西城·一模）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为_________． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 根据矩形的性质以及勾股定理可得、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 8．（2025·北京平谷·一模）在菱形中，于点，连接交于点，则的长为_________．    【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系． 根据菱形的性质和勾股定理可得出，根据菱形的对边平行且相等的性质，可证得，可得，再根据，据此即可求得． 【详解】解：∵在菱中，，且，，， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·北京·一模）如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为_________． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，正方形的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，进而得出四边形是正方形；设正方形的边长为，利用，得到，得出比例式，列出方程即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设这个正方形的边长为， 则， ， ， ， ， ． ，， ． 解得：． 正方形的边长为． ， 故答案为：． 10．（2025·北京海淀·一模）如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点，连接．若，，则的长为_________． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，正方形的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，进而得出四边形是正方形；设正方形的边长为，利用，得到，得出比例式，列出方程即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设这个正方形的边长为， 则， ， ， ， ， ． ，， ． 解得：． 正方形的边长为． ， 故答案为：． 11．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_________． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 12．（2025·北京东城·一模）如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则_________． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出和求出是解此题的关键．设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， 设，，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：6． 13．（2025·北京西城·二模）如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查平行四边形的性质（对边平行）以及相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）．解题的关键在于利用平行四边形对边平行的性质找出相似三角形，准确求出相似比，再运用相似三角形面积比与相似比的关系计算所求三角形的面积．本题围绕平行四边形展开，已知和的面积，要求的面积．需要利用平行四边形对边平行的性质，找出相似三角形，再依据相似三角形的性质来建立面积关系求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，即． ∴，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ． ∵． ∴ ． ∴ ． 即， ∴ 故答案为：． 14．（2025·北京朝阳·二模）如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故答案为：． 15．（2025·北京海淀·二模）如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据正方形的性质和勾股定理可求得、和的长度，以及可证得，从而得到，代入计算求得的长度即为答案． 【详解】解：作于点，如图所示， 则， 四边形是边长为3的正方形， ，， 四边形是正方形，且面积为10， ，， 在中，， ， 又，， ， ， ，即， ． 故答案为：． 16．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 17．（2025·北京丰台·二模）如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 18．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可求，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 19．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 20．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】由全等三角形的性质得，，得到是的面积的两倍，然后用等面积法求得和的关系，进而得到的长．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线与面积，解题的关键是熟练应用等面积法求高． 【详解】解：∵于点D，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 22/22 21/22 学科网（北京）股份有限公司 $$